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专题 03 一元函数的导数及其应用
（利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题）
目录
一、切线问题........................................................1
①已知切线几条求参数.............................................1
②公切线问题.....................................................4
③和切线有关的其它综合问题......................................10
二、单调性问题.....................................................13
①已知单调区间求参数............................................13
②由函数存在单调区间求参数......................................15
③已知函数在某区间上不单调求参数................................18
④利用函数的单调性比大小........................................21
一、切线问题
①已知切线几条求参数
1．（2023·全国·高二专题练习）过坐标原点可以作曲线 两条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ，则 ，切线斜率 ,切线方程为 ，
∵切线过原点，∴ ，
整理得： ,
∵切线有两条，∴ ，解得 或 ，
∴ 的取值范围是 ,
故选：D
2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）若过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设切点为 ，
由函数 ，可得 ，则
所以在点 处的切线方程为 ，
因为切线过点 ，所以 ，
整理得 ，
设 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
要使得过点 可作曲线 的三条切线，
则满足 ，解得 ，即 的取值范围是 ．
故选：C．
3．（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知点 在直线 上运动，若过点 恰有三条不同的直线与曲线
相切，则点 的轨迹长度为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【详解】由题意，
设点 ，过点 的直线 与曲线 相切于点 ，
∴ ， 的方程为 ，∴ ，化简得 ，
设 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∵若过点 恰有三条不同的直线与曲线 相切，
，
∴满足条件的 恰有三个，
∴ ，即 ，
∴点 的轨迹长度为8.
故选：D.
4．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知 只有一条过原点的切线，则
．
【答案】
【详解】依题意，设切点坐标为 ，
因为 ，则 ，
所以切线的斜率为 ，
故切线的方程为 ，
因为切线过原点，所以 ，整理得 ，
因为 只有一条过原点的切线，
所以方程 有且只有一个实数根，
故 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
故答案为： .
5．（2023春·四川·高二统考期末）已知函数 ，若过点 可作曲线 的三
条切线，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设过点 作曲线 的切线的切点坐标为 ，由 求导得： ，则切线斜率 ，
切线方程为 ，
于是 ，整理得 ，
令 ，求导得 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值 ，当 时，函数 取得极小值 ，
因为过点 作曲线 的切线有三条，则方程 有3个不等实根，
即函数 有3个零点，由三次函数的性质知， ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
6．（2023·全国·高二专题练习）若曲线 有三条经过点 的切线，则 的
范围为 ．
【答案】
【详解】由题意 ，
令 ，则 ，
令 可得 或 .
故当 和 时 ， 单调递增， 图象往下凸；
当 时 ， 单调递减， 图象往上凸.又经过 的切线方程为 ，即 ，
令 可得 ，又经过 的切线方程为 ，故当 时有三条经过点
的切线.
故答案为：
②公切线问题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数 ， ，若直线
为 和 的公切线，则b等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设直线 与 相切于点 ，
与 相切于点 ，
由 ，所以 ，
由 ，
则 ，
即点 ，代入直线 中有：
， ①由 ，
所以 ，
由 ，
，
即点 ，代入直线 中有：
， ②
联立①②解得： ，
所以 ，
故选：B.
2．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第一中学校考阶段练习）若曲线 与 有三条
公切线，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，
设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:
所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
3．（2023春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线 是曲线 与曲
线 的公切线，则 （ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
【答案】D
【详解】解：因为 ，
所以 ，由 ，解得 或 （舍去），
所以切点为 ，
因为切点在切线 上，解得 ，
所以切线方程为 ，
设切点为 ，
由题意得 ，解得 ，
所以 ，
故选：D
4．（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）已知函数 ， ，若曲线与曲线 存在公切线，则实数m的最大值为 .
【答案】 /0.5
【详解】由题意可知： ，
设公切线和 相切于 ，和 相切于 ，
因为 就没有垂直于 轴的切线，故公切线斜率存在，设公切线斜率为 .
于是
由 可得， ；
由 化简整理可得， .
根据 可得， ，
故 ，
设 ，则 ，
1.当 时，显然 ；
2.当 时，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增，注意到 ，
①当 时， ， ；
②当 时， ， ；
综上所述：当 时， ；当 时， ；
则 在 上递增，在 上递减，故 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
5．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）设直线l是函数 ， 和函数的公切线，则l的方程是 ．
【答案】
【详解】设直线l与函数 的切点为A ，
直线l与函数 的切点为B ，
，所以 ，
，所以 ，
所以 ，
后面等式整理得 ，
代入前面等式整理得 ，
化简得 ，
令 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
容易知道， 为减函数，
，
所以 恒成立，所以 单调递增，
所以 最多一个零点，
容易知道 ，
所以 只有一个解 ，
故 ，
所以A点坐标为 ，
切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，
即 .
故答案为： .
6．（2023春·江苏苏州·高二校联考期中）已知函数 .若曲线 与曲线
有公切线，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【详解】∵ ，则 ，
设切点坐标 ，则切线斜率 ，
故切线方程为 ，整理得 ，
又∵ ，则 ，
设切点坐标 ，则切线斜率 ，
故切线方程为 ，整理得 ，
由题意可得 ，整理得 ，构建 ，则 ，
∵ ，可得 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，则 ，
当x趋近于0时， 趋近于正无穷大，当x趋近于正无穷大时， 趋近于正无穷大，
可得 的值域为 ，即实数m的取值范围为 .
故答案为： .
③和切线有关的其它综合问题
1．（2023春·江西吉安·高二统考期末）若动点 在曲线 上，则动点 到直线 的距离的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，由题意知 ，
则在点 处的切线斜率为 ，
当在点 处的切线与直线 平行时，点 到直线 的距离最小，
由 ，得 ，则 ，
所以点 到直线的距离 .
所以动点 到直线 的距离的最小值为 .
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【详解】由 得， ， ，即 ， ，
的几何意义为曲线 上的点 到直线 上的点 连线的距离的平方，不妨设曲线 ，直线 ，设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为
，
显然直线 与直线 的距离的平方即为所求，
由 ，得 ，设切点为 ， ，
则 ，解得 ，
直线 与直线 的距离为 ，
的最小值为8．
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）若x、a、b为任意实数，若 ，则 最小
值为( )
A． B．9 C． D．
【答案】C
【详解】由 可得 在以 为圆心，1为半径的圆上，
表示点 与点 的距离的平方，
即表示圆 上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方．
设 为y＝lnx上一点，且在 处的y＝lnx的切线与 和 连线垂直，可得
，
即有 ，
由 在 时递增，且 ，可得m＝1，即切点为 ，
圆心与切点的距离为 ，
由此可得 的最小值为 ．
故选：C．4．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，记 ，
则 的最小值为 ．
【答案】 /
【详解】设 ， ， ．
由题意知， 的最小值可转化为曲线 上的点 到
直线 上的点 的距离的平方的最小值．
易知，曲线 与直线 没有交点，则
当曲线 在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线 垂直时，两点间距离最小．
由 ，得 ，直线 的斜率 ，
令 ，解得 ，则 ，
所以点A到直线 的距离 ，
故M的最小值为 ．
故答案为： .
5．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）若 ，则
的最小值为 .
【答案】 /1.6/
【详解】 ， ，则 表示曲线 上的点与直线 上的点的距离的平方，
令 得 ，所以曲线 在 的切线方程为 ，
所以曲线 上的点与直线 上的点的距离的最小值即为直线 与
之间的距离，
即 , .
故答案为：
二、单调性问题
①已知单调区间求参数
1．（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知函数 在区间 上单调递增，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题可知， 在 上恒成立，
显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：D．
2．（2023春·吉林松原·高二长春市九台区第一中学校联考期末）已知函数 在 上
单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，
由 在 上单调递增，得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，，
即 在 上恒成立，
当 时，二次函数 取到最大值 ，
故 ，即a的取值范围为 ，
故选：C
3．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数 在区间 上单调递减，
则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 对 恒成立，即 恒成立，
当 时， ，
所以 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2023春·高二课时练习）已知函数 是区间 上的单调函数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】 ，令 ，则 或 ，
因为 是区间 上的单调函数，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
5．（2023春·高二单元测试）设函数 在区间 上是减函数，则 的取值范
围是 ．
【答案】
【详解】因 ，
，
若 ， ，当 时， ，符合题意，
当 时， 得
，因 ，
故 ，
由题意 在 上恒成立，
设 ， 则 在 上单调递减，
故
故 ， ，
综上 ，
故答案为：
②由函数存在单调区间求参数
1．（2023春·四川眉山·高二统考期末）若 在 上存在单调递增区间，则 的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 ，求导得 ，
因为函数 在 上存在单调递增区间，则不等式 在 上有解，
而 ，
当 时， ，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
2．（2023春·河北邯郸·高二校联考期中）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
若 在区间 内存在单调递增区间，则 有解，
故 ，令 ，则 在 单调递增，
，故 .
故选：D.
3．（2023春·山东泰安·高二统考期末）已知函数 在区间 上存在单调减区间，则
实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由已知 在 上有解，
即 在 上有解，
设 ，则 在 上恒成立，因此 在 上是增函数，
，
所以 ，故选：D．
4．（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数 在 上存在单调递增区
间，则 的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数 ，∴ ，
∵函数 在 上存在单调递增区间， ，即 有解，
令 , ,∴当 时， ， 即可．
故答案为:
5．（2023春·广西·高二校联考期中）若函数 在 存在单调递减区间，则a的取值范
围为 ．
【答案】
【详解】 ，等价于 在 有解，即 在 有解，
即 在 有解，所以 ，
令 ，
则 ，即 在 上是增函数，
∴ ，所以 .
故答案为： .
6．（2023·全国·高二专题练习）若函数 存在增区间，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【详解】 ，定义域为 ， ，
由题意可知，存在 使得 ，即 .
当 时， ，所以， ，因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
③已知函数在某区间上不单调求参数
1．（2023春·湖南湘潭·高二湘潭县一中校联考期末）已知函数 在 上不单调，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
当 时， 在区间 上单调递减，不符合题意.
当 ， 时， ，
在区间 上单调递减，不符合题意.
当 时，令 ，解得 ，
要使 在区间 上不单调，则 ，
即 ，解得 ,
此时 在区间 上 递减；
在区间 上 递增.
故选：B
2．（2023春·湖南岳阳·高二湖南省岳阳县第一中学校考期末）已知函数 在 上不是
单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得， 定义域为 ， .
若 ，则 恒成立，则 在 上单调递增，与已知不符，舍去；
当 时，由 可知， 或 （舍去）.
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；
当 时，有 ，所以 在 上单调递增.
由已知函数 在 上不是单调函数，
所以应有 ，所以 .
故选：A.
3．（2023春·四川自贡·高二统考期末）若函数 在其定义域的一个子区间 内不是
单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以，函数 的唯一极值点为 ，
因为函数 在其定义域的一个子区间 内不是单调函数，
则函数 在区间 上存在极值点，且 ，
所以， ，解得 .故选：A.
4．（2023春·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）函数 在 上不单
调，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
又因为函数 在区间 上不单调，所以 在 内有实数根，且无重根，
即 有两个不相等的实数根，且至少有一个实数根在区间 内，
①若 ，则 ， ，
方程 的两个实根0和4均不在区间 内，所以 ；
②若 ，则 ， ，
方程 在区间 内有实根 ，所以 可以为 ；
③若方程 有一个实根在区间 内，另一个实根在区间 外，
则 ，即 ， ；
④若方程 在区间 内有两个不相等的实根，
则： ，∴ ，
∴ ；
综合①②③④得 的取值范围是 ．
故答案为：
5．（2023春·陕西西安·高二统考期末）若函数 在 上不单调，则实数 的取值
范围为 .
【答案】
【详解】因为函数 在 上不单调，
所以 在 上有零点，即方程 在 上有根，即方程 在 上有根，
又函数 定义域为 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
6．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知函数 在定义域 上不单
调，则正整数 的最小值是 .
【答案】
【详解】函数 ，则 ，
因为n为正整数，当 时， ， 在 上存在递增区间；
若 在 上存在递减区间，即 有解，则 ，
所以 ，所以正整数 的最小值是 ．
故答案为： ．
④利用函数的单调性比大小
1．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，
， ，
所以令 ，则 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，又因为 ，所以 .
故选：A.
2．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
故当 时， ，则 ，所以 ，
因为 ，则 ，
当 时，证明 ，令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，故当 时， ，
所以当 时， ，则 ，所以 ，
所以 ，因此 .
故选：D.
3．（2023春·江西上饶·高二统考期末）已知实数： ， ， ，且 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
即 ，因此 ，即 ，又 ，
所以 ．
故选：D
