专题 03 函数的概念及其性质
【考点1 函数的定义域】
【考点2 函数的解析式】
【考点3 以分段函数为背景的问题】
【考点4 函数单调性的判断与证明】
【考点5 求函数的单调性】
【考点6 由单调性求参数的取值范围】
【考点7 利用函数单调性解决问题】
【考点8 函数奇偶性的判断】
【考点9 函数奇偶性的应用】
【考点10 函数图像的对称性】
【考点11 函数的周期性】
【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】
【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】
知识点1 函数的有关概念
1、函数的概念：一般地，设 是非空的数集，如果对于集合 中的任意一个数 ，按
照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的 和它对应，那么就称
为从集合 到集合 的一个函数，记作 .
2、函数的三要素：
（1）在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；
（2）与 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，
值域是集合B的子集．
（3）函数的对应关系： .
3、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量 取值的不同区间，有着不同的对应关系，
这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并
集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以
相交。
知识点2 函数的单调性
1、单调函数的定义
x ,x
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 1 2，
x <x f (x )<f (x )
当 1 2时，都有 1 2 ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
x <x f (x )>f (x )
当 1 2时，都有 1 2 ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
单调性的图形趋势（从左往右）
上升趋势 下降趋势
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只
能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
⊆
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3、函数单调性的性质
f (x) g(x)
若函数 与 在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
f (x) f (x)+C
（1） 与 （C为常数）具有相同的单调性.
f (x) −f (x)
（2） 与 的单调性相反.
（3）当
a>0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相同；当
a<0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相反.
f (x) f (x) √f (x)
（4）若 ≥0，则 与 具有相同的单调性.
a
（5）若
f (x)
恒为正值或恒为负值，则当
a>0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相反的单调性；a
当
a<0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相同的单调性.
f (x) g(x)
（6） 与 的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单
调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点3 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个x，都
偶函数 关于y轴对称
有 ，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有 ，那么函数 是奇函数
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1） 为奇函数⇔ 的图象关于原点对称； 为偶函数⇔ 的图象关于y轴对
称．
（2）如果函数 是偶函数，那么 ．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ，x∈D，其中定义域D是关
于原点对称的非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反
的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点4 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
正数就叫做 的最小正周期．
知识点5 函数的对称性
1、关于线对称若函数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别地，
当a＝b＝0时，函数 关于y轴对称，此时函数 是偶函数．
2、关于点对称
f 2ax2b f x
若函数 满足 ，则函数 关于点(a，b)对称，特别地，
当a＝0，b＝0时， ，则函数 关于原点对称，此时函数 是奇函
数
【考点1 函数的定义域】
1.以解析式形式给出的函数
分式的分母不为0;
偶次根式的被开方数大于等于0;
零次幂的底数不为0；
对数的真数大于0;
指数函数、对数函数的底数大于0,且不等于1
2.抽象函数
①已知函数f（x）的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的
取值范围;
②已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域是指x∈[a,b]时,g(x)的值域
1．已知
A={x|log x≥−1))
，
B={ x|y=❑√1−x2))
，则
A∩B=
（ ）
2
A． B． C．[1 ) D．[1 )
[1,2) (0,2) ,1 ,1
2 2
f (x)
2．已知函数y=f (2x−1)的定义域是[−1,3)，则y= 的定义域是（ ）
❑√x+2
A．(−2, 5) B．(−2, 3) C．[−1, 3) D．[0, 2)
1
3．函数f (x)= +log x的定义域为 ．
❑√1−x 3
f (x+2)
4．已知函数f (x)的定义域为[−3,3] ，则函数g(x)= 的定义域为 ．
x+2【考点2 函数的解析式】
(1)凑配法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便
得f(x)的表达式；
(2) 待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法.；
(3) 换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法,即令t=g(x),反解出x,代入原式可得
f(t),改写即得f(x)，此时要注意新元的取值范围；
(4) 方程思想:已知关于f(x)与f( )或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等
式组成方程组，通过解方程组求出f(x)；
(5) 赋值法:给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式.。
1．若f(❑√x+1)=x+❑√x，则f(x)的解析式为（ ）
A． B．
f(x)=x2−x f(x)=x2−x(x≥0)
C． D．
f(x)=x2−x(x≥1) f(x)=x2+x
2．若f [g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+1,则f(x)的解析式为 （ ）
A．3 B．3x C．3(2x+1) D．6x+1
【考点3 以分段函数为背景的问题】
【题型1 分段函数求值】
求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问
题，应由里到外依次求值.
1．已知函数 f(x)= { 2x,x≥0 )，则
f(f(−2))
=（ ）
log (−x),x<0
2
A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2
2．已知函数 f (x)= {−x2,x≤0,)若 f (a)+f (−1)=2 ，则 a= ．
log x,x>0.
2
3．已知函数 f (x)= {2x−1,x<0)，则 f ( f (3π)) =
sinx,x>0 2
4．已知函数 f (x)= { 2x,(x≥0) )，若 f (a)=4 ，则 a= .
x+2,(x<0)5．已知函数f (x)= { 2x,x<1 )，则 f (0)+f (1)= .
log (x+7),x≥1
2
【题型2 分段函数与方程，不等式】
(1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参。
(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值
(3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时,往往
要分类讨论求解;当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，
直接代入相应解析式求解
1．已知函数
f (x)=
{x2−2x,x<1,)，则不等式
f (x)≥
1
x−1
的解集为（ ）
lnx−1,x≥1, 2
A．( 1) B． C． D．
−∞, (−∞,1) (0,2) [2,+∞)
2
2．已知函数
f (x)=
{−2x+1,x≤1)，若
f (a)>3
，则
a
的取值范围是（ ）
x2−2x,x>1
A．(−∞,−1) B．(3,+∞)
C．(−1,3) D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
3．已知函数f (x)= { |2x−1),x≤0, )则不等式
f (x)≤1
的解集为（ ）
log (x+1),x>0,
3
A．[0,2) B．[0,1) C．(−∞,2) D．(−∞,1)
4．已知函数
f (x)=
{2x+2,x>1 )，若
f (a)=5−a
，则实数a的值为（ ）
4x+3,x≤1
2 2 2
A． 或2 B． 或1 C．1 D．
5 5 5
【考点4 函数单调性的判断与证明】
(1)用定义法证明函数单调性的一般步骤为:设元、作差变形、判断符号、得出结论;
(2)性质法:直接利用函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性，如“增十增”为增,
“增一减”为增,“减十减”为减,“减一增”为减;
(3)图象法:利用图象的上升或下降判断;
(4)导数法:利用导数值的正负确定函数的单调区间;(5)利用“同增异减”的规则判断复合函数的单调性.
1．若函数y=f(x)在(0,+∞)上是减函数，且0<x <x ，则下列选项错误的是（ ）
1 2
A．
f (x )>f (x )
B． f (x
1
)−f (x
2
)
<0
1 2 x −x
1 2
C．
(x −x )[f (x )−f (x ))<0
D．f (x
1
)−f (x
2
)
>0
1 2 1 2 x −x
1 2
ax
2．判断并证明函数f (x)= (a≠0)在(−1,1)上的单调性.
x−1
3．多选题设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论错误的是（ ）
1
A．y= 在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
|f(x)|
1
C．y=− 在R上为增函数 D．y=−f(x)在R上为减函数
f(x)
【考点5 求函数的单调性】
(1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法.
(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示，有多个单调区间应分开写，不能用
并集符号“U’连 接.
1．函数 的单调递增区间为（ ）
f(x)=|x2−6x+8)
A．(3,+∞) B．(−∞,2),(4,+∞)C．(2,3),(4,+∞) D．(−∞,2),(3,4)
2．函数y=log (x2−3x+2)的单调递减区间为（
）
1
3
A．(−∞,1) B．(−∞,2) C．(1,+∞) D．(2,+∞)
3．函数 的单调递减区间是（ ）
f(x)=❑√−x2−2x
A．[−1,0) B． [0,1) C． [2，+∞) D． (−∞，2)
1
4．函数y= x2−lnx的单调减区间是（ ）
2
A．(0,1) B．（−∞，−1）和(0，1) C．(−∞,1) D．
(0,1)∪(−∞,−1)π
5．函数y=−3sin ( 2x− ) 的单调递增区间是 .
6
6．已知函数 f (x)= { −2x+1,x<0 )，则 f (x) 的单调递增区间为 .
−x2+2x+1,x≥0
【考点6 由单调性求参数的取值范围】
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调
区间比较求参数:
(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域
内是单调的.
1．设函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是
f (x)=log (3+ax−x2) (2,3) a
2
.
2．若函数 f (x)=
{ x2−ax+ a
2
,x≥1,)
在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 .
(2a+4)x−5,x<1
3．若函数
f(x)=
{−x2+ax−a,x>2,)满足对任意的
x ≠x
，都有 f (x
1
)−f (x
2
)
<0
成立，
1−ax,x≤2. 1 2 x −x
1 2
则实数a的取值范围是 .
4．已知函数
f (x)=
{(1−3a)x+a+1, x<2)满足对任意的
x ≠x
，都有 f (x
1
)−f (x
2
)
<0
2ax, x≥2 1 2 x −x
1 2
成立，则实数a的取值范围为 .
【考点7 利用函数单调性解决问题】
【题型1 比较大小】
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质转化到
同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解.
1．已知函数f (x)=log 1 (x2−2x+3)−|x−1)，若 a=f (log 3),b=f ( sin 1) ,c=f ( e5 4)，
2 2 3
则a,b,c的大小关系为 .2．已知二次函数 满足 ，则 与 的大小关系是
f (x)=x2+bx+c f (1+x)=f (1−x) f (−1) f (4)
．
3．已知 f (x)=x2+cosx ，若
a=f
(
e
− 3
4
) ， b=f ( ln
5
4)， c=f ( −
4
1)，则a，b，c按从小到
大排列为： .
ln4 ln5.3 ln6
4．若a= 、b= 、c= ，则a、b、c的大小是 ．
4 5.3 6
【题型2 解不等式】
利用函数单调性解不等式的具体步骤:
(1)将不等式转化成f( )>f( )的形式;
(2)考查函数f(x)的单调性
(3)根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“ > ”或“ < ”的常规不等式,
从而得解!
1．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式
f (x) R x>0 f (x)=x3−8 (x−1)f (x)≤0
的解集为（ ）
A．[−2,2) B．(−∞,−2)∪[1,2)
C．[−2,0)∪[1,2) D．[−2,1)∪[2,+∞)
2．已知函数 ，若 成立，则实数 的取值范围为
f (x)=log (9x+9)−x f (a+2)≥f (2a−1) a
3
（ ）
A． B．[1 )
(−∞,3) ,3
3
C．[ 1 ) D．[ 1)
− ,3 −∞, ∪[3,+∞)
3 3
3．已知函数
f (x)=
{x2−2x,x<1,)，则不等式
f (x)≥
1
x−1
的解集为（ ）
lnx−1,x≥1, 2A．( 1) B． C． D．
−∞, (−∞,1) (0,2) [2,+∞)
2
4．已知f (x)是定义在区间[−2,2)上的增函数，且f (x−2)<f (1−x)，则x的取值范围是
．
【考点8 函数奇偶性的判断】
(1)定义法,先判断定义域是否关于原点对称,若不对称，即为非奇非偶，若对称，判断f(x)与
f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系
式(f(x)十f(-x)=0(奇函数)或fx)-f(-x)=0(偶函数)否成立.
(2)图象法,即利用奇、偶函数的对称性来判断,
(3)性质法,即利用在公共定义域内奇函数、偶函数的和、差、积的奇偶性来判断.
2.一些重要类型的奇偶函数模型
1．下列函数是偶函数的是（ ）.
A．y=sinx B．y=cosx C．y=x3 D．y=2x
2．下列函数为奇函数的是（ ）
A．f (x)=cosx B．f (x)=sinx+1
C．f (x)=tanxsinx D．f (x)=tanxcosx
3．已知函数 （a为常数），则（ ）
f(x)=aex−e−x
A．∀a∈R,f(x)为奇函数 B．∃a∈R,f(x)为偶函数
C．∀a∈R,f(x)为增函数 D．∃a∈R,f(x)为减函数
【考点9 函数奇偶性的应用】【题型1 求解析式（参数或值）】
1.利用奇函数的性质,可以得到与常数a相关的等式,然后求出a的数值,即可得出结果.2.利用
函数奇偶性可以解决的问题
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值，
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)士f(-x)=0得到关于参数的恒等式，由系
数的对等性得方程(组),进而得出参数的值.
(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象.
(5)求特殊值:利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值:
1．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则当 时，
f (x) R x≤0 f (x)=x2+x x>0 f (x)=
（ ）
A．x2+x B．−x2+x
C．x2−x D．−x2−x
2．已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
f (x) R x≥0 f (x)=2x+9x−1 x<0
f (x)等于（ ）
A．2−x−9x−1 B．2−x+9x+1 C．−2−x−9x−1 D．−2−x+9x+1
3．已知f (x)为定义域为R的奇函数，当x>0时，f (x)=2x−3；当x<0时，f (x)=
．
4．已知函数 是偶函数， 是奇函数，且 ，则
y=f (x) y=g(x) f (x)+g(x)=x3+2|x−1)+3
f (x)= .
【题型2 奇偶性与单调性】
1.利用奇偶性与单调性比较函数值大小的方法应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大
小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值
的大小作出比较
2.利用奇偶性与单调性解不等式的方法
先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子,然后根据函数的单调性列出不
等式(组)求解.列不等式(组)时,注意函数的定义域也是一个限制条件.
1．若关于 的函数 （ 且 ）是 上的偶函数，则下列说法正
x f (x)=ax+bx a,b∈R a>1>b>0 R确的是（ ）
A． (1) B． (1)
f (3)<f f (3)>f
3 3
C． (1) D．无法比较
f (3)=f
3
2．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=(x+1)(x−a)．若
∀x,y∈R，f(x+|y|)≥ f(x−|y|)，则a的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1] B．[−1,+∞) C．(−∞,0] D．[0,+∞)
3．已知函数f (x)的定义域为R，若f (x)是奇函数，且f (x)+f (2−x)≥2x，则下列结论中
一定正确的是（ ）
A．f (11)>240 B．f (12)<80 C．f (19)<180 D．f (20)>200
【题型3 函数的奇偶性与最值】
如果奇函数的最大值为M,根据其图象关于原点对称，可得它的最小值为-M.若函数图象关
于点成中心对称，则函数图象上的最大值点与最小值点也成中心对称。
1．函数f (x)=cos2x−4cosx是（ ）
A．奇函数，且最大值为5 B．奇函数，且最小值为−3
C．偶函数，且最大值为5 D．偶函数，且最小值为−1
2．已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， (1) x ，则 在 上
f (x) R x≤0 f (x)= −x+m f (x) [1,2)
2
的最大值为（ ）
A．−5 B．−2 C．5 D．6
4
3．若函数y=f (x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f (x)=x+ ，则函数y=f (x)在
x
(−∞,0)上的最大值为 .
4．已f (x)=3sinx+cos(x+φ)（0<φ<π）是奇函数，则f (x)的最大值为 ．
5．已知函数
x3+(x+1) 2
在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的值
f (x)= [−3,3) M N M+N
x2+1
为 ．【考点10 函数图像的对称性】
1.函数 y-f(x)的图象关于直线x=a对称 f(a十x)=f(a-x)或 f(2a+x)=f(-x).
2. 函数 y=f(z)的图象关于点(a,b)对称 f(2a-x)十f(x)=2b 或f(a-x)+f(a十x)=2b
3.函数 y=f(a+x)的图象与函数 y=f(b-x)的图象关于直线 x= 一对称
4.由奇偶性延伸所得对称性问题的常见结论；
(1)若函数y=f(x)为奇函数(或偶函数),则函数 y=f(x+a)的图象关于点(一a,0)对称(或关于直线
x=-a对称);
(2)若函数y=f(x+a)为奇函数(或偶函数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称(或关于直线 x=a
对称)
1．已知函数 ，则函数 的图象（ ）
f (x)=x3−x y=f (x+2)+2
A．关于点(−2,2)对称 B．关于点(2,−2)对称
C．关于直线x=2对称 D．关于直线x=−2对称
2．已知奇函数f (x)满足f (5)=1，且f (x−2)的图象关于x=3对称，则f (2025)等于（ ）
A．−1 B．1 C．0 D．3
3．已知奇函数f (x)的图象关于直线x=3对称，且f (−1)=5，则f (5)= .
【考点11 函数的周期性】
1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期
2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区
间上,进而解决问题
1．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=2，则（ ）
A．f(2)=0 B．f(10)=10
C．f(x)的最小正周期为2 D．x=1是曲线y=f(x)的一条对称轴
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=−f(x−1)，且f(x−1)是奇函数，则下列
结论错误的是（ ）
A．f(−1)=0 B．f(0)=f(2) C．f(−4)=f(4) D．f(11)=−1
3．已知函数f (x)的定义域为R，且对任意x∈R，满足f (x+1)−f (x−1)=x，且
f (1)=f (2)=1则下列结论一定正确的是（ ）
A．f (100)<2500 B．f (100)>2500
C．f (101)<2500 D．f (101)>2500【考点12 函数的奇偶性，对称性与周期性】
(1)周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及周期性进行转换
(2)函数 f(x)满足关系式 f(a+x)=f(b-x)表明的是国数的对称性，函数 f(x)满足关系式
f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系式时不要混淆
1．多选题设函数f (x)满足f (x+ y)−f (x−y)=−2f (x−1)f (y−1)，x,y∈R，且
f (0)≠0，则下列结论正确的是（ ）
A．f (−1)=0
B．f (x)的图象关于(0,0)中心对称
C．x=2025是函数f (x)的图象的一条对称轴
D．f (1)+f (2)+…+f (2025)=0
2．多选题设函数 ， ，以下说法正确的是（ ）
f (x)=x3−3x2 g(x)=a(x−2) 4+x2−4x
A．f (x)图象的对称中心为(1,−2)
B．若a=1，g(x)图象的对称轴为直线x=2
C．若a=1，g(x)有且仅有一个零点
D．若a=0，则f (x)与g(x)的图象有且仅有两个交点
【考点13 函数的对称性，周期性与的单调性】
函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，
通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调
区间进行转化，从而研究函数在整个定义域上的相关性质.
1．已知定义在R上的函数f (x)满足f (x−4)=f (−x)，且满足f (3x−1)为奇函数，则下列
说法正确的是（ ）
A．函数f (x)的图象关于直线x=2对称
B．函数f (x)的周期为2
C．函数 关于点( 1 )中心对称
f (x) − ,0
3D．f (2024)=0
2．多选题已知函数f (x)的定义域为R，且f (−x)=f (x)，f (x−2)=−f (−x)，当x∈[0,1)
时，f (x)单调递减，则下列说法正确的是（ ）
A．函数f (x)的图象关于直线x=−1对称 B．函数f (x−1)为奇函数
C． 2025 D． ( 4 )
∑ f (n)=0 f log >f (log 5)
381 4
n=1
3．多选题已知对任意 (1 ) (1 ) ，且 (1) ，
x,y∈R,f (x+ y)=f (x)f −y +f −x f (y) f =1
2 2 2
则（ ）
A． B． (3)
f (1)=0 f =1
2
C．
f (x)
的图象关于直线
x=
1对称 D． 2
∑
025
f
(k)
=507
2 2
k=1
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． ex−x2 B． cosx−x2 C． ex−x D． sinx−x
y= y= y= y=
ex+x2 x2+1 ex+x x2+1
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（ ）
1
A．f(x)=−lnx B．f(x)=
2x
1
C．f(x)=− D．f(x)=3|x−1|
x
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当
f(x)=a(x+1) 2−1 g(x)=cosx+2ax
x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）1
A．−1 B． C．1 D．2
2
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2
的最小值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．1
8 4 2
5．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数 f(x)=
{−x2−2ax−a,x<0)在R上单调递增，
ex+ln(x+1),x≥0
则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．[−1,0] C．[−1,1] D．[0,+∞)
6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象
f (x)=−x2+(ex−e−x)sinx [−2.8,2.8]
大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数f(x)的定义域为R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)
，且当x<3时f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
8．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数f(x)=x+lnx−4的零点所在的区间是（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
9．（2025·山东菏泽·二模）对于任意x∈R，xf (x+1)=(x+1)f (x)+1，且f (2)=3，则
f (2025)=（ ）
A．−1 B．1 C．2025 D．404910．（2025·海南·模拟预测）若函数
f
(x)={ x+1,x≤0, )的值域为
R
，则实数
a
的取值
log (x+2),x>0
a
范围是（ ）
A．(1,2) B．[2,+∞) C．（0，1） D．(0,1)∪(1,2)
11．（2025·浙江金华·三模）狄利克雷函数D(x)定义为：D(x)={1,x为有理数)
，以下
0,x为无理数
选项中正确的是（ ）
A．不存在a∈R，使得D(a+x)=D(a−x)恒成立
B．存在a∈R，使得D(a+x)+D(a−x)=1恒成立
C．对任意 ，满足
x ,x D(x )D(x )=D(x +x )
1 2 1 2 1 2
D．函数图象上存在三点A,B,C，使得△ABC是直角三角形
二、多选题
12．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，则（ ）
f(x)=2x3−3ax2+1
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
(1,f(1)) y=f(x)
13．（2025·河北石家庄·三模）已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，f (x+1)是定义在R
上的奇函数，则（ ）
A．f (x)的图象关于点(1,0)中心对称
B．f (x)是周期为2的函数
C．f (2027)=0
19
D．
∑f (i)=0
i=1
三、填空题
14．（2023·北京·高考真题）已知函数
f(x)=4x+log x
，则
f
(1)
=
．
2 2
