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易错易混03 函数的概念及其性质
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01 错点扫描・易错建模夯基石 ........................................................................................................1
02 易错归纳・查漏补缺避陷阱..........................................................................................................3
易错归纳01 抽象函数的定义域理解不当（★★★）...............................................................................3
易错归纳02 换元法求解析式忽略新元范围（★★★）...........................................................................5
易错归纳03 复合函数的单调性忽略定义域（★★★★）.......................................................................7
易错归纳04 分段函数的单调性（★★★★）.........................................................................................10
易错归纳05 函数的单调性结合奇偶性（★★★★★）.........................................................................14
易错归纳06 函数的周期性结合对称性（★★★★★）.........................................................................19
易错归纳07 函数性质的综合应用（★★★★★）.................................................................................26
03 实战检测・易错通关验成效........................................................................................................32
1、基本的函数定义域限制
①分式的分母不为零；
②偶次方根的被开方数大于或等于零：
③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
④零次幂或负指数次幂的底数不为零；
⑤三角函数中的正切
的定义域是
且
；
2、基本初等函数的值域
①
的值域是
.
②
的值域是：当
时，值域为
；当
时，值域为
．
③
的值域是
.
④
且
的值域是
.
⑤
且
的值域是
.
3、函数解析式的常见求法
法1：配凑法：已知
，求
的问题，往往把右边的
整理或配凑成只含
的式子，
然后用
将
代换.
法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数
可设为
，其中
是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出
即可.
法3：换元法：已知
，求
时，往往可设
，从中解出
，代入
进行换元.应用
换元法时要注意新元的取值范围.
法4：解方程组法：已知
满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还有其他未知量，如
(或
)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出
．
4、函数周期性的常用结论（
是不为0 的常数）
（1）若
，则
；
（2）若
，则
；
（3）若
，则
；
（4）若
，则
；
（5）若
，则
；
（6）若
，则
（
）；
5、函数对称性的常用结论
（1）轴对称：
①函数
关于直线
对称
②函数
关于直线
对称
.
（2）中心对称：
①函数
关于点
对称
；
②函数
关于点
对称
（3）函数的奇偶性和对称性的关系：
①若
为奇函数，则
关于
对称；
②若
为偶函数，则
关于
对称；
③若
为奇函数，则
关于
对称；
④若
为偶函数，则
关于
对称.
易错归纳01 抽象函数的定义域理解不当
【易错陷阱·避错攻略】
抽象函数的定义域
（1）函数的定义域是自变量x 的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x 的取值范围，函数y=f[g(x)]的
定义域也是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.
（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f 下的范围相同，在同一函数
作
用下，括号内整体的取值范围相同.
（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x 的取值范
围.
（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x 的取值范围为B，求φ(x)的取值
范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.
1．（24-25 高三下·河南郑州·开学考试）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式
，即可求函数
的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，由
，解得
，
故函数
的定义域为
.
故选：B
2．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的定义域，对于函数
，可得出关于
的不等式，即可解得函数
的
定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，即
，可得
，
故函数
的定义域为
，
对于函数
，有
，解得
，
所以，函数
的定义域为
.
故选：D.
3．（23-24 高三上·陕西渭南·月考）已知
的定义域为
，则函数
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知函数定义域、对数、分数的性质列不等式性质求定义域.
【详解】由题设
，则
，可得
，
所以函数定义域为
.
故选：A
4．已知函数
的定义域为
，则
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意求出
的定义域，结合函数
列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数
的定义域为
，即
，
故
，则
的定义域为
，
则对于
，需满足
，
即
的定义域为
，
故选：C
5．已知函数
的定义域和值域均为
，则下列说法错误的是（ ）
A．函数
的定义域为
B．函数
的定义域为
C．函数
的值域为
D．函数
的值域为
【答案】D
【详解】函数
中的x 需满足
，解得
，故函数
的定义域为
，故
A 正确；函数
中的x 需满足
，解得
，故函数
的定义域为
，故B 正
确；函数
和
的值域都为
，故C 正确，D 错误.
易错归纳02 换元法求解析式忽略新元范围
【易错陷阱·避错攻略】
常见的换元方法
（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形
式；
（2）整体代换：将所求表达式整体换元；
（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化
的过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一
元二次方程的问题。
1．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知
，则函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法令
，则
，将函数化成关于的函数，再将自变量改为
即得.
【详解】令
，则
，且
，
代入原式得
，
故
的解析式为
.
故选：C.
2．已知函数
，且函数
的定义域为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】D
【分析】根据配凑法求出
的解析式，并求出定义域判断得解.
【详解】由
，则
，
又函数
的定义域为
，即
，
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
3．已知
，则函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用换元法求得函数解析式，进而求出函数的值域.
【详解】设
，则
，则
，
因此
，
，
所以函数
的值域为
.
故选：C
4．（24-25 高三下·山东潍坊·开学考试）已知
，则
.
【答案】
【分析】利用换元法即可得到函数解析式.
【详解】令
，因为
，则
，
，
，
，
则
.
故答案为：
.
5．（24-25 高三上·河南南阳·期中）已知函数
在
上具有单调性，且
，则
.
【答案】
【分析】令
，则
，
中，令
，求出
，从而得到
，
从而求出答案.
【详解】令
，则
，
中，令
得
，故
，
显然
单调递增，且
，故
，
所以
，
.
故答案为：
.
易错归纳03 求复合函数的单调性忽略定义域
【易错陷阱·避错攻略】
求复合函数的单调性
（1）单调区间区间I 是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．
（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．
（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函
数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数
是减函数.
1．（24-25 高三上·广东广州·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数
有意义，则
，
即
，解得
或
，
函数定义域为
.
令
，则
，
在
上单调递减，
对称轴为
，开口向上，
在
上单调递减，在
上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知
的单调递减区间是
.
故选：D.
2．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得.
【详解】若
，则当
时，函数
单调递增，
又
，
函数
在
上单调递减，
若
，则当
时，函数
单调递减，
只有
时，才有可能使函数
在
上单调递减，
，解得
综上，实数
的取值范围是
故选：A
3．（23-24 高三上·江西南昌·月考）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求得
的定义域，再利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为
，则
，解得
或
，
所以
的定义域为
，
又
开口向上，对称轴为
，
在
上单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
的单调增区间为
.
故选：A.
4．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
的单调递增区间是 ．
【答案】
(或
)
【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.
【详解】函数
的定义域为
，
令
在定义域上为增函数，则
在
上单调递增，
由复合函数单调性的同增异减原则可得，当
1，即
时，函数
单调递增，
即函数
单调递增区间为
．
故答案为：
(或
)
5．函数
的单调增区间是 .
【答案】
【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性的判断方法，求函数的单调递增区间.
【详解】函数
有意义，
则
，即
，
所以
，
所以函数的定义域为
,
根据复合函数“同增异减”的判断方法，可知，求函数的单调递增区间，就是求定义域内
的单调
递增区间，即
所以函数的单调递增区间为
故答案为：
易错归纳04 分段函数的单调性
【易错陷阱·避错攻略】
分段函数的单调性
已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如
下：
类型1：函数
，在
上单调増递，则
满足两个条件：
(1)
在
上单调増递增；
(2)
在
上单调増递增；
(3)
.
类型2：函数
，在
上单调増递减，则
满足两性个条件：
(1)
在
上单调増递减；
(2)
在
上单调増递减；
(3)
.
1．（2025·山东威海·三模）已知函数
的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性可得，当
时，
，然后结合其值域为
，即可得到
的值域，
列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
在
单调递增，
在
单调递增，
所以当
时，
单调递增，则
，
又函数
的值域为
，
所以
时，函数
的值域要取到
的所有实数，
所以
，
当
时，即
时，函数
单调递增，
时，
，
当
时，
，即
，
所以
，即
的取值范围是
.
故选：C
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）若
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可.
【详解】若
为
上的增函数，则
，解得
，
故
的取值范围是
．
故选：A．
3．已知函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
的部分利用导数转换成不等式恒成立问题；
的部分利用二次函数的性质即可判定；分
段点处也要满足递减的性质，然后取交集即可得出答案.
【详解】因为函数
在
上单调递减，
所以当
时，
恒成立，则
；
当
时，由
在
上递减，
若
，
，合题意，
若
，则
，故
;
又分段点处也要满足递减的性质，所以
，解得
.
综上所述，
，
故选：C．
4．（2025·福建福州·模拟预测）若函数
的定义域和值域的交集为空集，则a 的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解.
【详解】由题意可得函数的定义域为
，
当
时，
，
要使得定义域和值域的交集为空集，则
，
又
时，
，
若
，则
，此时显然不满足题意，
若
，则
在
上单调递减，
，
故
，
所以
，解得
.
故选：B.
5．（2025·广东茂名·二模）已知函数
，若
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先讨论当
时，不等式转化为
，确定函数
在
时的单调性得
最值即可得此时
的取值范围，再根据此范围确定当
时，函数
的单调性，从而得最
值得
的取值范围，综合可得结论.
【详解】当
时，不等式
为
，即
，
因为
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
；
由于
，则当
时，函数
在
上单调递减，
所以
，解得
，所以
；
综上，
的取值范围是
.
6．（2025·广东广州·三模）若函数
有最大值，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】考虑
，函数的值域，结合
时，若
，不合要求，若
，
在
上
单调递减，进而得到不等式，及
时代入判断即可.
【详解】当
时，
，
当
时，
，
若
，
在
上单调递增，此时
没有最大值，
若
，
在
上单调递减，
要想函数有最大值，则
，解得
；
若
，
，函数有最大值1，符合题意；
故实数
的取值范围为
.
故选：A.
7．（24-25 高三上·北京东城·期末）已知函数
，其中
．若
在
上的值
域为
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分析可知
的最大值为
，且
，求得
，结合图像即可得结果.
【详解】当
时，
在
内单调递减，
则
，且
；
若
在
上的值域为
，
则
在
上的最值点在
内，
可知
的最大值为
，且
，可得
，
令
，解得
或
，
结合
的图像可知实数的取值范围是
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于定义域和值域的开闭问题，可知
在
上的最值点在
内，进而结合二次函数分析最值.
易错归纳05 函数的单调性结合奇偶性
【易错陷阱·避错攻略】
1、
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
2、
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号加绝对值）；
1．（23-24 高三上·河南周口·月考）设
是定义在
上的偶函数，且在
内是增函数，
又
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过分析函数的单调性结合
，即可得出不等式
的解集.
【详解】由题意，
在
中，函数是定义在
上的偶函数，且在
内是增函数，
∴
，函数在
单调递减，
∵
，
∴当
和
时，
，
故选：B.
2．（24-25 高三上·北京·月考）已知
是偶函数，它在
上是增函数．若
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由偶函数和单调性之间的关系，再结合对数函数的单调性求解即可；
【详解】由
是偶函数，在
上是增函数，
可得在
上为减函数，
又
，
所以
，
即
或
，
解得
或
，
所以
的取值范围是
，
故选：B.
3．（2025·河南·三模）已知
为定义在
上的奇函数，若
在
上单调递减，则满足不等式
的实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得
在
上单调递减，再根据奇函数性质将
化为
，结合定义域利用单调性得
，解不等式组即可解答.
【详解】因为
是奇函数，则
可化为
．
又
在
上单调递减且
是定义在
上的奇函数，所以
在
上单调递减．
则
，解得
或
，
即实数a 的取值范围是
．
故选：C
4．（24-25 高三下·云南·开学考试）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由奇偶性得到
，当
时，
，结合单调性，求出
，同理得到当
时，
，故
，
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，
，
所以
，
因为
在
上单调递减，当
时，
，
故
，
因为
是定义在
上的奇函数，故
在
上单调递减，
又
，当
时，
，
故
，
综上，
的解集为
.
故选：D
5．已知
是定义在
上的偶函数，若任意
且
时，
恒成立，且
，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件构造函数
，依次判断函数
的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为
，再利用
，将其化成
，即可利用单调性和奇偶性解决.
【详解】由
可得
，即
，
设
，则有
，因
，则
在
上单调递增，
又
是定义在
上的偶函数，
，故
为
上的偶函数.
由
可得
，
而
，即
，
由函数
的单调性和奇偶性，可得
，解得
.
故选：A.
6．（24-25 高三下·河北保定·月考）已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先判断
的单调性，令
，可得
为奇函数，原式等价于
，结合单调性与奇偶性得到
在
上恒成立，求出
，即
可得解.
【详解】因为
与
在定义域
上单调递增，
所以函数
在区间
上单调递增，
对于函数
，由
，
解得
，
所以函数
在
上单调递增，
当
时，
在区间
上单调递增，
所以函数
在区间
上单调递增，
令
，
，
则
，所以
为奇函数，
原式等价于
，进而得
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
令
，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，所以
，
所以
，故实数
的取值范围是
.
故选：D
7．（24-25 高三上·云南曲靖·期末）（多选题）设函数
对任意的x，
，都有
，函数
在
上单调递增，
，则下列选项正确的是
（ ）
A．
B．
是偶函数
C．若
，则
D．存在
，使得
【答案】ABC
【分析】通过赋值
，
，及
可判断AB，结合函数奇偶性及单调性，可判断CD；
【详解】
，
令
，可得：
，
所以
，
令
，可得：
，
所以
，A 正确；
令
，可得：
，
即
，偶函数，B 正确；
由
，可得：
，
由函数是偶函数及已知单调性可得：
，
易知
恒成立，由
，可得：
；C 正确；
由函数是偶函数且在
上单调递增可知其最小值为
，D 错误；
故选：ABC
8．（2024·山东·模拟预测）（多选题）已知定义在
上的函数
，满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．若
，则x 的取值范围为
【答案】BC
【分析】用赋值法先令
求得
，再令
即可求得
判断A；然后令
可判断奇
偶性判断B；任取
，则
，由
可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不
等式判断D.
【详解】对于A，在
中，
令
得
，因此
，
再令
得
，则
，故A 错；
对于B，令
得
，
所以
，
是偶函数，故B 正确；
对于C，设
，则
，
，
所以
，
在
上是增函数，
从而
，故C 正确；
对于D，
是偶函数，则
，又
在
上是增函数，所以
，
解得
且
，故D 错误.
故选：BC.
易错归纳06 函数的周期性结合对称性
【易错陷阱·避错攻略】
函数对称与周期性常用思路
（1）如果函数
有两条对称轴，则
一定是周期函数，周期为对称轴距离的2 倍.
（2）如果函数
有一条对称轴，一个对称中心，则
一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴
之间距离的4 倍.
（3）如果函数
有在同一水平线上的两个对称中心，则
一定是周期函数，周期为对称中心之间
距离的2 倍.
1．（2025·江西赣州·二模）已知函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数周期性的定义可得出
，再结合奇函数的定义可得出
的值，由此可得出
的值.
【详解】因为函数
是定义在
上且周期为
的奇函数，则
，
又因为
，所以，
，故
，
即
.
故选：B.
2．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知
为定义在
上的奇函数，且
也为奇函数，若
，
则
的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】根据双对称关系求周期，然后即可得解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
用
代替
得
，
又
为定义在
上的奇函数，所以
，
所以
，
是以4 为周期的周期函数，
因为
，所以
.
故选：D
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，
，
，则
（ ）
A．5
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得
，用
代替x，得
.
两式相加，得
，所以
，所以函数
是以6 为周期的周期函数.
因为
，所以
，又因为
，所以
.
又因为
，即
，解得
，
所以
.
故选：D.
4．（2025·山东青岛·三模）已知函数
的定义域为
，
，
，
则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】令
，得
，
为奇函数，令
，得
，进而得
周
期为4，可得解.
【详解】令
，则
，
为奇函数，
令
，则
为奇函数，
，
的周期为4，所以
.
故选：C
5．（2023·河南·模拟预测）已知
是定义在
上的函数，满足
，且满足
为奇
函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．函数
图象关于直线
对称
B．函数
的周期为2
C．函数
图象关于点
中心对称
D．
【答案】D
【分析】由
易得
图象关于直线
对称，再由
为奇函数，得到
图
象关于
对称，进而结合得到
，有函数
的周期为4 判断.
【详解】解：因为
满足
，所以
，
所以函数
图象关于直线
对称，
因为
为奇函数，
所以
，即
，
则函数
图象关于
对称，则
，
令
得
，
由
，得
，
所以函数
的周期为4，
所以
，
故选：D
6．关于函数
，给出下列三个命题：
①
是周期函数；②曲线
关于直线
对称；
③
在区间
上恰有3 个零点．④函数
的最大值为
．
其中真命题的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由
可判断①；由
可判断②；解方程
可判断③；将
转
化为一元二次函数并求其最大值可判断④.
【详解】因为
，所以
，
即
是
的一个周期，故①正确；
因为
，不满足对称轴的定义，
即
不关于直线
对称，故②错误；
因为
，令
，得到
，
解得
或
，又
，则由
可得
或
，
由
可得
，即
在区间
上恰有3 个零点，故③正确；
因为
，
又
，所以当
时，
取得最大值为
，故④正确.
故选：C
7．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且满足
为偶函数，
当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据条件确定函数的对称性和周期性，再利用待定系数法列方程组求出
，进而利
用对称性和周期性求
即可.
【详解】因为
①，
所以函数
的图象关于点
对称.
因为
为偶函数，所以
②，
则函数
的图象关于直线
对称.
由①②得
，则
，
故
的周期为4，所以
.
由
，令
，得
，即
③，
已知
，由函数
的图象关于直线
对称，
得
.
又函数
的图象关于点
对称，得
所以
，即
，所以
④，
联立③④解得
，
，
故当
时，
.
由
的图象关于点
对称，
可得
.
故选：A.
8．已知
奇函数，
恒成立，且当
时，
，设
，
则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．函数
为周期函数
C．函数
的图象既有对称轴又有对称中心
D．函数
在区间
上单调递减
【答案】D
【分析】推导出函数
是周期函数，可推导出函数
为周期函数，结合周期性可判断AB 选项；利
用函数的对称性可判断C 选项；求出函数
在
上的解析式，结合函数的单调性可判断D
选项.
【详解】因为函数
为奇函数，
恒成立，
则
，故
，
故函数
是周期为
的周期函数，
对于A 选项，
，
所以，函数
是周期为
的周期函数，
则
，
当当
时，
，则
，
，
所以，
，A 对；
对于B 选项，由A 选项可知，B 对；
对于C 选项，因为
，
所以，函数
的图象关于直线
对称，
又因为
，
所以，
，故函数
的图象关于点
对称，
因此，函数
的图象既有对称轴又有对称中心，C 对；
对于D 选项，当
时，
，
，
，
则
，
，
此时，
，
所以，函数
在区间
上不是减函数，D 错.
故选：D.
9．（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
都有
，且
，
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
为偶函数
【答案】AC
【分析】根据函数的对称性、奇偶性、周期性逐项判断即可.
【详解】∵
，则
的图象关于直线
对称，故A 正确，B 错误；
∵函数
的图象关于直线
对称，则
，又
，
∴
，则
，
即
，∴函数
的周期为8，
则
，故C 正确；
∵
，
所以
为奇函数，故D 错误．
故选：AC.
10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（多选题）已知函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4 是
的一个周期
B．
是偶函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由已知可得
关于点
对称，关于直线
对称，结合对称轴和对称中心可得周期，即可
判断
；根据函数奇偶性的定义即可判断
；由
，令
为
即可判断
；结合函数的
周期性即可判断
.
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，
所以
，即
，
用
代换上式中的
可得
，所以
关于点
对称，
因为函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
的图象关于直线
对称，即
，
又
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
所以函数
的周期为
，故
正确；
因为
，所以
，
因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
所以
，所以
是偶函数，故
正确；
因为
，所以
，
即
，故
正确；
因为
关于点
对称，
，
因为
，令
可得
，
又
关于直线
对称，所以
，
所以
，
所以
，故
不正确.
故选：
.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到
关于点
对称，关于直线
对称，结合对称轴和
对称中心推导函数的周期，过程中注意等价条件的转化.
易错归纳07 函数性质的综合应用
1．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，且y＝f(2x＋2)为奇函数．当x (0
∈
，1]时，f(x)＝
，则f(2 023)＝（ ）
A．1
B．－1
C．0
D．2
【答案】B
【详解】因为函数f(x)满足f(1－x)＝f(x＋1)，所以f(x)关于直线x＝1 对称，即f(2－x)＝f(x)
.
①因为y＝f(2x
＋2)为奇函数，所以f(－2x＋2)＝－f(2x＋2)，即f(－x＋2)＝－f(x＋2)
.
②由①②知f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x
＋2)＝－f(x＋4)＝－f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3).令x
＝1，则由②，得f(1)＝－f(3)＝1，所以f(2 023)＝f(3)＝－1.故选B.
2．（23-24 高三上·河北邯郸·月考）设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，
当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，
，结合
时，
，可判断
AB；求出函数的周期，进而可判断CD.
【详解】因为
为奇函数，
所以
，即
，
则
，所以
，
因为
为偶函数，
所以
，即
，
则
，故A 错误；
由当
时，
，得
，
则
，故B 错误；
，则
，
所以
，
所以
，故D 正确；
对于C，由
，得
，
若
为奇函数，则
也为奇函数，
令
，则
为奇函数，则
，
又
，矛盾，
所以
不是奇函数，即
不是奇函数，故C 错误.
故选：D.
3．已知函数
是
上的偶函数，
，当
时，
，则
（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．4 是
的一个周期
C．
在
上单调递减
D．
：
【答案】A
【分析】易得
为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.
【详解】由题知，
因为函数
是
上的偶函数，
所以
为奇函数，所以
对于A：因为
所以
，从而
所以
所以
的图象关于直线
对称，A 选项正确；
对于B：由A 知
所以
，从而
所以
是以8 为周期的函数，B 选项错误；
对于C：当
时，
为增函数，
又因为
为奇函数
所以
在
上单调递增，C 选项错误；
对于D：因为
所以
又
因为
在
上单调递增
所以
，D 选项错误；
故选：A.
4．已知定义在R 上的函数
的图象关于点
对称，
，且当
时，
．若
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由图象关于点
对称和
找到图象的对称轴和周期，再由
确定单调性，分别求出
，画出大致图象，最后数形结合求
出取值范围.
【详解】由
的图象关于点
对称可得
．
由
，可得
，
故函数
的图象关于直线
对称，
且
，得
的周期为2．
当
时，
，
单调递增，且
，则
，
，
画出
在一个周期内的大致图象如图所示：
当
时，结合图象可得
，即
．
故实数m 的取值范围为
．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据函数
的图象关于点
对称，
确定函
数的周期和对称轴.
5．（多选题）已知函数
的定义域均为
是偶函数，
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
是
的对称轴
【答案】ACD
【分析】根据函数的基本性质，理解抽象函数的基本性质，通过特殊值和换元法判断选项是否正确.
【详解】对A，
，令
，
，
解得
，所以A 正确.
对B，
是偶函数，
，
，
故
，
所以
是偶函数，B 错误.
对C，
①，
可得
， ①式带入得
，
所以
，即
，
所以C 正确.
对D，由C 选选项可知
，由B 选项可知
，
所以
，可知
是
的对称轴.
所以D 选项正确.
故选：ACD.
6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选题）已知对任意
，
且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】AC
【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，以及利用这些性质进行数
列求和逐步推导函数的各项性质，进而判断选项的正确性.
【详解】由题意得任意
，
，且
，
令
，则
，则
．
令
，则
，故A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，
故C 正确．
令
，则
，结合C 选项，得
，所
以有
，则
为奇函数．
又因为
的图象关于直线
对称，所以
是以2 为周期的函数，所以
，故B 错误．
令
，则
，
，故D
错误．
故选：AC．
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【答案】ABD
【分析】利用赋值法判断AB；利用周期、举反例判断CD；
【详解】令
，得
，
因为
，所以
，故A 对；
令
得
，
令
得
，故B 对；
由
得
，
所以函数
是周期为8 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，函数
是周期为8 的函数，
如
，则
，故C 错；
若x 为正整数，则
，
所以
，故D 对；
故选：ABD
8．已知定义在
上的函数
的图象关于点
对称，且
，当
时，
．若
，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得函数的对称性和周期性，再结合
时的函数解析式得单调性，数形结合求
的取值范围.
【详解】由
的图象关于点
对称，可得
．
由
，可得
，
故函数
的图象关于直线
对称，
且
，
所以2 是
的一个周期．
当
时，
，单调递增，
且
，则
，
画出
在
上的大致图象如图所示，
数形结合可得实数
的取值范围为
．
故答案为：
1．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由抽象函数定义域及对数型函数定义域构造不等式求解即可.
【详解】因为
中
，
所以函数
中
，即
，
所以
的定义域为
，
故选：B．
2．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令
，则
，
所以
，
所以
.
故选：A.
3．已知函数
，则
（ ）
A．在
上单调递增
B．在
上单调递减
C．在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
D．在区间
上单调递减，在区间
上单调递增
【答案】D
【分析】求函数
定义域，然后由复合函数单调性得到单调区间.
【详解】
，令
，解得
，
则
的定义域为
，
令
，当
时，
，
则
在
时单调递增，
当
时，
单调递减，
单调递减；
当
时，
单调递增，
单调递增．
故选：D.
4．（2024·河南·模拟预测）已知函数
满足：
，
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，得函数
的一个周期为12，利用周期性求值.
【详解】根据题意，
，显然
，所以
，
所以
，所以函数
的一个周期为12，
所以
.
故选：B.
5．设
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出函数解析式，再代入计算求出函数值即可.
【详解】因为
，
设
，所以
，化简得
，
所以
，
，
则
.
故选：A.
6．已知函数
在
上是单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
的单调性，可得
在
上是单调递减函数，求解即可.
【详解】因为
在
上是单调递减函数，
若
在
上是单调函数，则
是减函数，
所以
或
，所以
.
故选：D.
7．（23-24 高三上·河南信阳·月考）已知定义在
上的函数
单调递增，且对任意
恒有
，则函数
的零点为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】设
,可得
，根据单调性可得
，从而可求
，令
可求零点.
【详解】设
，则
，
方程等价为
，
令
，则
，
满足方程，
∵函数
单调递增，
∴值唯一，∴
，
由
得
，解得
，
故函数
的零点为
.
故选:B.
8．（2024·山西·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数.当
时，
，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．2
【答案】B
【分析】
首先根据题意，得到
，
，从而得到函数
的周期为
，再根据
求解即可.
【详解】因为函数
满足
，所以
关于
对称，
即
①.
又因为
为奇函数，所以
，
即
②.
由①②知
，
所以
，
即
，所以函数
的周期为
，
所以
，
令
，则由②，得
，
所以
.
故选：B.
9．（2025·黑龙江·二模）已知函数
（其中
且
），若对
，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先化简不等式，得到函数
单调性，再根据分段函数单调性性质求结果.
【详解】不妨设
，则由
得
，
令
，则
在
上单调递增，
因为
所以
，
故选：A
10．（23-24 高三上·海南·月考）已知
是偶函数，
，且当
时，
单调递增，则不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据题意可得
或
的解集，再分
和
两种情况求不等式的解集.
【详解】由题意可知，当
时，
，当
时，
，
当
或
时，
，
当
时，
，则
，由已知可得
，解得
，又
，所以
；
当
时，
，则
，
由已知可得
或
，解得
或
，又
，所以
.
综上，可得不等式
的解集为
.
故选：A
11．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，分类讨论，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】①当
时，
；
若
，则
，当
时，
；
若
，当
时，
取得最小值－3，即
；
若
，
，
，
，在
时单调递增，
；
②当
时，函数
的图象是一个二次函数，其对称轴为
；
若
，则
在
上单调递减，
；
若
，
；
若
，则
在
上单调递增，
；
因为函数
的值域为
，
当
时，
在
时最小值为
，
在
时
，不满足值域为
；
当
时，
，
，
，不满足值域为
；
当
时，
在
时
，
在
时
；
为使值域为
，需满足
，解得
.
综上，
.
故选：D.
12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R 上的函数
满足
．若
的图象关于点
对称，且
，则
（ ）
A．0
B．50
C．2509
D．2499
【答案】D
【分析】由
图象的对称中心得
图象的对称中心，由
，构造函数
，求出
图象的对称性和周期，由
求值即可.
【详解】因为
的图象关于点
对称，所以
，
即
，从而
，
则
的图象关于点
对称．
由
，可得
．
令
，得
，则
的图象关于直线
对称．
，
则
的图象关于点
对称，则有
，
所以
，
，
两式相减得
，故
是以4 为周期的函数．
因为
，
，
，
，
所以
．
故选：D.
13．（2024·新疆·二模）设
是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，在区间
上单调递减，且满足
，
，则不等式组
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得
，则函数
关于直线
对称，
据此可得
在
上递增，且
，
，则进而分析
可得答案．
【详解】根据题意，
为周期为2 的偶函数，
则
且
，
则有
，
则函数
关于直线
对称，
又由
在区间
上单调递减，且
，
，
因为周期为2 得
，
，
又
关于直线
对称，则
，
则
在
上递增，且
，
，
则
，即不等式组的解集为
.
故选：D．
14．（23-24 高三上·山东淄博·期中）已知函数
是R 上的偶函数，
，当
时，
，则（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．4 是
的一个周期
C．
D．
【答案】A
【分析】易得
为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.
【详解】
函数
是R 上的偶函数,
，
当
时，有
，当
时，
，
故
为奇函数，
对于A：
，
，
从而
，
，
即
的图象关于直线
对称，A 正确；
对于B：
，
即
，
，
，
是以为周期的函数，
若
周期为4，则
，但
，故B 错误；
对于C：
，C 错误；
对于D：当
时，
均为单调递增函数，
在
上单调递
增，
又
为奇函数，
在
上单调递增，
又
，
，D 错误.
故选：A.
15．已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列正
确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是周期函数
C．当
时，
D．当
时，
【答案】D
【分析】对于A,令
，得
，令
， 将
变换为
，得到
判定；对于
B，先证明
是增函数，可得
不是周期函数判断；对于C，D 运用单调性可判断.
【详解】对于A,令
，则
，得
，令
，得
，由
整理可得
.
将
变换为
，则
，故
，故
，故
是奇
函数，故A 错误.
对于B，,设
，则
，
且
，故
，则
.
又
是奇函数，故
是增函数，可得
不是周期函数，故B 错误.
对于C，
时
，故C 错误；
对于D，
时，
.故D 正确.
故选：D.
16．（2024·广西·模拟预测）（多选题）已知函数
是定义域为
的奇函数，
，若
，
，则（ ）．
A．
的图像关于点
对称
B．
是周期为4 的周期函数
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解.
【详解】对于A，由
，得
，
当
时，可得
；当
时，
，也满足
；
故
,故
是周期为4 的周期函数，
而
为
上的奇函数，故其对称中心为
，故
也是
的对称中心，故AB 正确.
对于C，显然
，故C 正确；
对于D，由
是定义域为
的奇函数，得
，
又
，于是
，
因此
，
所以
，故D 正确．
故选：ABCD．
【点睛】思路点睛：对AB 选项，根据题设的对称性可得函数的周期为4，从而可判断它们的正误.对C 选
项，结合条件代入运算得解；对D 选项，求出
，利用函数周期性运算判断.
17．（多选题）设函数
的定义域为R，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的图象关于点
对称
【答案】AC
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理可得
的周期，结合已知函数求出
，再逐项分析
判断.
【详解】由
为奇函数，得
，即
，
则
，由
为偶函数，得
，则
，
于是
，函数
是周期函数，一个周期为4，
由
，得
，由
，得
，
由
，得
，于是
，解得
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，B 错误；
对于C，由
，得
，
为偶函数，C 正确；
对于D，
，
的图象关于点
对称，D 错误.
故选：AC
18．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合对数函数的定义及性质列出不等式组求出定义域.
【详解】由函数
的定义域为
，得
，则
，
在
中，
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
19．函数
的单调增区间为 .
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，然后换元，求出内层函数的单调区间，再利用复合函数“同增异减”的性
质，可求得答案
【详解】函数
，
所以定义域为
，解得
或
，
令
（
或
），则
，
因为
在
上单调递增，而
在定义域内为增函数，
所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数
的单调递增区间为
故答案为：
.
20．（2024·宁夏银川·一模）已知
是偶函数，
在
上单调递增，
，则不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】首先得出
的对称性结合
的单调性可得
的符号变化情况，由此可通过列表法求解.
【详解】由题意
是偶函数，所以
的对称轴是
，
因为
在
上单调递增，所以
在
上单调递减，
又
，所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
由对称性当
时，
，当
时，
所以
的符号随
的变化情况如下表：
-
+
+
+
+
+
-
+
-
+
-
+
所以由上表可知不等式
的解集为
.
故答案为：
.
21．（24-25 高三上·四川绵阳·月考）若函数
，则
的解集为
【答案】
【分析】先构造函数
，通过分析
的奇偶性与单调性，再结合已知条件求解不等式
的解集.
【详解】构造函数
并分析其性质，
设
，其定义域为
.
判断奇偶性：
.
对
进行变形，
.
所以
，则
是奇函数.
判断单调性：
对于
，因为
在
上单调递增，
且对数函数
在
上单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，
可知
在
上单调递增.
对于
在
上单调递增，
在
上单调递减，
则
在
上单调递增.
所以
在
上单调递增.
将
进行转化，
已知
，则
.
所以
可转化为
，即
.
因为
是奇函数，所以
.
又因为
在
上单调递增，所以
.
移项可得
，即
，解得
.
故
的解集为
.
故答案为：
.
22．（23-24 高三上·上海普陀·期末）已知
己函数
的最大值为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】同一坐标系中画出
和
的图象，然后根据图象分
讨论求解即可.
【详解】由题意，
设
，则
，即函数
在R 上为奇函数，
又当
时，
，当且仅当
时等号成立，
由对勾函数的单调性可得函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
故
设
，则
，
令
，解得
同一坐标系中画出
和
的图象如下：
由图可知，当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标
系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论.
23．（24-25 高三上·河北衡水·月考）若定义在
上的函数
满足：对任意的
，都有：
，当
时，还满足：
，
则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】先用赋值法得到
，
，判断出函数
为偶函数，然后利用
判断单调性，最后分类讨论计算
的解集即可.
【详解】因为对任意的
，都有：
令
，可知
令
，可知
令
，得
故函数
为偶函数，
令
要使
则
显然函数
为偶函数；
因为当
时，
得
所以当
时函数
单调递减，
此时
也单调递减
因为需要
故
因为
为偶函数
所以当
时，
的解为
故不等式
的解集为
故答案为：
【点睛】做一些抽象函数相关的习题时，我们一定需要去找抽象函数的一些性质，如单调性、奇偶性、对
称性、周期性；然后再利用他们的关系来求解；通常还需要用赋值法得到一些函数值.
24．已知定义在R 上的偶函数
满足
.若
，且
在
单调递增，则
满足
的x 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可知，
是周期为
的周期函数，
的最小正周期为8，结合
与
的单调性，易知在一个周期内，由
，可得
，再结合周期求出范围即可.
【详解】因为
是偶函数，所以
，
由
，可得
关于
对称，
因为
，所以
，
则
，
因为
是偶函数，所以
，
因为
，所以
，
则
，
所以函数
是周期为
的周期函数.
因为
是偶函数，且在
单调递增，所以
在
单调递减，
令
中
，则
，则
，
又因为
关于
对称，所以
在
上单调递增，
上单调递减，
结合函数
是周期为
的周期函数，
综上可得
在
，
上单调递增，
，
上单调递减.
因为
的最小正周期为
，结合
图象可知，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
令
中
，则
，则
，
当
，又
，所以
，
当
，又
，所以
，
所以当
时，
，解得
.
又因为
与
均为周期函数，且8 均为其周期，
所以
的x 的取值范围是
.
故答案为：
.
