专题2.2 函数的概念及其表示（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 求函数值】..................................................................................................................................................1
【题型2 具体函数的定义域】..................................................................................................................................2
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】..............................................................................................................2
【题型4 函数值域的求解】......................................................................................................................................3
【题型5 同一函数的判断】......................................................................................................................................3
【题型6 求函数的解析式】......................................................................................................................................4
【题型7 分段函数及其应用】..................................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 求函数值】
1．（2026·河北·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为(0,+ ∞)，∀x>0，y >0，都有f (xy)= f (x)+ f ( y)，
且f(
1
4)=−1，则f (64)=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（25-26 高一上·山东滨州·期末）已知函数f ( x)满足对于任意实数x，y 都有f ( x + y)= f ( x)f ( y)，且
f (4)=16，则f (3)=（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
3．（25-26 高一上·云南红河·阶段检测）已知函数f (x)满足∀x，y ∈R，yf (x)−xf ( y)= x−y，且
f (0)+ f (1)=0，则f (2)=（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．（2026·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数f (x)满足f (x + f ( y))= f (x)+ y，且有f (1+ f (1))=2
，则（ ）
A．f (2024)>2024
B．f (2025)>2025
C．f (2025)<2024
D．f (2024)<2025
【题型2 具体函数的定义域】
5．（25-26 高一上·宁夏吴忠·期末）函数y =
❑√x
2−2 x−3
的定义域为（ ）
A．(−1,3)
B．[−1,3)
C．(−∞,−1)∪[3,+∞)
D．（3，4）
6．（25-26 高一上·山西阳泉·期末）函数f (x)= ❑√2 x−3+
1
x−3
的定义域为（ ）
A．[
3
2 ,+ ∞)
B．(−∞,3)∪(3,+∞)
C．[
3
2 ,3)∪(3,+∞)
D．(
3
2 ,3)∪(3,+∞)
7．（25-26 高一上·河北沧州·期末）函数f ( x)= (2 x−1)
0
❑√2−x
的定义域为（ ）
A．(−∞,2]
B．(−∞,2)
C．(−∞, 1
2)∪(
1
2 ,2)
D．(−∞, 1
2)∪(
1
2 ,2)
8．（25-26 高一上·天津·期末）已知函数f (x)=
❑√x−1
2−x +ln(3−x)，则f (x)的定义域为（ ）
A．（1,3）
B．[1,2)∪(2,3)
C．(−∞,1)∪(3,+∞)
D．(−3,1)∪(1,2)
【题型3 抽象函数、复合函数的定义域】
9．（25-26 高一上·江西南昌·期末）已知函数f (x)的定义域为[4,11)，则函数g(x)= f (x +1)
x−10
的定义域为
（ ）
A．[3,10)
B．(10,12)
C．[5,10)
D．[5,10)∪(10,12)
10．（25-26 高一上·江苏南通·期中）已知f (x)= ❑√x +1+ ❑√3−x，则函数g(x)= f (x +1)的定义域是（ ）
A．[0,2)
B．[0,4)
C．[−2,2)
D．[−1,3)
11．（25-26 高一上·安徽六安·期中）已知函数f (x)的定义域为[−1,5)，则函数g(x)= f (2 x−1)
x−1
的定义域
为（ ）
A．[0,3)
B．[−3,9)
C．[0,1)∪(1,3)
D．[−3,1)∪(1,9)
12．（25-26 高一上·山东德州·期中）若函数f (x)的定义域为[0,6)，则函数g(x)= f (3 x)
❑√x−1
的定义域为
（ ）
A．[1,2)
B．(1,2)
C．(1,18)
D．[1,18)
【题型4 函数值域的求解】
13．（25-26 高一上·江苏苏州·期中）函数y =1−x + ❑√1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．[0,+ ∞)
C．[
1
2 ,+∞)
D．(
1
2 ,+∞)
14．（25-26 高一上·浙江·阶段检测）函数y = 3 x
2−3 x + 4
x
2−x +1
的值域为（ ）
A．(−∞, 13
3 )
B．(3, 13
3 )
C．(0, 13
3 )
D．[3, 13
3 )
15．（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）取整函数（也叫高斯函数）f (x)=[ x ]的函数值表示不超过实数x
的最大整数，例如，[−3.5]=−4，[2.1]=2，[3]=3，[−2]=−2，则函数g(x)= x−[ x ]，其中
x∈[−5,5]的值域为（ ）
A．[0,1)
B．(0,1)
C．(−1,0)
D．(−1,1)
16．（25-26 高一上·辽宁朝阳·期末）函数f (x)= ❑√x−1−2 x的值域为（ ）
A．(−∞,−5
2)
B．(−∞,−7
4)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−15
8 )
【题型5 同一函数的判断】
17．（25-26 高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．f (x)=
3√x
3与g(x)=
5√x
5
B．f (x)=|x)与g(x)=
❑√x
2
C．f (x)=2 x
0与g(x)= 2
x
0
D．f (x)= x
2−2ax−1与g(a)= x
2−2ax−1
18．（25-26 高一上·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（ ）
A．f ( x)=1，g( x)= x
0
B．f ( x)=| x +1|，g(t )=|t +1|
C．f ( x)=
❑√x
2，g( x)= x
D．f ( x)= x +1，g( x)= x
2−1
x−1
19．（25-26 高一上·贵州铜仁·期末）下列函数中，与函数y = x是同一个函数的是（ ）
A．
y =(
3√x)
3
B．y =
❑√x
2
C．y = x
3
x
2
D．y =(❑√x)
2
20．（25-26 高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（ ）
A．f (x)= x，g(x)=(❑√x)
2
B．f (x)=|x)，g(x)={
x , x ≥0
−x , x<0)
C．f (x)=2，g(x)= x
0+1
D．f (x)= x
2，g(x)=( x−1)
2
【题型6 求函数的解析式】
21．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知一次函数f ( x)满足f (2 x−1)+ f ( x +1)=2( x−3)，则（ ）
A．f ( x)= 2
3 x−3
B．f ( x)= 3
2 x−3
C．f ( x)= 2
3 x +3
D．f ( x)= 3
2 x +3
22．（25-26 高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知f ( x−1)= x
2+ x−2，则函数f ( x +1)的解析式为（ ）
A．f ( x +1)= x
2+5 x +1
B．f ( x +1)= x
2+3 x
C．f ( x +1)= x
2+5 x + 4
D．f ( x +1)= x
2+3 x +6
23．（25-26 高一上·全国·课后作业）若f ( x)是一次函数，2f (2)−3 f (1)=5，2f (0)−f (−1)=1，则
f ( x)=（ ）
A．3 x +2
B．3 x−2
C．2 x +3
D．2 x−3
24．（25-26 高一上·浙江·期中）已知f (❑√x +1)= x−1，则函数f (x)的解析式为（ ）
A．f (x)= x
2−2 x
B．f (x)= x
2−1（x ≥1）
C．f (x)= x
2−2 x +2（x ≥1）
D．f (x)= x
2−2 x（x ≥1）
【题型7 分段函数及其应用】
25．（25-26 高一上·江西吉安·期末）已知函数f (x)={
2 x−3, x ≥1
x
2+2, x<1 )
，则f (f (0))=（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．3
26．（25-26 高一上·江西宜春·阶段检测）已知函数f ( x)={
0, x<1
x +1,1≤x<2
−x
2+5, x ≥2)
，若f (f (a))=1，则a=（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
27．（25-26 高一上·新疆克拉玛依·期末）已知f (x)={
x
2−3 x , x ≥0.5
1
2 x−1 , x<0.5)
，则f (f (1))=（ ）
A．−1
5
B．−2
C．1
D．10
28．（2026·天津和平·二模）已知函数f (x +1)={
−x ,
x<−1
x ,
x ≥−1)，则不等式x + xf (x)≤1的解集是（ ）
A．{x|x ≤1))
B．{x|−1≤x ≤1))
C．{x|x ≤❑√2−1))
D．{x|−1≤x ≤❑√2−1))
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（25-26 高二上·贵州遵义·阶段检测）函数f (x)=
3
x−1 + ❑√4−x的定义域是（ ）
A．(1,4)
B．(−∞,1)∪(1,4)
C．(1,4)
D．(1,4)∪(4 ,+∞)
2．（25-26 高一上·陕西西安·期末）设集合P ={x∣0≤x ≤4},Q ={ y ∣0≤y ≤4}，则下列图象能表示从集
合P到集合Q的函数关系的有（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高一上·江西九江·期末）已知函数f (x)={
x +2, x ≤0,
x + 1
x , x>0,)
若f (f (a))=2，则a=（ ）
A．−2或1
B．−1或0
C．−2或0
D．−2或−1
4．（2026·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,+∞)的函数是（ ）
A．f ( x)= ❑√x
B．f ( x)= ln x
C．f ( x)=2
x
D．f ( x)= tan x
5．（2026·山西·模拟预测）已知函数f (x)=
1
1−❑√x
，则f(
1
2
2)f(
1
3
2)⋅⋅⋅f(
1
9
2)=（ ）
A．9
2
B．5
C．9
D．10
6．（25-26 高一上·江苏无锡·阶段检测）若函数f ( x)=
1
❑√−k x
2−2kx +3
定义域为R，则k 的取值范围为
（ ）
A．−3<k <0
B．−3≤k <0
C．−3≤k ≤0
D．−3<k ≤0
二、填空题
7．（25-26 高一上·陕西榆林·阶段检测）已知函数f (❑√x−2)= x−4 ❑√x +5
，则f (x)的解析式为
__________.
8．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)= 1−x
1+ x
，且f (a)=2，则a=__________.
9．（25-26 高一上·湖北·阶段检测）已知函数y = f ( x)的定义域为[−3,2]，则函数y = f (2 x +1)
x +1
的定义域
为__________．
10．（25-26 高一上·新疆喀什·期末）已知函数f ( x)={
−x
2+2, x ≤1
x + 1
x −1, x>1)
则f(f(
1
2))=__________．
11．（2026·广东梅州·模拟预测）已知函数f (x)= ❑√2k x
2+kx + 3
4
的定义域为实数集R，则实数k的取值范
围为__________.
12．（2026·广东梅州·模拟预测）函数f : R→R满足∀x , y ∈R ,f (x + f ( y))= f (f (x))+ y，且
f (1)=2026，则f (2026)=___________．
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2026·河北·模拟预测）已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x +2)−f (x)≤2 x ,f (x + 4)−f (x−2)≥6 x
，且f (1)= f (2)=1，则（ ）
A．f (20)>181
B．f (20)<181
C．f (21)>200
D．f (21)<200
2．（2026·四川自贡·三模）已知函数f (x)的定义域为R，∀x，y ∈R，f (x)= f (x−y)f ( y)，且f (1)=2
，则（ ）
A．f (0)=0
B．f (−1)=−2
C．f (x +1)<f (x)
D．f (x +2)+ f (x)>2f (x +1)
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知{x)表示不小于x 的最小整数，如{3.2)= 4，{−3.2)=−3，已知定义在
R 上的函数f (x)满足∀x，y ∈R，f (x + f ( y))= f (f (x))+ y，且f (0)= 1
2
，则{f (2025))=（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
4．（2026·浙江温州·三模）已知函数f (x)的定义域为R，∀x，y ∈R，f (x)f ( y)= f (x + y)，且
f (1)= 1
2
，则（ ）
A．f (0)=0
B．f (−1)=−1
2
C．f (x +1)<f (x)
D．f (x +2)−f (x +1)<f (x +1)−f (x)
二、填空题
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知定义在区间[0,+∞)上的函数y = f (x)满足下列三个条件：
对任意的
①
x>0, y >0，总有f ( x + y)= f ( x⋅f ( y))⋅f ( y)成立；
②f (2)=0；
当
③
0< x<2时，总有f ( x)≠0，
那么，f (3)+ f(
1
2)=____________.
三、解答题
6．（25-26 高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域.
(1)已知函数f (x)= ❑√1−x + ❑√x +3，求函数f (x)的定义域；
(2)已知函数f (3 x +1)的定义域为(−1,6)，求f (2 x−5)的定义域.
7．（2026 高一上·河南安阳·专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知函数f (x)满足：f (❑√x +1)= x +2❑√x +1；
(2)已知一次函数f ( x)在R上满足：f [ f ( x)]= 4 x +6；
(3)已知函数f ( x)满足：2f ( x)−f (−x)= x +1.
8．（25-26 高一上·陕西·开学考试）对实数x，用⌊x ¿¿表示不大于
“
x的最大整数，用
”
⌈x ¿¿表示不小于
“
x
的最小整数．例如
”
⌊2¿¿= ⌈2¿¿=2,⌊−1.5¿¿=−2,⌈−1.5¿¿=−1．
(1)若⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿=−4，求x的值．
(2)若⌊x ¿¿+2⌈x ¿¿=14，求x的取值范围．
(3)记f ( x)= ⌊x ¿¿+ ⌈x ¿¿，是否存在实数x，使得f (x)+ f (2 x)+ f (3 x)+ f (4 x)=2025？若存在，求x的
值或取值范围；若不存在，请说明理由．
C 组 真题·实战演练
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为D，则“f ( x)的值域为R 是对任意
”
“
M ∈R，存在
x0∈D，使得|f (x0))> M 的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)的定义域为R，f ( x)>f ( x−1)+ f ( x−2)，且当x<3时
f ( x)= x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f (10)>100
B．f (20)>1000
C．f (10)<1000
D．f (20)<10000
二、填空题
3．（2024·上海·高考真题）已知f (x)={
❑√x , x>0
1, x ≤0 ,)则f (3)=___________．
4．（2024·上海·高考真题）已知f ( x)= x
2, g( x)={
f ( x), x ≥0
−f (−x), x<0)
，求g( x)≤2−x的x的取值范围
_______.
