文档文本内容
第 01 讲 平面向量的概念及线性运算
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 平面向量的概念与表示.............................................................................................................2
题型02 向量的几何表示.........................................................................................................................2
题型03 相等向量及其应用.....................................................................................................................3
题型04 平面向量线性运算 ...............................................................................................................3
题型05 根据向量的线性运算求参数 ...............................................................................................4
题型06 平面向量共线定理与点共线问题 ........................................................................................4
题型07 平行向量（共线向量）求参数 ...........................................................................................5
重难·创新演练........................................................................................................................................................5
真题·实战演练........................................................................................................................................................7
模拟·基础演练
考查重点：侧重平面向量相关概念辨析、几何表示、线性运算以及向量共线定理的应用，结合几何
图形考查向量运算与参数求解。
题型01 平面向量的概念与表示
1.关于非零向量 ， ，下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 ， 不是共线向量
2．若向量 与 方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．“ ”的充要条件是 且
C．若 与 共线， 与 共线，则 与 共线 D．向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
4．（25-26高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．平行向量一定是共线向量
C．两个单位向量的和一定不是单位向量 D．若 ， 是不共线向量，则向量 ， 都是非零向量
题型02 向量的几何表示
5..如图，四边形 是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向
量的起点和终点，与向量 同向且长度为 的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）
6.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东 方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东
方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西 方向行驶2km才到达B地．（1）在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；
（2）求B地相对于A地的位移．
题型03 相等向量及其应用
7．设 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A． B． C． D． 且
8．若在四边形 中，满足 ，且 ，则四边形 的形状一定是
（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
9.如图，点O是正六边形 的中心，分别写出图中
（1）与 相等的向量；（2）与 平行的向量；（3）与 模相等的向量；(4) 的负向量．
题型04 平面向量线性运算
10．（25-26高三上·江苏·期中）在 中， ，设 ，则 （
）A． B． C． D．
11．（2026·河南安阳·阶段检测）已知平行四边形 的对角线的交点为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．在 中， 是 边上的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
13.在 中， ，记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14.在平行四边形 中， ， ，记 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型05 根据向量的线性运算求参数
15．如图，在平行四边形 中， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．（25-26高三上·云南·阶段检测）在平行四边形 中， ，则
______．
17．（25-26高三上·四川雅安·阶段检测）在 中， 是 边上靠近 的一个三等分点，若 与平行，则实数 __________．
18．（25-26高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在 中， 是 的中点，点N在边 上，且
， 与 相交于点 ，设 ，则 _________； _________.（注：用
和 来表示）
题型06 平面向量共线定理与点共线问题
19．已知 ， ， （ 和 不共线），则三点共线（ ）
A． B． C． D．
20．已知非零向量 ， 不共线，若 ， ， ，且A，C，D三点共线，则
．
题型07 平行向量（共线向量）求参数
21．若向量 ， 不共线，且向量 ， 同向共线，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D． 或
22．已知 ， 为不共线向量， ， ，若 ， 为共线向量，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
23．（25-26高三上·河北沧州·期中）（1）设 ， 是不共线的两个向量，如果 ，
， ，求证： 三点共线；
（2）若 与 不共线，且 与 共线，求实数 的值.重难·创新演练
设题创新: 融入生活实物、特殊多边形等新颖情境，设置新定义题型，结合不等式、动点、圆等知
识综合设问。
1．以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．设 和 是两个非零向量，定义向量 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．【新情境】纸风车体现了数学的对称美，如图是一个纸风车示意图，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知半径为1的圆O的内接正十二边形的顶点依次为 ， ， ，…， ，P为圆O内的任意动点
（不包含边界），若 ，则 （ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
5.已知a是单位向量，向量b满足|a-b|=3，则|b|的最大值为（ ）
A.2 B.4 C.3 D.1
6．【新融合】（25-26高三上·安徽宿州·阶段检测）在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交
射线 ， 于不同的两点 ， ．设 ， （ ， ），则 的最小值（ ）
A．2 B．4 C． D．8
7.（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量 ，则
C．若向量 ， 满足 ，则 或
D．若非零向量 与 共线，则 ， ， 三点共线
8. （多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且⃗AP=⃗AB+λ⃗AF，λ∈R，则下列
说法正确的是（ ）
A.△PCD的面积为定值 B. λ∈R，使得|⃗PC|>|⃗PA|
[π π]
∃
C.∠CPD的取值范围是 ， D.|⃗PC|的取值范围是[1，❑√3]
6 3
|⃗AB|
9. 【新角度】已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若⃗OA-3⃗OB+2⃗OC=0，则 = .
|⃗AC|
10．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知 、 、 三点共线（该直线不过原点 ），且
，则 的最小值为______.
11.已知△ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，半圆与△ABC在BC的异
侧.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC(λ，μ∈R)，则2λ+μ的取值范围是 .
12．【新考法】（25-26高三上·四川南充·期中）记直线 与 的边 交于 两点，且
．（1）若 与 交于点 ，
（i）请用向量 表示 ；
（ii）若 ，求 的值；
（2）若直线 恒过 的重心 ，试求 的最小值．
真题·实战演练
高频考点：向量概念判断、线性运算、基底表示、利用共线关系求参数，以及向量模长、系数范围
类题型。
1.（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2.（2018·全国I卷·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
3.（2026·天津·高考真题）已知 ， ，记 ．当 时， __________，当 时， 的取值范围为__________．
