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专题04 指对幂函数
【考点1 幂函数的图像和性质】
【考点2 二次函数的解析式】
【考点3 二次函数的零点问题】
【考点4 二次函数的单调性与最值】
【考点5 指数幂的化简与求值】
【考点6 指函数的图像及应用】
【考点7 解决指数函数性质有关的问题】
【考点8 对数式的化简与求值】
【考点9 对数函数的图像及应用】
【考点10 解决对数函数性质有关的问题】
知识点1：幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
（2）常见的五种幂函数的图象．
知识点2：对数
（1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
1
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（2）对数的性质：①aloga
N＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
（3）对数的运算性质：如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
（4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
知识点3：指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x<0 时，y>1；
当x>0 时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
知识点4：对数函数的图象与性质．
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2
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【考点1 幂函数的图像和性质】
幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0 且小于1,等于或小于0 而不同,解题时要善于根
据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等
【典例1】（2025·上海·模拟预测）幂函数y = x
a在(0,+∞)上是严格减函数，且经过
(−1,−1)，则a的值可能是（ ）．
A．−2
3
B．−1
3
C．1
3
D．3
【变式1】（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数f ( x)=(e
m+ 4 m) x
m+2的描述正确的是
（ ）
A．函数f ( x)为偶函数
B．函数f ( x)为奇函数
C．函数f ( x)为R上的减函数
D．f (m)>f (−2)
【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数f ( x)=(m
2−2m−2)⋅x
m
2+m−1是幂函数，
且在(0,+ ∞)上单调递增，则m=
【变式3】（2024·上海长宁·一模）已知a∈{−1,−2
3 ,−1
3 , 1
3 , 2
3 ,1,2,3},函数y = x
a
的大致图像如图所示，则a= ．
3
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【考点2 二次函数的解析式】
求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对
称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【典例2】（2024·山东·二模）已知f (x)是二次函数，且f (1)= 4 ,f (0)=1,f (3)= 4．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若x∈[−1,5]，求函数f (x)的最小值和最大值．
【变式1】（2023·山东·一模）已知二次函数f (x)满足f (0)=−1，顶点为(1,−2).
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间[a−1,4 ]上单调递增，求实数a的取值范围.
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数f ( x)的最大值是f(
1
2)= 25
4
，且它的图像
过点(2,4)，求函数f ( x)的解析式．
【变式3】（
10
9-
高一·湖北黄冈·期中）已知f (x)是二次函数，满足f (x +1)= f (x)+2 x且
f (0)=1.
(1)求f (x)的解析式；
(2)当∃x∈[−1,1]时，使不等式f (x)>2 x +m成立，求实数m的范围.
【考点3 二次函数的零点问题】
4
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(1)二次函数y=ax ²+bx+c 的零点的即是关于x 的一元二次方程 ax ²+bx+c=0(a≠0)的实根.
(2)常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与x 轴的交点问题来解决.
【典例3】（21 22
-
高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数y = x
2−4 x +a的两个零点都
在区间(1,+∞)内，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．(3,+ ∞)
C．(3,4)
D．(−∞,3)
【变式1】（2021·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数f (x)= x
2+ax +b(a,b∈R)有两个不
同的零点，若f (x
2+2 x −1)=0有四个不同的根x1< x2< x3< x4
，且x1, x2, x3, x4
成等差
数列，则a−b不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点4 二次函数的单调性与最值】
(1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素图象的开口方向、对称轴位置、闭区
间.
(2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解大值与最小值,通常在区间的端点或二
次函数图象的顶处取得最值.开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论
【典例4】（2024·山西·模拟预测）已知二次函数f (x)= x
2+(2−k ) x +1
在区间[−2,2]上单
调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．(6,+ ∞)
B．[6,+∞)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−2]
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数f (x)=a x
2+(a−3) x +1在区间[−1,+∞)单调递减，
则实数a取值范围是（ ）
A．[−3,0)
B．(−∞,−3]
C．(−3,0]
D．[−3,0]
【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1
在(2,6)上不单调，则a的取
值范围为（ ）
5
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A．(2,6)
B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4]∪[12,+∞)
【变式3】多选题（2024·河南信阳·模拟预测）若函数f (x)=|x
2−(m−2) x +1|
在[−1
2 , 1
2]
上单调，则实数m的值可以为（ ）
A．−1
B．−1
2
C．5
2
D．3
【考点5 指数幂的化简与求值】
指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数，
(3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数，则先化成假
分数，
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答，
【典例5】（2025·天津·二模）化简(
1
4)
−1
2 −|cos1−sin1|−lg 2
5 −lg25=（ ）
A．1−sin1+cos1 B．1+sin1−cos1
C．2−sin1+cos1
D．2+sin1−cos1
【变式1】（2023·四川宜宾·一模）计算:√(√3−2)
2−(0.25)
1
2 ×(
1
√2)
−4
+√3×lg 1
10 =
.
【考点6 指函数的图像及应用】
(1)研究指数函数y=a*(a>0,a≠1)的图象要抓住三,个特殊点:(1,a),(0,1),(一1,
)
(2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称
变换得到其图象
(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解
【典例6】（23 24
-
高三下·江西·开学考试）函数f (x)=
|x|
2
x−2
−x
的图象大致为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·河北保定·二模）函数f ( x)= 1−e
x
1+e
x cos2 x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知函数y =a(
1
2)
| x|
+b的图象经过原点，且无限接近直
线y =2，但又不与该直线相交，则ab=（ ）
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【考点7 解决指数函数性质有关的问题】
【题型1 利用单调性比较大小】
比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指
数式，并要注意底数的围是(0,1)还是(1,十∞).若不能化为同底,则可化为同指耈或利用中间
量比较.
【典例7】（2025·北京·三模）已知 a=log21.5,b= 1
2 ,c =(
1
2)
1.5
,则下面结论正确的是
7
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（ ）
A．b<c<a
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【变式1】（2025·天津南开·二模）已知a=log3√2,b=log√23,c =2
1
3，则（ ）．
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【变式2】（2025·天津河西·模拟预测）设a=(
1
3)
−0.3，b=2
0.4，c =ln 3
2
，则a,b,c的大小
关系为（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【变式3】（2025·天津·二模）已知a= 4.5
4.5，b=5.4
5.4，c = log4.55.4，则a，b，c 的大小
关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【题型2 解简单的指数方程或不等式】
(1)
(3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解
【典例8】（2023·海南·模拟预测）2
x
2
4
−x<1
8
的解集为 .
【变式1】（2020·山东济宁·模拟预测）不等式(
1
2)
2 x
2−1
>(
1
2)
4−3 x的解集为 .
【题型3 探究指数型函数的性质】
指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这
8
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些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化
【典例9】（2024·上海黄浦·二模）设a∈R，函数f ( x)= 2
x+a
2
x−1
.
(1)求a的值，使得y = f ( x)为奇函数；
(2)若f (2)=a，求满足f ( x)>a的实数x的取值范围.
【变式1】（23 24
-
高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数f (x)=
4
x
4
x+2
+a，且
f (lg2)+ f (lg5)=3.
(1)求a 的值；
(2)当x∈[−1,1]时，f (x)≥4
x+m恒成立，求m 的取值范围.
【变式2】（2024·山西·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上的偶函数，当x ≥0时，
f ( x)=a⋅3
x−3
−x，且f (−1)= 8
3
.
(1)求a的值，并求出f ( x)的解析式；
(2)若λf ( x)−9
x−9
−x−14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，求λ的取值范围.
【考点8 对数式的化简与求值】
9
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利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数
的运算性质化筒:并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公
式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
【典例10】（2025·陕西安康·模拟预测）已知4
a=3，log925=b，则2
ab= ．
【变式1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若a,a+log23,a+log227成等比数列，则实数a=
.
【变式2】（2023·天津南开·二模）计算log332⋅log49−log2 3
4 +log26的值为 .
【考点9 对数函数的图像及应用】
(1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的
特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题
(2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题
【典例11】（24 2
- 5 高一上·全国·课后作业）已知实数m>0且m≠1，函数y = logm(x +n)的
大致图象如下，则m，n的取值范围可能为（ ）
A．m>1,n>1
B．m>1,0<n<1
C．0<m<1,n>1
D．0<m<1,0<n<1
【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为R，且f (−x)= f (x)，
若函数y = f (x)的图象与函数y =log2(2
x+2
−x)的图象有交点，且交点个数为奇数，则
f (0)=（ ）
10
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A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式2】（2024·四川成都·三模）函数f ( x)= x cos2 x
ln( x
2+1)的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点10 解决对数函数性质有关的问题】
【题型1 比较大小】
比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性
进行比较;二是利用中间值0 或1 等进行比较;三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性
确定或估算范围,进而达到比较大小的目的:
【典例12】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知a= 1
4 log23，b= 1
2
，c = 1
2 log53，
则（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【变式1】（2025·天津·二模）设a= log43，b= log86，c = log62，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知a= log23−log35，b= log57−log79，则（ ）
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
【变式3】（2025·甘肃白银·三模）若a=log53,b=log5018,c =lg6，则（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．a<b<c
11
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【变式4】（2025·天津河西·二模）设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c =log0.40.3，则a，b，
c的大小关系为（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
【题型2 解对数方程或不等式】
对于形如
的不等式,一般转化为
”的形式,再根据底
数的范围转化为
或
”.而对于形如
的不
等式,一般要转化为同底的不等式来解。
【典例13】（24 2
- 5 高一下·贵州·阶段练习）对任意x∈[−1, 1]，不等式
2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
4]
B．(−∞, 1
2]
C．(−∞, 5
2]
D．[
1
2 , +∞)
【变式1】（2024·上海·三模）关于x 的不等式1
x −log2 x<1的解集为 ．
【变式2】（2024·上海·三模）不等式lg(x +1)>1的解集为 ．
【题型3 对数函数性质的综合问题】
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最信和复合函数的单调性问题,必须弄
清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1 的大小关系;三
是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分
类讨论、转与化归思想的使用
【典例14】（2025·上海金山·二模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f (x)=log2 x.
(1)求f (−2)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
4), x∈[1,8]，求函数y = g(x)的值域.
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【变式1】（2025 高二下·陕西西安·学业考试）已知函数f (x)=loga(2
x+1)−bx(a>0且
a≠1,b∈R).
(1)当a=2时，
①若f (1)= f (−1)，求b的值；
②当b=1时，用定义证明函数f (x)是R上的减函数；
(2)若f (x)为偶函数，且1
2b +a>3，求a的取值范围.
【变式2】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)= log 1
2
(x
2−2ax +3)．
(1)若函数f ( x)的定义域为R，值域为(−∞,−1]，求实数a 的值；
(2)若函数f ( x)在(−∞,−1]上为增函数，求实数a 的取值范围．
一、单选题
1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数f (x)=¿的值域为（ ）
A．[−1,+∞)
B．(−1,−3
4)
C．R
D．[−1,−3
4)
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则
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实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
3]
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
3．（2025·甘肃白银·二模）已知集合A =¿，B ={−4 ,−3,−1,0,5}，则A ∩B =（ ）
A．{−3,−1,0}
B．{−1,0}
C．(−4,5]
D．[−4,5]
4．（2025·河北·模拟预测）函数y =cos x +ln x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·山西临汾·三模）已知f (x)=log2(1+ 4
−x)+ x，则满足f (2m−3)<f (m)的实数
m 的取值范围为（ ）
A．(1,3)
B．(
3
2 ,3)
C．(−∞,3)
D．(3,+∞)
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若a=0.5
0.01，b=0.4
0.02，c =5log302，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<b<c
D．b<a<c
二、填空题
7．（23 24
-
高一上·河南郑州·期中）计算：(lg5)
2−(lg2)
2+8
2
3 ×lg√2−0.6
0+0.2
−1=
.
8．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数f (x)=¿，则f[f(−1
2)]
的值等于 ．
9．（2025·广西·模拟预测）若函数f ( x)=¿，在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
14
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10．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数f ( x)= ln(a x
2−2ax +2)定义域为R，则a 的取值
范围是 .
11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知f (x)=¿，则f(f(
1
3))= ．
12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数f (x)= x
3−3 x +3a在区间[−2,m)的值域为[4,8]，
则a
m的取值范围为 .
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数N满足log9(log8 N )=7，则log3(log2 N )=
．
14．（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)= log 1
7
(x
2−ax +6)在(−∞,2]上单调递增，则实
数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·山东菏泽·一模）已知数列{an}的前n项和为Sn
，且Sn=2an−2(n∈N
*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2a2n−1,cn=
1
bnbn+1
，求证：c1+c2+c3+⋯+cn< 1
2．
16．（2024·上海奉贤·一模）已知函数y = f (x)，其中f (x)=a
x（常数a>0且a≠1）．
(1)若函数y = f (x)的图象过点(2,9)，求关于x的不等式f (|2 x−1|)>3的解集；
(2)若存在x∈(0,1]，使得数列f (1)、f (tx)、f (x
2+2)是等比数列，求实数t的取值范
围.
15
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17．（24 2
- 5 高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数f ( x)= log2(2
x+a+ 1
2
x)
的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)当a=0时，判断f (x)的奇偶性，并解关于t的不等式f (t +1)>f (1−2t ).
18．（2024·江苏南通·一模）已知函数f ( x)= log2 1−x
1+ x
．
(1)判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)若对任意x∈[−1
3 , 1
3]
，t ∈[−2,2]，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，求实数a 的
取值范围．
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