关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题04 指对幂函数
【考点1 幂函数的图像和性质】
【考点2 二次函数的解析式】
【考点3 二次函数的零点问题】
【考点4 二次函数的单调性与最值】
【考点5 指数幂的化简与求值】
【考点6 指函数的图像及应用】
【考点7 解决指数函数性质有关的问题】
【考点8 对数式的化简与求值】
【考点9 对数函数的图像及应用】
【考点10 解决对数函数性质有关的问题】
知识点1：幂函数
（1）幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
（2）常见的五种幂函数的图象．
知识点2：对数
（1）对数：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（2）对数的性质：①aloga
N＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
（3）对数的运算性质：如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R).
（4）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
知识点3：指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0 时，y＝1
当x>0 时，y>1；
当x<0 时，0<y<1
当x<0 时，y>1；
当x>0 时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
y＝ax与y＝的图象关于y 轴对称
知识点4：对数函数的图象与性质．
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1 时，y＝0，即过定点(1，0)
当x>1 时，y>0；
当0<x<1 时，y<0
当x>1 时，y<0；
当0<x<1 时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【考点1 幂函数的图像和性质】
幂函数的性质因幂指数大于或等于1,大于0 且小于1,等于或小于0 而不同,解题时要善于根
据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等
【典例1】（2025·上海·模拟预测）幂函数y = x
a在(0,+∞)上是严格减函数，且经过
(−1,−1)，则a的值可能是（ ）．
A．−2
3
B．−1
3
C．1
3
D．3
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性可排除C 和D；根据幂函数过点(−1,−1)，可排除A.
【详解】因为幂函数y = x
a在(0,+ ∞)上是严格减函数，所以a<0，故C 错误，D 错误；
对于A，若a=−2
3，则y = x
−2
3，当x =−1时，y =(−1)
−2
3 =
1
(−1)
2
3
=
1
3√(−1)
2 =1，
所以幂函数y = x
−2
3过点(−1,1)，故A 错误；
对于B，若a=−1
3，则y = x
−1
3，当x =−1时，y =(−1)
−1
3 =
1
(−1)
1
3
=−1，
所以幂函数y = x
−1
3过点(−1,−1)，故B 正确.
故选：B.
【变式1】（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数f ( x)=(e
m+ 4 m) x
m+2的描述正确的是
（ ）
A．函数f ( x)为偶函数
B．函数f ( x)为奇函数
C．函数f ( x)为R上的减函数
D．f (m)>f (−2)
【答案】A
【分析】由题设知e
m+ 4 m−1=0，研究函数g(x)=e
x+ 4 x−1的单调性求出g(x)的零
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
点即m的值，得到f ( x)并分析其性质即可判断各选项.
【详解】因为f ( x)=(e
m+ 4 m) x
m+2是幂函数，所以e
m+ 4 m=1，即e
m+ 4 m−1=0
∵g(x)=e
x+ 4 x−1是R上的单调增函数，
∵g(0)=e
0+ 4×0−1=0， ∴g(x)=e
x+ 4 x−1有唯一的零点0，
因此，由e
m+ 4 m−1=0，得m=0，所以f ( x)= x
2，
函数f ( x)为偶函数，不是奇函数；在(−∞,0)上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增；
f (m)= f (0)<f (−2)，故A 正确，B、C、D 错误.
故选：A.
【变式2】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数f ( x)=(m
2−2m−2)⋅x
m
2+m−1是幂函
数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则m=
【答案】3
【分析】根据f ( x)是幂函数求出m，根据f ( x)在(0,+∞)上单调递增确定m.
【详解】因为f ( x)是幂函数，所以m
2−2m−2=1，
所以m=−1或3，因为f ( x)在(0,+ ∞)上单调递增，
所以m
2+m−1>0，所以m=3.
故答案为：3.
【变式3】（2024·上海长宁·一模）已知a∈{−1,−2
3 ,−1
3 , 1
3 , 2
3 ,1,2,3},函数y = x
a
的大致图像如图所示，则a= ．
【答案】−2
3
【分析】根据图像的对称性，可得到函数的奇偶性；再由图像与坐标轴的关系，即可
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
判断a的取值.
【详解】因为图像关于y轴对称，所以函数是偶函数；
又因为图像与坐标轴无交点，所以指数a为负数.综上所述，a=−2
3.
故答案为：−2
3.
【考点2 二次函数的解析式】
求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对
称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【典例2】（2024·山东·二模）已知f (x)是二次函数，且f (1)= 4 ,f (0)=1,f (3)= 4．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若x∈[−1,5]，求函数f (x)的最小值和最大值．
【答案】(1)f (x)=−x
2+ 4 x +1；
(2)f ( x)min=−4，f ( x)max=5．
【分析】（1）设二次函数为f (x)=a x
2+bx +c ,a≠0，根据题意，列出方程组，求得
a,b,c的值，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，求得函数f (x)的单调区间，进而求得其最值.
【详解】（1）解：设二次函数为f (x)=a x
2+bx +c ,a≠0，
因为f (1)= 4 ,f (0)=1,f (3)= 4，可得¿，解得a=−1,b= 4 ,c =1，
所以函数f (x)的解析式f (x)=−x
2+ 4 x +1．
（2）解：函数f (x)=−x
2+ 4 x +1，开口向下，对称轴方程为x =2，
即函数f (x)=−x
2+ 4 x +1在[−1,2]单调递增，在[2,5]单调递减，
所以f ( x)min= f (−1)= f (5)=−4，f ( x)max= f (2)=5．
【变式1】（2023·山东·一模）已知二次函数f (x)满足f (0)=−1，顶点为(1,−2).
(1)求函数f (x)的解析式；
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)若函数f (x)在区间[a−1,4 ]上单调递增，求实数a的取值范围.
【答案】(1)f ( x)= x
2−2 x−1
(2)[2,5)
【分析】（1）由二次函数f (x)顶点为(1,−2)可设f ( x)=a( x −1)
2−2，由f (0)=−1
即可求出a，则求出f (x)的解析式.
（2）根据二次函数f (x)的开口和对称轴即可求得实数a的取值范围.
【详解】（1）设f ( x)=a( x −1)
2−2，
则由f (0)=−1得：a−2=−1，
∴a=1，
∴f ( x)=( x−1)
2−2= x
2−2 x−1.
（2）由（1）知f ( x)= x
2−2 x−1，开口向上，对称轴为x =1，
则若函数f (x)在区间[a−1,4 ]上单调递增，
需满足¿，
∴2≤a<5，
∴实数a 的取值范围为[2,5).
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知二次函数f ( x)的最大值是f(
1
2)= 25
4 ，且它的图像
过点(2,4)，求函数f ( x)的解析式．
【答案】f ( x)=−(x−1
2)
2
+ 25
4
【分析】由二次函数性质与待定系数法求解．
【详解】解：根据题意设f ( x)=a(x−1
2)
2
+ 25
4 ，
又过点(2,4)，则a(2−1
2)
2
+ 25
4 = 4
解得a=−1，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故f ( x)=−(x−1
2)
2
+ 25
4
【变式3】（9-10 高一·湖北黄冈·期中）已知f (x)是二次函数，满足f (x +1)= f (x)+2 x且
f (0)=1.
(1)求f (x)的解析式；
(2)当∃x∈[−1,1]时，使不等式f (x)>2 x +m成立，求实数m的范围.
【答案】(1)f (x)= x
2−x +1
(2)(−∞,5)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得f (x)的解析式；
（2）利用函数不等式能成立问题的解决方法，将问题转化为m< g(x)max即可.
【详解】（1）设函数f ( x)=a x
2+bx +c(a≠0)，
因为f (0)=1，可得f (0)=c =1，所以f (x)=a x
2+bx +1，
又f (x +1)= f (x)+2 x，得a(x +1)
2+b(x +1)+1=a x
2+bx +1+2 x，整理得
2ax +a+b=2 x，
因为对于任意的x成立，则有¿解得¿，
所以f (x)= x
2−x +1.
（2）当∃x∈[−1,1]时，f (x)>2 x +m成立，即x
2−3 x +1>m成立，
令g(x)= x
2−3 x +1=(x−3
2)
2
−5
4 , x∈[−1,1]，则m< g(x)max
因为g(x)开口方向向上，对称轴为x = 3
2 >1，
所以g(x)在[−1,1]单调递减，故g(x)max = g(−1)=(−1)
2−3×(−1)+1=5，
故m<5，即实数m的取值范围是(−∞,5).
【考点3 二次函数的零点问题】
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)二次函数y=ax ²+bx+c 的零点的即是关于x 的一元二次方程 ax ²+bx+c=0(a≠0)的实根.
(2)常把二次函数的零点问题转化为二次函数的图象与x 轴的交点问题来解决.
【典例3】（21-22 高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数y = x
2−4 x +a的两个零点都
在区间(1,+∞)内，则a 的取值范围是（ ）
A．(−∞,4)
B．(3,+ ∞)
C．(3,4)
D．(−∞,3)
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a 的不等式，进而求
解.
【详解】二次函数y = x
2−4 x +a，对称轴为x =2，开口向上，
在(−∞,2)上单调递减，在(2,+ ∞)上单调递增，
要使二次函数f ( x)= x
2−4 x +a的两个零点都在区间(1,+∞)内，
需¿，解得3<a<4
故实数a 的取值范围是(3,4)
故选：C
【变式1】（2021·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数f (x)= x
2+ax +b(a,b∈R)有两个不
同的零点，若f (x
2+2 x−1)=0有四个不同的根x1< x2< x3< x4，且x1, x2, x3, x4成等差
数列，则a−b不可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】设f (x)= x
2+ax +b(a,b∈R)的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定
理，可得m+n，mn的表达式，根据f (x
2+2 x−1)=0有四个不同的根x1< x2< x3< x4，
可得以x
2+2 x−1=m对应的根为x1, x4，x
2+2 x−1=n对应的根为x2, x3，根据韦达定
理，可得x1+ x4 ，x1 x4，x2+ x3，x2 x3表达式，根据题意，计算化简，可得m，n 的关
系，代入a−b，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】设f (x)= x
2+ax +b(a,b∈R)的两个不同零点为m，n，且m>n，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以f (m)= f (n)=0，Δ=a
2−4 b>0，且¿，
又因为f (x
2+2 x −1)=0有四个不同的根x1< x2< x3< x4，
所以x
2+2 x−1=m对应的根为x1, x4，x
2+2 x−1=n对应的根为x2, x3，
所以¿，¿，
所以( x4−x1)
2= x4
2+ x1
2−2 x4 x1=( x4+ x1)
2−4 x4 x1= 4+ 4(1+m)，
同理( x3−x2)
2= x3
2+ x2
2−2 x3 x2=( x3+ x2)
2−4 x3 x2= 4+ 4(1+n)，
因为x1, x2, x3, x4成等差数列，
所以x4−x1=3( x3−x2)，则( x4−x1)
2=9( x3−x2)
2
所以4 + 4(1+m)=9[4 + 4(1+n)]，解得m=16+9n，
因为m>n，所以m=16+9n>n，解得n>−2，
所以a−b=−(m+n)−mn=−(16+10n)−(16+9n)n=−9n
2−26n−16
=−9(n+ 13
9 )
2
+ 25
9 ，
所以当n=−13
9 时，a−b有最大值25
9 ，
所以a−b不可能为3.
故选：D
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【点睛】解题的关键是将零点问题，转化为二次函数根与系数的关系，根据韦达定理及
题干条件，结合二次函数的性质，求值即可，考查分析计算，求值化简的能力，属中档
题.
【考点4 二次函数的单调性与最值】
(1)影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素图象的开口方向、对称轴位置、闭区
间.
(2)常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解大值与最小值,通常在区间的端点或二
次函数图象的顶处取得最值.开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论
【典例4】（2024·山西·模拟预测）已知二次函数f (x)= x
2+(2−k ) x +1在区间[−2,2]上单
调递增，则实数k的取值范围是（ ）
A．(6,+∞)
B．[6,+∞)
C．(−∞,−2)
D．(−∞,−2]
【答案】D
【分析】利用二次函数的对称性与单调性即可得解.
【详解】因为f (x)= x
2+(2−k ) x +1的图象开口向上，对称轴为x = k −2
2
，
又f (x)在区间[−2,2]上单调递增，
所以k −2
2
≤−2，解得k ≤−2，即k ∈ (−∞,−2].
故选：D.
【变式1】（2024·湖北·模拟预测）函数f (x)=a x
2+(a−3) x +1在区间[−1,+∞)单调递减，
则实数a取值范围是（ ）
A．[−3,0)
B．(−∞,−3]
C．(−3,0]
D．[−3,0]
【答案】D
【分析】a=0时，代入可知满足题意；a≠0时，求出二次函数的对称轴结合函数在右
半部分单调递减得出开口方向，列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】当a=0时，f (x)=−3 x +1在[−1,+ ∞)上单调递减，满足题意；
当a≠0时，f ( x)的对称轴为直线x = 3−a
2a ，由f (x)在[−1,+∞)上单调递减，
知¿，解得−3≤a<0．
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
综上，a 的取值范围为[−3,0]．
故选：D
【变式2】（2024·广东揭阳·二模）已知函数f (x)=−x
2+ax +1在(2,6)上不单调，则a的取
值范围为（ ）
A．(2,6)
B．(−∞,2]∪[6,+∞)
C．(4,12)
D．(−∞,4]∪[12,+∞)
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数f (x)=−x
2+ax +1的图象对称轴为x = a
2，依题意，2< a
2 <6，得
4<a<12，
所以a的取值范围为(4,12).
故选：C
【变式3】多选题（2024·河南信阳·模拟预测）若函数f (x)=|x
2−(m−2) x +1|在[−1
2 , 1
2]
上单调，则实数m的值可以为（ ）
A．−1
B．−1
2
C．5
2
D．3
【答案】BD
【分析】分别讨论Δ≤0和Δ>0两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当Δ=(m−2)
2−4≤0，即0≤m≤4时，
f (x)=|x
2−(m−2) x +1|= x
2−(m−2) x +1，所以f ( x)的对称轴为x = m−2
2
，则f ( x)
的图象如下：
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
结合图象可知，要使函数f (x)=|x
2−(m−2) x +1|在[−1
2 , 1
2]上单调，则m−2
2
≥1
2或
m−2
2
≤−1
2，解得：m≥3或m≤1，即3≤m≤4或0≤m≤1；
②当Δ=(m−2)
2−4>0，即m<0或m>4，令h( x)= x
2−(m−2) x +1，则h( x)的对
称轴为x = m−2
2
，则h( x)的图象如下：
结合图象可知，要使函数f (x)=|x
2−(m−2) x +1|在[−1
2 , 1
2]上单调，
则¿，或¿，或¿，或¿
解得：4<m≤9
2，或−1
2 ≤m<0，
综上：3≤m≤9
2或−1
2 ≤m≤1；
故选：BD
【考点5 指数幂的化简与求值】
指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂，以便利用法则计算
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数，
(3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数，则先化成假
分数，
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示运用指数幂的运算性质来解答，
【典例5】（2025·天津·二模）化简(
1
4)
−1
2 −|cos1−sin1|−lg 2
5 −lg25=（ ）
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．1−sin1+cos1 B．1+sin1−cos1
C．2−sin1+cos1
D．2+sin1−cos1
【答案】A
【分析】由指数与根式的互化和三角函数性质以及对数运算即可求解.
【详解】由题得(
1
4)
−1
2 −|cos1−sin1|−lg 2
5 −lg25=√4−sin1+cos1−lg(
2
5 ×25)
=2−sin1+cos1−1=1−sin1+cos1.
故选：A
【变式1】（2023·四川宜宾·一模）计算:√(√3−2)
2−(0.25)
1
2 ×(
1
√2)
−4
+√3×lg 1
10 =
.
【答案】−2√3
【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.
【详解】由题意可得：
√(√3−2)
2−(0.25)
1
2 ×(
1
√2)
−4
+√3×lg 1
10 =|√3−2|−[(
1
2)
2
]
1
2 (√2)
4+√3×(−1)
=2−√3−1
2 ×4−√3=−2√3，
即√(√3−2)
2−(0.25)
1
2 ×(
1
√2)
−4
+√3×lg 1
10 = −2√3.
故答案为：−2√3.
【考点6 指函数的图像及应用】
(1)研究指数函数y=a*(a>0,a≠1)的图象要抓住三,个特殊点:(1,a),(0,1),(一1,
)
(2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称
变换得到其图象
(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【典例6】（23-24 高三下·江西·开学考试）函数f (x)=
|x|
2
x−2
−x 的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性，指数函数的单调性，以及当x>0时函数的符号判断即可；
【详解】定义域为{x| x≠0}关于原点对称，f (−x)= |−x|
2
−x−2
x =−
|x|
2
x−2
−x =−f (x)，
所以函数f (x)为奇函数，关于原点对称，故A、C 错误；
当x>0时，|x|>0,2
x−2
−x>0，所以f (x)>0，故B 错误，
故选：D.
【变式1】（2024·河北保定·二模）函数f ( x)= 1−e
x
1+e
x cos2 x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】设g(x)= 1−e
x
1+e
x ，则g(−x)= 1−e
−x
1+e
−x =e
x−1
1+e
x =−g(x)，
所以g(x)为奇函数，
设h(x)= cos2 x，可知h(x)为偶函数，
所以f (x)= 1−e
x
1+e
x cos2 x为奇函数，则B，C 错误，
易知f (0)=0，所以A 正确，D 错误．
故选：A.
【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知函数y =a(
1
2)
| x|
+b的图象经过原点，且无限接近直
线y =2，但又不与该直线相交，则ab=（ ）
A．−1
B．−2
C．−4
D．−9
【答案】C
【分析】由题意可得a+b=0且b=2，求出a，即可求解.
【详解】因为函数y = f ( x)=a( 1
2 )
|x|
+b图象过原点，所以a( 1
2 )
0
+b=0，
得a+b=0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，
所以b=2，则a=−2，
所以ab=−4.
故选：C
【考点7 解决指数函数性质有关的问题】
【题型1 利用单调性比较大小】
比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性，原则上是将待比较的指数式化为同底的指
数式，并要注意底数的围是(0,1)还是(1,十∞).若不能化为同底,则可化为同指耈或利用中间
量比较.
【典例7】（2025·北京·三模）已知 a=log21.5,b= 1
2 ,c =(
1
2)
1.5
,则下面结论正确的是
（ ）
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．b<c<a
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】C
【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得c<b<a，即可得解.
【详解】根据题意，a=log21.5>log2√2= 1
2 =b，
c =(
1
2)
1.5
<(
1
2)
1
= 1
2 =b,
所以c<b<a.
故选：C
【变式1】（2025·天津南开·二模）已知a=log3√2,b=log√23,c =2
1
3，则（ ）．
A．a>b>c
B．c>b>a
C．b>c>a
D．b>a>c
【答案】C
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来放缩估算大小，即可比较.
【详解】由a=log3√2<log33=1,
b=log√23= log23
log2√2 = log23
1
2
=2log23= log29>log28=3,
c =2
1
3 >2
0=1，c =2
1
3 <2
1=2，
所以满足b>c>a，
故选：C.
【变式2】（2025·天津河西·模拟预测）设a=(
1
3)
−0.3
，b=2
0.4，c =ln 3
2，则a,b,c的大小
关系为（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．c<b<a
【答案】D
【分析】a
10>b
10，结合指数函数单调性得到a>b>1，又c<1，得到结论.
【详解】a=(
1
3)
−0.3
=3
0.3>1，b=2
0.4>1，
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
a
10=3
3=27，b
10=2
4=16，故a
10>b
10，所以a>b>1，
c =ln 3
2 <lne =1，所以c<b<a.
故选：D
【变式3】（2025·天津·二模）已知a= 4.5
4.5，b=5.4
5.4，c = log4.55.4，则a，b，c 的大小
关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可.
【详解】∵y = 4.5
x是增函数，∴4.5<a= 4.5
4.5<4.5
5.4，
∵y = x
5.4在(0，+ ∞)是增函数，∴b=5.4
5.4>4.5
5.4，故b>a>4.5，
∵y = log4.5 x在(0，+ ∞)是增函数，c = log4.55.4<2<4.5，
即c<a<b，
故选：D.
【题型2 解简单的指数方程或不等式】
(1)
(3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解
【典例8】（2023·海南·模拟预测）2
x
2
4
−x<1
8 的解集为 .
【答案】(1,3)
【分析】利用指数函数单调性可解得结果.
【详解】由2
x
2
4
−x<1
8 得：x
2
4
−x< 3
−，解得：1< x<3，即2
x
2
4
−x<1
8 的解集为(1,3).
故答案为：(1,3).
【变式1】（2020·山东济宁·模拟预测）不等式(
1
2)
2 x
2−1
>(
1
2)
4−3 x
的解集为 .
【答案】{x|−5
2 < x<1}
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【解析】根据y =( 1
2 )
x
的单调性，可得2 x
2−1<4−3 x，根据一元二次不等式的解法，
即可求得答案.
【详解】因为y =( 1
2 )
x
在R 上为单调递减函数，且(
1
2)
2 x
2−1
>(
1
2)
4−3 x
所以2 x
2−1<4−3 x，解得−5
2 < x<1，
故答案为：{x|−5
2 < x<1}
【题型3 探究指数型函数的性质】
指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等，应结合题目条件合理利用这
些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化
【典例9】（2024·上海黄浦·二模）设a∈R，函数f ( x)= 2
x+a
2
x−1
.
(1)求a的值，使得y = f ( x)为奇函数；
(2)若f (2)=a，求满足f ( x)>a的实数x的取值范围.
【答案】(1)a=1
(2)(0,2)
【分析】（1）由奇函数的性质可得f (−1)=−f (1)，代入解方程即可得出答案；
（2）由f (2)=a，可得a=2，则2
x+2
2
x−1
>2，由指数函数的单调性解不等式即可得出答
案.
【详解】（1）由f (x)为奇函数，可知f (−1)=−f (1)，
即−(1+2a)=−(2+a)，解得a=1，
当a=1时，f ( x)= 2
x+1
2
x−1
,f (−x)= 2
−x+1
2
−x−1
= 1+2
x
1−2
x =−f ( x)对一切非零实数x恒成立，
故a=1时，y = f ( x)为奇函数.
（2）由f (2)=a，可得4 +a
3
=a，解得a=2，
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以f ( x)>a⇔2
x+2
2
x−1
>2⇔2
x−4
2
x−1
<0 ⇔1<2
x<4
解得：0< x<2，所以满足f ( x)>a的实数x的取值范围是(0,2).
【变式1】（23-24 高三上·河北邢台·阶段练习）已知函数f (x)=
4
x
4
x+2
+a，且
f (lg2)+ f (lg5)=3.
(1)求a 的值；
(2)当x∈[−1,1]时，f (x)≥4
x+m恒成立，求m 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)(−∞,−7
3]
【分析】（1）根据f (x)+ f (1−x)=1+2a，即可由对数运算代入求解.
（2）根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为f (x)=
4
x
4
x+2
+a，
所以f (x)+ f (1−x)=
4
x
4
x+2
+a+
4
1−x
4
1−x+2
+a=
4
x
4
x+2
+
4
4+2×4
x +2a=1+2a,
因为lg2+lg5=1，所以f (lg2)+ f (lg5)=1+2a=3，
则a=1.
（2）由（1）可知，f (x)≥4
x+m等价于(4
x)
2+m⋅4
x+2m−2≤0.
令t = 4
x，则t ∈[
1
4 ,4]，
原不等式等价于t
2+mt +2m−2≤0在[
1
4 ,4]上恒成立，
则¿，解得m≤−7
3，
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故m 的取值范围为(−∞,−7
3].
【变式2】（2024·山西·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上的偶函数，当x ≥0时，
f ( x)=a⋅3
x−3
−x，且f (−1)= 8
3.
(1)求a的值，并求出f ( x)的解析式；
(2)若λf ( x)−9
x−9
−x−14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，求λ的取值范围.
【答案】(1)a=1，f ( x)=¿
(2)(−∞,8]
【分析】（1）利用偶函数性质以及函数值可得a=1，再由偶函数定义可得其解析式；
（2）将不等式恒成立转化为求λ≤3
x−3
−x+
16
3
x−3
−x 恒成立问题，由基本不等式计算
可得λ的取值范围.
【详解】（1）因为f ( x)是偶函数，所以f (−1)= f (1)=3a−1
3 = 8
3，
解得a=1，
当x<0时，可得−x>0，所以f ( x)= f (−x)=3
−x−3
−(−x)=3
−x−3
x，
所以函数f ( x)的解析式为f ( x)=¿
（2）由（1）知，当x>0时，f ( x)=3
x−3
−x>0，
因为λf ( x)−9
x−9
−x−14≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，
所以λ≤9
x+9
−x+14
3
x−3
−x
= (3
x−3
−x)
2+16
3
x−3
−x
=3
x−3
−x+
16
3
x−3
−x ，
又因为3
x−3
−x+
16
3
x−3
−x ≥2√
(3
x−3
−x)⋅
16
3
x−3
−x =8，
当且仅当3
x−3
−x =
16
3
x−3
−x 时，即x = log3(√5+2)时等号成立，
所以λ≤8，即λ的取值范围是(−∞,8].
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【考点8 对数式的化简与求值】
利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数的形式,使幂的底数最简,然后运用对数
的运算性质化筒:并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因经常会用到换底公
式及其推论，利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
【典例10】（2025·陕西安康·模拟预测）已知4
a=3，log925=b，则2
ab= ．
【答案】√5
【分析】根据指对数互化及对数运算的性质得出a,b，再根据换底公式及对数运算即
可求解．
【详解】由已知得a=log43，b=log35，
∴ab=log43⋅log35= lg3
lg 4 ⋅lg5
lg3 =log45= 1
2 log25=log2√5，
∴2
ab=2
log2√5=√5．
故答案为：√5．
【变式1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）若a,a+log23,a+log227成等比数列，则实数a=
.
【答案】log23
【分析】根据等比数列的性质，结合对数运算公式，即可求解.
【详解】由等比数列的性质可知，(a+ log23)
2=a(a+ log227)，
a
2+2a⋅log23+(log23)
2=a
2+a⋅log227=a
2+3a⋅log23，
得a= log23.
故答案为：log23
【变式2】（2023·天津南开·二模）计算log332⋅log49−log2
3
4 +log26的值为 .
【答案】8
【分析】由对数的运算性质即可求解.
【详解】原式=log32
5⋅log2
23
2−log2
3
4 +log26
=5log32⋅log23−log2
3
4 +log26
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
=5−log2
3
4 +log26
=5+log2 6
3
4
=5+ log28
=8.
故答案为：8
【考点9 对数函数的图像及应用】
(1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的
特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题
(2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题
【典例11】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知实数m>0且m≠1，函数y = logm(x +n)的
大致图象如下，则m，n的取值范围可能为（ ）
A．m>1,n>1
B．m>1,0<n<1
C．0<m<1,n>1
D．0<m<1,0<n<1
【答案】C
【分析】利用函数的单调性可得0<m<1，由logm(0+n)<0，可求得n>1.
【详解】由图象可知函数y =logm(x +n)是减函数，所以0<m<1；
当x =0时，logm(x +n)=logmn<0，所以n>1．
故选：C.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【变式1】（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数y = f (x)的定义域为R，且f (−x)= f (x)，
若函数y = f (x)的图象与函数y =log2(2
x+2
−x)的图象有交点，且交点个数为奇数，则
f (0)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】易证明y = log2(2
x+2
−x)为偶函数，根据题意，两个函数的交点必定是原点，
据此求解.
【详解】令y = g( x)= log2(2
x+2
−x)，其定义域为R，
因为g(−x)= log2(2
−x+2
x)= g( x)，所以g( x)为偶函数，
由题易知f ( x)也为偶函数，
因为两个函数图象的交点个数为奇数，
所以两个函数的交点，必有一个是原点，
故f (0)= g(0)= log2(2
0+2
−0)=1.
故选：C.
【变式2】（2024·四川成都·三模）函数f ( x)= x cos2 x
ln( x
2+1)的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再根据x∈(0,π
4 )时的函数值为正排除余
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
下两个中的一个即得.
【详解】函数f ( x)= x cos2 x
ln( x
2+1)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
f (−x)= −x cos2 x
ln( x
2+1)
=−f ( x)，
函数f ( x)是奇函数，图象关于原点对称，BD 不满足；
当x∈(0,π
4 )时，cos2 x >0,ln( x
2+1)>0，则f ( x)>0，C 不满足，A 满足.
故选：A
【考点10 解决对数函数性质有关的问题】
【题型1 比较大小】
比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性
进行比较;二是利用中间值0 或1 等进行比较;三是通过构造函数，利用所构造函数的单调性
确定或估算范围,进而达到比较大小的目的:
【典例12】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知a= 1
4 log23，b= 1
2，c = 1
2 log53，
则（ ）
A．c<a<b
B．a<c<b
C．b<c<a
D．b<a<c
【答案】A
【分析】将三个数化为logab的形式，即可根据对数函数的单调性与图像进行判断.
【详解】因为a= 1
4 log23= log163= ln3
ln16 ，b= 1
2 = log164 = ln 4
ln16 ，c = log253= ln3
ln 25，
所以b>a>c.
故选：A
【变式1】（2025·天津·二模）设a= log43，b= log86，c = log62，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．a<b<c
B．b<c<a
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【分析】由对数的运算性质结合对数函数的单调性可得.
【详解】因为log43= log4
33
3= log6427，log86= log8
26
2= log6436，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以log648<log6427<log6436，即1
2 <a<b；
又log62<log6√6= 1
2，所以c<a<b，
故选：D．
【变式2】（2025·江西·模拟预测）已知a= log23−log35，b= log57−log79，则（ ）
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
【答案】A
【分析】根据对数的运算性质与运算法则，结合对数函数的单调性，化简运算，即可
求解.
【详解】由对数的运算性质，可得log23>log22√2= 3
2 ,log35<log33√3= 3
2，
则a= log23−log35>0；
又由0<lg5<lg7<lg9，则b= log57−log79= lg7
lg5 −lg9
lg7 = (lg7)
2−lg5lg9
lg5lg7
>
(lg7)
2−( lg5+lg9
2
)
2
lg5lg7
= (lg7)
2−(lg3√5)
2
lg5lg7
= (lg7+lg3√5)(lg7−lg3√5)
lg5lg7
，
因为49>45，可得7>3√5，所以lg7−lg3√5>0，所以b>0.
故选：A.
【变式3】（2025·甘肃白银·三模）若a=log53,b=log5018,c =lg6，则（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．a<b<c
【答案】D
【分析】利用对数的运算和换底公式，适当放缩即可求解.
【详解】a=log53=log23
log25 = 2log23
2log25 < 2log23+1
2log25+1 =log218
log250 =log5018=b，
c =log26
log210 =log23+1
log25+1 = 2log23+2
2log25+2 > 2log23+1
2log25+1 =log218
log250 =log5018=b，
所以a<b<c．
故选：D.
【变式4】（2025·天津河西·二模）设a=log0.30.4，b=log0.31.1，c =log0.40.3，则a，b，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
c的大小关系为（ ）
A．b<c<a
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<a<c
【答案】D
【分析】利用对数函数单调性限定出a,b,c的取值范围即可.
【详解】易知log0.31<a=log0.30.4<log0.30.3，即0<a<1；
而b=log0.31.1<log0.31=0，即b<0；
又c =log0.40.3>log0.40.4 =1，因此c>1，
所以b<a<c.
故选：D
【题型2 解对数方程或不等式】
对于形如
的不等式,一般转化为
”的形式,再根据底
数的范围转化为
或
”.而对于形如
的不
等式,一般要转化为同底的不等式来解。
【典例13】（24-25 高一下·贵州·阶段练习）对任意x∈[−1, 1]，不等式
2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
4]
B．(−∞, 1
2]
C．(−∞, 5
2]
D．[
1
2 , +∞)
【答案】A
【分析】由已知可得(x
2−x + 1
2)min
≥m，再求函数y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1]的最小
值即可得m取值范围.
【详解】因为对任意x∈[−1,1]，不等式2 x
2−2 x +1−2m≥0恒成立.
所以(x
2−x + 1
2)min
≥m，其中x∈[−1,1]，
设y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1]，因为y = x
2−x + 1
2 =(x−1
2)
2
+ 1
4 ，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以当x = 1
2时，函数y = x
2−x + 1
2，x∈[−1,1]取最小值，最小值为1
4 ，
所以m≤1
4 ，
故选：A.
【变式1】（2024·上海·三模）关于x 的不等式1
x −log2 x<1的解集为 ．
【答案】(1,+ ∞)
【分析】令f (x)= 1
x −log2 x，求出f (x)的单调性，又根据f (1)=1，把不等式转化为
f (x)<f (1)，由f (x)的单调性即可求得不等式的解集.
【详解】令f (x)= 1
x −log2 x，则f (x)的定义域为(0,+ ∞)，
因为y = 1
x 和y =−log2 x在(0,+ ∞)上均单调递减，
所以f (x)在(0,+ ∞)上单调递减，又f (1)=1，
则不等式1
x −log2 x<1等价于f (x)<f (1)，
所以x>1，原不等式的解集为(1,+∞).
故答案为：(1,+ ∞).
【变式2】（2024·上海·三模）不等式lg(x +1)>1的解集为 ．
【答案】(9,+ ∞)
【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.
【详解】由不等式lg(x +1)>1，得x +1>10，解得x>9，
所以不等式lg(x +1)>1的解集为(9,+∞).
故答案为：(9,+ ∞)
【题型3 对数函数性质的综合问题】
利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最信和复合函数的单调性问题,必须弄
清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1 的大小关系;三
是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分
类讨论、转与化归思想的使用
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【典例14】（2025·上海金山·二模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f (x)=log2 x.
(1)求f (−2)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
4), x∈[1,8]，求函数y = g(x)的值域.
【答案】(1)−1
(2)[−1,3]
【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可；
（2）计算g(x)表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可.
【详解】（1）因为函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (−x)=−f (x),f (0)=0，
所以f (−2)+ f (0)=−f (2)+ f (0)=−1+0=−1；
（2）g(x)=(log2 x)⋅(log2
x
4)=(log2 x)⋅(log2 x−2)=(log2 x)
2−2log2 x , x∈[1,8]
，
令log2 x =t ,t ∈[0,3]，问题等价于求h(t )=t
2−2t ,t ∈[0,3]的值域，
∵函数h(t )=t
2−2t图象开口向上，对称轴为直线t =1，
∴h(t )min=h(1)=−1,h(t )max=h(3)=3，
∴函数g(x)的值域为[−1,3]．
【变式1】（2025 高二下·陕西西安·学业考试）已知函数f (x)=loga(2
x+1)−bx(a>0且
a≠1,b∈R).
(1)当a=2时，
①若f (1)= f (−1)，求b的值；
②当b=1时，用定义证明函数f (x)是R上的减函数；
(2)若f (x)为偶函数，且1
2b +a>3，求a的取值范围.
【答案】(1)①b= 1
2，②证明见详解；
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)(2,+∞).
【分析】（1）①根据f (1)= f (−1)代入运算得解；②利用函数单调性定义证明即可；
（2）由f (x)为偶函数，得f (−x)= f (x)，解得2b= loga2，进而得
1
2b +a=a+ log2a>3，利用g(x)= x + log2 x在(0,+ ∞)上单调递增，求出a的范围.
【详解】（1）当a=2时，f (x)= log2(2
x+1)−bx，
①若f (1)= f (−1)，则log23−b= log2 3
2 +b，解得b= 1
2.
②当b=1时，f (x)= log2(2
x+1)−x = log2
1+2
x
2
x
= log2(1+ 1
2
x)，
任取x1, x2∈R，且x1< x2，令t (x)=1+ 1
2
x ，
则t (x1)−t (x2)=1+ 1
2
x1 −1−1
2
x2 = 2
x2−2
x1
2
x1+ x2 ，
因为y =2
x是R 单调递增函数，所以2
x2>2
x1，则t (x1)−t (x2)>0，
即t (x1)>t (x2)，即1+ 1
2
x1 >1+ 1
2
x2 >0，
又y = log2 x是(0,+ ∞)上的增函数， 则log2(1+ 1
2
x1)>log2(1+ 1
2
x2)，
∴f (x1)−f (x2)= log2(1+ 1
2
x1)−log2(1+ 1
2
x2)>0,
∴f (x1)>f (x2)，
所以f (x)是R 上的减函数.
（2）若f (x)为偶函数，则f (−x)= f (x)，
即loga(2
x+1)−bx = loga(2
−x+1)+bx，
所以loga
2
x+1
1
2
x +1
= loga2
x =2bx
，即x loga2=2bx，
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
∴2b= loga2，则1
2b +a=a+
1
loga2 =a+ log2a>3，
因为g(x)= x + log2 x在(0,+ ∞)上单调递增，且g(2)=3，
所以由g(a)=a+ log2a>3= g(2)，得a>2，
所以a的取值范围为(2,+∞).
【变式2】（2026 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)= log 1
2
(x
2−2ax +3)．
(1)若函数f ( x)的定义域为R，值域为(−∞,−1]，求实数a 的值；
(2)若函数f ( x)在(−∞,−1]上为增函数，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)1 或−1
(2)[−1,+∞)
【分析】（1）由f ( x)max=−1求出u= x
2−2ax +3的最小值umin=2，再利用配方法可
得答案；
（2） 利用复合函数的单调性可得答案．
【详解】（1）∵函数f ( x)的值域为(−∞,−1]，
∴f ( x)max=−1，又f ( x)= log 1
2
¿，
而函数f ( x)的定义域为R，
∴u= x
2−2ax +3的最小值umin=2．
而u= x
2−2ax +3=( x −a)
2+3−a
2，
∴3−a
2=2，解得a
2=1，即a=±1，
∴实数a 的值为1 或−1；
（2）∵f ( x)= log 1
2
(x
2−2ax +3)在(−∞,−1]上为增函数，
函数y = log 1
2
u在u∈(0,+ ∞)上是减函数，
∴函数u= x
2−2ax +3在(−∞,−1]上为减函数且u>0，
∴¿，解得¿，
即a≥−1，故实数a 的取值范围为[−1,+ ∞)．
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
一、单选题
1．（2025·云南昆明·模拟预测）函数f (x)=¿的值域为（ ）
A．[−1,+∞)
B．(−1,−3
4)
C．R
D．[−1,−3
4)
【答案】A
【分析】利用函数f (x)在(−∞,−2)、[−2,+∞)上的值域，取并集即可得出函数f (x)
的值域.
【详解】当x<−2时，f (x)=2
x−1，因为函数y =2
x在(−∞,−2)上单调递增，
所以0<2
x<2
−2= 1
4 ，此时f (x)=2
x−1∈(−1,−3
4)；
当x ≥−2时，因为函数f (x)= x
2−1在[−1,0]上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，
故f (x)≥f (0)=−1，即f (x)= x
2−1在[−2,+∞)上的值域为[−1,+∞).
综上所述，函数f (x)的值域为[−1,+∞).
故选：A.
2．（2025·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
3]
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【答案】C
【分析】由复合函数的单调性得到g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增，列出
不等式组，解之即得参数范围.
【详解】因为f (x)= ln x在(0,+ ∞)上单调递增，由函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在
[1,+∞)上单调递增，
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
可得g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
¿，解得−1<a< 1
3，
即实数a的取值范围是(−1, 1
3).
故选：C.
3．（2025·甘肃白银·二模）已知集合A =¿，B ={−4 ,−3,−1,0,5}，则A ∩B =（ ）
A．{−3,−1,0}
B．{−1,0}
C．(−4,5]
D．[−4,5]
【答案】A
【分析】由指数函数单调性解不等式求集合，再由集合的交运算求集合.
【详解】由题设A ={x|2
−3≤2
x≤2
3}={x|−3≤x ≤3}，又B ={−4 ,−3,−1,0,5}，
所以A ∩B = {−3,−1,0}.
故选：A
4．（2025·河北·模拟预测）函数y =cos x +ln x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦函数性质、函数y =ln x在(0,+∞)上单调递增排除BD，再由
cos3+ln3>0可得答案.
【详解】因为2< 2π
3 ，由余弦函数性质可知cos2>cos 2π
3 =−1
2，
又2>√e，且函数y =ln x在(0,+∞)上单调递增，得ln2>ln√e= 1
2.
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以当x =2时，cos2+ln2>−1
2 + 1
2 =0，BD 错误.
又x =3时，ln3>1，得cos3+ln3>0，A 错误.
故选：C.
5．（2025·山西临汾·三模）已知f (x)=log2(1+ 4
−x)+ x，则满足f (2m−3)<f (m)的实数
m 的取值范围为（ ）
A．(1,3)
B．(
3
2 ,3)
C．(−∞,3)
D．(3,+∞)
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、
对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由f (x)= log2(1+ 4
−x)+ x，易知其定义域为R，
由f (−x)−f (x)= log2(1+ 4
x)−x−log2(1+ 4
−x)−x
= log2
1+ 4
x
1+ 4
−x −2 x = log24
x−2 x =2 x−2 x =0，则函数f (x)为偶函数，
f (x)= log2(1+ 4
−x)+ x = log2(1+2
−2 x)+ log22
x = log2(2
x+2
−x)，
由y =2
x在R上单调递增，y = x + 1
x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
则y =2
x+ 1
2
x 在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
即函数f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，
由f (2m−3)<f (m)，则|2m−3|<|m|，即(2m−3)
2<m
2，
整理可得3m
2−12m+9<0，分解因式可得(m−3)(m−1)<0，
解得1<m<3.
故选：A
6．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若a=0.5
0.01，b=0.4
0.02，c =5 log302，则（ ）
A．c<a<b
B．b<c<a
C．a<b<c
D．b<a<c
【答案】D
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法比较大小即可.
【详解】因为函数y = x
0.02在(0,+∞)上单调递增，y = log30 x在(0,+∞)上单调递增，
y =0.5
x在(0,+ ∞)上单调递减，
所以b=0.4
0.02<0.5
0.02<0.5
0.01=a<1，
c =5 log302= log302
5= log3032>log3030=1，所以b<a<c.
故选：D.
二、填空题
7．（23-24 高一上·河南郑州·期中）计算：(lg5)
2−(lg2)
2+8
2
3 ×lg√2−0.6
0+0.2
−1=
.
【答案】5
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可求解.
【详解】
(lg5)
2−(lg2)
2+8
2
3 ×lg√2−0.6
0+0.2
−1=(lg5+lg2)(lg5−lg2)+(2
3)
2
3 ×lg2
1
2 −1+(5
−1)
−1
=lg5−lg2+ 4× 1
2 ×lg2−1+5=lg5+lg2+ 4 =5，
故答案为：5
8．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数f (x)=¿，则f[f(−1
2)]的值等于 ．
【答案】1
【分析】根据分段函数，代入求值即可.
【详解】f(−1
2)=2×(−1
2)+3=2，
所以f[f(−1
2)]= f (2)= log22=1.
故答案为：1.
9．（2025·广西·模拟预测）若函数f ( x)=¿，在R上是增函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】5
3 ≤a<2
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得.
【详解】由函数f ( x)=¿在R 上是增函数，得¿，解得5
3 ≤a<2，
所以实数a的取值范围为5
3 ≤a<2.
故答案为：5
3 ≤a<2
10．（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数f ( x)= ln(a x
2−2ax +2)定义域为R，则a 的取值
范围是 .
【答案】[0,2)
【分析】应用一元二次不等式恒为正分a=0,a>0两种情况计算求解.
【详解】G( x)=a x
2−2ax +2>0对一切实数均成立，
所以当a=0时，显然成立；
当a>0时，Δ=4 a
2−4 a×2<0，
解得a∈(0,2)；
故a的取值范围为[0,2).
故答案为：[0,2)
11．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知f (x)=¿，则f(f(
1
3))= ．
【答案】1
3
【分析】利用指数函数性值判定内层函数值的大小，根据分段函数的条件正确代入，
利用对数的运算法则求值.
【详解】由题意得f(
1
3)=10
1
3 >1，所以f(f(
1
3))= f(10
1
3)=lg10
1
3 = 1
3.
故答案为：1
3.
12．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若函数f (x)= x
3−3 x +3a在区间[−2,m)的值域为[4,8]，
则a
m的取值范围为 .
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】(
1
2 ,4]
【分析】根据函数导数判断函数的单调性，通过单调区间判断给定值域对应的定义域
范围，求出参数范围，在根据指数函数单调性，求出结果.
【详解】因为f (x)= x
3−3 x +3a，则f
′ (x)=3 x
2−3=3(x +1)(x−1)，
所以当x<−1或x>1时f
′ (x)>0，当−1< x<1时f
′ (x)<0，
所以f (x)在(−∞,−1)，(1,+ ∞)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，
且f (−2)=−2+3a，f (−1)=2+3a，f (1)=−2+3a，
因为f (x)在区间[−2,m)的值域为[4,8]，所以f (−1)=2+3a=8，解得a=2，
此时f (x)= x
3−3 x +6，f (−2)= f (1)=−2+3a= 4，
又f (−1)= f (2)=8，∴−1<m≤2，则a
m=2
m∈(
1
2 ,4]，
故答案为：(
1
2 ,4].
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正实数N满足log9(log8 N )=7，则log3(log2 N )=
．
【答案】15
【分析】由题意得1
2 [−1+log3(log2 N )]=7，由此即可得解.
【详解】因为log9(log8 N )= 1
2 log3(
1
3 log2 N)= 1
2 [−1+log3(log2 N )]=7，则
log3(log2 N )=15．
故答案为：15.
14．（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)= log 1
7
(x
2−ax +6)在(−∞,2]上单调递增，则实
数a的取值范围是 ．
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【答案】[4,5)
【分析】令u= x
2−ax +6，由复合函数可知，内层函数u= x
2−ax +6在(−∞,2]上为
减函数，且对任意的x∈(−∞,2]，u= x
2−ax +6>0恒成立，即可得出关于实数a的
不等式组，由此可求得实数a的取值范围.
【详解】令u= x
2−ax +6，因为外层函数y = log 1
7
u为减函数，且原函数f (x)在
(−∞,2]上单调递增，
所以内层函数u= x
2−ax +6在(−∞,2]上为减函数，
且对任意的x∈(−∞,2]，u= x
2−ax +6>0恒成立，
所以¿，解得4≤a<5.
因此，实数a的取值范围是[4,5).
故答案为：[4,5).
四、解答题
15．（2024·山东菏泽·一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an−2(n∈N
*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=log2a2n−1,cn=
1
bnbn+1
，求证：c1+c2+c3+⋯+cn< 1
2．
【答案】(1)an=2
n
(2)证明见解析
【分析】（1）利用an与Sn项的关系，结合等比数列的定义及通项公式即可求解；
（2）利用（1）的结论及对数的运算，利用裂项相消法求数列{cn}的前n项和即可求解．
【详解】（1）由Sn=2an−2①，
当n=1时，S1=2a1−2=a1，解得a1=2，
当n≥2时，Sn−1=2an−1−2②，
①—②，得an=2an−1，
∴数列{an}是以首项为a1=2，公比为2 的等比数列，
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
∴an=a12
n−1=2
n．
（2）由（1）知a2n−1=2
2n−1，
∴bn=log2a2n−1=2n−1,bn+1=2n+1．
则cn=
1
bnbn+1
= 1
2(
1
2n−1 −
1
2n+1)，
故c1+c2+c3+⋯+cn= 1
2(
1
1 −1
3 + 1
3 −1
5 +⋯+
1
2n−1 −
1
2n+1)= 1
2(1−
1
2n+1)，
所以
1
2n+1 >0,1−
1
2n+1 <1, 1
2(1−
1
2n+1)< 1
2，
故c1+c2+c3+⋯+cn< 1
2．
16．（2024·上海奉贤·一模）已知函数y = f (x)，其中f (x)=a
x（常数a>0且a≠1）．
(1)若函数y = f (x)的图象过点(2,9)，求关于x的不等式f (|2 x−1|)>3的解集；
(2)若存在x∈(0,1]，使得数列f (1)、f (tx)、f (x
2+2)是等比数列，求实数t的取值范
围.
【答案】(1)¿或x<0}
(2)[2,+∞)
【分析】（1）点(2,9)代入函数解析式求出a，再解指数不等式可得答案；
（2）根据数列f (1)、f (tx)、f (x
2+2)是等比数列可得t = x
2+3
2 x
，令g(x)= x
2 + 3
2 x
x∈(0,1]，利用导数判断出g(x)在x∈(0,1]上的单调性，求出g(x)的值域可得答案.
【详解】（1）若函数y = f (x)的图象过点(2,9)，则f (2)=a
2=9，
解得a=3，a=−3舍去，所以f (x)=3
x，
由f (|2 x−1|)=3|2 x−1|>3得|2 x−1|>1，
解得x>1或x<0，
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以不等式f (|2 x−1|)>3的解集为¿或x<0}；
（2）f (1)=a,f (tx)=a
tx,f (x
2+2)=a
x
2+2，
若存在x∈(0,1]，使得数列f (1)、f (tx)、f (x
2+2)是等比数列，
则a
2tx =a
x
2+2⋅a，可得2tx = x
2+3，
由x∈(0,1]可得t = x
2+3
2 x = x
2 + 3
2 x ，
令g(x)= x
2 + 3
2 x (x∈(0,1])，g
′ (x)= 1
2 −3
2 x
2 = x
2−3
2 x
2 ，
当x∈(0,1]时，x
2∈(0,1]，所以g
′ (x)= x
2−3
2 x
2 <0，
可得g(x)= x
2 + 3
2 x 在x∈(0,1]上单调递减，所以g(x)≥g(1)=2，
则实数t的取值范围[2,+∞).
17．（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）已知函数f ( x)= log2(2
x+a+ 1
2
x)的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)当a=0时，判断f (x)的奇偶性，并解关于t的不等式f (t +1)>f (1−2t ).
【答案】(1)(−2,+∞)
(2)偶函数，(0,2).
【分析】（1）由题意知2
x+a+ 1
2
x >0恒成立，利用换元法将不等式转化为一元二次函
数恒成立问题，再利用分离参数求最值即可求解；
（2）求出函数f ( x)的定义域，根据f (−x)= f (x)即可判断函数f (x)的奇偶性，换元法
求出函数f (x)在(0,+ ∞)上的单调性，再根据函数的奇偶性可得函数f (x)在定义域上的
单调性，从而根据单调性判断t +1与1−2t的关系.
【详解】（1）因为函数f ( x)= log2(2
x+a+ 1
2
x)的定义域为R，
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
所以2
x+a+ 1
2
x >0恒成立，所以4
x+a⋅2
x+1>0恒成立，
令t =2
x，则t >0，所以t
2+at +1>0在(0,+ ∞)上恒成立，
即t >0时， a>−(t + 1
t)恒成立，令y =−(t + 1
t)，t ∈(0,+ ∞)，
由y
′ =−(1−1
t
2)=−(t −1)(t +1)
t
2
，x∈(0,1)时，y
′>0，x∈(1,+∞)时，y
′<0，
因此y =−(t + 1
t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以ymax=−2，
故a>−2，即a的取值范围为(−2,+∞)；
（2）当a=0时，f ( x)= log2(2
x+ 1
2
x)，
因为f (x)的定义域为R，定义域关于原点对称，
又因为f (−x)= log2(2
−x+ 1
2
−x)= log2(
1
2
x +2
x)= f ( x)，
所以f (x)为偶函数.
当x>0时，f ( x)= log2(2
x+ 1
2
x)，令m=2
x>1，
令h(m)=m+ 1
m，m∈(1,+∞)，h
' (m)=1−1
m
2 = (m−1)(m+1)
m
2
，
又m∈(1,+ ∞)时，h
' (m)>0，所以h(m)=m+ 1
m在m∈(1,+∞)上单调递增，
即y =2
x+ 1
2
x 在(0,+ ∞)上单调递增，又y = log2 x在定义域上为增函数，
所以函数f (x)在(0,+ ∞)上单调递增，又函数f (x)在定义域上为偶函数，
所以函数f (x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
因为f (t +1)>f (1−2t )，所以|t +1|>|1−2t|，
即(t +1)
2>(1−2t )
2，解得0<t <2，
故原不等式解集为(0,2).
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
18．（2024·江苏南通·一模）已知函数f ( x)= log2
1−x
1+ x ．
(1)判断并证明f (x)的奇偶性；
(2)若对任意x∈[−1
3 , 1
3]，t ∈[−2,2]，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，求实数a 的
取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)−1
2 ≤a≤1
2.
【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定f (x)在x∈[−1
3 , 1
3]上最小值，把问题化为
t
2+at −5≤0在t ∈[−2,2]上恒成立，即可求结果.
【详解】（1）f (x)为奇函数，证明如下：
由解析式易知1−x
1+ x >0⇒( x−1)( x +1)<0⇒−1< x<1，函数定义域为(−1,1)，
而f (−x)= log2
1+ x
1−x =−log2
1−x
1+ x =−f ( x)，故f (x)为奇函数.
（2）由m= 1−x
1+ x =
2
1+ x −1在x∈[−1
3 , 1
3]上为减函数，而y = log2m在定义域上为
增函数，
所以f (x)在x∈[−1
3 , 1
3]上为减函数，故f (x)min= f ( 1
3 )=−1，
要使任意x∈[−1
3 , 1
3]，t ∈[−2,2]，不等式f ( x)≥t
2+at −6恒成立，
只需t
2+at −6≤−1在t ∈[−2,2]上恒成立，即t
2+at −5≤0在t ∈[−2,2]上恒成立，
由y =t
2+at −5开口向上，则¿，
综上，−1
2 ≤a≤1
2.
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
42
