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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通
用）
第 06 讲 函数的概念及其表示（精讲）
题型目录一览
①给出函数解析式求解定义域
②抽象函数定义域的求法
③函数值域的求法
④函数解析式的求法
⑤分段函数的应用
★【文末附录-函数的概念及其表示思维导图】
一、知识点梳理
1.函数的概念
(1)一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素 ，都有 中
唯一确定的 与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一
个函数.记作： ， .集合 叫做函数的定义域，记为 ，集合
， 叫做值域，记为 .
(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
(3)函数表示法：函数书写方式为 ，
(4)函数三要素：定义域、值域、对应法则.
(5)同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.
2.基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的
定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式
子的范围相同；（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的
定义域.
3.基本初等函数的值域
(1) 的值域是 .
(2) 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域
为 ．
(3) 的值域是 .
(4) 且 的值域是 .
(5) 且 的值域是 .
4.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数
通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，
值域是各段值域的并集．
二、题型分类精讲
题型 一 给出函数解析式求解定义域
策略方法 已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)简单函数的定义域：若f (x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则
它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定
对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交
集即可．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) .
【题型训练】
一、单选题
1．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
2．函数 定义域为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．函数 的定义域是__________.
4．函数 的定义域是_________．
三、解答题
5．求下列函数的定义域：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
6．已知函数 的定义域为M，
（1）求M；
（2）当 时，求 的最小值．
题型二 抽象函数定义域的求法
策略方法 抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时
的值域．
提醒：明确定义域是自变量“x”的取值范围．
【典例1】求下列函数的定义域：
(1)已知函数 的定义域为[1，2]，求函数 的定义域；
(2)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域；
(3)已知函数 的定义域[1，2]，求函数 的定义域.
【题型训练】
一、单选题
1．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．若已知函数 的定义域为 ，则可求得函数 的定义域为 ；问
实数m的值为______．
5．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域___________.
三、解答题
6．已知函数 的定义域为 .
(1)求 的定义域 ；
(2)对于（1）中的集合 ，若 ，使得 成立，求实数 的取值范围.7．已知函数 的定义域是 ，设 ，
(1)求 的定义域；
(2)求函数 的最大值和最小值.
题型三 函数值域的求法
策略方法 函数值域的求法主要有以下几种
（1）观察法:根据最基本函数值域（如 ≥0, 及函数的图像、性质、简单
的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可
配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值
城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简
化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程
的判别式求值域，一般地，形如 ， 或 的函数
值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8)单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对
于形如 或 的函数，当ac>0时可利用单调
性法.
【典例1】试求下列函数的值域.
(1) ， (2)(3) (4)
【题型训练】
一、解答题
1．求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5)；
(3)y＝ ； (4)y＝x＋ ．
二、单选题
2．函数 ， ，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．下列四个函数：① ；② ；③ ；④ ．其中
定义域与值域相同的函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列函数中，值域是 的是（ ）
A． B． ，
C． ， D．
三、多选题
5．已知函数 ，则（ ）．
A． 的值域是 B． 的定义域为
C． D．6．下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
四、填空题
7．函数 的值域为__________.（结果用区间表示）
8．函数 的值域为________.
题型四 函数解析式的求法
策略方法 函数解析式的常见求法
【典例1】（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的解析
式．
（2）若对任意实数x，均有 ，求 的解析式．
【典例2】（1）已知 ，求 的解析式；
（2）已知 ，求 的解析式．【题型训练】
一、单选题
1．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．一次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为
（ ）
A． B． C． D．
3．已知定义在 上的单调函数 ，其值域也是 ，并且对于任意的 ，都有
，则 等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知函数 ，则 __________．
6．已知 ，则 的值域为______.
7．设定义在 上的函数 满足 ，则 ___________.
三、解答题
8．在① ，② ，③对任意实数x，y，均有
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解
答.已知函数 满足 ，求 的解析式.
9．求下列函数的解析式
(1)若 ，求 的表达式．
(2)已知 ，求 的表达式．
(3)已知 是二次函数,且满足 ,求 .题型五 分段函数的应用
策略方法
1．分段函数求值的策略
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入
该区间对应的解析式求值．
(2)当出现f (f (a))的形式时，应从内到外依次求值．
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不
同段的端点．
2．求参数或自变量的值
解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与
该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即
可．
3．分段函数与不等式问题
解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨
论．如果分段函数的图象比较容易画出，也可以画出函数图象后，结合图象求
解．
【典例1】已知
(1)求
(2)若 ，求实数 的值
【题型训练】
一、单选题
1．设 则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
2．函数 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
3．已知函数 ，若 ，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
4．已知函数 是 上的增函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．已知函数 ，关于函数 的结论正确的是（ ）
A． 的定义域为 B． 的值域为
C． D．若 ，则 的值是2
6．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 ，称
为狄利克雷函数，则关于函数 有（ ）
A．函数 的值域为 B．
C． D． ，都有
三、填空题
7．已知函数 若 ，则实数 的值为______.
8．定义在 上的函数 满足 ，则 ______.
9．已知函数 ，若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
____________．
【附录-函数的概念及其表示思维导图】
