文档文本内容
第 01 讲 数列的基本知识与概念
内容导航
01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势
02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维
03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1数列的定义与相关概念 知识点2数列的分类
知识点3数列的通项公式 知识点4数列的递推公式
知识点5数列的前n项和Sn
题型破译 (含超链接）
题型 1 数列的周期性
【方法技巧】列举寻周期法
题型 2 数列的单调性
【方法技巧】三类判单调法
题型 3 递推公式求通项公式（累加法）
【方法技巧】逐项相消累加法
题型 4 递推公式求通项公式（累乘法）
【方法技巧】约分消元累乘法
题型 5 递推公式求通项公式（构造法）
【方法技巧】配凑构造新数列法
题型 6 利用 an 与 Sn 的关系求通项公式
04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向
05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材
命题透视·考情前瞻
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学科网（北京）股份有限公司——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
全国一卷T16（1）（6
递推公式求通项 _______ _______
分）
a S
利用 n与 n关 全国甲卷T18（1）（5
_______ _______
分）
系求通项
高考单独考查数列基础概念的题目占比不高，考情长期稳定，题型、难度、出题频次
考情分析 波动很小。命题更侧重将数列视作特殊函数综合出题，常围绕单调性、周期性、最值
三大核心性质设置考题，也是小题与大题高频命题方向。
1.理解、掌握数列基本概念，分清 与a 的区别；
n
2.熟练判断数列类型，明晰数列作为特殊函数的图像与性质；
复习目标 { S ,n=1
3.熟记通项公式、递推公式含义，牢记前n项和分段公式 a n = 1 ；
S −S ,n≥2
n n−1
4.学会借助函数单调性、最值分析数列，夯实基础小题解题能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
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学科网（北京）股份有限公司知●识●解●构
知识点1数列的定义与相关概念
1.数列定义：按照一定次序排列的一列数称为数列。
2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项，第一项称为_________。
3.数列通用表示：数列一般形式可简写为a 。
n
4.数列项的三大性质（对比集合元素）
（1）确定性：任意数字能否作为数列中的项可以明确判断，和集合元素性质一致。
（2）可重复性：数列内数字允许_________，集合元素具有互异性，二者存在区别。
（3）有序性：数字相同但_________不同属于不同数列；集合不受元素顺序影响。
自主检测
1．已知数列 ， ， ，3， ，…，则 是这个数列的第__________项.
知识点2数列的分类
分类标准 数列名称 定义说明
有穷数列 项数_________，存在最后一项
按项的总个数划分
无穷数列 项数无限，无末尾项
递增数列 从第二项起，每一项都_________前一项
递减数列 从第二项起，每一项都_________前一项
按项数值大小变化划分
常数列 数列中每一项数值全部_________
摆动数列 项的数值大小交替起伏，忽大忽小
自主检测
2．（多选）下列叙述不正确的有（ ）
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列
B．数列0，1，2，3，…的通项公式是
C． ，1， ，1，…是常数列
D． ， ， ， ，…是递增数列，也是无穷数列
3．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）
A．
B．
C．
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学科网（北京）股份有限公司D．
知识点3数列的通项公式
1.定义：若数列第n项a 与序号n的对应关系能用式子表达，该式为数列通项公式。
n
2.区分要点
（1）{a }代表_________，a 仅指数列的第n项，二者含义不同。
n n
（2）项与项数区分：项是具体数字（函数值），项数n是数字所在_________（自变量）。
3.补充说明：同一个数列可以写出多种形式不同、实质等价的通项公式。
自主检测
4．已知数列 ，下列不是该数列的通项公式的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 的通项公式为 ，则下列各数是数列 中的项的是（ ）
A． B． C． D．
知识点4数列的递推公式
1.定义：已知数列_________（或_________），任意一项与其前一项（前几项）的关系式称为递推公
式。
2.构成：递推公式包含两部分，一是_________，二是项与项之间的_________。
自主检测
6．若数列 满足 ，且对于任意的 都有 ，则 __________.
7．数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B．0 C． D．1
知识点5数列的前n项和S
n
1.定义：S 表示数列前n项相加的_________，S =a +a +a +…+a 。
n n 1 2 3 n
n
2.通项与前 项和转换公式
推导说明
n=1时，前1项和S 直接等于_________；
1
n≥2时，用前n项和减去前n−1项和，即可得到第n项a 。
n
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学科网（北京）股份有限公司自主检测
8．已知数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题●型●破●译
题型1 数列的周期性
例1-1（2025·山东泰安·二模）在数列 中， ， ， ，则 的前100项和为
_________.
例1-2（2025·山东聊城·一模）已知数列 ，若 ，且 （ 为正整数）， 则数列
的第35项为________________．
方法技巧 列举寻周期法
1.由已知条件写出数列前若干项，观察数字重复出现的规律，确定周期T。
2.求第n项时，计算n÷T，根据余数判断该项与周期内对应位置数值相等，余数为0则取周期最后一项。
3.求和类题型：先算出一个周期内所有项的和，统计完整周期个数，再加上余下几项的数值。
4.常结合递推式、a 与S 关系式推导周期，计算时注意准确罗列前几项，避免漏项看错周期。
n n
【变式训练1-1】（2026·黑龙江绥化·一模）已知数列 满足 则 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2026·广东云浮·一模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则 _________．
【变式训练1-3】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，且对任意 ，则
____________．
题型2 数列的单调性
例2-1（2025·河北沧州·三模）设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
例2-2（2026·湖北襄阳·三模）设函数 ，数列 满足 ，且数列 是
严格递增数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 三类判单调法
1.作差法：计算a −a ，差值恒大于0为递增数列；恒小于0为递减数列。
n+1 n
a
n+1
2.作商法：数列各项恒正时，计算 ，比值大于1递增，小于1递减。
a
n
3.函数法：将通项a 看作关于n的函数，结合函数单调性，注意n∈N∗取离散正整数。
n
{a ≥a
4.求最值：递增数列最小项为首项；递减数列最大项为首项；摆动数列通过解不等式 n n+1找最值
a ≥a
n n−1
项。
【变式训练2-1】（2025·甘肃平凉·二模）已知数列 的通项公式为 （ 为正整数），则数列
的前 项和 的最小值为__________
【变式训练2-2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列 满足 ，若 ，数列
单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（2026·广东潮州·二模）已知数列 满足 ， ，则 的最大项
为（ ）
A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项
题型3 递推公式求通项公式（累加法）
例3-1（2026·江苏徐州·一模）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
例3-2（2026·四川自贡·一模）（1）在数列 中， ， ，求数列 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若数列 满足： ， ，求数列 的通项公式.
方法技巧 逐项相消累加法
1.适用形式：a −a =f(n)，后项减前项为关于n的可求和代数式。
n+1 n
2.步骤：依次列出n≥2时a −a 、a −a 、…、a −a ，左右全部累加，中间项相互抵消。
2 1 3 2 n n−1
3.化简得到a −a ，代入首项a 整理出通项，最后检验n=1是否满足式子。
n 1 1
4.f(n)常为一次式、指数式、分式，求和时灵活运用等差、等比求和公式。
【变式训练3-1】（2025·河南商丘·二模）在数列 中， ，则 的值为（ ）
A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D．
【变式训练3-2】（2025·湖南株洲·二模）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【变式训练3-3】（2026·吉林通化·二模）已知数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式；
题型4 递推公式求通项公式（累乘法）
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学科网（北京）股份有限公司例4-1（2026·广西百色·三模）已知数列 中， ， ，则 ________.
例4-2（2025·辽宁大连·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
方法技巧 约分消元累乘法
a
1.适用形式：
n+1=f(n)，后项与前项的比值为关于n的可化简代数式。
a
n
a a a
2.步骤：写出n≥2时 2、 3、…、 n ，左右累乘，中间分式约分消去。
a a a
1 2 n−1
a
3.化简得到 n ，代入首项求出a ，验证n=1是否符合通项表达式。
a n
1
4.f(n)多为一次因式、指数式，约分过程注意准确拆分因式，防止计算失误。
【变式训练4-1】（2026·江苏宿迁·二模）已知数列 满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
【变式训练4-2】（2026·山西阳泉·一模）已知数列 满足 ，则数
列 的通项公式为___________．
【变式训练4-3】（2025·湖南郴州·一模）在数列 中， ， ，若 ，
，则 的取值范围为（ ）
A． B．（-1,1） C． D．
题型5 递推公式求通项公式（构造法）
例5-1（2026·甘肃兰州·一模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 （ ）
A．108 B．109 C．110 D．111
例5-2（2026·吉林四平·二模）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ，则通项公式
为______
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学科网（北京）股份有限公司方法技巧 配凑构造新数列法
1.一阶线性递推a =pa +q(p≠1)：构造等比数列a +λ=p(a +λ)，解出常数λ，求出新数列通项
n+1 n n+1 n
再反推a 。
n
2.a =pa +f(n)：配凑同结构形式，构造等差或等比数列；含指数式时两边同除指数构造新数列。
n+1 n
3.分式型递推：取倒数转化为一次递推，再用构造法求解。
4.求出构造数列通项后，还原原式得到a ，务必检验首项。
n
【变式训练5-1】（2025·海南儋州·三模）已知数列 满足 ， ， ，则通项公式
______
【变式训练5-2】（2025·四川南充·一模）在数列 中， ，则通项公式
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（2026·河南平顶山·模拟预测）已知数列 中， ，则数
列 的通项公式 ______．
题型6 利用an与Sn的关系求通项公式
例6-1（2026·广东江门·一模）已知数列 的前 项和为 ， ，则 的前7项和为
（ ）
A． B． C． D．
例6-2（2026·湖北十堰·模拟预测）已知数列 满足 ，
，若数列 为单调递增数列，则 的取值范围为______.
【变式训练6-1】（2026·江西上饶·二模）已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，
则正整数 （ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【变式训练6-2】（2026·江苏扬州·二模）已知 为数列 的前 项和，若 ，则
________.
【变式训练6-3】（2026·湖北荆州·三模）已知数列 的前n项和为 ， ；
(1)求 的通项公式；
(2)若不等式 对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司【变式训练6-4】（2026·河北承德·一模）已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式；
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2026·北京·高考真题） ， 是无穷数列，则“存在常数 ，使 ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环
绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·天津·高考真题）已知 是数列 的前n项的和，且 ， ，则 （ ）
A．68 B．56 C． D．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
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学科网（北京）股份有限公司1．已知数列 满足 ， ，写出它的前5项，并猜想它的通项公式.
2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上
第 项的图形和点数．
(1)
(2)
(3)
3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三
行的1，5，12，22称为五边形数.请你分别写出三角形数､正方形数和五边形数所构成的数列的第5项和第
6项.
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学科网（北京）股份有限公司4．已知数列 的前 项和公式为 ，求 的通项公式.
6．已知函数 ，设数列 的通项公式为 .
（1）求证 .
（2） 是递增数列还是递减数列？为什么？
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