“3.1.3 简单的分段函数”-湘教版高中数学必修一教材分析

一、教材编排的逻辑定位

1.1 在全章中的位置

“简单的分段函数”是湘教版（2019）必修第一册第三章“函数的概念与性质”中 3.1 节的第三课时（3.1.3），紧承 3.1.1“对函数概念的再认识”和 3.1.2“表示函数的方法”。在此之前，学生已经完成了：

• 3.1.1：用集合语言重新认识了函数概念，明确了函数三要素（定义域、对应关系、值域）；
• 3.1.2：系统学习了函数的三种表示方法（解析法、图象法、列表法），并掌握了求定义域、判断同一函数等基本操作。

如果说 3.1.1 和 3.1.2 解决的是“函数是什么”和“如何表示函数”的问题，那么 3.1.3 要回答的核心问题是：当一个函数在不同区间上有不同的对应关系时，如何表示和研究它？ 这是对函数概念的深化和拓展。

1.2 在全章中的战略地位

本节内容承担着三重功能：

第一，概念深化。 分段函数是函数概念的重要延伸——它表明，一个函数可以有多段不同的对应关系，但仍然是一个统一的函数。这打破了学生“一个函数只有一个解析式”的固有认知。

第二，方法训练。 分段函数的图象画法和性质研究，需要运用分类讨论思想，是数学思维方法的重要训练。

第三，工具奠基。 分段函数在后续学习中广泛出现——绝对值函数、取整函数、符号函数、实际问题中的分段计费问题等，都依赖于本节所学的分段函数知识。

1.3 与 3.1.1 和 3.1.2 的逻辑衔接

本节与 3.1.1 和 3.1.2 形成了紧密的逻辑链条：

特别值得关注的是：分段函数本质上仍然是一个函数，它满足函数定义中的“任意性”和“唯一性”要求——对于定义域中的每一个 ，都有唯一的  与之对应，只是这个对应关系在不同区间上有不同的表达式。因此，分段函数不是对函数概念的否定，而是函数概念的自然延伸。

二、分段函数的概念与特征

2.1 分段函数的定义

虽然教材在本节没有单独给出分段函数的正式定义，但通过例7的解答，我们可以提炼出分段函数的核心含义：

“因为  所以函数  的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线。”

分段函数的本质特征：

• 在定义域的不同子区间上，函数有不同的对应关系；
• 各段合在一起构成一个完整的函数；
• 对于定义域中的每一个 ，都有唯一的  与之对应。

2.2 分段函数“三要素”分析

以  为例：

2.3 分段函数的关键认知

教材在例7的解答后特别强调：

“要解决与分段函数有关的问题，通常要‘分段’讨论，但需注意的是，最后要有一个统一的结论。分段仅仅是用了不同的表达式，分了段仍然是一个函数。”

这段话点明了分段函数的核心认知：

第一，“分段”是手段，不是目的。 分段是为了更清楚地表达函数在不同区间上的对应关系，而不是把函数“拆散”成多个函数。

第二，“分段”不等于“分裂”。 分段函数各段之间可能存在连续性或间断性，但无论哪种情况，它们共同构成一个完整的函数。

第三，“统一结论”的重要性。 分段讨论后必须给出统一的结论，不能停留在“各段分别如何”的层面。

三、例题分析

本节设置了两道例题（例7和例8），难度逐级递进，功能各有侧重。

3.1 例7：绝对值函数——分段函数的典型范例

3.1.1 题目分析

“画出函数  的图象，并求 ，，， 的值。”

解答过程：

图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线（如图 3.1-3 所示）。

计算：，，，。

最后总结： 也是一个分段函数。

3.1.2 教学价值分析

第一，绝对值函数是分段函数的最典型范例。 学生在初中已经接触过绝对值，但当时是从“数”的角度理解（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）。本节将绝对值置于函数的框架下，用分段函数的形式重新表述，实现了从“数的绝对值”到“绝对值函数”的认知升级。

第二，函数值的分段计算。 计算 、 等函数值时，需要根据  的取值范围选择对应的表达式。这训练了学生“先判断区间，再代入计算”的思维习惯。

第三，图象的几何直观。 绝对值函数的图象是“V”字形折线，这一几何特征直观地展示了函数在两段上的不同变化规律：左段递减，右段递增。为后续学习单调性埋下伏笔。

3.2 例8：双绝对值函数——分段讨论的综合训练

3.2.1 题目分析

“画出函数  的图象。”

解答过程：

为了去掉绝对值符号，需分段讨论：

• 当  时，；
• 当  时，；
• 当  时，。

分段画出  的图象（如图 3.1-4 所示）。

教材还给出了作图技巧：

“作分段函数的图象，一段一段地按表达式画是基本方法。本例可更简单：因为  和  不论在哪一段中，去掉绝对值符号后所得都是一次函数，其和（或差）是一次函数或常数函数，图象都是直线，每段都是线段或射线，要作出其图象，只要在每段上取两个点就够了。”

“为了简单，尽可能取分段点。绝对值函数的分段点，就是绝对值符号中的量为0的点，所以  的分段点在  和  之处。为了画出第一段和第三段的射线，再取  和 。这样，即使不去掉绝对值符号，也能画图。”

3.2.2 教学价值分析

第一，多个绝对值的分段处理。 与例7只有一个绝对值不同，例8有两个绝对值  和 。学生需要找出两个分段点（ 和 ），将定义域分为三段，分别讨论。

第二，分段点的确定方法。 教材明确指出：“绝对值函数的分段点，就是绝对值符号中的量为0的点。”这一方法具有一般性——对于含有多个绝对值的函数，令每个绝对值内部为0，即可得到所有分段点。

第三，分类讨论思想的训练。 例8是分类讨论思想在函数中的典型应用。学生需要：

• 确定分类标准（分段点）；
• 在各段内去绝对值符号；
• 化简各段的表达式；
• 综合各段得到完整图象。

第四，作图技巧的优化。 教材提供了两种作图方法：基本方法（逐段按表达式画）和优化方法（利用分段点和端点直接画）。后者依赖于对函数性质的深入理解——每一段都是一次函数，图象是直线，因此只需两个点即可确定。

第五，与例7的对比。 例7是“一个绝对值”的情形，例8是“两个绝对值”的情形。从例7到例8，体现了从简单到复杂、从特殊到一般的认知递进。

四、“多知道一点”：常用的分段函数

本节末尾的“多知道一点”栏目介绍了三个常用的分段函数：

4.1 取整函数 

“常用  表示不大于  的最大整数，如 ，，。 叫作整数部分函数。”

取整函数是一个典型的分段函数，其分段点为所有整数。它的图象是阶梯形折线，在每个整数点处发生跳跃。

4.2 小数部分函数 

“对应地， 叫作小数部分函数，例如 ，， 等。”

小数部分函数的值域为 ，它也是分段函数，每个整数区间  上对应不同的表达式。

4.3 符号函数 

“还有一个符号函数 ，当  时，；当  时，；当  时，。”

符号函数是最简单的分段函数之一，只有三段，且每段都是常数函数。

4.4 教学价值

“多知道一点”栏目拓宽了学生的视野，让学生认识到分段函数不仅是数学课本中的抽象概念，而是有广泛应用的重要工具。取整函数、小数部分函数、符号函数在计算机科学、信息处理等领域都有重要应用。

五、教学重难点与实施建议

5.1 教学重点

• 分段函数的概念与特征（一个函数，多段表达式）
• 分段函数图象的画法（分段讨论、逐段作图）
• 分段函数函数值的计算（先判断区间，再代入计算）

5.2 教学难点

• 分段点的确定：对于含绝对值的函数，需要令每个绝对值内部为0，找到所有分段点。
• 各段表达式的化简：在不同区间内，去绝对值符号时需要注意符号的变化。
• 分段函数是一个函数的认识：学生容易将分段函数误解为“多个函数”，需要反复强化“分段不分家”的观念。
• 分类讨论的完备性：分段讨论时，各段的并集必须等于整个定义域，不能遗漏或重复。

5.3 概念辨析

第一，分段函数与多个函数的区别。 分段函数是一个函数，不是多个函数。它的定义域是各段定义域的并集，对应关系是在不同区间上分别定义的。

第二，分段点的归属。 分段点归入哪一段需要根据具体情况确定。如例7中  归入第二段（），例8中  归入第二段（）。分段点归属于哪一段不影响函数值，但需要在各段定义中保持一致。

第三，分段函数的连续性。 分段函数在分段点处可能连续，也可能不连续。如  在  处连续，而符号函数在  处不连续。教学中应通过具体例子引导学生观察分段点处的连续性。

第四，绝对值与分段函数的关系。 含绝对值的函数都可以化为分段函数，但分段函数不一定是含绝对值的函数。如“多知道一点”中介绍的取整函数、符号函数，都是分段函数但不含绝对值。

第五，图象的“整体性”与“分段性”。 分段函数的图象是由各段图象拼接而成的，但整体上仍然是一个完整的图象。教学中应引导学生先分段画出各段图象，再合并观察整体特征。

5.4 与核心素养的关联

本节重点培育的核心素养包括：

• 数学抽象：从绝对值函数的具体表达式中抽象出分段函数的一般概念。
• 逻辑推理：运用分类讨论思想进行分段讨论，保证各段讨论的完备性。
• 直观想象：通过分段函数图象直观理解函数的变化规律。
• 数学运算：在各段内去绝对值符号、化简表达式、计算函数值。

六、与前后内容的贯穿联系

特别值得关注的是：本节为后续学习函数的单调性、奇偶性、最值等性质奠定了基础。分段函数的单调性需要分段讨论，分段函数的最值需要比较各段的最值，这些内容都依赖于本节所学的分段函数知识。

同时，本节也为后续学习具体函数提供了工具。例如，指数函数、对数函数在某些实际问题中会以分段函数的形式出现（如分段计费、分段增长等）。

湘教版“简单的分段函数”一节，完成了从单一解析式到分段表达的思维拓展，是函数概念深化的重要一课。

本节的知识体系形成了完整的结构：

• 概念层：分段函数的本质——一个函数，多段表达式。
• 方法层：分段点的确定、各段表达式的化简、分段图象的画法。
• 应用层：绝对值函数、取整函数、小数部分函数、符号函数等常用分段函数。

从更深层次的教学目标来看，本节是高中数学中“分类讨论”思想的重要训练课。分段函数的求解过程本质上就是分类讨论的过程——确定分类标准（分段点）、在各段内讨论（去绝对值、化简）、综合各段结论（合并图象或解集）。这种“先分后合”的思维方法，在整个高中数学中具有广泛的应用。

本节还体现了“从特殊到一般”的认知规律。例7的绝对值函数是分段函数的最简单情形，例8的双绝对值函数则是更复杂的情形。通过这两个例题，学生可以逐步掌握分段函数的一般处理方法。

最终，学生应当形成这样的认识：分段函数不是“多个函数”，而是“一个函数”在不同区间上的不同表达。分段只是表达方式的不同，不改变函数的本质。 这种对分段函数的正确理解，将为学生后续学习更复杂的函数问题奠定坚实的基础。