【数学必备】高中数学易混淆知识④轴对称、中心对称和周期性的符号表达区别

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函数轴对称、中心对称与周期性的符号表达在“自变量（x）的运算”和“函数值（f(x)）的运算”上存在本质区别。

核心规律为：“内同有周期性，内反有对称性”（即括号内x的符号相同多表现为周期，符号相反多表现为对称），

“等号两边函数值相等为轴对称，函数值相加为定值为中心对称”。具体区别如下：

一、 轴对称的符号表达轴对称的代数本质是：等号两边自变量关于对称轴对称，且函数值相等（即“内反外同”：括号内x符号相反，函数值符号相同）。1.关于直线 x=(a+b)/2 对称：f(a+x) = f(b-x)（括号内x符号相反，相加为定值，除以2得对称轴）。

2.关于直线 x=a 对称：

f(a+x) = f(a-x) 或 f(x) = f(2a-x)。

3.偶函数（关于y轴对称）：f(-x) = f(x)。

二、 中心对称的符号表达中心对称的代数本质是：等号两边自变量关于对称中心对称，且函数值相加为定值（即“内反外异”：括号内x符号相反，函数值符号相反或相加为定值）。1.关于点 ((a+b)/2, c/2) 对称：f(a+x) + f(b-x) = c（括号内x符号相反，相加为定值，除以2得对称中心横坐标；函数值相加为定值，除以2得对称中心纵坐标）。

2.关于点 (a, 0) 对称：

f(a+x) = -f(a-x) 或 f(x) = -f(2a-x)

3.奇函数（关于原点对称）：f(-x) = -f(x)。

三、 周期性的符号表达周期性的代数本质是：等号两边自变量相差为定值，且函数值相等（即“内同”：括号内x符号相同，函数值符号相同）。1.基本周期：f(x) = f(x+T)（T为周期）。2.相反数周期：f(x) = -f(x+T)（周期为 2T）。3.平移周期：f(x+a) = f(x+b)（周期为 |a-b|，括号内x符号相同，作差为定值）。

四、周期性与对称性的关系(a，b为常数，且a≠b)

(1)若函数f(x)的图象有对称轴x＝a和x＝b，那么周期T＝2|a－b|

(2)若函数f(x)的图象有对称中心(a，0)和(b，0)，那么周期T＝2|a－b|

(3)若函数f(x)的图象有对称轴x＝a和对称中心(b，0)，那么周期T＝4|a－b|