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【小学数学模型】13|和差模型和加差除以二,大数先出来
数学模型 · 小学数学 · 第 13 篇
13｜和差模型
和加差除以二，大数先出来
一、开门见山：这节课解决什么问题
「两筐水果共重 80 千克，第一筐比第二筐重 12 千克，各重多少？」——同学们，这类题从小升初到各种分班考，年年见。它的标志就一句话：已知两个数的和与差，求这两个数。别小看它，长方形的周长问题、年龄问题、盈亏问题里到处藏着它的影子。这节课我们用一个公式加一张线段图，把它彻底拿下。
二、知识清单：先把地基打牢
●「和」与「差」的识别：「共」「一共」「合计」指向和；「甲比乙多（少）几」指向差。读题第一步就是把这两个数圈出来。
●线段图：用线段长度表示数量，长短线段并排画，多出来的部分标「差」。这是和差问题的标配工具。
●移多补少思想：把多的那部分补到少的上面，两者可以变得一样多——公式的一半来自这个直觉。
●除法意义：「把 92 平均分成 2 份」这类均分操作，是公式最后一步「÷2」的来源。
●验算习惯：求出两数后，加起来看是否等于和、减一减看是否等于差。十秒钟的事，能挡住大半粗心。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
和差问题的结论是：（和 + 差）÷2= 大数，（和 − 差）÷2= 小数。很多同学背得滚瓜烂熟，一换情境就懵，因为不懂为什么。我们画线段图来看。
画两条线段：上面一条长的表示大数，下面一条短的表示小数，短的那段后面用虚线补上一截「差」。现在你看：下面的「小数 + 差」就和上面的大数一样长了。于是「和 + 差」相当于什么？相当于把短的那段补齐之后，两条线段变得一样长，总长度正好是两个大数。所以（和 + 差）÷2 就是大数——这就是公式的来历，一句话：把短的补上差，变成两个大数。
同理，把长的那段砍掉「差」，「和 − 差」就是两个小数，除以 2 得小数。两条路线，一个思想：先变成「两个一样的数」，再均分。
什么时候用？三个信号：①两个量；②给了和；③给了差（或者能换算出差，如「周长 36，长比宽多 6」——长加宽是 18 当和）。它常和「和倍模型」混淆：和倍给的是「甲是乙的几倍」，和差给的是「甲比乙多几」。「多几」用和差，「几倍」用和倍，一字之差，两套公式，考场上务必分清。还有一个隐蔽形态：「从甲拿 4 给乙后相等」，说明原来的差是 4×2=8，先还原出差再用模型。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●和：两个数相加的总和，题目中常以「共」「合计」出现；若给的是长方形周长，和 = 周长 ÷2。
●差：大数减小数的差，注意用大减小，取正数。
●大数：两数中较大的那个，对应「和 + 差」的路线。
●小数：两数中较小的那个，对应「和 − 差」的路线。
●常见变形：求出一个后，另一个 = 和 − 已求出的数，往往比再套一次公式更快。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1画两条线段：上长下短，标「大数」「小数」。
2标两个已知：大括号括住两条线标「和」；短线后补虚线段标「差」。
3选路线：求大数 → 想「补上差，两个大数」，用（和 + 差）÷2；求小数 → 想「砍掉差，两个小数」，用（和 − 差）÷2。
4回代验算：大 + 小 = 和，大 − 小 = 差，两条都过才算完。
六、标准解题流程
1画出两条线段表示两个量，标出和与差。
批注 别嫌画图慢，线段图一出来，「和 + 差」是两个大数这件事是眼睛看出来的，不是背出来的。
2把「和 + 差」看做两个大数之和。
批注 这是全题最绕的一步，对应线段图上「补齐短线」的动作。
3大数 = (和 + 差) ÷2，小数 = (和 − 差) ÷2。
批注 差是「多 12」就要加在大数那侧，方向别搞反；搞反了会出现大数比和的一半还小，立刻能发现。
4代回验证：大数 + 小数 = 和。
批注 顺手再验「大数 − 小数 = 差」，双保险。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
两筐水果共重 80 千克，第一筐比第二筐重 12 千克，求两筐各重多少千克。
审题关键
圈「共重 80」（和）和「重 12 千克」（差），「第一筐比第二筐重」说明第一筐是大数。
规范解答
由和差模型，
大数=(80+12)÷2=92÷2=46（千克）
小数=(80−12)÷2=68÷2=34（千克）
验证：46+34=80，46−34=12，均符合。
方法提炼
「共」+「比……多」就是和差模型的标准口令，两步除法直接出答案，最后务必口头验算。
例2（变式）
题目
（变式）甲乙两数的和是 100，甲比乙大 8。若从甲拿出 4 给乙，此时甲比乙大多少？
审题关键
先用和差求出甲乙，再模拟「拿出 4」的过程。圈「大 8」和「拿出 4」。
规范解答
甲 =(100+8)÷2=54，乙 =(100−8)÷2=46。甲给乙 4 后：甲 =54−4=50，乙 =46+4=50。此时甲比乙大 50−50=0。
方法提炼
变在叠了一个「移多补少」：给出一半的差（8÷2=4）恰好让两数相等。记住结论——想让别人和你一样多，只需给出你比他多的那部分的一半。
八、小升初常考题型精讲
题型一：直接给和差求两数型
题目
两数之和为 90，之差为 16，较大数是（ ）
A．37 B．53 C．45 D．74
审题关键
和 90、差 16 直接摆好，求大数用「+」路线。
规范解答
大数 =(90+16)÷2=106÷2=53，对应 B。
方法提炼
C 项 45 是和的一半，专钓「忘加差就除 2」的同学。
题目
两个数的和是 120，差是 28，较小的数是 ____。
审题关键
求小数，走「−」路线。
规范解答
小数 =(120−28)÷2=92÷2=46。（大数 =74，验算 74+46=120 ✓）
方法提炼
求哪个数决定用加还是用减，先把问题读两遍再动笔。
题目
甲乙两人共有邮票 168 枚，甲比乙多 24 枚，乙有 ____ 枚。
题型一 题图
审题关键
「共有」是和 168，「多 24」是差；问乙，乙是小数。
规范解答
乙 =(168−24)÷2=144÷2=72（枚），甲 =96 枚。
方法提炼
问谁就盯着谁的大小身份，乙少所以用「和 − 差」，别把甲算出来当答案。
题目
兄弟俩年龄之和是 50 岁，年龄之差是 8 岁，哥哥的年龄是（ ）
A．21 岁 B．25 岁 C．29 岁 D．33 岁
审题关键
哥哥是大数，和 50、差 8。
规范解答
哥哥 =(50+8)÷2=29（岁），弟弟 =21 岁，对应 C。
方法提炼
年龄外壳、和差内核；A 项 21 是弟弟的年龄，命题人专门放在那儿等你跳。
题型二：隐藏「和」的长方形型
题目
一个长方形周长是 36 厘米，长比宽多 6 厘米，宽是（ ）
A．6 厘米 B．12 厘米 C．15 厘米 D．9 厘米
审题关键
周长里藏着「和」！长 + 宽 =36÷2=18，这才是和，6 是差。问宽，是小数。
规范解答
半周长（长 + 宽）=36÷2=18（厘米），宽 =(18−6)÷2=6（厘米），对应 A。
方法提炼
长方形题第一件事永远是「周长 ÷2」把和找出来；直接拿 36 当和的同学会掉进 C 项。
九、真题再现：经典考题拆解
经典考题一（经典考题）
题目
甲乙两班共有学生 96 人，甲班比乙班多 8 人。两班各有多少人？
规范解答
和 96、差 8。甲班（大数）=(96+8)÷2=52（人），乙班 =(96−8)÷2=44（人）。验证：52+44=96，52−44=8 ✓
方法提炼
标准送分题，快而准，把时间留给后面的难题。
经典考题二（改编自常见考题）
题目
两筐苹果共重 76 千克，从第一筐取出 6 千克放入第二筐后，两筐恰好一样重。原来两筐各重多少千克？
规范解答
「取 6 放入后相等」说明原来的差是 6×2=12（千克），和为 76。第一筐（大数）=(76+12)÷2=44（千克），第二筐 =(76−12)÷2=32（千克）。验证：44−6=38，32+6=38 ✓
方法提炼
「给完相等」要先把差还原成「给出的量的 2 倍」，这一步是和差模型最常考的隐身术。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误差是「甲比乙多 12」，结果把 12 加到了乙（小数）那侧。→
✓ 正确做法差永远加在求大数的路线上——（和 + 差）得大数，（和 − 差）得小数，方向搞反时大数会小于和的一半，立刻自查。
✗ 常见错误长方形题直接拿周长当「和」去除。→
✓ 正确做法周长是两个「长 + 宽」，先 ÷2 得到和，再套模型。
✗ 常见错误「从甲拿 4 给乙后相等」就认为原来的差是 4。→
✓ 正确做法原差 =4×2=8，给出一半的差才相等，隐含和差关系需先提取。
✗ 常见错误算完不验算。→
✓ 正确做法和、差各验一条，十秒钟换一题的把握。
