高二数学 · 随机变量及其分布

2026-2027学年第8周 · 含近年全国卷高考真题拆解与模拟训练

一、知识点精讲

随机变量把"一次试验的结果"升级为"一整类结果的数值刻画"，是概率统计大题的核心载体。本章四条主线（随机变量定义、分布列及性质、期望与方差、二项分布与超几何分布）上一轮已打底，本轮不再重复叙述，只补两个提分放大器。

1. 期望的可加性（最易忽略的利器）：对任意随机变量 X、Y（不要求独立），都有 E(X+Y)=E(X)+E(Y)；推广到 n 个：E(X₁+X₂+…+Xₙ)=E(X₁)+E(X₂)+…+E(Xₙ)。当 Y 是两个独立随机变量之和（如两台机器零件总数），直接把各自的期望相加即可，不必先求 Y 的分布再乘——这正是真题2的解题机关。

2. 正态分布与 3σ 原则：若 X~N(μ, σ²)，其密度曲线关于 x=μ 对称、在 x=μ 处最高。三个区间概率务必记死：P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.6827、P(μ−2σ<X<μ+2σ)≈0.9545、P(μ−3σ<X<μ+3σ)≈0.9973。考试常把"合格区间"设计成 μ±3σ，直接套 99.73% 即可，不必积分。

二、高考真题分析

【真题1】(2021·新高考Ⅰ卷·第18题·12分)

某学校组织"一带一路"知识竞赛，有 A、B 两类问题。每位同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论对错比赛均结束。A 类问题答对得 20 分，否则 0 分；B 类问题答对得 80 分，否则 0 分。小明答对 A 类题概率为 0.8、答对 B 类题概率为 0.6，且与次序无关。

（1）若先答 A 类，记累计得分为 X，求 X 的分布列；（2）为使期望最大，应先答哪类？说明理由。

解析（1）：X 的可能取值为 0、20、100。P(X=0)=1−0.8=0.2；P(X=20)=0.8×(1−0.6)=0.32（A对、B错）；P(X=100)=0.8×0.6=0.48（两题全对）。校验 0.2+0.32+0.48=1。E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4。

解析（2）：先答 B 时 Y 取 0、80、100：P(Y=0)=1−0.6=0.4；P(Y=80)=0.6×(1−0.8)=0.12；P(Y=100)=0.6×0.8=0.48。E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6。因 E(Y)>E(X)，应先答 B 类。

答案：（1）分布列如上；（2）先答 B 类，E(Y)=57.6>54.4

【真题2】(2019·全国Ⅰ卷·理科第19题·12分)

已知每台机器在三年内需要更换的易损零件数为 8、9、10、11 的概率分别为 0.2、0.4、0.2、0.2。设 X 为2 台机器（相互独立）三年内共需更换的零件数。

（1）求 X 的分布列；（2）若要求 P(X≤n)≥0.5，求 n 的最小值；（3）购机时每台购 n 个零件，每个 200 元；使用中不足部分每个以 500 元补购。记 Y 为购 2 台机器所需总费用，以费用期望为决策依据，在 n=19 与 n=20 中选一。

解析（1）：两台零件数独立同分布，X 取 16~22。P(X=16)=0.2²=0.04；P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4²=0.24；P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2²=0.20；P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08；P(X=22)=0.2²=0.04。校验和为 1。

解析（2）（3）：P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故 n 最小为 19。费用期望：n=19 时 E(Y)=4040 元，n=20 时 E(Y)=4080 元，应选 n=19。

答案：（2）n=19；（3）选 n=19（期望更低）

【真题3】(2023·新高考Ⅰ卷·第21题·节选)

甲、乙投篮，每次由一人投，命中则继续、未中则换人。甲命中率 0.6，乙命中率 0.8；第一次由抽签定（甲、乙各 0.5）。记前 n 次中甲投篮次数为 Y，求 E(Y)。（提示：Xᵢ 服从两点分布且 P(Xᵢ=1)=qᵢ，则 E(ΣXᵢ)=Σqᵢ）

解析：设 pᵢ=P(第 i 次由甲投)，则 p₁=0.5，pᵢ₊₁=pᵢ×0.6+(1−pᵢ)×0.2=0.2+0.4pᵢ。解得 pᵢ=1/3+(1/6)·0.4ⁱ⁻¹。令 Xᵢ=1（第 i 次甲投）否则 0，则 Y=ΣXᵢ，套用提示的期望可加性：E(Y)=Σpᵢ=n/3+(5/18)(1−0.4ⁿ)。

答案：E(Y)=n/3+(5/18)(1−0.4ⁿ)

三、模拟题解答

【模拟1】（正态分布·3σ）某零件尺寸 X~N(10, 0.04)（即 μ=10，σ=0.2），规定合格区间为 (9.4, 10.6)，求合格率。

解答：9.4=μ−3σ，10.6=μ+3σ，合格即 X∈(μ−3σ, μ+3σ)，由 3σ 原则直接得合格率 ≈ 99.73%。

答案：约 99.73%

【模拟2】（随机变量和的分布列）甲盒 3 红 2 白，取 1 球，红球记 X=1、白球 X=0；乙盒 2 红 3 白，取 1 球，红球记 Y=1、白球 Y=0。X、Y 独立，求 Z=X+Y 的分布列与 E(Z)。

解答：Z 取 0、1、2。P(Z=0)=(2/5)(3/5)=6/25；P(Z=1)=(3/5)(3/5)+(2/5)(2/5)=13/25；P(Z=2)=(3/5)(2/5)=6/25。校验和=1。E(Z)=0×6/25+1×13/25+2×6/25=1（亦可由 E(Z)=E(X)+E(Y)=3/5+2/5=1 速得）。

答案：分布列如上，E(Z)=1

【模拟3】（期望决策）某抽奖每次投入 1 元，中奖概率 0.3 得 4 元、未中得 0。求每次"净收益"的期望，并判断是否值得长期参与。

解答：净收益 R：中奖时 4−1=3 元（概率 0.3），未中时 −1 元（概率 0.7）。E(R)=0.3×3+0.7×(−1)=0.2>0，长期参与平均每次赚 0.2 元，值得。

答案：E(R)=0.2 元/次，值得长期参与

四、同步学习建议

本周是学期第 8 周，随机变量与分布列已进入综合应用阶段，建议按下面节奏推进：第一，把"期望可加性"当成默认武器——遇到"两台机器/两次抽取的总量"类问题，先想 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，往往能绕开繁琐的卷积分布列。

第二，正态分布只背 3σ 三个数：68.27%、95.45%、99.73%，考试几乎都考"合格区间套在 μ±kσ"，认准 k 直接出数，别在现场推导。

第三，决策类题（先答哪类、购多少件）永远是"列分布列→算期望→比大小"三步，把真题1、真题2的套路各默写一遍，下周进入《成对数据的统计分析》前这关就稳了。记得关注本号更新。