Gilberg-Trudinger 二阶椭圆型偏微分方程

G-T 二阶椭圆型偏微分方程第七章习题思考与解答 - 上

三年前我曾经尝试完成这本书的部分课后习题, 但感觉十分困难, 感觉很多题都很难推进. 时过境迁, 部分难以推进的地方在 AI 的帮助下取得了较好的结果, 我们分几次来讨论这一章的习题.

第七章 Sobolev 空间习题思考与解答 - 中

 证明空间  在范数 (7.22) 或 (7.23) 之下是完备的.

解 因为两个范数等价, 只需使用  证明. 设  是  中的 Cauchy 序列. 对每个 ,  都是  中的 Cauchy 序列. 由  的完备性, 存在 , 使

令 . 对 , 每个  满足

由于测试函数支集紧, Holder 不等式保证两端都能取极限, 包括  时使用测试函数的  范数. 得

所以  是弱导数. 因此 , 并且

故该空间完备, 是 Banach 空间.  时同一证明成立, 只需在取极限时用测试函数的  范数.

事实上, 可以把整个证明理解成一个更一般的结构. 将函数映入有限乘积空间:

这个乘积空间是完备的. Sobolev 空间对应的像由一组弱导数关系约束, 上述取极限过程证明这些约束是闭合的. 因而它的像是完备空间中的闭子空间.

这种思路以后还可以用来证明带有散度条件、旋度条件或其他线性微分约束的空间完备. 关键不是“各分量分别收敛”本身, 而是所要求的约束能否通过测试函数传到极限. 本题也说明弱导数的积分定义为何特别适合处理极限.

 设  是一个域, 其边界可以被局部地表示为 Lipschitz 连续函数的图. 证明对于 , ,  在  中稠密, 并将这个结果与定理 7.25 的稠密性结果比较.

解  在这里指某个包含  的开邻域上的光滑函数在  上的限制. 证明采用局部向域内平移, 再正则化的方法. 这一方法不需要对 Lipschitz 边界函数求高阶导数.

第一步: 分成内部片和边界片. 由于  有界, 可取有限个边界坐标邻域, 在旋转平移后, 每个邻域内都有

再加一个紧包含于  的内部邻域, 并取光滑单位分解 , 使

每个 ; 所有截断函数的支集均留在相应坐标邻域内部, 与该坐标邻域的边缘有正距离.

第二步: 内部片. 的支集紧包含于 , 其零延拓  属于 . 所以

第三步: 边界片. 在第  个坐标系内将向内方向记为 . 取  和固定的

把  作为  函数零延拓, 定义全空间光滑函数

这里并没有  的全空间弱导数就是  的零延拓; 一般这不成立. 向内平移的作用恰好是使卷积在相关位置只取域内的数据.

事实上, 若  位于该边界图附近, 且 , 则

所以 . 由于  与坐标邻域边缘分离, 对小 , 一切可能对 (11) 作出非零贡献的位置都在这个局部图中. 在这样的卷积球内, 可以合法地把弱导数移到  上, 从而对 ,

这些表达式都是对  函数先卷积再平移. 当  时, 卷积逼近和  平移连续性给出

有限个片相加, 就得到定义在  邻域上的光滑 , 满足

与定理 7.25 的比较. 定理 7.25 在  域上同时给出光滑稠密性与有界线性延拓算子. 本题仅证明稠密性, 将边界条件弱化到 Lipschitz, 且对任意整数  都成立. 高阶逼近不应直接用仅 Lipschitz 的边界拉平映射处理, 因为那样无法控制高阶导数. 这里采用固定方向的平移, 因而避开了这个问题. 指数限制  用于平移连续性;  中光滑函数一般不稠密, 例如  上的  的导数跳跃无法被连续导数在本质上确界范数下任意逼近.

 设  是一个  域. 对任何  和 , 利用基于定理 7.26 的紧性结果的归谬推理导出 Sobolev--Poincare 不等式

其中  不依赖 .

解 记 . 首先用紧性证明较弱的  版本:

若 (13) 不成立, 对每个正整数  可取 , 使

归一化为

则

所以  在  中有界. 因为 , 定理 7.26 的次临界紧性给出一个子列, 仍记为 , 使  于 . 有限测度还保证  收敛, 因而

弱导数的积分恒等式取极限得到 . 弱梯度为零的函数在每个球内几乎处处为常数, 这可由局部正则化后梯度为零得到; 再利用  的连通性, 该常数在整个  上相同. 平均值为零又推出 , 与  矛盾. 故 (13) 成立.

现在对  应用连续 Sobolev 嵌入:

由于 , 再用 (13), 得

这里归谬使用的是  中的紧性, 然后才用  中的连续嵌入; 临界指数  处的嵌入通常并不紧, 不能直接在该空间中声称存在强收敛子列.

本题形成了一种常用思路: 找出算子的核, 用归一化条件去掉它; 让归一化后的序列保持非零大小, 同时让算子作用趋零; 最后用紧性得到不可能的极限. 以后处理 Poincare 型估计和其他强制性估计时, 可以主动寻找这个结构.

 从定理 7.19 推出对应的全局性结果. 即设 , , 并假设存在正常数 , , 使得对所有球 ,

则  及

解 因为  只在  内定义, 题中的积分应理解为 . 记 . 定理 7.19 的局部结论是: 如果每个内含球满足梯度增长条件, 则在较小球内

它还给出了平坦边界情形. 要得到全局结论, 需把这个估计传递到 Lipschitz 边界邻域, 最后拼接.

第一步: 内部邻域. 在  上, 对  且  较小, 取包含二者、半径与  可比的内含球, 使用 (14), 得

距离较大的二点则直接用该固定邻域的振幅估计得到同一形式的界. 因而内部较小邻域上有统一的局部 Holder 估计.

第二步: 边界邻域. 在一个边界图邻域写

用双 Lipschitz 映射

将平坦上半邻域映到 , 令 . 为便于在平面上反射, 先说明  在一个缩小的上半柱中属于 . 其梯度可积由增长条件和换元得到. 函数本身的可积性可沿竖直截线证明: 把  与一个固定内部层上的取值比较, 利用

对内部层的  取平均, 再对  积分, 即用内部的  范数和梯度积分控制整个半柱的  范数. 这些沿线公式由习题 7.8 给出.

将  偶反射为

沿法向截线的绝对连续性说明, 反射不产生集中在  上的跳跃导数, 因而  于较小的全柱内. 由习题 7.5 和双 Lipschitz 换元, 对这个全柱内的球 , 有

理由是反射后的两部分分别映入一个半径至多  的原坐标球, 而 Jacobian 和变换导数均由边界图的 Lipschitz 常数控制.

对  使用定理 7.19, 再缩小邻域, 得

将其通过  换回, 即在边界较小邻域的闭包上得到

尤其  有连续延伸到该处边界的代表元.

第三步: 有限覆盖的拼接. 用有限个上述内部、边界较小邻域覆盖 . 它们的局部常数只依赖 . 取该覆盖的 Lebesgue 数 . 当  时, 二者落在同一个邻域, 故 (16) 直接给出所需估计.

对远距离点, 利用域的连通性: 可以选取有限个连通的覆盖片, 它们在  内的交叠图是连通的. 在一条交叠链的相邻片中选公共点, 将每片的振幅界相加, 得

于是当  时,

合并近距离和远距离估计, 即得 . 各片的连续代表元在交集内一致, 因而拼成  的代表元. 这里仅估计 Holder 半范数;  加上任意常数都不改变梯度, 所以不能仅用  控制 .

为什么用偶反射, 不直接零延拓. 把  定义为  后, 平面两侧的函数值一致, 沿法向截线的绝对连续性保证没有跳跃测度. 因而较小全邻域中的球满足同样的梯度增长界, 可以应用内部 Morrey 结论. 若简单零延拓, 一个非零常数也会在边界产生跳跃, 破坏只依赖原梯度的估计. 这说明延拓方法必须适合当前要控制的量.

即使原先只知道 , 反射前也可以在缩小的半柱内补足  控制: 沿竖向截线把接近边界的值与一个固定内部层上的值比较, 再用可积的竖向导数积分. 因而此处不是凭空假设函数已经在边界附近具有良好迹.

反射后, 局部振幅估计给出边界邻域上的 Holder 代表元. 取有限个内部与边界邻域覆盖 , 若两点足够接近, 可放入同一个较小邻域, 直接使用局部估计. 若两点距离较大, 利用连通域中的有限交叠链, 将各片的振幅相加, 得到整体振幅界, 再除以两点距离的正下界. 因而局部信息最终组成全局半范数估计.

 设  是一个有界区域, 使嵌入

成立. 证明嵌入  对任何  是紧的.

解 这里“嵌入成立”指连续嵌入, 并且 . 对通常的 , . 以下证明实际上只用一个全局连续嵌入到 , , 其中  也可以为 ; 取  即得题中结论. 不需要额外的边界光滑性.

设  在  中有界. 连续嵌入保证

第一步: 内部紧性. 对任意 , 用有限个紧包含于  的小立方体覆盖 . 在每个立方体上, 局部 Rellich 紧性给出  强收敛的子列. 对一个紧集穷竭  作对角选取, 得到子列在每个  上都是  Cauchy 序列.

第二步: 控制靠近边界的部分. 因  有界, 可以取  使 . 由 (17) 和 H"older 不等式,

其中  时 . 右端与  无关且趋于零. 因而

先取大 , 再取大 , 证明该子列在整个  的  中为 Cauchy 序列, 因而强收敛.

第三步: 插值到任意次临界指数. 若 , 选择  使

则

当  时, 对任意有限 , 有

所以对子临界 , 总存在  强收敛子列, 即嵌入紧. 若把题中的“任何 ”扩展为 ,  是拟范数空间, 其相应紧性也由

立即得到.

临界指数为什么可能失败. 取 , ,  非零, 并令

对足够小的 , 支集在域内. 换元计算给出

所以这是一个 Sobolev 有界序列. 但在  处,

同时它在  处最终为零, 因而不可能在临界空间中强收敛. 对 , 则多出一个正幂

这个例子具体显示了次临界指数怎样压制集中, 也解释了为什么连续嵌入一般不能直接升级为临界紧嵌入.

 设  是  中的一个区域,  的全变差定义为

证明有限全变差函数空间  在范数

之下是 Banach 空间, 并且  是它的一个闭子空间.

证 记题中上确界为 . 因为可同时使用  与 , 定义中的上确界也等于相应积分绝对值的上确界. 显然

加上  项后,  具有正定性、齐次性和三角不等式, 因而是范数.

第一步: 全变差的下半连续性. 若  于 , 对固定 , , 有

对  取上确界, 得

第二步: 完备性. 设  为  范数下的 Cauchy 序列. 它也是  Cauchy 序列, 故  于 . Cauchy 序列的  范数有界, 所以 (19) 给出 , 即 . 给定 , 取  使

固定 , 令 , 由  收敛和 (19) 得

因此  于  范数, 证明了完备性.

第三步:  的闭性. 若 , 分部积分给出

由此 . 反向不等式可用  的光滑紧支近似得到: 先截去使  很小的尾部, 再在有限测度  下将这个有界可测向量场用光滑紧支向量场逼近, 并保持模长不超过 . 代入积分并取极限, 即得

所以  范数在  上就是 , 与习题 7.9 的  范数等价. 若  且在  中收敛, 则由 (20),  在  中为 Cauchy 序列. 习题 7.10 保证它在  中收敛到某个 . 两种收敛均包含  收敛, 故  几乎处处. 因此 , 证明闭性.

后续使用的测度表述. 对 , 分布梯度定义为

全变差有限说明这个泛函对向量场的上确界范数有界. 将其延拓到 , 由 Riesz 表示定理得到有限向量 Radon 测度 , 且

这解释了为什么在  中梯度可以包含跳跃测度, 而不仅是一个可积函数.

本题中的闭性指的是  范数拓扑.