中考总复习 第36讲:几何模型(下)

上一讲的一线三等角、半角偏"看"，这一讲的手拉手、倍长中线偏"做"——主动旋转、延长，把分散的条件凑到一起。压轴题的辅助线，十有八九从这几个模型来。

两个三角形共一个顶点，并且有一组对应边相等，像两只手拉在一起。把一个三角形绕公共顶点旋转，就能和另一个重合，得到全等。

手拉手：共顶点 A 的两个三角形，拉出的 BE 与 CD 相等

倍长中线：延长中线 AD 至 DE=AD，对角线互相平分，得平行四边形

看到中线，就把它延长一倍。延长后两条对角线互相平分，能构造出平行四边形，把分散的边和角转移到一起。

要证"一条线段等于另两条之和"，常用截长（把长线段切下一段）或补短（把短线段接上），把和差关系转化成相等关系，再证全等。

还有一类题，两条线段首尾不相连、长度却相等——比如等边 △ABC 里，E 在 AB 上、F 在 AC 上，AE = CF。这两条线一正一反、位置错开，叫逆等线。

逆等线：AE = CF，过 C 作 CD ∥ AB 且 CD = AF，造全等把 EF 搬成 DF

解法只有一招：一边一角造全等。以其中一条线段为边，就地构造一个三角形和另一个全等，把它搬到另一条的位置——两条线段就连上了，再套"两点之间线段最短"求最值。

看出门道了吗：逆等线的本质还是全等，只是构造方向反着来——不是"有全等可用"，而是"为了搬线段去造一个全等"。它也常和倍长中线、截长补短出现在同一道压轴题里。

母题一　手拉手

△ABD 与 △ACE 中，AB = AC，AD = AE，∠BAD = ∠CAE，求证 BD = CE。

母题二　倍长中线

△ABC 中 AD 是中线，AB = 5，AC = 7，求 AD 的取值范围。

母题三　截长补短

△ABC 中 ∠B = 2∠C，AD 平分 ∠A，求证 AB + AC 与 BD 的关系。

母题四　逆等线求最值

等边 △ABC 边长为 6，E、F 分别在 AB、AC 上，且 AE = CF，求 EF 的最小值。

练习1：手拉手模型的本质是哪种变换？

练习2：倍长中线延长几倍？

练习3：倍长中线常构造出什么四边形？

练习4：证一条线段等于两条之和，常用哪两种方法？

练习5：等边 △ABC 边长为 6，E、F 分别在 AB、AC 上且 AE = CF，EF 什么时候最短？最短是多少？

练习答案

几何模型一句话：手拉手认旋转、倍长中线认延长、和差认截补、首尾不相连的相等认逆等线——模型是辅助线的指南针，下一讲进入与圆有关的综合题。