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淘宝：学思创想
专题36 最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11
模型5.最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14
..................................................................................................................................................19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD 和CE 为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
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条件：如图，在△ABC 中，∠ABC＝
，BC=m，AC=n，点D、E 分别是AB、AC 上的动点，且AD=CE，
求CD+BE 的最小值。
证明思路：① AD 在△ADC 中，以CE 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C 作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF 即为所求，此时，B、E、F 三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG 和FG，再利用勾股定理求出BF 即可。
例1．（23-24 九年级上·广东广州·期中）在等边三角形
中，边
上的点
从顶点
出发，向顶点
运动，同时，边
上的点
从顶点
出发，向顶点
运动，
两点运动速度的大小相等，设
，
，y 与x 的函数图象如图，图象过点
，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是
AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．
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例3．（23-24 九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在
中，
，
，
，
，
分别是边
，
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
例4．（24-25 八年级上·四川成都·期中）如图，在
中，
，
，
，点E
与点D 分别在射线
与射线
上，且
，则
的最小值为 ，
的最小值为
．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
条件：已知三角形ABC 中，AB=a，BC=b，CD 为高，CE=BF，求AF+BE 的最小值。
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证明思路：①CE 在△BEC 中，以BF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B 作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG 即为所求，此时，A、F、G 三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG 即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD 为等边△ABC 的高，E、F 分别为线段AD、AC 上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE 取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5°
B．105°
C．90°
D．82.5°
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形
中，
，
，
于D，M，
N 分别是线段
，
上的动点，
，当
最小时，
．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰
中，
，
平分
，点N 为
上一点，
点M 为
上一点，且
，若当
的最小值为4 时，
的长度是 ．
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模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在
中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D 是线段AB 上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE 的最小值。
证明思路：①BE 在△BEC 中，以AD 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A 作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF 即为所求，此时，F、D、C 三点共线；
⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC 即可，或利用全等证明FC=AB 也可。
例1．（23-24 八年级上·北京朝阳·期末）如图，
中，
，
，D，E 为
边上
的两个动点，且
，连接
，
，若
，则
的最小值为 ．
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例2．（23-24 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形
中，对角线
上有两动点E 和F，连
接
和
，若
，
，
，则
的最小值是 ．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD 中，AD=a，AB=b，点E、F 是边BC、BD 上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE 的最小值。
证明思路：①BE 在△ABE 中，以DF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A 作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG 即为所求，此时，A、F、G 三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH 和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两
条线段的长度），再利用勾股定理求出AG 即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形
中，
，
，
，
分别是边
和对角线
上的动点，且
，则
的最小值为______．
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例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形
中，
，
，点
、
分别是边
和对角
线
上的例2．动点，且
，则
的最小值是 ．
例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形
中，
，
，点E，F 分别在
，
上，且
，连接
，
，则
的最小值为 ．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在
中，∠ACB=
，AB=a，AC=b，点E、D 是线段AB、BC 上的动点，且满足BE=k
AD，
求AE+k CD 的最小值。
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证明思路：①AD 在△ADC 中，以BE 为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B 作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k AC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=k DC；
④AE+k CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF 即为所求，此时，A、F、E 三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=
，再利用三角函数求出BG 和FG，最后利用勾股定理求出AF 即可。
例1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边
中，
，E，F 分别是边
、
上的动点，且满足
，则
的最小值为 ；
例2．（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形
中，
，
，
、
分别为
、
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
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例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，
，
，
，点E、F
为对角线BD 上的动点，
，连接AE、CF，则
的最小值为 ．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点E，F 分别是
，
上的点，若
，则
的最小值是 ．
1．（23-24 九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形
中，对角线
上有两动点
和
，连接
和
，若
，
，则
的最小值是（ ）
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A．4
B．10
C．6
D．20
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M、N 分别在AD、AC 上，
且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．47.5°
3．（23-24 八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形
的边长为4，点
，
分别是
，
边上的
动点，且
．（1）若
，则
；（2）
的最小值为 ．
4．（2024·四川绵阳·三模）在
中，
，
，点D，E 分别为
，
上的动点，
且
，
．当
的值最小时，
的长为 ．
5．（23-24 八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2 的菱形
中，
，E，F 分别是
，
上的动点，
，连
，
，则
的最小值为 ．
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6．（23-24 八年级上·四川成都·期末）在
中，
，
，
，
，
分别为射线
与射线
上的两动点，且
，连接
，
，则
最小值为 ；
的最大
值为 ．
7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形
的边长为2，E、F 分别是对角线
和边
上的动点，
满足
．当
时，线段
的长度为 ．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，且
．当
的值最小时，则
．
9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M 为矩形ABCD 中AD 边中点，E、F 分别为BC、CD 上的动点，且BE
＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF 的最小值为 ．
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10．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形
中，
，
，
，
点
，
分别在边
，
上运动，且满足
，连接
，
，则
的最小值是
．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC 中，
，E、F 分别是边
上的动点，
且
，则
的最小值为 ．
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形
中，
、
分别是
、
边上的动点，且
，若
，则
的最小值是 ．
13．（23-24 九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
中，
，
，以点
为直角顶点、
为直角边向下作直角
，且
，连接
，则
的最大值是 ．
14．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形
中，
，
，E，F 分别是
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上的动点，且
，连接
，当E 为
中点时，则
；在整个运动过程
中，
的最小值为 ．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点E 和点F 分别在边
和边
上运动，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．6
16．（23-24 九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形
中，
，
，P，O 分别为
对角线
边
上的两点，且
，
的最小值为 ．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
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【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d 之间存在某种数量关
系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4 中以矩
形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3 中“④”的基础上，小昕将
绕点
逆时针旋转，他发现旋转过程
中
存在最大值．若
，
，当
最大时，求AD 的长；
（4）如图6，在
中，
，点D、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE、AE、BD．若
，
，求
的最小值．
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18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴
交于点
．点
为第一象限抛物线上的点，连接
，
，
，
．
(1)直接写出结果：
；
；点
的坐标为 ；
；
(2)如图1，当
时，求点
的坐标；
(3)如图2，点
在
轴负半轴上，
，点
为抛物线上一点，
．点
，
分别为
的边
，
上的动点，且
，求
的最小值．
