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淘宝：学思创想
专题36 最值模型之逆等线模型
最值问题在各类考试中常以压轴题的形式考查，逆等线模型主要考查转化与化归等的数学思想。在各
类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的逆等线问题进行梳理及对应试
题分析，方便掌握。
....................................................................................................................................................1
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）..............................................................................1
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）......................................................................................6
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）......................................................................................9
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）....................................................................11
模型5.最值模型-加权逆等线模型................................................................................................................14
..................................................................................................................................................19
模型1.最值模型-逆等线模型（三角形边上的逆等线）
逆等线：△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 上的动点，且AD=CE，即逆向相等，则称AD 和CE 为逆等线。
逆等线模型特点：动线段长度相等，并且位置错开。
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条件：如图，在△ABC 中，∠ABC＝
，BC=m，AC=n，点D、E 分别是AB、AC 上的动点，且AD=CE，
求CD+BE 的最小值。
证明思路：① AD 在△ADC 中，以CE 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点C 作CF//AB，且CF=AC。（构造一边一角，得全等）；③构造出△ADC≌△CEF ( SAS)；证出
EF=CD；
④CD+BE=EF+BE，根据两点之间，线段最短，连接BF，则BF 即为所求，此时，B、E、F 三点共线；
⑤求BF。构造直角三角形求出BG 和FG，再利用勾股定理求出BF 即可。
例1．（23-24 九年级上·广东广州·期中）在等边三角形
中，边
上的点
从顶点
出发，向顶点
运动，同时，边
上的点
从顶点
出发，向顶点
运动，
两点运动速度的大小相等，设
，
，y 与x 的函数图象如图，图象过点
，则图象最低点的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】结合函数图像，当
时，
，求得等边三角形的边长，证明
，得出
，当
时，
最小，勾股定理即可求解．
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【详解】当
时，
，∵三角形
是等边三角形，∴
,
∵
，∴
，
∴
，当
时，
最小，最小值为
，
∴
的最小值为
，即图象最低点的纵坐标是
，故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，求得等边三角形的边长是解题的关键．
例2．（23-24 九年级上·江苏无锡·期末）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 D、E 分别是
AB、AC 上两动点，且 AD=CE，连接CD、BE，CD+BE 最小值为 ．
【答案】
【分析】过点A 作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，由题意易得∠HAD=∠BCE，进而可证
△HAD≌△BCE，则有CD+BE=CD+HD，当CD+BE 为最小时，即CD+HD 为最小，当点C、D、H 三点共
线时即为最小，连接CH，交AB 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N，点A 分别作AF⊥BC 于点F，如图所
示，即CH 的长度为CD+BE 的最小值，然后可得
，则有
，
，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可得如图所示：
过点A 作AH∥BC，且AH=BC，连接DH，如图所示，∴∠HAD=∠ABC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠HAD=∠BCE，
∵AD=CE，∴△HAD≌△BCE（SAS），∴HD=BE，∴CD+BE=CD+HD，
∴当CD+BE 为最小时，即CD+HD 为最小，
∴当点C、D、H 三点共线时即为最小，连接CH，交AB 于点M，过点M 作MN⊥BC 于点N，点A 分别作
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AF⊥BC 于点F，如图所示，即CH 的长度为CD+BE 的最小值，
∵AB=AC=5，BC=6，∴BF=CF=3，∴
，
∵
，∴
，∵
，
∴
（AAS），∴
，
，
∵AF∥MN，点M 是AB 的中点，∴
，
∴
，∴在Rt△MNC 中，
，
∴
，∴CD+BE 的最小值为
；故答案为
．
【点睛】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键在于构造三角形全等把问题转为两点之
间线段最短进行求解即可．
例3．（23-24 九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在
中，
，
，
，
，
分别是边
，
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形和矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，过
作
，
使
，连接
，
，作
交
延长线于点
，证明四边形
是正方形，由勾
股定理得
，然后证明
，当
，
，
三点共线时，
有最小值
，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】过
作
，使
，连接
，
，作
交
延长线于点
，
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∴
，∴四边形
是矩形，∴
，
∴四边形
是正方形，∴
，∴
，∴
，
∵
，
，
，∴
，
∴
，∴
，即
，
当
，
，
三点共线时，
有最小值
，故答案为：
．
例4．（24-25 八年级上·四川成都·期中）如图，在
中，
，
，
，点E
与点D 分别在射线
与射线
上，且
，则
的最小值为 ，
的最小值为
．
【答案】
【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当
在
上时，
取得最小值，如图所示，过点
作
交
的延长线于点
，进而勾股定理即可求解；对
于
，构造等边三角形，进而即可求解．
【详解】如图所示，过
作
交
的于
，
∵
，
， ∴
∴
，
，
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∵
，∴
，
∴
如图所示，作
且
，连接
，
，∵
∴
∴
∴
，
当
在
上时，
取得最小值，如图所示，过点
作
交
的延长线于点
，
∵
，
∴
，
∵
∴
∵
在
中，
，∴
∴
，即
的最小值为
；
如图所示，作
关于
的对称点
，连接
,则
∵
则
∴
，
∵对称，∴
∴
都是等边三角形，连接
，
∵
，∴
，则
，
又∵
∴
∴
，
∴
∴
是等边三角形，∴
∴当
在
上时，
， 如图所示
此时
取得最小值，最小值
故答案为：
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段
最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
模型2.最值模型-逆等线模型（非边上的逆等线）
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条件：已知三角形ABC 中，AB=a，BC=b，CD 为高，CE=BF，求AF+BE 的最小值。
证明思路：①CE 在△BEC 中，以BF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点B 作BG//CE，且BG=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△GFB ( SAS)；证出EB=FG；
④AF+BE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG 即为所求，此时，A、F、G 三点共线；
⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG 即可。
例1．（2024·安徽合肥·一模）如图，AD 为等边△ABC 的高，E、F 分别为线段AD、AC 上的动点，且AE
＝CF，当BF＋CE 取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5°
B．105°
C．90°
D．82.5°
【答案】B
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE 转化为FH，与BF
在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F 的位置，即F 为AC 与BH 的交点时，BF+CE 的值
最小，求出此时∠AFB＝105°．
【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH 交AD 于M，连接FH，
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，
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∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°
60°
﹣
＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F 为AC 与BH 的交点时，如图2，BF+CE 的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选B．
【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当
BF+CE 取得最小值时确定点F 的位置，有难度．
例2．（2023·四川成都·一模）如图，在三角形
中，
，
，
于D，M，
N 分别是线段
，
上的动点，
，当
最小时，
．
【答案】
【分析】在
下方作
，使
，连接
，则
最小值为
，此时A、N、
三
点在同一直线上，推出
，所以
，即可得到
．
【详解】解：在
下方作
，使
，连接
．
则
，
．∴
，
即
最小值为
，此时A、N、
三点在同一直线上．
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
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∴
，∴
，
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑
线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例3．（2024·四川乐山·二模）如图，等腰
中，
，
平分
，点N 为
上一点，
点M 为
上一点，且
，若当
的最小值为4 时，
的长度是 ．
【答案】4
【分析】由等腰
中，
，可得
，由
平分
，
可得
，如图，作
，使
，连接
，则
，证明
，则
，
，
，
可知当
三点共线时，
最小，即
，证明
是等边三角形，则
，
进而可求
．
【详解】解：∵等腰
中，
，∴
，
∵
平分
，∴
，如图，作
，使
，连接
，
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∴
，∵
，
，
，
∴
，∴
，
，∴
，
∴当
三点共线时，
最小，即
，
∵
，
，∴
是等边三角形，∴
，∴
，故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是
解题的关键．
模型3.最值模型-逆等线模型（同边上的逆等线）
条件：已知在
中，∠ACB=90°，AB=a，点E、D 是线段AB 上的动点，且满足AD=BE，
求CD+CE 的最小值。
证明思路：①BE 在△BEC 中，以AD 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A 作AF//BC，且AF=BC=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△BEC≌△ADF ( SAS)；证出CE=FD；
④CD+CE=CD+FD，根据两点之间，线段最短，连接CF，则CF 即为所求，此时，F、D、C 三点共线；
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⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC 即可，或利用全等证明FC=AB 也可。
例1．（23-24 八年级上·北京朝阳·期末）如图，
中，
，
，D，E 为
边上
的两个动点，且
，连接
，
，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点
，
分别作
的垂线和
的垂线交于点
，连接
，
，先证
，得
，再证
，得
，进而得出
，当
，
，
三点不共线
时，
；当
，
，
三点共线时，
，然后根据直角三角形中，
的角所对
的直角边等于斜边的一半求出
的值，从而得出结果．
【详解】过点
，
分别作
的垂线和
的垂线交于点
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当
，
，
三点不共线时，
；当
，
，
三点共线时，
．
的最小值是
的长，
，
，
，
，
，
，
的最小值是
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助
线找出恰当的全等三角形是解本题的关键．
例2．（23-24 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在矩形
中，对角线
上有两动点E 和F，连
接
和
，若
，
，
，则
的最小值是 ．
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【答案】17
【分析】如图，连接
，
，由全等三角形判定（
）可以证得
，得到
，进
而得到
，再根据题意及勾股定理求出
的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
为矩形的对角线，
，
是直角三角形，
，
，
，
移项得
，
配方得
，
，解得
，或
，
，
，故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
模型4.最值模型-逆等线模型（特殊平行四边形的逆等线）
特殊的平行四边形的逆等线模型我们就以矩形为例来研究即可。
条件：已知在矩形ABCD 中，AD=a，AB=b，点E、F 是边BC、BD 上的动点，且满足BE=DF，
求AF+AE 的最小值。
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证明思路：①BE 在△ABE 中，以DF 为一边构造另一个三角形与之全等，这个也叫做一边一角造全等；
②即过点A 作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（构造一边一角，得全等）；
③构造出△ABE≌△GDF ( SAS)；证出AE=FG；
④AF+AE=AF+FG，根据两点之间，线段最短，连接AG，则AG 即为所求，此时，A、F、G 三点共线；
⑤求AG。先利用相似求出DH 和HG（若四边形为正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出两
条线段的长度），再利用勾股定理求出AG 即可。
例1．（2023·山东德州·校考一模）如图，在菱形
中，
，
，
，
分别是边
和对角线
上的动点，且
，则
的最小值为______．
【答案】
【分析】在
的下方作
，截取
，使得
，连接
，
．证明
，
推出
，
，根据
求解即可．
【详解】解：如图，
的下方作
，截取
，使得
，连接
，
．
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四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为
，故答案为
．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
例2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，矩形
中，
，
，点
、
分别是边
和对角
线
上的例2．动点，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】设点D 关于
的对称点为G，在
上截取
，连接
，可证
，从而
，那么
，A、H 都是固定点，过点H 作
于点M，结合相似三
角形和勾股定理即可求得，
【详解】如图，设点D 关于
的对称点为G，在
上截取
，连接
，过点H 作
于
点M，
淘宝：学思创想
∵四边形
是矩形，∴
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
在
中，
，∵
，∴
∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，
在
中，
，∴
的最小值是
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．这里根据
把
的最小值转
化为
是关键．
例3．（2024·福建南平·一模）如图，在菱形
中，
，
，点E，F 分别在
，
上，且
，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】如图，连接
，作
关于直线
的对称点
，连接
，
，
，
，可得
，
，
，证明四边形
为平行四边形，可得
，则
，
淘宝：学思创想
当
三点共线时，此时取等于号，
最小，证明当
三点共线时，
重合，从而可得
答案．
【详解】解：如图，连接
，作
关于直线
的对称点
，连接
，
，
，
，
∴
，
，
，∵菱形
， ∴
，
，
，
∵
，
，∴
，
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，∴
，
当
三点共线时，此时取等于号，
最小，
∵菱形
，
，∴
，
，∴
为等边三角形，∴
，
∵
，∴
，∵
，
，∴
，
∴
，
，∵
，∴
，
∴
三点共线，∴当
三点共线时，
重合，
∵
，∴
，即
最小值为4．故答案为4
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，
作出合适的辅助线是解本题的关键．
模型5.最值模型-加权逆等线模型
条件：已知在
中，∠ACB=
，AB=a，AC=b，点E、D 是线段AB、BC 上的动点，且满足BE=k
AD，
求AE+k CD 的最小值。
淘宝：学思创想
证明思路：①AD 在△ADC 中，以BE 为一边构造另一个三角形与之相似，这个也叫做一边一角造相似；
②即过点B 作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=k AC=kb。（构造一边一角，得相似）；
③构造出△EBF≌△DAC ( SAS)；证出EF=k DC；
④AE+k CD=AE+EF，根据两点之间，线段最短，连接AF，则AF 即为所求，此时，A、F、E 三点共线；
⑤求AF。先确定∠GBF=∠ACB=
，再利用三角函数求出BG 和FG，最后利用勾股定理求出AF 即可。
例1．（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在等边
中，
，E，F 分别是边
、
上的动点，且满足
，则
的最小值为 ；
【答案】
【分析】取
、
的中点
、
，连接
、
，则可得
，
，因此转而求
的最小值；过
作
，且
，
淘宝：学思创想
连接
、
，可证明
，则有
，进而转化为求
的最小值，当点
在线
段
上时，取得最小值，在
中由勾股定理即可求得最小值，从而求得
的最小值．
【详解】解：如图，取
、
的中点
、
，连接
、
，
∵
是等边三角形，
，
，
根据三角形中位线可得
，∴
，
的最小值转化为求
的最小值，
在等边三角形
中，
，∴
，
，
，
，
，
，
；过
作
，且
，连接
、
，
则
，
，
，
，
当点
在线段
上时，
取得最小值，
且最小值为线段
的长，
，
在
中，由勾股定理得：
，
的最小值
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，
三角形中位线定理，把求
的最小值转化为求
的最小值，进而转化为求
的最小值，
是本题的难点与关键所在．
例2．（24-25 九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形
中，
，
，
、
分别为
、
上的动点，且
，则
的最小值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，延长
到H，使得
，连接
，证明
，得到
，则
，故当
三点共线时，
最小，即此时
最小，最小值即为
的长，据此利用勾股定理
求出
的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长
到H，使得
，连接
，
∵四边形
是矩形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
∴当
三点共线时，
最小，即此时
最小，最小值即为
的长，
在
中，
，
∴
，∴
的最小值为
，故答案为：
．
例3．（2024·四川成都·校考一模）如图，平行四边形ABCD，
，
，
，点E、F
为对角线BD 上的动点，
，连接AE、CF，则
的最小值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】如图，在直线DB 的上方作
，且使得
．过点T 作
交AD 的延长线
于H．首先利用相似三角形的性质证明
，解直角三角形求出AT，根据
，推
出
，即可解决问题．
【详解】解：如图，在直线DB 的上方作
，且使得
．
过点T 作
交AD 的延长线于H，连接ET、AT．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴
，
，∴
，∴
，
∵
，∴
∽
，∴
，∴
，
∵
，
，
，∴
，
，
∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题属四边形综合题目，考查平行四边形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，相似三角形的
判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造直角 三角形和相似三角形是解题的关键．
例4．（2024·吉林·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点E，F 分别是
，
上的点，若
，则
的最小值是 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，勾
股定理，会构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意构造相似三角形，作
，取
，连接
，
，得到
，
进而得出
，当
三点共线时，
的值最小，即
的值最小，最
后利用勾股定理即可解出．
【详解】作
，取
，连接
，
，如图所示，
在菱形
中，
，
，
，
，
，
当
三点共线时，
的值最小，即
的值最小，在菱形
中，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
在
中，
，
，故答案为：
．
淘宝：学思创想
1．（23-24 九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在矩形
中，对角线
上有两动点
和
，连接
和
，若
，
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．10
C．6
D．20
【答案】B
【分析】如图，连接
，
，由全等三角形判定
可以证得
，得到
，进而
得到
，再根据题意及勾股定理求出
的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接
，
，
淘宝：学思创想
四边形
是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，又
，
为矩形的对角线，
，
是直角三角形，
，
，
移项得
，解得
，或
，则
不符合题意，
，
，故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理的应用及解一
元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程的方法是解题关键．
2．（2024·河南商丘·八年级期中）如图，等边△ABC 中，AD 为BC 边上的高，点M、N 分别在AD、AC 上，
且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN 最小时，∠MBN 的度数为（ ）
A．15°
B．22.5°
C．30°
D．47.5°
【答案】C
【分析】如图1 中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM
＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H 共线时，BM+BN＝NH+BN 的值最小，求出此时∠MBN 即可解决问
题．
【详解】解：如图1 中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
淘宝：学思创想
∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝
HN，
∵BN+HN≥BH，∴B，N，H 共线时，BM+BN＝NH+BN 的值最小，如图2 中，当B，N，H 共线时，
∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°
15°
﹣
＝30°，
∴当BM+BN 的值最小时，∠MBN＝30°，故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角
形解决问题．
3．（23-24 八年级下·安徽安庆·期末）如图，正方形
的边长为4，点
，
分别是
，
边上的
动点，且
．（1）若
，则
；（2）
的最小值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
/
【分析】（1）由正方形的性质可得
，从而得到
，由勾股定
理计算出
的长，即可得到答案；（2）连接
，通过证明
可得
，作点
关于
的对称点
，连接
，则
，从而得到
，当
在同一
直线时，
最小，利用勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
四边形
是正方形，且边长为4，
，
，
，
，
，
，故答案为：
；
（2）连接
，
，
四边形
是正方形，且边长为4，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
作点
关于
的对称点
，连接
，则
，
，
当
在同一直线时，
最小，
，
在
中，
，
的最小值为：
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、最短距离问题、勾股定理，熟练掌握
正方形的性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
4．（2024·四川绵阳·三模）在
中，
，
，点D，E 分别为
，
上的动点，
淘宝：学思创想
且
，
．当
的值最小时，
的长为 ．
【答案】
【分析】过点B 作
，且
，连接
，交
于点
，过点A 作
，交
的延长
线于点H，证明
，得出
，则
，即
的最小值
即为
的长，此时点E 与点
重合，由勾股定理及相似三角形的性质可得出答案．
【详解】过点B 作
，且
，连接
，交BC 于点
，过点A 作
，交
的延长
线于点H，如图所示：则
，在等腰直角
中，
，
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
∴
，即
的最小值即为
的长，此时点E 与点
重合，
∵
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
根据勾股定理得
，∴
，∴
或
（舍去），
∴
，∴
，∵
，
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，即
，解得
，
∴
，∴
取得最小值时，
的长度为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形三条边的
关系，相似三角形的判定与性质；熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（23-24 八年级下·江苏宿迁·期末）如图，边长为2 的菱形
中，
，E，F 分别是
，
上的动点，
，连
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点
作
，使
，连接
，
，得到
，
．根据
菱形的边长为2，得到
．证明
．得到
．得到
．推出
．得到
．得到
．即得
的最小值为
．
【详解】解：如图，过点
作
，使
，连接
，
，则
，
．
∵菱形
的边长为2，∴
．
，
∴
．∴
．∴
．
淘宝：学思创想
在
和
中，
，∴
．
∴
．∴
．即
．
∴
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了菱形，全等三角形．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，两点之间，
线段最短，是解决问题的关键．
6．（23-24 八年级上·四川成都·期末）在
中，
，
，
，
，
分别为射线
与射线
上的两动点，且
，连接
，
，则
最小值为 ；
的最大
值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点
作
，使得
，过点
作
于点
，连接
，证明
得出
，则当
在
线段
上时，
取的最小值，最小值为
的长，延长
至
使得
，连接
，则
进而勾股定理，即可求解；
【详解】解：如图，过点
作
，使得
，过点
作
于点
，连接
，
淘宝：学思创想
在
中，
，∴
，∴
，
∴
，则当
在线段
上时，
取的最小值，最小值为
的长，
∵
，
，
，∴
∵
，∴
，
在
中，
，∴
，
∴
，如图所示，延长
至
使得
，连接
，则
，
，
∴
，故答案为：
，
．
7．（2024·陕西西安·二模）如图，正方形
的边长为2，E、F 分别是对角线
和边
上的动点，
满足
．当
时，线段
的长度为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】本题考点是正方形的性质，难点是构建三角形全等转化线段和最小值的计算，特别需要注意的知
识点是两点之间直线最短，同时需要熟练运用相似比求线段的长度．连接
，作
，且
，
连接
，
，
与
交于点
，作
交
于点
，首先证明
得到
，
再计算出
的长度，推导出当
，
，
三点共线时满足
，然后证明
，利
用相似比计算出
的长度最后计算出
和
的长度．
【详解】解：连接
，作
，且
，连接
，
，
与
交于点
，作
交
于点
，如图：
正方形
的边长为2，
，
，
，
，
，
，
；
在
与
中，
，
，
，
，
，又
，即
，且
，
当
，
，
三点共线时最短，即
，
重合时满足
，设
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，即
，
，故答案为：
．
8．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，且
．当
的值最小时，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长
，截取
，连接
，
，证明
，得出
，说明当
最小时，
最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G 三点共线时，
最小，即
最小，
再证明
，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长
，截取
，连接
，
，如图所示：
∵四边形
为平行四边形，∴
，
，
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
，∴当
最小时，
最小，
∵两点之间线段最短，∴当A、E、G 三点共线时，
最小，即
最小，且最小值为
的长，
∵
，∴
，∴
，即
，解得
．故答案为：
．
9．（2024·湖北武汉·二模）如图，M 为矩形ABCD 中AD 边中点，E、F 分别为BC、CD 上的动点，且BE
淘宝：学思创想
＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF 的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，过点
作
于
．设
，则
．由勾股定理得到
，欲求
的最小值，相当于在
轴上找
一点
，使得点
到
，和
的距离之和最小（如下图），作点
关于
轴的对称点
，连接
交
轴于
，连接
，此时
的值最小，最小值
．
【详解】解：如图，过点
作
于
．设
，则
．
四边形
是矩形，
，
，
，
四边形
是矩形，
，
，
，
，
欲求
的最小值，相当于在
轴上找一点
，使得点
到
，和
的距离之和最小（如
下图），作点
关于
轴的对称点
，连接
交
轴于
，连接
，此时
的值最小，最小值
，
，
，
，
的最小值为
，故答案为
．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思
想解决问题．
10．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在平行四边形
中，
，
，
，
淘宝：学思创想
点
，
分别在边
，
上运动，且满足
，连接
，
，则
的最小值是
．
【答案】
【分析】连接
，可得
且∠
，证明△
，得出结论
，
从而可得求
的最小值，即求
的最小值
，求出
的最小值
即可．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，且∠
∴∠
，
连接
，如图，
∵
∴
∴
且∠
∴△
∴
∴
∴
∴求
的最小值，即求
的最小值，
∴作B 关于AD 的对称点
，连接
，
交AD 于M，此时
与
的交点为点E，这时
最
小
∴
的最小值
∵∠
∴∠
，∠
淘宝：学思创想
∴
∴
∴
∴
∴
的最小值
即
的最小值
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称把问
题转化为垂线段最短．
11．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图：等边三角形ABC 中，
，E、F 分别是边
上的动点，
且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，三角形中位线，
角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将
进
行转化．取
中点G，
中点H，
，在
的外侧作
，
的长度即为所求．
【详解】取
中点G，
中点H，作
，使
，作
，交
延长线于点J，连接
，
是
的中位线
，
是等边三角形
又
当I，E，C 三点共线时，
取得最小值
，即
取得最小值
淘宝：学思创想
在
中，
取得最小值为
故答案为：
12．（2024·山东济南·二模）如图，在正方形
中，
、
分别是
、
边上的动点，且
，若
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】延长
到点
，使得
，继续延长到点
，使得
，取
的中点
，连接
、
、
，判定
是
的中位线，根据正方形的性质、勾股定理，推出
，结合三角形中位线的
性质，推出
，根据“两点之间线段最短”、勾股定理，得出
的最小值
计算出答案即可．
【详解】解：如图，延长
到点
，使得
，继续延长到点
，使得
，取
的中点
，连接
、
、
，
∵
，点
是
的中点，∴
，∵四边形
是正方形，
，
∴
，
，
淘宝：学思创想
∴点
是
的中点，
，
，
，
∴
是
的中位线，
，∴
，∴
，
∴
的最小值
的最小值，∵当
、
、
在同一直线上时，
取得最小值
，
∴
的最小值
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短，熟
练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键．
13．（23-24 九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在
中，
，
，以点
为直角顶点、
为直角边向下作直角
，且
，连接
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系．作
，使
，证
明
，由相似三角形的性质得出
，得出
，由三角形的三边关系可得
的最大值．
【详解】解：如图，作
，使
，连接
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∵
，∴
，
∵
，∴当点C，点A，点E 共线时，
有最大值
，
∴
的最大值为
．故答案为：
．
14．（23-24 九年级上·四川成都·期末）如图所示，在矩形
中，
，
，E，F 分别是
上的动点，且
，连接
，当E 为
中点时，则
；在整个运动过程
中，
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据矩形的性质以及勾股定理可得
的长，从而得到
，再由
，可得
，然后根据勾股定理可求出
，即可；在
右侧构造
，并截取
，使
，
连接
，可证明
，可得∴
，从而得到
，当且仅当B、F、G 三点共线时，
取得最小值，
最小值为
，过点 G 作
交
延长线于点H，可证明
，可得
，
从而得到
，再由勾股定理可得
，即可求解．
【详解】解：在矩形
中，
，
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵E 为
中点，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
；
在
右侧构造
，并截取
，使
，连接
，如图，
在矩形
中，
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
当且仅当B、F、G 三点共线时，
取得最小值，最小值为
，
如图，过点 G 作
交
延长线于点H，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，解得：
，∴
，
∴
，∴
的最小值为
．故答案为：
；
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质，熟练掌握
矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理直角三角形的性质是解题的关键．
15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在菱形
中，
，
，点E 和点F 分别在边
淘宝：学思创想
和边
上运动，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．6
【答案】A
【分析】连接
，作点A 关于
的对称点H，连接
，交
于N，连接
，根据题意证明出
，得出
，得到当点F，点D，点H 三点共线时，
的最小值为
的
长，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接
，作点A 关于
的对称点H，连接
，交
于N，连接
，如图所示：
∵四边形
为菱形，∴
，
，∴
，
∵
，
∴
∴
，∴
是等边三角形，
∵点A，点H 关于
对称，∴
，
，∴
，
又∵
是等边三角形，∴
，
， ∴
，
∵
，
，∴
，又∵
∴
，
∴
，∴
，
∴当点F，点D，点H 三点共线时，
的最小值为
的长，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，即
的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，证明三角形
全等是解题的关键．
16．（23-24 九年级上·四川成都·开学考试）如图，在矩形
中，
，
，P，O 分别为
对角线
边
上的两点，且
，
的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形中
角所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的判
定与性质，构造
是解题的关键．在
上截取
，延长
至
，使得
，
连接
，过点
作
于
，先证明
，得到
，
结合勾股定理即可得到答案．
【详解】解：在
上截取
，延长
至
，使得
，连接
，过点
作
于
，在矩形
中，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
垂直平分
，
，
，
，
，
，
，
，
，故
的最小值为
，故答案为：
．
淘宝：学思创想
17．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面
积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的
__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d 之间存在某种数量关
系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4 中以矩
形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】（3）如图5，在图3 中“④”的基础上，小昕将
绕点
逆时针旋转，他发现旋转过程
中
存在最大值．若
，
，当
最大时，求AD 的长；
（4）如图6，在
中，
，点D、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE、AE、BD．若
，
，求
的最小值．
【答案】（1）2（2）
（3）
（4）
【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；
（2）如图，由
，证明
，再结合图形变换可得答案；
淘宝：学思创想
（3）如图，将
绕点
逆时针旋转，可得
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，可得当
与
相切时，
最大，再进一步解答即可；
（4）如图，将
沿
对折，
的对应点为
，将
沿
对折，
的对应点为
，连接
，
再将
沿
方向平移，使
与
重合，如图，得
，由（2）可得：
，
当
三点共线时，
最短，再进一步解答即可.
【详解】解：如图，∵正方形
，
及圆为正方形
的内切圆，为正方形
的外接正方
形，∴设
，
，
∴
，
，∴
，
，
∴大正方形面积是小正方形面积的2 倍．
（2）如图，∵
，∴
，
，
，
，
∴
，如图，结合图形变换可得：
；
（3）如图，∵将
绕点
逆时针旋转，∴
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
∵
为圆外一个定点，∴当
与
相切时，
最大，∴
，
∴
，由（2）可得：
，∵
，
，
∴
，∴
；
（4）如图，将
沿
对折，
的对应点为
，将
沿
对折，
的对应点为
，连接
，
淘宝：学思创想
∴
，
，再将
沿
方向平移，使
与
重合，如图，得
，
由（2）可得：
，∴当
三点共线时，
最短，
∵
，
，∴
，
，∴
；
∴
的最小值为
；
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，
切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
18．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴
交于点
．点
为第一象限抛物线上的点，连接
，
，
，
．
(1)直接写出结果：
；
；点
的坐标为 ；
；
(2)如图1，当
时，求点
的坐标；
(3)如图2，点
在
轴负半轴上，
，点
为抛物线上一点，
．点
，
分别为
的边
，
上的动点，且
，求
的最小值．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
，2，
，
；(2)点P 坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出
、的值，得到抛物线解析式为
，由
可得
，根据正切定义可求出
；（2）过点
作
轴，交
于点
，过点
作
轴，
由
可得
，证明
，得到
，设点
坐标为
，可得
，解之即可求解；（3）作
，且使
，连接
，
证明
得到
，
，
，
共线时，
的值最小，作
于点
，设
，则
，得到
，求出
，再利用勾
股定理即可求解．
【详解】（1）
抛物线
经过点
，
，
，解得
，
抛物线解析式为
，
抛物线
与
轴交于
、
两点，
时，
，解得
，
，
，
，
，
在
中，
，故答案为：
，2，
，
；
（2）如图1，过点
作
轴，交
于点
，过点
作
轴，交
轴于点
，
，
，
，
，
由（1）可得，
，即
，
，
，
，
轴，
轴，
，
，
，
淘宝：学思创想
又
，
，
，
设点
坐标为
，则
，
，
，解得
（舍去）或
，
点
坐标为
（3）如图2，作
，且使
，连接
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共线时，
的值最小，作
于点
，
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
，解得
或
（舍去），
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与
轴的交点、全等三
角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，
熟练掌握相关知识是解题的关键．
