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专题33 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
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模型1.胡不归模型（最值模型）...................................................................................................................1
..................................................................................................................................................13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，
虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小
伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
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V1
V2
V1
驿道
砂石地
A
B
C
一动点P 在直线MN 外的运动速度为V1，在直线MN 上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B 为定点，
点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。
V2
V1
M
N
C
B
A
CH=kAC
sinα=
CH
AC =k
H
D
α
A
B
C
N
M
M
N
C
B
A
α
D
H
1）
，记
，即求BC+kAC 的最小值.
2）构造射线AD 使得sin∠DAN=k，
，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH 最小值.
3）过B 点作BH⊥AD 交MN 于点C，交AD 于H 点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC 最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA+kPB”型
问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1 的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25 九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在
中，
，
，P 为
边上的一个
动点（不与A、C 重合），连接
，则
的最小值是（ ）
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A．
B．
C．
D．8
例2．（23-24 九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形
中，
，E，P 分别是边
和对角
线
上的动点，连接
，记
，若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形
中，对角线
相交于点
，
，
，
是对角线
上的动点，则
的最小值为 ．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形
边长为4，点E 是
边上一点，且
．
P 是对角线
上一动点，则
的最小值为（ ）
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A．4
B．
C．
D．
例5．（23-24 九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，
是
的直径，
切
于点
交
的延长线
于点
．设点
是弦
上任意一点（不含端点），若
，
，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线
与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点D 是
线段AB 上一动点，点H 是直线
上的一动点，动点
，连接
．
当
取最小值时，
的最小值是 ．
例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1，
，
，
，
分别为边
上的点，
，且
，则
______；②如图2，将①中的
绕点
顺时针旋转
，则
所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形
，
，
，
为边
上的动点，
为边
上的动点，
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，连接
，作
于
点，连接
．当
的长度最小时，求
的长．
【拓展应用】（3）如图4，
，
，
，
，
为
中点，连接
，
分别为线段
上的动点，且
，请直接写出
的最小值．
例9．（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数
的图象交x 轴于A、B
两点，交y 轴于点C，连接
．(1)直接写出点B、C 的坐标，B________；C________．
(2)点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，连接
、
．若
的面积
，求点P 的坐标．
(3)设E 为线段
上任意一点（不含端点），连接
，一动点M 从点A 出发，沿线段
以每秒1 个单位
速度运动到E 点，再沿线段
以每秒2 个单位的速度运动到C 后停止，求点M 运动时间的最小值．
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1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是
，点C 的坐标是
，
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点
是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持
是等边三角形（点P 不在第二象限），
连接
，求得
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．2
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线
与x 轴交于
两点，与y 轴交于
点
．若P 为y 轴上一个动点，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．2
D．4
3.（2024·山东校考一模）如图，AB
AC
，
0
15
A
，
，C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A
出发，运动路径为A
D
C
，在AD 上的速度为4 个单位/秒，在CD 上的速度为1 个单位/秒，则整个运动
时间最少时，D 的坐标为 ．
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4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，
是等边三角形
的外接圆，其半径为4．过点B 作
于点E，点P 为线段
上一动点（点P 不与B，E 重合），则
的最小值为 ．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，按下
列步骤作图：①在
和
上分别截取
、
，使
．②分别以点D 和点E 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点M．③作射线
交
于点F．若点P 是线段
上的一
个动点，连接
，则
的最小值是 ．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱
中
，
，
，
为边
上一点，则
的最小值为______．
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7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知
中，
，则
的最大值为
．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt
ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F 分别是边
AB、BC 上的动点，连接CD，过点A 作AE⊥CD 交BC 于点E，垂足为G，连接GF，则GF+
FB 的最小
值为 ．
9．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，
，点E，F 分别在边
上，且
，沿直线
翻折，点A 的对应点
恰好落在对角线
上，点B 的对应点为
，
点M 为线段
上一动点，则
的最小值为 ．
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10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
分别交x 轴、
y 轴于A、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC+AC 的最小值为__________．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，E 是
上一个动点，连接
，
过点C 作
的垂线l，过点D 作
交l 于点F，过点D 作
于点G，
，点H
是
中点，连接
，则
的最小值为 ．
12．（2023 春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形
的边长为5，对角线
的长为
，
为
上一动点，则
的最小值等于______．
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13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在
中，
，
，
，点
是斜边
上的动点，则
的最小值为 .
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在
中，
，
，
，点D 是
边上
的动点，连接
，则
的最小值为 ．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，等腰直角三角形
的顶点A
在格点上，
，以
为直径的半圆与边
的交点D 在网格线上．
（1）
的值等于 ；（2）若P 为边
上的动点，当．
取得最小值时，请用无
刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）
．
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16．（23-24 八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线
分别交
轴，
轴于点
，点
，点
在
轴正半轴上，且
，点
在直线
上，点
是
轴上的一个动点，设点P 横坐标为t．
(1)求直线
的函数解析式；(2)连接
，
，若
面积等于
面积的
，求t 的值；
(3)求
的最小值．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
．
(1)求抛物线的解析式；(2)当
时，求
的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平
移
个单位长度得到点
，点
为抛物线的对称轴上一动点，求
的最小值．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC 中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA 所在的直线
为x 轴、y 轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=
(x＞0)的图象经过线段OB 的中点D，
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并与矩形的两边交于点E 和点F，直线l：y=kx+b 经过点E 和点F．
（1）写出中点D 的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF 的面积；
（3）如图②，将线段OB 绕点O 顺时针旋转一定角度，使得点B 的对应点H 恰好落在x 轴的正半轴上，连
接BH，作OM⊥BH，点N 为线段OM 上的一个动点，求HN+
ON 的最小值．
19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在
，
，
，求点
到
的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在
，
，
．若点
在边
上，点
在线段
上，
连结
，过点
作
于
，则
的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形
中，
．点
在边
上，点
在边
上，点
在
线段
上，连结
．若
，则
的最小值为______．
