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小学数学「工程问题」压轴题:不列方程

发布时间：2026-11-14 13:09:51 最近访问：2026-11-14 13:09:51

小学数学「工程问题」压轴题:不列方程

这类题条件稍微复杂的题目，很多人都会直接上方程。但本文我们刻意不引入方程，而是训练等量代换和条件分析的能力——这才是这一阶段的真正价值。

一、工程问题：多人合作压轴题

第 1 题

题目：一项工程，由甲队单独做需要 60 天，由乙队单独做需要 20 天。现甲、乙两队合作，中途各休息了几天，结果比计划多用了 5 天才完工。已知甲队工作天数是乙队工作天数的 3/4，问甲、乙两队中途各休息了几天？

解析：多人合作题目的核心就是工作效率对比和工作量分配。

规避分数运算：设总工作量为 60 份，甲每天干 1 份，乙每天干 3 份；
那么乙的效率是甲的 3 倍；甲乙合作每天干 4 份，15 天可以完成。
实际多干了 5 天，20 天才完成。

关键点：乙工作的天数是甲的 4/3 倍，乙的效率是甲的 3 倍；乙的工作总量是甲的 4 倍。

两人合作完成 60 份，乙是甲的 4 倍。乙干了 48 份，甲干了 12 份。
乙每天干 3 份，48 份需要工作 16 天，休息 4 天。
甲每天干 1 份，12 份需要工作 12 天，休息 8 天。
不需要纠结甲、乙是在哪一段时间休息的。

特例验证：

假设前 4 天甲、乙都在休息。
第 5-8 天乙开始工作，4 天完成 12 份。
第 9-20 天甲也加入。两人每天完成 4 份，12 天完成 48 份。
刚好 20 天完成 60 份。

第 2 题

题目：甲、乙、丙三人同时分别在 3 个条件和工作量相同的小仓库工作，搬完货物甲用 10 小时，乙用 12 小时，丙用 15 小时。第二天三人又到两个工作量相同的大仓库工作，甲在 A 仓库，乙在 B 仓库，丙先帮甲再帮乙，用了 16 小时将 A、B 两个仓库同时搬完。问丙在 A 仓库搬了多长时间？

解析：多人合作题目的核心就是工作效率对比和工作量分配。

规避分数运算：设小仓库总工作量为 60 份：甲每小时干 6 份，乙每小时干 5 份，丙每小时干 4 份；
两个大仓库的工作量：甲一直在 A 仓库，工作 16 小时；乙一直在 B 仓库工作 16 小时；丙在两个仓库之间流转，合计工作 16 小时。

关键点：虽然工作的地点不同，但不影响效率和工作量。

总工作量 =（6+5+4）×16 = 240 份；每个仓库 120 份。
甲在 A 仓库独立完成 6×16 = 96 份，其余 24 份是丙协助完成。
丙每小时干 4 份，在 A 仓库工作 6 小时。

验证：丙在第 7 个小时进入 B 仓库工作，此时乙已经完成 5×6 = 30 份，剩余 90 份。乙丙合计每小时完成 9 份，还需要 10 小时。刚好 16 小时。

二、工程问题：效率变化类提升题

第 3 题

题目：甲、乙合作完成一项工作。由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了 1/10，乙的工作效率比单独做时也提高了 1/5。甲、乙合作 6 小时完成了这项工作。如果甲单独做需要 11 小时，那么乙单独做需要几小时？

解析：工效变化的问题，核心问题为"新钙中钙，一片，顶原来的 5 片。"

甲工作效率提高了 1/10，相当于现在的 10 小时，顶原来的 11 小时。
乙工作效率提高了 1/5，相当于现在的 10 小时，顶原来的 12 小时。
甲单独做需要 11 小时；按照提效后的速度，单独做需要 10 小时。
甲乙一共干了 6 小时：相当于甲有 4 小时的工作量，被乙完成用 6 小时完成了。
那么乙提效后的速度是甲的 2/3：按照提效后速度，乙单独做需要 15 小时。
提效后乙 15 小时，顶原来的 18 小时。

所以，原来乙单独做，需要 18 小时。

这么写：包得分。如果要写算式的话：

11 ÷（1+1/10）= 10

（10-6）÷ 6 = 2/3

10 ÷ 2/3 ×（1+1/5）= 18

第 4 题

题目：甲、乙两项工程分别由一、二两队来完成。在晴天，一队完成甲工程要 12 天，二队完成乙工程要 15 天；在雨天，一队的工作效率要下降 40%，二队的工作效率要下降 10%。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

解析：工效变化的问题，核心问题为"新钙中钙，一片，顶原来的 5 片。"

一队：下雨天效率下降 40%：相当于晴天 6 天的工作，雨天 10 天才能完成；
二队：下雨天效率下降 10%：相当于晴天 9 天就能完成，雨天 10 天才能完成。
每下 10 天的雨：一队的工作就要拖后 4 天；二队的工作就要拖后 1 天。
如果不下雨，一队比二队早结束 3 天。
现在两队同时完成，说明一队比对二队多拖后了 3 天。
正好对应 10 天下雨。

所以，工作时间内，一共下了 10 天雨。

这么写：包得分。

如果要写算式的话：（15-12）÷3×10 = 10

三、工程问题：交替工作提升题

第 5 题

题目：甲、乙两人轮流做一项工程，约定：第一个人先做 1 小时，第二个人做 1 小时，然后再由第一个人做 1 小时，然后又由第二个人做 1 小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙轮流做一个工程需要 9.8 小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要 9.6 小时，那么乙单独做这个工程需要多少小时？

解析：交替工作类工程问题，核心为"一个周期内，谁先谁后无所谓，可以分组打包。"

甲先工作 1 小时 + 乙后工作 1 小时 = 乙先工作 1 小时 + 甲后工作 1 小时
每 2 个小时为一个周期，周期的整数倍内，谁先谁后都一样。
甲乙轮流需要 9.8 小时，乙甲轮流需要 9.6 小时。前面 8 个小时，工作量和效率都是一样的，剩余的工作量也相等。
甲乙最后 1.8 小时：甲工作 1 小时，乙工作 0.8 小时。
乙甲最后 1.6 小时：乙工作 1 小时，甲工作 0.6 小时。
剩余的工作量相同：相当于甲少干 0.4 小时工作量，乙多干了 0.2 小时就完成了。
乙的效率是甲的 2 倍。

甲乙轮流做需要 9.8 小时，5 小时是甲的，4.8 小时是乙的。

如果把甲 5 小时的工作量换成乙，只需要 2.5 小时。
相当于全部乙来干，用 4.8+2.5 = 7.3 小时就可以完成。

验证：乙甲轮流做需要 9.6 小时：5 小时是乙的，4.6 小时是甲的。甲的 4.6 小时相当于乙的 2.3 小时。全部由乙来做，5+2.3 = 7.3 小时。

第 6 题

题目：张飞、关羽、刘备三人栽树。已知张飞、关羽合栽 15 天栽完，关羽、刘备合栽 12 天栽完，刘备、张飞合栽 8 天栽完。若按刘、关、张的顺序轮流各栽一天，栽完这批树苗共需多少天？（整数天即可）

解析：交替工作类工程问题，核心为"一个周期内，谁先谁后无所谓，可以分组打包。"

刘关张轮流各栽树一天，3 天为一个周期，但是已知条件是两两配对，一个周期内无法配对。
将周期调整为 6 天：6 天内刘、关、张每人各自工作 2 天，两两配对相当于张飞关羽合作一天，关羽刘备合作一天，刘备张飞合作一天。
找出 15、12、8 的最小公倍数 120。设总工作量为 120 份，张飞关羽每天合作完成 8 份，刘备关羽每天合作完成 10 份，刘备张飞每天合作可完成 15 份。
以 6 天为一个周期：每个周期可以完成 8+10+15 = 33 份。
3 个周期共 18 天，可完成 99 份；剩余 120-99 = 21 份。
此时要非常小心分析剩余的 21 份。

按照刘备关羽张飞的顺序：