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专题1 圆锥曲线的二级结论
一．有关椭圆的经典结论
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
短轴的长
长轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于
轴、
轴、原点对称
离心率
e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁
结论1.（1）、与椭圆
共焦点的椭圆的方程可设为______________________.
（2）、与椭圆
有相同的离心率的椭圆可设为______________________.
结论2.椭圆的两焦点分别为
,
是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:
（1）、第一定义：
；
1
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（2）、焦半径的最大值与最小值：______________________；
（3）、
；
（4）、焦半径公式
______________________；
______________________；
结论3.椭圆的方程为
（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为
,
是椭圆上任意一点,则
有: (1)、
________________；
(2)、参数方程______________________；
结论4.设
点是椭圆上异于长轴端点的任一点,
为其焦点，记
，则
（1）、
（2）、焦点三角形的面积：
（4）、当
点位于短轴顶点处时,
最大,此时
也最大；
（5）、cosθ≥1−2e2.
（6）、点
是
内心，
交
于点
，则
.
结论5.有关
的经典结论
（1）、AB 是椭圆
的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为AB 的中点，则________________；
（2）、椭圆的方程为
（a＞b＞0），
为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点
的任一点，则有
M
2
1F
PF
PM
2
1F
F
N
c
a
MN
PM
|
|
|
|
2
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（3）、椭圆的方程为
（a＞b＞0），
为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点
的任一点，则有
（4）、椭圆的方程为
（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于
两点，P 点是椭圆上异于
两点的任一点，则有
结论6. 若
在椭圆
上，则
（1）、以
为切点的切线斜率
为
（2）、过
的椭圆的切线方程是
结论7.若
在椭圆
外 ，则过
作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
P1P2的直线方程是______________；
结论8.椭圆的两个顶点为
,
，与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与
A 2P2 交点的轨迹
方程是______________；.
结论9.过椭圆上任一点
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且
（常数）.
3
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结论10. 若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点,
,
，则
.
结论11.P 为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则
,
当且仅当
三点共线时，等号成立.
结论12.
为坐标原点，
、
为椭圆上两动点，且
.
（1）、
（2）、
的最大值为
（3）、
的最小值是______________；
结论13. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点
, 则______________.
结论14.离心率
，
.
结论15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫______________，其长度为______________；
结论16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
4
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结论17. 过椭圆
左焦点的焦点弦为
,则
；过右焦
点的弦
.
结论18. 椭圆内接矩形最大面积：______________.
结论19. 若椭圆方程为
，半焦距为
，焦点
，设
(1)、过
的直线 的倾斜角为
，交椭圆于A、B 两点，则有
①
②
(2)、若椭圆方程为
，半焦距为，焦点
，设
过
的直线 的倾斜角为
，交椭圆于A、B 两点，则有：
①
②
结论：椭圆过焦点弦长公式：
结论20. 若
是过焦点
的弦,设
,则______________；
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
AB
)
(
2
2
1
x
x
e
a
AB
)
(
2
2
1
x
x
e
a
AB
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
5
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二．有关双曲线的经典结论
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
范围
或
，
或
，
顶点
、
、
轴长
虚轴的长
实轴的长
焦点
、
、
焦距
对称性
关于
轴、
轴对称，关于原点中心对称
离心率
，
越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
结论21. （1）、与
共轭的双曲线方程为______________；①它们有公共的渐近线；②四个焦
点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③
。
（2）、与
有相同焦点的双曲线方程为
6
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（3）、与
有相同焦点的椭圆方程为：
（4）、与
有相同焦点的双曲线方程为：
（5）、与
有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在
轴上时：
②焦点在
轴上时：
（6）、与
有相同的渐近线方程为：
；
结论22. 双曲线的两焦点分别为
,
是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:
(1)、
; (2)、
;
结论23. 双曲线的方程为
（a＞0，b＞0）, ,
是双曲线上任意一点,则有:
结论24. 设P 点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记
，则
(1)、
.
(2)、焦点三角形的面积
.
7
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结论25. 有关
的经典结论
(1)、AB 是双曲线
的不平行于对称轴的弦，M( x0, y0)为AB 的中点，则______________；
(2)、双曲线的方程为
（a＞0，b＞0），
为
双曲线
的实轴顶点
，P 点是双曲线上异于
实轴顶点的任一点，则有______________；
(3)、双曲线的方程为
（a＞0，b＞0），
为
双曲线
的虚轴端点
，P 点是双曲线上异于
虚轴端点的任一点，则有______________；
(4)、双曲线的方程为
（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于
两点，P 点是双曲线
上异于
两点的任一点，则有______________；
结论26. 若
在双曲线
上，则
（1）以
为切点的切线斜率为______________；
（2）过
的双曲线的切线方程是______________；
8
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结论27. 若
在双曲线
外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
P1P2的直线方程是______________；
结论28.双曲线的两个顶点为
,
，与y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的
轨迹方程是______________；
结论29.过双曲线上任一点
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向
且______________（常数）.
结论30.离心率e=
c
a =
、e2=
结论31.过焦点且垂直于长轴的弦叫______________，其长度为______________,
结论32.双曲线焦点到渐近线的距离总是______________；顶点到渐近线的距离为______________；
结论33.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值______________；
结论34. 与双曲线
（a ＞0 ，b ＞0 ）有相同渐近线的双曲线方程可设为
9
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结论35.已知双曲线的渐近线方程为
，则双曲线方程可设为
结论36.双曲线
称为等轴双曲线，其渐近线方程为______________；离心率______________.
结论37.设双曲线
，其中两焦点坐标为
，过
的直线的倾斜角为
，交
双曲线于A、B 两点，焦点在x 轴的焦点弦长为
其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，
为AB 的倾斜角。
结论38.若AB 是过焦点F 的弦,设
, ,AB 交在同支时,
AB 交在两支时,
______________(设
)
2
2
2
a
y
x
10
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三、有关抛物线的经典结论
结论39.设
为过抛物线
焦点的弦，
，直线
的倾斜角为
，
则
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、
；
(5)、
(6)、
标准方程
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
（0，0）
离心率
px
y
2
2
px
y
2
2
py
x
2
2
py
x
2
2
▲y
x
O
▲y
x
O
▲y
x
O
▲y
x
O
)
0,
2
( p
F
)
0,
2
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
)
2
,0
(
p
F
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
R
y
x
,0
R
y
x
,0
0
,
y
R
x
0
,
y
R
x
x
y
1
e
11
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(7)、以
为直径的圆与准线相切，以
为直径的圆与
轴相切；
结论40.焦点
对
在准线上射影的张角为
结论41.如图所示，以
两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点
M，则有：
（1）、M 点必在准线上；
（2）、设线段AB 的中点为N，则
，即
（3）、
结论42.AB 的中垂线与X 轴交于点R，则
结论43.以A 为切点的切线斜率为
切线方程为______________；
结论44.已知抛物线方程为
，定点M
，直线过点M 交抛物线于A，B
两点，
，则有
结论45.已知A，B 是抛物线
两点，且直线AB 不垂直于
轴，则有：
结论46.
（或
）的参数方程为
（或
）（为参数）.
px
y
2
2
py
x
2
2
pt
y
pt
x
2
2
2
2
2
2
pt
y
pt
x
t
12
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结论47.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB 的性质：
①、
；
②、
恒过定点
；
③、
中点轨迹方程：
；
④、
，则
轨迹方程为：
；
⑤、
.
结论48.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点
，则：
①、当
时，顶点到点A 距离最小，最小值为
；
②、当
时，抛物线上有关于
轴对称的两点到点A 距离最小，最小值为
.
结论49. 抛物线y2=2px(p>0)与直线
相交于
且该直线与
轴交于点
，则有
结论50. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点
的直线交该抛物线于、
两点，自、
两点向准线作垂线，垂
足分别为
，则
；其逆命题：若
，则A、F、B 三点共线。
※若点M 是准线上任一点，则
2
2
1
2
2
1
4
,
4
P
y
y
P
x
x
AB
l
)
0,
2
( p
B
A,
)
2
(
2
p
x
p
y
AB
OM
M
2
2
2)
(
p
y
p
x
2
min
4
)
(
p
S AOB
)
0,
(a
A
p
a
0
a
p
a
x
2
2
p
ap
13
