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专题 07 列方程解决问题重难题型分类练（八大考
点）
实战训练
一．行程类之一般相遇与追及
1．M、N两地相距600km，甲、乙两车分别从M、N两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙
的速度分别为100km/h和20km/h，甲从M地出发，到达N地立刻调头返回M地，并在M地停留
等待乙车抵达，乙从N地出发前往M地，和甲车会合．
（1）求两车第二次相遇的时间；
（2）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
2．A，B两地相距300千米，甲车从A地驶向B地，行驶80千米后，乙车从B地出发驶向A地，4
乙车行驶5小时到达A地，并原地休息．甲、乙两车匀速行驶，甲车速度是乙车速度的 倍．
3
（1）甲车的行驶速度是 千米/时，乙车的行驶速度是 千米/时；
（2）求乙车出发后几小时两车相遇；（列方程解答此问）
（3）若甲车到达B地休息一段时间后按原路原速返回，且比乙车晚2小时到达A地．甲车从A
地出发到返回A地过程中，甲车出发 小时，两车相距40千米；甲车在B地休息
小时．
3．A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米．
（1）若两人同时出发相向而行，则需经过几小时两人相遇？
（2）若两人同时出发相向而行，则需几小时两人相距16千米？
（3）若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？
二．行程类之车过隧道大桥
4．一列始终保持匀速行驶的普通火车用 8秒的时间通过了长为96米的隧道（即从车头进入隧道入
口到车尾离开隧道出口），这列火车又用13秒的时间通过了256米的隧道．
（1）求这列普通火车的长度；
（2）相邻车道有一列长度为214.5米，匀速相向行驶的高铁列车经过，普通火车与高铁列车完
成会车（即从车头相遇开始到车尾相遇时结束）的时间是3.5秒，求高铁列车每小时行驶多少千
米．
5．一列匀速行驶的列车在行进途中经过一个长700米的隧道，已知列车从进入隧道到离开隧道共
需18秒时间．在这以过程中，坐在该列车上的小王看到身旁的窗口从进入隧道到离开隧道用了
14秒时间，求该列车的行驶的速度和列车的长度．
6．我国某部边防军小分队成一列在野外行军，通讯员在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前
面人数是后面的两倍，他往前超了6位战士，发现前面的人数和后面的人数一样．
（1）这列队伍一共有多少名战士？
（2）这列队伍要过一座320米的大桥，为安全起见，相邻两个战士保持相同的一定间距，行军
速度为5米/秒，从第一位战士刚上桥到全体通过大桥用了100秒时间，请问相邻两个战士间距
离为多少米（不考虑战士身材的大小）？
三．行程类之顺水逆水
7．一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知该船在静水中每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离．
8．一艘轮船在长江A、B两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，如果船
在静水中的航速是18km/h，那么水的流速是多少？
四．（经典题型）方案设计类
9．为举办校园文化节，甲、乙两班准备给合唱同学购买演出服装（一人一套），两班共 92人（其
中甲班比乙班人多，且甲班不足90人），下面是供货商给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两班单独给每位同学购买一套服装，那么一共应付5020元．
（1）甲、乙两班联合起来给每位同学购买一套服装，比单独购买可以节省多少钱？
（2）甲、乙两班各有多少名同学？
（3）如果甲班有10名同学被调去参加书画比赛不能参加演出，请你为两班设计一种最省钱的
购买服装方案．
10．某商场销售一种夹克和衬衣，夹克每件定价 100元，衬衣每件定价50元，商场在开展促销活
动期间，向顾客提供两种优惠方案．
方案一：买一件夹克送一件衬衣；
方案二：夹克和衬衣均按定价的80%付款．
现有顾客要到该商场购买夹克30件，衬衣x件（x＞30）．
（1）用含x的代数式表示方案一购买共需付款y 元和方案二购买共需付款y 元．
1 2
（2）通过计算说明，购买衬衣多少件时，两种方案付款一样多？
（3）当x＝40时，哪种方案更省钱？请说明理由．
11．某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价
为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
12．某中学七年级（1）班要购买20个笔记本和x（x＞40）支圆珠笔作为期末考试奖品，已知笔记
本每本8元，圆珠笔每支0.8元．其中有甲、乙两家文具店可供选择，甲文具店优惠办法：买一
个笔记本赠送2支圆珠笔，乙文具店优惠办法：全部商品按九折出售．（1）着单独到甲文具店购买，笔记本应付 元，圆珠笔应付 元．
（2）若单独到乙文具店购买，笔记本应付 元，圆珠笔应付 元．
（3）当x等于多少时，单独到甲文具店购买和单独到乙文具店购买所花的总钱数一样多？
（4）若该班需要购买20个笔记本和50支圆珠笔，怎样购买最省钱？（直接写出购买方案即
可）
五．日常生活中的方程--水电类
13．近日，无锡市发展改革委印发《关于优化调整居民阶梯气价政策有关事项的通知》，从2022
年1月1日起，增加一、二档用气量，“一户多人口”政策同步调整．
气量分档 年用气量（立方米） 价格
（元/立方
调整前 调整后
米）
第一档 年用气量≤300 年用气量≤400 2.73
第二档 300＜年用气量≤600 400＜年用气量≤1000 3.28
第三档 年用气量＞600 年用气量＞1000 3.82
人口超过4人的家庭，每增加1人，一、二档上限增加80立方米、200立方米（原政策一、二
档上限增加60立方米、120立方米）．
（1）若小明家有5口人，年用气量1000立方米．则调整前气费为 元，调整后气费为
元；
（2）小红家有4口人，若调整后比调整前气费节省109元，则小红家年用气量为多少立方米？
14．某市为了鼓励居民节约用水，采用分阶段计费的方法按月计算每户家庭的水费：月用水量不超
过20m2时，按2元/m2计算：月用水量超过200m2时，其中的20m2仍按2元/m2计算，超过部分
按2.6元/m2计算．设某户家庭月用水量xm2．
（1）用含x的式子表示：
当0≤x≤20时，水费为 ；当x＞20时，水费为 ；
（2）
月份 4月 5月 6月
用水量 15 17 a
小花家第二季度用水情况如上表，小花家这个季度共缴纳水费117元，请你求出小花家6月份用
水量a的值？
六．（易错题型）利润，购物类15．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知
乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵 5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25
元/件．
（1）甲、乙两种商品每件进价各多少元？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完，可获得多少利润？
（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商
品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第
二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多160元，那么a的值是多少？
16．甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如表购物优惠方案：
甲超市 乙超市
消费金额（元） 优惠活动 消费金额（元） 优惠活动
0～100（包含100） 无优惠 0～200（包含200） 无优惠
100～350（包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受
八折优惠
大于350 一律享受八折优惠
（1）小王需要购买价格为240元的商品，去哪家店更划算？
（2）小李带了252元去购物、为了买到最多的商品，应选择哪家超市？最多能买到原价为多少
元的商品？
（3）小刘在甲超市购物、两次购物分别付了80元和288元，如果小刘把这两次购物改为一次性
购物，付款多少元？
17．某商店用3700元购进A、B两种玻璃保温杯共80个，这两种玻璃保温杯的进价、标价如下表
所示：
价格\类型 A型 B型
进价（元/个） 35 65
标价（元/个） 50 100
（1）这两种玻璃保温杯各购进多少个？
（2）已知A型玻璃保温杯按标价的8折出售，B型玻璃保温杯按标价的7.5折出售．在运输过程
中有2个A型和1个B型玻璃保温杯不慎损坏，不能销售，请问在其它玻璃保温杯全部售出的情
况下，该商店共获利多少元？
18．郑州丹尼斯超市（嵩山路店）购进A、B两种品牌足球共100个，已知购买A品牌足球比购买
B品牌足球少花2800元，其中A品牌足球每个进价是50元，B品牌足球每个进价是80元．（1）求购进A、B两种品牌足球各多少个？
（2）在销售过程中，A品牌足球每个售价是80元，很快全部售出；B品牌足球每个按进价加价
25%销售，售出一部分后，恰逢元旦假期，商场搞促销活动，决定打九折出售剩余的B品牌足球，
两种品牌足球全部售出后共获利2150元，有多少个B品牌足球打九折出售？
七．（经典题型）方程与数轴的融合
19．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动
点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每
秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P，Q两点同时出发，问运动时间为 秒
时，点P和点Q间的距离为8个单位长度．
20．如图，在数轴上，O为原点，点A表示的数为﹣10，点B表示的数为4．
（1）A，B两点间的距离是 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，此时原点O与表示数 的点重合．
（3）若点A，B分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时向左运动，则几秒时
点B追上点A？
（4）若点A，B以（3）中的速度相向而行，则几秒时A，B两点相距2个单位长度？
21．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C
AC 5
是线段AB上一点，满足 = ．
BC 4
（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点
后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到 B点后停止．在点M从A点出发的同时，
动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．
设点N的运动时间为t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
22．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P为AB的中点，直接写出点P对应的数；
（2）数轴的原点右侧是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的
值；若不存在，说明理由；
（3）现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时向右运动，同时
点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位
长度时，求点P所对应的数是多少？
八．（易错题型）数字类
23．一个两位数，个位数比十位数字大4，而且这个两位数比它的数字之和的3倍大2，则这个两
位数是 ．
24．有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这个两位数的两个数字的位置对换，那
么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．
25．列方程解应用题：
一个两位数，个位数字是十位数字的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调后，那么所得
的两位数比原来的两位数大36，求原来的两位数．
