专题01圆锥曲线的二级结论（无结论，不圆锥）默写版_数学_专项复习_2024年_2024年高考数学总复习解析几何压轴题专题习题训练_资料

专题 1 圆锥曲线的二级结论
一．有关椭圆的经典结论
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 短轴的长 长轴的长
焦点
、 、
焦距
对称性 关于 轴、 轴、原点对称
离心率
e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁
结论1.（1）、与椭圆 共焦点的椭圆的方程可设为______________________.
（2）、与椭圆 有相同的离心率的椭圆可设为______________________.
结论2.椭圆的两焦点分别为 , 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:
（1）、第一定义： ；（2）、焦半径的最大值与最小值：______________________；
（3）、 ；
（4）、焦半径公式 ______________________； ______________________；
结论3.椭圆的方程为 （a＞b＞0）, 左、右焦点分别为 , 是椭圆上任意一点,则
有: (1)、 ________________；
(2)、参数方程______________________；
结论4.设 点是椭圆上异于长轴端点的任一点, 为其焦点，记 ，则
（1）、
（2）、焦点三角形的面积：
（4）、当 点位于短轴顶点处时, 最大,此时 也最大；
（5）、
cosθ≥1−2e2.
| PM | a

（6）、点M 是 PF 1 F 2内心，PM 交 F 1 F 2于点 N ，则 |MN | c .
结论5.有关 的经典结论
(x ,y )
（1）、AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则________________；
（2）、椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点
的任一点，则有（3）、椭圆的方程为 （a＞b＞0）， 为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点
的任一点，则有
（4）、椭圆的方程为 （a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于 两点，P点是椭圆上异于
两点的任一点，则有
结论6. 若 在椭圆 上，则
（1）、以 为切点的 切线斜率 为
（2）、过 的椭圆的切线方程是
结论7.若 在椭圆 外 ，则过 作椭圆的两条切线切点为 P 、P ，则切点弦
1 2
PP 的直线方程是______________；
1 2
结论8.椭圆的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交椭圆于P P 时AP 与 AP 交点的轨迹
1、 2 1 1 2 2
方程是______________；.
结论9.过椭圆上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
（常数）.结论 10.若 P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F, F 是焦点, , ，则
1 2
.
结论11.P为椭圆上任一点,F,F 为二焦点，A为椭圆内一定点，则 ,
1 2
当且仅当 三点共线时，等号成立.
结论12. 为坐标原点， 、 为椭圆上两动点，且 .
（1）、
（2）、 的最大值为
（3）、 的最小值是______________；
结论13. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则______________.
结论14.离心率 ， .
结论15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫______________，其长度为______________；
结论16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
x2 y2
 1(ab0) AB  2ae(x x )
结论17. 过椭圆a2 b2 左焦点的焦点弦为AB ,则 1 2 ；过右焦AB  2ae(x x )
点的弦 1 2 .
结论18. 椭圆内接矩形最大面积：______________.
x2 y2
 1(ab0)
结论19.
若椭圆方程为a2 b2
，半焦距为 ，焦点 ，设
(1)、过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有
① ②
x2 y2
 1(ab0)
(2)、若椭圆方程为a2 b2 ，半焦距为 ，焦点 ，设
过 的直线 的倾斜角为 ，交椭圆于A、B两点，则有：
① ②
结论：椭圆过焦点弦长公式：
结论20. 若 是过焦点 的弦,设 ,则______________；二．有关双曲线的经典结论
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点
、 、
轴长 虚轴的长 实轴的长
焦点
、 、
焦距
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
离心率
， 越大，双曲线的开口越阔
渐近线方程
结论21. （1）、与 共轭的双曲线方程为______________；①它们有公共的渐近线；②四个焦
点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③ 。
（2）、与 有相同焦点的双曲线方程为（3）、与 有相同焦点的椭圆方程为：
（4）、与 有相同焦点的双曲线方程为：
（5）、与 有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在 轴上时：
②焦点在 轴上时：
（6）、与 有相同的渐近线方程为： ；
结论22. 双曲线的两焦点分别为 , 是双曲线上任意一点,则有以下结论成立:
(1)、 ; (2)、 ;
结论23. 双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）, , 是双曲线上任意一点,则有:
结论24. 设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F、F 为其焦点记 ，则
1 2
(1)、 .
(2)、焦点三角形的面积 .结论25. 有关 的经典结论
(x ,y )
(1)、AB是双曲线 的不平行于对称轴的弦，M 0 0 为AB的中点，则______________；
(2)、双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的实轴顶点 ，P点是双曲线上异于
实轴顶点的任一点，则有______________；
(3)、双曲线的方程为 （a＞0，b＞0）， 为 双曲线 的虚轴端点 ，P点是双曲线上异于
虚轴端点的任一点，则有______________；
(4)、双曲线的方程为 （a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于 两点，P点是双曲线
上异于 两点的任一点，则有______________；
结论26. 若 在双曲线 上，则
（1）以 为切点的切线斜率为______________；
（2）过 的双曲线的切线方程是______________；结论27. 若 在双曲线 外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为 P 、P ，则切点弦
1 2
PP 的直线方程是______________；
1 2
结论28.双曲线的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P P 时AP 与AP 交点的
1、 2 1 1 2 2
轨迹方程是______________；
结论29.过双曲线上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向
且______________（常数）.
c
a
结论30.离心率e= = 、e2=
结论31.过焦点且垂直于长轴的弦叫______________，其长度为______________,
结论32.双曲线焦点到渐近线的距离总是______________；顶点到渐近线的距离为______________；
结论33.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值______________；
结 论 34. 与 双 曲 线 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ） 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为结论35.已知双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为
x2y2a2
结论36.双曲线 称为等轴双曲线，其渐近线方程为______________；离心率______________.
结论37.设双曲线 ，其中两焦点坐标为 ，过 的直线 的倾斜角为 ，交
双曲线于A、B两点，焦点在x轴的焦点弦长为
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距， 为AB的倾斜角。
结论38.若AB是过焦点F的弦,设 , ,AB交在同支时, AB交在两支时,
______________(设 )三、有关抛物线的经典结论
标准方程 y22px y22px x22py x22py
图形 ▲y ▲y ▲y ▲y
x x x
O x O O
O
焦点 p p p p
F( ,0) F( ,0) F(0, ) F(0, )
2 2 2 2
准线 p p p p
x x y y
2 2 2 2
范围 x0,yR x0,yR xR,y0 xR,y0
对称轴 x 轴 y 轴
顶点 （0，0）
离心率 e1
结论39.设 为过抛物线 焦点的弦， ，直线 的倾斜角为 ，
则
(1)、
(2)、
(3)、
(4)、 ；
(5)、
(6)、(7)、以 为直径的圆与准线相切，以 为直径的圆与 轴相切；
结论40.焦点 对 在准线上射影的张角为
结论41.如图所示，以 两点为切点引抛物线的两条切线，两条切线交于一点
M，则有：
（1）、M点必在准线上；
（2）、设线段AB的中点为N，则 ，即
（3）、
结论42.AB的中垂线与X轴交于点R，则
结论43.以A为切点的切线斜率为 切线方程为______________；
结论44.已知抛物线方程为 ，定点M ，直线 过点M交抛物线于A，B
两点， ，则有
结论45.已知A，B是抛物线 两点，且直线AB不垂直于 轴，则有：
x2pt2 x2pt
 
结论46. y22px （或 x22py ）的参数方程为y2pt （或y2pt2 ）（t为参数）.结论47.抛物线y2=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质：
x x  4P2,y y  4P2
①、 1 2 1 2 ；
l (2p,0)
②、 AB恒过定点 ；
A,B y2  p(x2p)
③、 中点轨迹方程： ；
④、 OM  AB ，则M 轨迹方程为： (x p)2  y2  p2 ；
(S )  4p2
⑤、 AOB min .
A(a,0)
结论48.抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点 ，则：
0 a  p a
①、当 时，顶点到点A距离最小，最小值为 ；
a  p x 2ap p2
②、当 时，抛物线上有关于 轴对称的两点到点A距离最小，最小值为 .
结论49. 抛物线y2=2px(p>0)与直线 相交于 且该直线与 轴交于点 ，则有
结论50. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点，自 、 两点向准线作垂线，垂
足分别为 ，则 ；其逆命题：若 ，则A、F、B三点共线。
※若点M是准线上任一点，则