隆建军:立足教材习题挖掘命题价值────一道圆锥曲线教材习题的改编与探索

立足教材习题挖掘命题价值

────一道圆锥曲线教材习题的改编与探索

四川省攀枝花市大河中学校隆建军

摘要:教材习题是数学教学的核心载体，蕴含着丰富的数学思想与命题规律。本文以新人教A版选择性必修第一册第146页复习参考题3第10题为例，通过对原题进行解答分析、横向变式与纵向拓展，系统探究圆锥曲线中“垂直定点+垂足轨迹” 模型的共性规律，构建从教材原题到高考级改编题的梯度化习题体系，为一线教师开展习题教学与命题研究提供参考。

关键词:圆锥曲线；教材习题；变式改编；核心素养

一、题目解答与分析

(一)题目解答

(二)原题教学价值分析

基础运算能力考查：通过联立方程、韦达定理、向量垂直等步骤，全面考查学生的代数运算能力与逻辑推理能力。

核心模型渗透：隐含“抛物线中过原点的两条垂直弦，对应直线恒过定点”的经典模型，为后续圆锥曲线定点问题的教学埋下伏笔。

几何与代数融合：通过“垂直条件”与“垂足轨迹”的结合，体现了解析几何中 “数与形”的内在联系，有助于培养学生的直观想象素养。

本题契合学情，主干知识主要考查通性通法，题目具有基础性、综合性的特点，是一道锻炼学生融会贯通、学以致用的经典圆锥曲线题目，当然这也是一道我们老师在教学中非常值得重视的高考优质备课素材。

改编意图：以上改编试题保留了条件结构(垂直)，融入轨迹、定长问题，改变了设问方式，丰富几何层次特征，对高考考查起到了承上启下的作用。起到了培养学生解决问题、数学素养、直观想象、数学抽象、逻辑推理等能力的作用。

四、改编题的教学价值与实施建议

（一）教学价值

1.梯度化思维培养：从教材原题到抛物线、椭圆、双曲线的改编题，形成了从基础到综合的梯度化习题链，帮助学生逐步构建“垂直定点+垂足轨迹”的解题模型。

2.核心素养提升：通过一题多解、多题归一的教学方式，培养学生的逻辑推理、直观想象与数学运算素养，深化对圆锥曲线本质的理解。

3.命题能力渗透：通过改编过程的展示，引导学生理解命题规律，掌握“模型迁移、条件转化、结论拓展” 的改编方法，提升学生的数学探究能力。

（二）教学实施建议

1.课堂探究活动：以教材原题为起点，引导学生通过小组讨论，探究“垂直定点” 模型的共性规律，自主完成从抛物线到椭圆、双曲线的迁移。

2.分层作业设计：根据学生学情，设置基础题、提高题、拓展题三个层次的作业，让不同水平的学生都能在改编题的探究中获得成就感。

3.错题归因分析：针对改编题中出现的共性错误，如韦达定理应用失误、垂直条件转化不当等，开展专题讲解，帮助学生扫清知识盲区。

五、结论与反思

教材习题是数学教学的“金矿”，通过对教材习题的深度挖掘与改编，不仅能丰富教学资源，更能引导学生从“解题”走向“悟题”，实现从知识掌握到能力提升的跨越。本文以一道抛物线习题为切入点，构建了圆锥曲线中“垂直定点+垂足轨迹”的通用模型，通过梯度化改编题的设计与应用，为一线教师开展习题教学提供了可操作的路径。在后续教学中，还可进一步拓展该模型在高考真题中的应用，帮助学生更好地应对复杂的圆锥曲线问题。

参考文献

[1]人民教育出版社.普通高中教科书・数学（选择性必修第一册）[M].北京：人民教育出版社，2020.