夜雨聆风SJTU 2027 年数学学科夏令营试题
上海交通大学数学科学学院优秀大学生学术营 （2026 年 7 月）
1. 选择（20 分）暂缺
2.（15 分）设
求 的特征值； 求正交矩阵 ，使得 为对角阵.
送分. （1）2（二重）；5（一重）
（2）.
（答案不唯一）.
3.（10 分）设 ，，设 . 证明：
证明： 由 ，及 Bézout 恒等式：存在 ，使得 ，其中 表示 上的恒等变换.
（1）， 则有：
有：
（2），有. 由 可知：
考察 与 ：
有：综上
（3），则有：， 再次根据 有：
即 ，则
4.（5 分）设
在 上不可约，记 为 的一个根.
证明： 在 上线性无关.
令证明：对任意 ，若 ，则存在 ，使得
（1）因为 在 上不可约，且 ，故 为 在 上的最小多项式. 假设存在 ，使得 . 令 ，则，由 为最小多项式可知：，但 ，故 ，，所以 在 上线性无关.
（2）由 ， 均可用 线性表出. ，. 对于任意给定 ，定义 上线性变换 . ，有 ，即 ，故 为单射，又（2）由 ， 均可用 线性表出. ，. 对于任意给定 ，定义 上线性变换 . ，有 ，即 ，故 为单射, 又 ，所以 为满射. 由 ，，使得 .
5.（5 分）设 具有连续偏导数.证明：存在映射
使得复合函数 为 上的常函数，并且 是一一映射.
（1） 若 对 成立，则 为 的常函数.令，则 为 的常函数；
（2）若 ，则 ，使 ，设 ，令 ，，，由隐函数存在定理： 可惟一确定隐函数 ，，令 ，，，，令 ，则 ，，则 ，即 ，且 为双射.
6.（5 分）设 ，.证明：
由 可知 因此于是
令从而
由 Cauchy-Schwarz 不等式，
故
7.（10 分）设 ，且
若 为紧集， 为闭集，证明：
若 均为闭集，第 1 问中的结论是否仍然成立？若不成立，举出反例；若成立，请给出证明.
记集合 与 间距离为：
（1）反证. 假设 则对 ，存在 和 ，使得
由于 是紧集，故为列紧集， 存在收敛子列. 不妨仍记为，并设 由三角不等式，
因此 由于 是闭集，且 ，故 .于是 这与 矛盾. 因此
（2）不一定. 令 取 及 由于 ，故 显然 ，，因而都是闭集.
另一方面，对每个 ，
令 ，可得
8.（5 分）设
为 中三角形的三个顶点，它们围成的区域记为 ，计算
记标准三角形为
作仿射变换
该变换将标准三角形 映为区域 .
Jacobi 行列式为
因此
在标准三角形 上，有
令 则
故
9.（5 分）设 ， 以 为周期，记
证明：
由 ，.
对任意正整数 ，令
由三角函数系的正交性，
因此
另一方面，由 的定义，
由于 故
因此 由于单调递增且有上界，故其极限存在. 因此
10.（5 分）设 ，证明：
Riemann-Lebesgue 引理默写题.
因为 可积，故 ，存在 划分 使
因为 有界，故存在 ，使 ，. 则当 时，有
即证：
11.（5 分）设 关于变量 满足 Lipschitz 条件：
固定 时， 关于 在 上连续.证明： 在 上连续.
任取 . 对 ，固定 时函数在 处连续，存在 ，使得 时，有
当 时，令，
若 则
由三角不等式及关于 的 Lipschitz 条件，
若 ，则 对任意 成立，此时直接由 的连续性可得 在 处连续.
综上，再由 的任意性即得.
12.（10 分）设
证明： 在 内所有无理点处连续，但不可导.
（1），取 ，使 ，对 ， 中分母小于等于 的分数至多有限个，取 充分小使得 中的有理数的分母 ，故对任意点 均有 . 即在 内所有无理点处连续.
（2），由有理数与无理数在 中均稠密，可分别找到一个无理数及有理数数列均以 为极限.
反证. 假设 在 处可导，则沿无理数及有理数趋近时差商极限存在且相同.
① 沿无理数趋近：.
② 沿有理数趋近：对充分大的 ，令 ，易知：且 设 ，由于 原来可表示为分母为 的分数，故 则 ，且有：
换言之，沿有理数趋近 差商极限不可能为 ，矛盾.
故 在 内无理点处不可导.
