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中考数学一轮复习 有理数
一．选择题（共10小题）
1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字 1～9填入如图所示的“幻方”中，
使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，
且A+B+C＝411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为 x、y、x+y，则xy的值为（
）
A．6 B．10 C．14 D．18
2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数
字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示 2024的点与圆周
上表示哪个数字的点重合？（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首
次正式引入负数．如果把向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
4．如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性
（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集
1 y
合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={ ，|x|， }，若A＝
x x
B，则x﹣y的值是（ ）
1
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
2
5．定义一种关于整数n的“F”运算：
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（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
n n
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经
F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
6．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输
入第一个整数 x ，只显示不运算，接着再输入整数 x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入
1 2 1 2
1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝
对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设
为k，若k的最大值为2021，那么k的最小值是2019．以上说法正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．定义新运算：用“÷”连接n个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作aⓝ．比如2③＝
2÷2÷2读作“2的圈3次方”，（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），读作“4（﹣
3）的圈4次方”．下面说法不正确的是（ ）
A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数．
B．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1（n为任意正整数）．
C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数．
D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数．
8．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截
取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为 1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是
（ ）
1 1 1 1
A．1− B．1− C． D．
25 24 25 24
9．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后
一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为a ，a ，a ，a ，a ，a ，记A＝|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5
﹣a |，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不
6
同的结果．说法正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，
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要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下
的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
二．填空题（共5小题）
11．德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、
C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：
①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤
C、D都完成后进行；
②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；
③各个步骤所需时间如下表所示：
步骤 A B C D E F G
所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 分钟；
若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 分钟．
12．国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14
于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学
文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八
卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数
符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．
八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．八
进制数2024换算成十进制数是 ．
13．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使
用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如，二进制数1101记
为（1101） ，（1101） 通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将
2 2
二进制数（100110） 转换为十进制数是 ．
2
14．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非
零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘
以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再
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次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为
1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数n＝8时，则第一次运算8÷2＝4，
第二次运算4÷2＝2，第三次运算2÷2＝1，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵m＝
3．若输入自然数n＝3，则自然数3的熵m＝ ；若一个自然数n的熵m＝10，则满足条
件的所有可能的自然数n的取值之和为 ．
15．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为
1，2，3，4，5，6，7，8，9每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②
是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相
等，那么正中间的方格中的数字为 ，方格中所有数字的和为 ．
三．解答题（共5小题）
16．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任
意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，
运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下 面 我 们 用 四 个 卡 片 代 表 四 名 同 学 （ 如 图 ） ；
列式，并计算：
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（1）﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
17．阅读理解，完成下列各题．
定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若点C到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则称
点C是[A，B]的2倍点，如图1，点C是[A，B]的2倍点，点D不是[A，B]的2倍点，但点D是
[﹣1，B]的2倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点A是 的2倍点，点B是 的2倍点；（选用A，
B，C，D表示，不能添加其他字母）
（2）如图2，点M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是0，若点E在M，N
之间且点E是[M，N]的2倍点，则点E表示的数是多少？
（3）若P，Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ＝6，一动点H从点Q出发，以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点 H 恰好是 P 和 Q 两点的 2 倍点？
18．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图 1，在数轴上点A表
示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC＝|3﹣1|，
A，C之间的距离表示为：AC＝|3﹣（﹣2）|＝|3+2|．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，P，B之间
的距离表示为：PB＝|x﹣1|．
（1）如图，①若PB＝5，则P的值x＝ ；
②由图可知，|x+2|+|x﹣3|的最小值是 ；
（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 ．
（3）如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为
200m．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上
学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分
析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写
出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
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19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一
些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为
1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积
的一半，依此类推．
（1）阴影部分的面积是 ．
1 1 1 1
（2）受（1）的启发，试求出 + + +⋯⋯+ 的值．
2 22 23 25
1 1 1 1
（3）进而计算： + + +⋯+ = ．
2 22 23 2100
20．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|．
也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x ﹣x |表示在数
1 2
轴上数x 与x 对应的点之间的距离．请你根据对以上知识的理解解答下列问题．
1 2
（1）如果|x﹣2|+|x+1|＝3，求x的取值范围；
（2）如果|x﹣3|+|2+x|＞5，求x的取值范围；
（3）若x表示一个有理数，|x﹣1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．
（4）若x表示一个有理数，求：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+⋯+|x﹣2020|+|x﹣2021|的最小值．
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中考数学一轮复习 有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字 1～9填入如图所示的“幻方”中，
使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，
且A+B+C＝411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为 x、y、x+y，则xy的值为（
）
A．6 B．10 C．14 D．18
【考点】有理数的乘方；有理数的加法．
【专题】实数；整式；运算能力．
【答案】D
【分析】每个圆圈上的四个数字的和都等于 21，则三个大圆圈上的数字之和为 63，可得x+y＝
9，由于A+B+C＝411，进而得x2+y2＝81﹣2xy，再结合x+y＝9即可解决问题．
【解答】解：∵每个圆圈上的四个数字的和都等于21，
∴三个大圆圈上的数字之和为：21×3＝63，
∵各小圆圈的数字之和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
为什么63≠45，这是因为x、y、x+y都加了两次，
∴x+y+x+y＝63﹣45，
∴2x+2y＝18，
∴x+y＝9，
∵A+B+C＝411，
而各圆圈的数字的平方和为12+22+32+42+52+62+72+82+92＝285，
为什么411≠285呢？
这是因为三角形各顶点处三个圆圈内的数字的平方都加了两次，
∴（x+y）2+x2+y2＝411﹣285＝126，
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∴x2+2xy+y2+x2+y2＝156，
∴2（x2+y2+xy）＝126，
∴x2+y2+xy＝63，
∵x+y＝9，
∴（x+y）2＝92，
∴x2+2xy+y2＝81，
∴x2+y2＝81﹣2xy，
将x2+y2＝81﹣2xy代入x2+y2+xy＝63得81﹣2xy+xy＝63，
∴﹣xy＝81﹣63＝18，
∴xy＝18．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法
运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键．
2．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数
字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示 2024的点与圆周
上表示哪个数字的点重合？（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据圆的周长为4个单位长度，先求出此圆在数轴上向右滚动的距离，再除以 4，然后
根据余数判断与圆周上哪个数字重合．
【解答】解：2024﹣（﹣1）＝2025，
2025÷4＝506……1，
所以数轴上表示2024的点与圆周上的数字1重合，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解答本题的关键．
3．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首
次正式引入负数．如果把向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示的实际意义是（ ）
A．向东走2km B．向西走2km C．向南走2km D．向北走2km
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【考点】正数和负数；数学常识．
【专题】常规题型；数感．
【答案】B
【分析】本题考查了正负数的意义，规定向东为正，向西则为负．解题关键是理解正负数的意义
是相反的，所以规定向东为正，向西则为负．
【解答】如果把向东走3km记作+3km，那么﹣2km表示的实际意义是向西走2km．故选B．
【点评】本题要先确定正方向，就可以找到它的反方向为负．
4．如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性
（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集
1 y
合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={ ，|x|， }，若A＝
x x
B，则x﹣y的值是（ ）
1
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
2
【考点】绝对值．
【专题】探究型；推理能力．
【答案】B
y
【分析】利用新定义，根据元素的互异性、无序性推出只有 = 0，从而得出两种情况．讨论后即
x
可得解．
【解答】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．
1 y
因为B＝{ ，|x|， }，A＝B，
x x
1
由x≠0，可得|x|≠0， ≠0，
x
y
所以 =0，即y＝0，
x
{ 1 { 1
=2 =x
那么就有 x 或者 x ，
|x|=x |x|=2
{ 1
=2 1
当 x 得x = ，
2
|x|=x
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{ 1
=x
当 x 无解．
|x|=2
1 1 1
所以当x= 时，A＝{2，0， }，B＝{2， ，0}，
2 2 2
此时A＝B符合题意．
1 1
所以x﹣y= −0= ．
2 2
故选：B．
【点评】本题考查的是新定义下的探究型题目，关键是理解新定义的含义，再去探究题目．
5．定义一种关于整数n的“F”运算：
（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
n n
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．
2k 2k
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经
F运算是74…；若n＝9，则第2017次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
【考点】有理数的混合运算．
【专题】数与式．
【答案】D
【分析】根据关于整数n的“F”运算：探究规律后即可解决问题；
【解答】解：由题意n＝9时，第一次经F运算是32，第二次经F运算是1，第三次经F运算是
8，第四次经F运算是1…
以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，
∴第2017次运算结果8，
故选：D．
【点评】本题考查有理数的混合运算，关于整数n的“F”运算，解题的关键是理解题意，循环
从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
6．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输
入第一个整数 x ，只显示不运算，接着再输入整数 x 后则显示|x ﹣x |的结果．比如依次输入
1 2 1 2
1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝
对值的运算．
①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是1；
②若将2，3，6这3个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；
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③若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设
为k，若k的最大值为2021，那么k的最小值是2019．以上说法正确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】绝对值；计算器—有理数；规律型：数字的变化类．
【专题】新定义；探究型；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是5；
③根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入
则结果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，|1﹣3|＝|﹣2|＝2，|2﹣4|＝|﹣2|＝2，最后
输出的结果是2，故①不符合题意；
②对于2，3，6，按如下次序输入2、3、6，可得：|2﹣3|＝1，|1﹣6|＝5，全部输入完毕后显示
的结果的最大值是5，
故②不符合题意；
③∵随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数a，2，b，全部输入完毕后显示的最后结果设
为k，k的最大值为2021，
∴设b为较大数字，当a＝1时，|b ﹣|a﹣2||＝|b﹣1|＝2021，解得：b＝2022，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|2022﹣1||＝2019，
设b为较大数字，当b＞a＞2时，|b﹣|a﹣2||＝|b﹣ a+2|＝2021，
则b﹣ a+2＝2021，即b﹣ a＝2019，则a﹣ b＝﹣2019，
故此时任意输入后得到的最小数为：|a﹣|b﹣2||＝|a﹣ b+2|＝2017，
综上所述：k的最小值为2017．
故③不符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查绝对值有关的问题，解题的关键是要有试验观察和分情况讨论的能力．
7．定义新运算：用“÷”连接n个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作aⓝ．比如2③＝
2÷2÷2读作“2的圈3次方”，（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），读作“4（﹣
3）的圈4次方”．下面说法不正确的是（ ）
A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数．
B．圈n次方等于它本身的数是1或﹣1（n为任意正整数）．
C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数．
D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数．
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【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据新运算‘除方’的定义，aⓝ即为n个a相除，进行计算．运算时注意指数运算、相
反数的性质、倒数的概念的应用即可．
【解答】解：A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，不符合题意．
B．当n为偶数时，1ⓝ＝1÷1÷⋯÷1＝1，（﹣1）ⓝ＝（﹣1）÷（﹣1）÷⋯÷（﹣1）＝1，即圈n次
方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）；
当n为奇数时，1ⓝ＝1÷1÷⋯÷1＝1，（﹣1）ⓝ＝（﹣1）÷（﹣1）÷⋯÷（﹣1）＝﹣1，圈n次方
等于它本身的数是1或﹣1（n为任意正奇数）．
符合题意．
C．设这两个互为相反数的数为a与﹣a．
1 1
当n为偶数时，aⓝ=a÷a÷⋯÷a= ，(−a) ⓝ=(−a)÷(−a)÷⋯÷(−a)= ，此时结果
an−2 an−2
相等；
1 1
当n为奇数时，aⓝ=a÷a÷⋯÷a= ，(−a) ⓝ=(−a)÷(−a)÷⋯÷(−a)=− ，此时互
an−2 an−2
为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故不符合题意．
1
D．设两个数为a与 ．
a
1 1 ⓝ 1 1 1
则aⓝ=a÷a÷⋯÷a= ，( ) = ÷ ÷⋯÷ =an−2，即互为倒数的两个数的圈n次方互
an−2 a a a a
为倒数，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规
则，准确的计算和推理是本题的关键．
8．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截
取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为 1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是
（ ）
1 1 1 1
A．1− B．1− C． D．
25 24 25 24
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分数乘法的意义求得剩下的长度．
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1 1
【解答】解：由题意，第一次截取后剩余长度为1×（1− ）= ，
2 2
1 1 1 1
第二次截取后剩余长度为 ×（1− ）= = ，
2 2 4 22
1 1 1
第三次截取后剩余长度为 ×(1− )= ，
22 2 23
…，
1
第n次截取后剩余长度为 ，
2n
1
∴第四次截取后剩余长度为 ，
24
故选：D．
【点评】本题考查分数乘法的应用及乘方的意义，理解求一个数的几分之几是多少用乘法计算，
掌握有理数乘方的意义是解题关键．
9．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后
一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为a ，a ，a ，a ，a ，a ，记A＝|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5
﹣a |，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不
6
同的结果．说法正确的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】绝对值．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据|a ﹣a |≥1，|a ﹣a |≥1，|a ﹣a |≥1，即可判断①；
1 2 3 4 5 6
再判断总的奇偶性，两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：第一种：奇数﹣奇数＝偶数，奇数
﹣偶数＝奇数，偶数﹣偶数＝偶数，第二种：奇数﹣偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数，奇数﹣偶
数＝奇数，即可判断②；
根据4+5+6﹣（1+2+3）＝9，可得A的最大值一定为9，故结合①②可判断③，问题得解．
【解答】解：∵a ，a ，a ，a ，a ，a 指代自然数1，2，3，4，5，6，
1 2 3 4 5 6
∴|a ﹣a |≥1，|a ﹣a |≥1，|a ﹣a |≥1，
1 2 3 4 5 6
∴A＝|a ﹣a |+|a ﹣a |+|a ﹣a |≥3，故①正确；
1 2 3 4 5 6
∵1，2，3，4，5，6是包含三个奇数和三个偶数，
则两两组合相减，总的奇偶性共两种情况：
第一种：奇数﹣奇数＝偶数，奇数﹣偶数＝奇数，偶数﹣偶数＝偶数，
则最终A的答案为：偶数+奇数+偶数＝奇数；
第二种：奇数﹣偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数，
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则最终A的答案为：奇数+奇数+奇数＝奇数；
∴A的值一定是奇数，故②正确，
∵4+5+6﹣（1+2+3）＝9，
∴A的最大值一定为9，
∵A最小值为3，且为奇数，
∴A的值只可能是3、5、7、9，
∴A化简之后不可能有5种不同的结果，
故③错误，
∴正确的有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，数的奇偶性，绝对值，理解题意是解题的关键．
10．“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，
要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8＝24．以下
的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】A
【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式．
【解答】解：A、用“+—×÷”四种运算符号不能算出结果为24，符合题意；
B、1×2×3×4＝24，不符合题意；
C、（10×10﹣4）÷4
＝（100﹣4）÷4
＝96÷4
＝24，不符合题意；
D、（﹣6+3×3）×8
＝（﹣6+9）×8
＝3×8
＝24，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，具有一定的开放性，答案不唯一，关键是掌握有理数的
运算能力及括号的正确使用．
二．填空题（共5小题）
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11．德胜中学在劳动节中组织学生进行农作物种植实践活动．已知某种农作物种植完成共需A、B、
C、D、E、F、G七个步骤，种植要求如下：
①步骤C、D须在步骤A完成后进行，步骤E须在步骤B、D都完成后进行，步骤F须在步骤
C、D都完成后进行；
②一个步骤只能由一名学生完成，此步骤完成后该学生才能进行其他步骤；
③各个步骤所需时间如下表所示：
步骤 A B C D E F G
所需时间t分钟 10 10 8 10 8 11 4
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此种农作物种植，则需要 61 分钟；若
由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要 3 1 分钟．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据各个工序的时间求出由一名学生单独完成此农作物种植的加工需要的时间；根据题
意分配两人完成各个工序的顺序，进而求出由两名学生合作完成此农作物种植需要的时间．
【解答】解：由一名学生单独完成此农作物种植，需要的时间为：10+10+8+10+8+11+4＝61（分
钟），
设由甲、乙两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，
∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，
∴由甲完成A，乙完成B，需要10分钟，
由甲完成D，由乙完成C后，再完成G，
再有甲完成F，乙完成E，
共需要：10+10+11＝31（分钟），
若由两名学生合作完成此种农作物种植，则最少需要31分钟．
故答案为：61，31．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，能够合理分配两人完成各个工序的顺序是解题的关键．
12．国际数学教育大会是全球数学教育水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，ICME﹣14
于2021年在中国上海举办，这是国际数学大会第一次在中国举办．大会标识中蕴含着很多数学
文化元素，以中国传统文化中《洛书》与《河图》为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八
卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数
符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．
八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．八
进制数2024换算成十进制数是 104 4 ．
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【考点】有理数的混合运算；数学常识．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1044．
【分析】根据题目例题中八进制数3745换算成十进制数的式子，找到规律列式计算即可．
【解答】解：（2024） ＝2×83+0×82+2×81+4×80＝1044．
8
所以八进制数2024换算成十进制数是1044．
故答案为：1044．
【点评】本题考查有理数的混合运算，找到规律列式计算是关键．
13．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．计算机和依赖计算机设备里都使
用二进制，二进制数只使用数字0，1，计数的进位方法是“逢二进一”，如，二进制数1101记
为（1101） ，（1101） 通过式子1×23+1×22+0×2+1可以转换为十进制数13，仿上面的转换，将
2 2
二进制数（100110） 转换为十进制数是 3 8 ．
2
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】38
【分析】根据题干给出的二进制与十进制的转化方法，列出算式进行计算即可．
【解答】解：二进制数（100110） 转换为十进制数是：
2
(100110) =1×25+0×24+0×23+1×22+1×2+0=38；
2
故答案为：38．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
14．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非
零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘
以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再
次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为
1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数n＝8时，则第一次运算8÷2＝4，
第二次运算4÷2＝2，第三次运算2÷2＝1，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵m＝
3．若输入自然数n＝3，则自然数3的熵m＝ 7 ；若一个自然数n的熵m＝10，则满足条件
的所有可能的自然数n的取值之和为 78 6 ．
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【考点】有理数的混合运算．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】7；786．
【分析】根据程序流程图代值计算，求出n＝3时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，
一定是2÷2，进而推出熵m＝10时，输入的所有可能的自然数n，再求和即可．
【解答】解：当n＝3时，
第一次运算：10，
第二次运算：5，
第三次运算：6，
第四次运算：8，
第五次运算：4，
第六次运算：2，
第七次运算：1，
故自然数3的熵m＝7；
当m＝10时：
第十次运算为：2÷2＝1，
第九次运算为：4÷2＝2，
第八次运算为：8÷2＝4，
第七次运算为：16÷2＝8，
第六次运算为：32÷2＝16，3×5+1＝16，
第五次运算为：64÷2＝32，
第四次运算为：128÷2＝64或3×21+1＝64，
第三次运算为：256÷2＝128或42÷2＝21，
第二次运算为：512÷2＝256或84÷2＝42，
第一次运算为：1024÷2＝512或168÷2＝84，
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∴当n＝512，85，84，80，13，12，满足题意，
∴512+85+84+80+13+12＝786．
故答案为：7，786．
【点评】本题考查程序流程图与有理数的计算，列举运算程序是关键．
15．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图①是一个幻方的图案，其中9个格中的点数分别为
1，2，3，4，5，6，7，8，9每一横行、每一竖列、每一斜对角线上的点数的和都是15．如图②
是一个没有填完整的幻方，如果它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相
等，那么正中间的方格中的数字为 1 ，方格中所有数字的和为 9 ．
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】1，9．
【分析】根据九宫格特点“同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等”列数等
式解题即可．
【解答】解：如图所示，
∵它处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数的和都相等，
∴a+（﹣1）+0＝a+b+（﹣2），
∴a﹣1＝a+b﹣2
∴b＝1，
∴正中间的方格中的数字为1
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∵0+b+e＝e+f﹣2，
∴f＝3，
∴中间一行的和为﹣1+1+3＝3，
∴所有数字的和为3+3+3＝9，
故答案为：1，9．
【点评】本题考查了有理数的加法运算，正确进行计算是解题关键．
三．解答题（共5小题）
16．在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任
意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，
运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．
下 面 我 们 用 四 个 卡 片 代 表 四 名 同 学 （ 如 图 ） ；
列式，并计算：
（1）﹣3经过A，B，C，D的顺序运算后，结果是多少？
（2）5经过B，C，A，D的顺序运算后，结果是多少？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）7；（2）206．
【分析】（1）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可；
（2）根据题意列出运算式子，然后根据有理数的四则运算法则求解即可．
【解答】解：（1）[（﹣3）×2﹣（﹣5）]2+6
＝（﹣6+5）2+6
＝（﹣1）2+6
＝1+6
＝7；
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（2）[5﹣（﹣5）]2×2+6
＝（5+5）2×2+6
＝102×2+6
＝100×2+6
＝200+6
＝206．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列出各运算式是解题关键．
17．阅读理解，完成下列各题．
定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若点C到点B的距离是它到点A的距离的2倍，则称
点C是[A，B]的2倍点，如图1，点C是[A，B]的2倍点，点D不是[A，B]的2倍点，但点D是
[﹣1，B]的2倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点A是 [ C ， D ] 的2倍点，点B是 [ D ， C ] 的2倍点；（选用A，B，
C，D表示，不能添加其他字母）
（2）如图2，点M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣3，点N表示的数是0，若点E在M，N
之间且点E是[M，N]的2倍点，则点E表示的数是多少？
（3）若P，Q为数轴上两点，点P在点Q的左侧，且PQ＝6，一动点H从点Q出发，以每秒2
个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点 H 恰好是 P 和 Q 两点的 2 倍点？
【考点】数轴．
【专题】分类讨论；实数；运算能力．
【答案】（1）[C，D][D，C]；（2）﹣2；（3）t＝1或t＝2或t＝6．
【分析】（1）根据图形可直接解得；
（2）利用2倍点的定义列式解答即可；
（3）点H恰好是P和Q 两点的2倍点，可分为三种情况而定，解得t有3个值．
【解答】解：（1）∵CA＝2，DA＝1，CA＝2DA，
∴点A 是[C，D]的2倍点．
∵BD＝2，BC＝1，BD＝2BC，
∴点B是[D，C]的2倍点．
故答案为：[C，D][D，C]；
（2）∵NM＝0﹣（﹣3）＝3，
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∵点E在线段MN上，点E是[M，N]的2倍点，
2
∴EN= MN＝2．
3
∴点E表示的数是﹣2，
故答案为：﹣2；
（3 ）设运动t秒时，点H恰好是P和Q两点的2倍点，
∵PQ＝6，HQ＝2t，
∴PH＝6﹣2t或2t﹣6，
又∵点H恰好是P和Q两点的2倍点，
∴点H是[P，Q]的2倍点或点H是[Q，P]的2倍点，
∴PH＝2HQ或HQ＝2PH，
即：2×2t＝6﹣2t或2t＝2（m﹣2t）或2t＝2（2t﹣m），
解得t＝1或t＝2或t＝6．
所以，当t＝1或t＝2或t＝6时，点H恰好是P和Q两点的2倍点．
【点评】此题主要考查了数轴，本题是新定义型，对2倍点的理解和认识，解本题的关键是分清
2倍点的两种不同的情况．
18．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图 1，在数轴上点A表
示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：BC＝|3﹣1|，
A，C之间的距离表示为：AC＝|3﹣（﹣2）|＝|3+2|．
若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：PA＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，P，B之间
的距离表示为：PB＝|x﹣1|．
（1）如图，①若PB＝5，则P的值x＝ ﹣ 4 或 6 ；
②由图可知，|x+2|+|x﹣3|的最小值是 5 ；
（2）请按照（1）问的方法思考：|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的最小值是 5 ．
（3）如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为
200m．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上
学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分
析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写
出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．
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【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）①﹣4或6；②5；
（2）5；
（3）汇合地点M的位置在FG之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，
最小值为1400米．
【分析】（1）①分类讨论，点P在点B左侧或点P在点B右侧，分别列式计算，即可作答．②
分类讨论，x＜﹣2和﹣2≤x≤3和3＜x，分别化简，即可作答；
（2）分类讨论，x＜﹣3，﹣3≤x≤1，1＜x≤2和2＜x，分别化简，即可作答；
（3）以其中一点F为原点建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示﹣200，0，200，400，设
点M表示的数为x，与（2）同理分类讨论，再化简，即可作答．
【解答】解：（1）①若点P在点B左侧，得x＝1﹣5＝﹣4，
若点P在点B右侧，得x＝6；
故P的值x＝﹣4或6，
故答案为：﹣4或6；
②当x＜﹣2时，|x+2|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+3＝﹣2x+1＞5，
当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|＝x+2﹣x+3＝5，
当3＜x时，|x+2|+|x﹣3|＝x+2+x﹣3＝2x﹣1＞5，
综上，当﹣2≤x≤3时，|x+2|+|x﹣3|的最小，且为5，
故答案为：5；
（2）|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的几何意义是表示数x的点与﹣3，1，2三数对应的点的距离之和，
当x＜﹣3时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|＝﹣3x＞9，
当﹣3≤x≤1时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|＝x+3﹣x+1﹣x+2＝﹣x+6≥5，
当1＜x≤2时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|＝x+3+x﹣1﹣x+2＝x+4＞5，
当2＜x时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|＝x+3+x﹣1+x﹣2＝3x＞6，
当x＝1时，|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|距离之和最小，最小值为﹣3，2对应两点间的距离，
∴|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|的最小值为5；
故答案为：5；
（3）如图，
以其中一点F为原点建立数轴，则点E、F、G、H四点分别表示﹣200，0，200，400，
设点M表示的数为x，
则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为2|x+200|+2|x|+3|x﹣200|+|x﹣400|，
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∵发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，
∴当﹣200≤x＜0时，
则2|x+200|+2|x|+3|x﹣200|+|x﹣400|
＝2x+400﹣2x﹣3x+600+400﹣x
＝﹣3x+1400＞1400，
当0≤x≤200时，
∴2|x+200|+2|x|+3|x﹣200|+|x﹣400|＝1400，
当200＜x≤400时，
∴2|x+200|+2|x|+3|x﹣200|+|x﹣400|＝6x+200＞1400，
∴汇合地点M的位置在FG之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小
值为1400米．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，化简绝对值，整式的加减运算，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
19．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一
些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为
1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积
的一半，依此类推．
1
（1）阴影部分的面积是 ．
32
1 1 1 1
（2）受（1）的启发，试求出 + + +⋯⋯+ 的值．
2 22 23 25
1 1 1 1 1
（3）进而计算： + + +⋯+ = 1− ．
2 22 23 2100 2100
【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；实数；运算能力．
1 31 1
【答案】（1） ；（2） ；（3）1− ．
32 32 2100
1
【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的 ，于是得解；
32
1 1 1 1
（2） + + +⋯⋯+ 的和，可以看成是①②③④⑤部分的面积总和，它等于总面积减
2 22 23 25
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去阴影部分面积，于是得解；
1
（ 3 ） 阴 影 部 分 面 积 占 总 面 积 的 ， 总 面 积 减 去 阴 影 部 分 面 积 ， 就 等 于
2100
1 1 1 1
+ + +⋯⋅⋅+
，于是得解．
2 22 23 2100
1 1 1 1 1 1 5 1 1
【解答】解：（1） × × × × =( ) = = ，
2 2 2 2 2 2 25 32
1 1
∴阴影部分的面积是：1× = ，
32 32
1
故答案为： ；
32
1 1 1 1 1 31
（2） + + +⋯⋯+ = 1− = ；
2 22 23 25 32 32
1 1 1 1 1
（3） + + +⋯+ = 1− ．
2 22 23 2100 2100
1
故答案为：1− ．
2100
【点评】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键．
20．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|．
也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x ﹣x |表示在数
1 2
轴上数x 与x 对应的点之间的距离．请你根据对以上知识的理解解答下列问题．
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（1）如果|x﹣2|+|x+1|＝3，求x的取值范围；
（2）如果|x﹣3|+|2+x|＞5，求x的取值范围；
（3）若x表示一个有理数，|x﹣1|+|x+2|有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有，写出理由．
（4）若x表示一个有理数，求：|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+⋯+|x﹣2020|+|x﹣2021|的最小值．
【考点】数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣1≤x≤2；（2）x＜﹣2或x＞3；（3）3；（4）1021110．
【分析】（1）分三种情况：当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，根据绝对值的几何意义
进行求解即可；
（2）分三种情况：当x＜﹣2时，当﹣2≤x≤3时，当x＞3时，分别求出结果即可；
（3）分三种情况：当x＜﹣2时，当﹣2≤x≤1时，当x＞1时，分别求解，得出答案即可；
（4）根据|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2020|+|x﹣2021|表示在数轴上表示x的点到1，2，
3，4……2020，2021的距离之和，得出当x＝1011时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2020|+|x
﹣2021|取得最小值，代入x的值，求出最小值即可．
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【解答】解：（1）当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣x﹣1＝1﹣2x＞3，
当﹣1≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3，
当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＞3，
即|x﹣2|+|x+1|＝3时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
（2）①当x＜﹣2时，
原式＝﹣（x﹣3）﹣（2+x）
＝﹣x+3﹣2﹣x
＝﹣2x+1＞5，符合题意；
②当﹣2≤x≤3时，
原式＝﹣（x﹣3）+（2+x）
＝﹣x+3+2+x
＝5，不符合题意；
③当x＞3时，
原式＝（x﹣3）+（2+x）
＝x﹣3+2+x
＝2x﹣1＞5，符合题意；
综上，可得x的取值范围是：x＜﹣2或x＞3．
（3）当x＜﹣2时，|x﹣1|+|x+2|＝1﹣x﹣x﹣2＝﹣2x﹣1＞3；
当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|＝1﹣x+x+2＝3；
当x＞1时，|x﹣1|+|x+2|＝x﹣1+x+2＝2x+1＞3；
综上分析可知：|x﹣1|+|x+2|有最小值，最小值为3；
（4）∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2020|+|x﹣2021|表示在数轴上表示x的点到1，2，3，
4……2020，2021的距离之和，
∵1，2，3，4……2020，2021为2021个数，
1+2021
∴处于中间数为 =1011，
2
∴当x＝1011时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2020|+|x﹣2021|取得最小值，
∴原式＝2×（1010+1009+…+1）+0
(1+1010)×1010
=2×
2
＝1021110，
即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+…+|x﹣2020|+|x﹣2021|的最小值是1020100．
【点评】本题主要考查了绝对值的几何意义，有理数的混合运算，熟知绝对值的几何意义是解题
的关键．
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