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17．1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
(2)S ；
△ABC
(3)CD的长．
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体 解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，
会数形结合的思想；(重点) AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的 出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式
计算题；(重点) 即可求出 S ；(3)根据面积公式得到
△ABC
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法． CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
(难点) 解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB
＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12cm；
(2)S ＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
△ABC
(3)∵S ＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝
△ABC
＝cm.
一、情境导入 方法总结：解答此类问题，一般是先利
用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法
表示出同一个直角三角形的面积，然后根据
面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态 的应用
优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，
由若干个图形组成，而每个图形的基本元素 BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长．
是三个正方形和一个直角三角形．各组图形 解析：本题应分△ABC为锐角三角形和
大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说 钝角三角形两种情况进行讨论．
其中的奥秘吗？ 解：此题应分两种情况说明：
二、合作探究 (1)当△ABC为锐角三角形时，如图①
探究点一：勾股定理 所示．在 Rt△ABD 中，BD＝＝＝9.在
【类型一】 直接运用勾股定理 Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长； (2)当△ABC为钝角三角形时，如图②
第 1 页 共 3 页所示．在 Rt△ABD 中，BD＝＝＝9.在 S ，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋
△BCD
Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4， ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2
∴△ABC 的周长为 15＋13＋4＝32.∴当 ＋b2＝c2.
△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为 方法总结：证明勾股定理时，用几个全
42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周 等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后
长为32. 利用大图形的面积等于几个小图形的面积
方法总结：解题时要考虑全面，对于存 和化简整理证明勾股定理．
在的可能情况，可作出相应的图形，判断是 探究点二：勾股定理与图形的面积
否符合题意． 如图是一株美丽的勾股树，其中
【类型三】 勾股定理的证明 所有的四边形都是正方形，所有的三角形都
探索与研究： 是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积
方 法 1 ： 如 图 ： 分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积
是________．
对任意的符合条件的直角三角形ABC
绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所
以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正 解析：根据勾股定理的几何意义，可得
方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等， 正方形A、B的面积和为S，正方形C、D的
1
而四边形 ABFE 的面积等于 Rt△BAE 和 面积和为S，S＋S＝S，即S＝2＋5＋1＋2
2 1 2 3 3
Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾 ＝10.故答案为10.
股定理的过程； 方法总结：能够发现正方形A、B、C、D
的边长正好是两个直角三角形的四条直角
边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、
B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．
三、板书设计
方法2：如图：
1．勾股定理
该图形是由任意的符合条件的两个全 如果直角三角形的两条直角边长分别
等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根 为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？ 2．勾股定理的证明
解析：方法1：根据四边形ABFE面积等 “赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、
于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解 “詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯
答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积 图”．
之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解 3．勾股定理与图形的面积
答．
解：方法1：S ＝S ＝
正方形ACFD 四边形ABFE
S ＋S ，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理 课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让
△BAE △BFE
得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2； 学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效
方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其 率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也
直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得 是本节课的难点，为了突破这一难点，设计
到．∵S ＝S ＋S ，S ＝ 一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从
四边形ABCD △ABC △ACD 四边形ABCD
S ＋S ，∴S ＋S ＝S ＋ 形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师
△ABD △BCD △ABC △ACD △ABD
第 2 页 共 3 页生共同探究突破本节课的难点．
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