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专题05 根式中的规律性探究与证明
【例题讲解】
探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1） ；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： =___________；
=___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
解：（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ， ，
验证如下：
，；故答案为： ，
（2）通过上述探究你能猜测出 ，
验证如下：
.
故答案为： ；
【综合解答】
1．有一列数按如下规律排列： ， ， ， ， ， …则第10个数是（ ）
A． B． C． D．
2．观察分析下列数据：0， ，2， ， ， ， ，…，根据数据排列的规律得到
的第10个数据的值是（ ）
A． B． C． D．
3．观察下列各式： ， ， ，…请利
用你所发现的规律，计算 ，其结果为
( )
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共0分)
4．通过计算可知： ，则下一个类似的式子是_________．
5．观察下列等式： ， ，…请将你发现的规律
用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．
6．在草稿纸上计算：① ；② ；③ ；④ ，观察你计算的结
果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： _____．
7．观察下组数据，寻找规律：0、 、 、3、2 、 ……那么第10个数据是__________.
8．观察下列各式：（1） ；（2） ；（3）
；…，根据上述规律，则 ______．
9．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：① ；② ；③ ；④
，观察你计算的结果，用你发现的规律得出 的值为________．
10．观察下列各式：
当n＝3时， ，
当n＝4时， ，
当n＝5时， ，
根据以上规律，写出当n＝7时的等式是______．11．设 ，求不超过 的最大整数 ______．
12．观察下列各式：
， ， ，……
请利用你所发现的规律，计算 ，
其结果为___________．
三、解答题(共0分)
13．（1）化简下列各式，观察计算结果，归纳你发现的规律：
① = ________ _ ， = ________ _ ．
② = ________ _ ， = ________ _ ．
③ = ________ _ ， = ________ _ ．
（2）根据上述规律写出 与 的关系是 ________ _ ；
（3）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来 ________ _ ．
14．细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：
， （ 是 的面积）；， （ 是 的面积）；
， （ 是 的面积）；
…
(1)请你直接写出 ______， ______；
(2)请用含有 （ 为正整数）的式子填空： ______， ______；
(3)在线段 、 、 、…、 中，长度为正整数的线段共有______条．
(4)我们已经知道 ，因此将 分子、分母同时乘以 ，分母就变
成了4，请仿照这种方法求 的值；
15．观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
(1)求 __________；
(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：______________；
(3)利用这一规律计算：
16．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根
式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，
特例2： ，
特例3： ，特例4： ＝_____．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____．
(3)应用运算规律：
①化简： ＝____；
②若 （a，b均为正整数），则a+b＝_____．
17．观察下列各等式及验证过程：
，验证 ；
，验证 ；
，验证 ．
针对上述各式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式_____．
18．观察下列等式，解答后面的问题．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式：
第4个等式：
……
(1)请直接写出第5个等式．
(2)根据上述规律猜想第n个等式（ ，且n为正整数），并给予证明．19．【观察】请你观察下列式子．
第1个等式： ．
第2个等式： ．
第3个等式： ．
第4个等式： ．
第5个等式： ．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
(1)写出第7个等式 ．
(2)请根据上面式子的规律填空： ＝ ．
(3)利用（2）中结论计算： ．
20．观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式：______，并证明．
21．观察下列各式：① ，② ，③ ，④ ，…．
利用你观察到的规律
(1)写出 ， ；(2)计算 的值为 ．
22．探究过程：观察下列各式及其验证过程.
（1） ；（2）
验证：（1）
；
（2）
.
(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： =___________；
=___________；
(2)通过上述探究你能猜测出： =___________（n>0），并验证你的结论．
