2013 年苏州市初中毕业暨升学考试试卷
数学试题（含答案全解全析）
(满分:130分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 30 分)
一、选择题:本大题共有10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的.
1.|-2|等于( )
1
A.2 B.-2 C.±2 D.±
2
2.计算-2x2+3x2的结果为( )
A.-5x2 B.5x2 C.-x2 D.x2
√x-1
3.若式子 在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
2
A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1
4.一组数据:0,1,2,3,3,5,5,10的中位数是( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.5
5.世界文化遗产长城总长约为6 700 000 m,若将6 700 000用科学记数法表示为6.7×10n(n是
正整数),则n的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次
方程x2-3x+m=0的两实数根是( )
A.x =1,x=-1 B.x =1,x=2 C.x =1,x=0 D.x =1,x=3
1 2 1 2 1 2 1 2
7.如图,AB是半圆的直径,点D是 ⏜ 的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于( )
AC
A.55° B.60° C.65° D.70°
k
8.如图,菱形OABC的顶点C的坐标为(3,4),顶点A在x轴的正半轴上.反比例函数y= (x>0)
x
的图象经过顶点B,则k的值为( )A.12 B.20 C.24 D.32
1 1 3
9.已知x- =3,则4- x2+ x的值为( )
x 2 2
3 5 7
A.1 B. C. D.
2 2 2
10.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,√3),
点C的坐标为(1 ),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为( )
,0
2
√13 √31 3+√19
A. B. C. D.2√7
2 2 2
第Ⅱ卷非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共8小题,每小题3分,共24分.
11.计算:a4÷a2= .
12.因式分解:a2+2a+1= .
1 5
13.方程 = 的解为 .
x-1 2x+1
14.任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,骰子的六个面上分别刻有1到6的点数,掷得面
朝上的点数大于4的概率为 .
15.按照下图所示的操作步骤,若输入x的值为2,则输出的值为 .
16.如图,AB切☉O于点B,OA=2,∠OAB=30°,弦BC∥OA,劣弧 ⏜ 的弧长为 .(结果保留π)
BC17.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A,C分别在x,y轴的
正半轴上,点Q在对角线OB上,且OQ=OC,连结CQ并延长CQ交边AB于点P,则点P的坐标
为( , ).
18.如图,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩
CG 1 AD
形ABCD内部,将AF延长交边BC于点G.若 = ,则 = (用含k的代数式表示).
GB k AB
三、解答题:本大题共11小题,共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.
19.(本题满分5分)计算:(-1)3+(√3+1)0+√9.
{ x-2≥1,
20.(本题满分5分)解不等式组:
2(x-1)<x+3.
x-2 3
21.(本题满分5分)先化简,再求值: ÷(x+1- ),其中x=√3-2.
x-1 x-122.(本题满分6分)苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游.已知这两个
旅游团共有55人,甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人.问甲、乙两个旅游团各
有多少人?
23.(本题满分6分)某企业500名员工参加安全生产知识测试,成绩记为A,B,C,D,E共5个等
级.为了解本次测试的成绩(等级)情况,现从中随机抽取部分员工的成绩(等级),统计整理并制
作了如下的统计图:
图① 图②
(1)求这次抽样调查的样本容量,并补全图①;
(2)如果测试成绩(等级)为A,B,C级的定为优秀,请估计该企业参加本次安全生产知识测试成
绩(等级)达到优秀的员工的总人数.24.(本题满分7分)如图,在方格纸中,△ABC的三个顶点及D,E,F,G,H五个点分别位于小正方
形的顶点上.
(1)现以D,E,F,G,H中的三个点为顶点画三角形,在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相
等的三角形是 (只需要填一个三角形);
(2)先从D,E两个点中任意取一个点,再从F,G,H三个点中任意取两个不同的点,以所取的这三
个点为顶点画三角形,求所画三角形与△ABC面积相等的概率(用画树状图或列表格求解).
25.(本题满分7分)如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,A在B的正东方
向,AB=2(单位:km).有一艘小船在点P处,从A测得小船在北偏西60°的方向,从B测得小船在
北偏东45°的方向.
(1)求点P到海岸线l的距离;
(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到达点C处.此时,从B测得小船在北偏
西15°的方向.求点C与点B之间的距离.
(上述2小题的结果都保留根号)26.(本题满分8分)如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连结DP并延长DP交边AB
于点E,连结BP并延长BP交边AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证:△APB≌△APD;
(2)已知DF∶FA=1∶2,设线段DP的长为x,线段PF的长为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x=6时,求线段FG的长.
27.(本题满分8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的☉O
与边AC相切于点E,连结DE并延长DE交BC的延长线于点F.
(1)求证:BD=BF;
3
(2)若CF=1,cos B= ,求☉O的半径.
5
28.(本题满分9分)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10 cm,BC=12 cm.点E,F,G分别从
A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1 cm/s,点F的运
动速度为3 cm/s,点G的运动速度为1.5 cm/s.当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F,设点E,F,G运动的时间
为t(单位:s).
(1)当t= s时,四边形EBFB'为正方形;
(2)若以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;
(3)是否存在实数t,使得点B'与点O重合?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
备用图
1
29.(本题满分10分)如图,已知抛物线y= x2+bx+c(b,c是常数,且c<0)与x轴分别交于点
2
A,B(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)b= ,点B的横坐标为 (上述结果均用含c的代数式表示);
1
(2)连结BC,过点A作直线AE∥BC,与抛物线y= x2+bx+c交于点E.点D是x轴上一点,其坐
2
标为(2,0),当C,D,E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB,PC,设所得△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有 个.
答案全解全析：
1.A ∵|-2|=2,∴选A.
2.D ∵-2x2+3x2=x2,∴选D.
3.C 依题意,得x-1≥0,∴x≥1,故选C.
1
4.B 该组数据的中位数是 ×(3+3)=3,故选B.
25.B ∵6 700 000=6.7×106,∴n=6,故选B.
-3 3
6.B ∵抛物线y=x2-3x+m的对称轴是直线x=- = ,它与x轴的一个交点是(1,0),∴它与
2 2
x轴的另一交点是(2,0),∴一元二次方程x2-3x+m=0的实数根是x=1,x=2,故选B.
1 2
1
⏜ ⏜
7.C 连 结 BD, 可 知 = ,∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°,∵AB 是 半 圆 的 直
AD CD
2
径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB=90°-25°=65°,故选C.
k
8.D ∵点C的坐标是(3,4),∴OC=5,∵四边形OABC是菱形,∴点B的坐标是(8,4),∴4=
8
,∴k=32,故选D.
1 1 3 1 1 7
9.D ∵x- =3,∴x2-1=3x,x2-3x=1,∴4- x2+ x=4- (x2-3x)=4- = ,故选D.
x 2 2 2 2 2
√3
10.B ∵点B的坐标是(3,√3),∴tan∠AOB= ,∴∠AOB=30°,取点A关于直线OB的对称
3
点A',则△A'OA是等边三角形,∵OA=3,∴点A'的坐标是(3 3√3),连结A'C交OB于点P,
,
2 2
则此时PA+PC最小,即为A'C的长,为√ (3 1) 2 (3√3) 2 =√31,故选B.
- +
2 2 2 2
评析 要求PA+PC的最小值,首先通过作图确定点P的位置,然后再根据对称点的坐标求出
其最小值,本题涵盖的知识点主要有特殊角的三角函数值,对称点坐标的计算,平面中两点间
的距离等,属中档题.
11.答案 a2
解析 a4÷a2=a4-2=a2.
12.答案 (a+1)2解析 a2+2a+1=(a+1)2.
13.答案 x=2
解析 方程两边同乘(x-1)(2x+1)得
2x+1=5(x-1),解得x=2,经检验x=2是原方程的解,
∴原方程的解是x=2.
1
14.答案
3
2 1
解析 ∵点数大于4的有5,6两个,∴P(面朝上的点数大于4)= = .
6 3
15.答案 20
解析 若输入x的值是2,则(x+3)2-5=(2+3)2-5=20.
π
16.答案
3
解析 连结OB、OC,∵AB切☉O于点B,∴OB⊥AB,
∵∠OAB=30°,OA=2,∴OB=1,∠AOB=60°.∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°, 而
60π·OB π
OB=OC,∴∠BOC=60°,∴l = = .
⏜
BC 180 3
17.答案 2;4-2√2
BP BQ
解析 ∵四边形OABC是正方形,∴AB∥OC,∴△QPB∽△QCO,∴ = .
OC OQ
BP 2√2-2
∵OQ=OC=2,OB=2√2,∴BQ=2√2-2,∴ = ,
2 2
∴BP=2√2-2,∴AP=2-(2√2-2)=4-2√2,而OA=2,∴点P的坐标是(2,4-2√2).
√k+1
18.答案
2
解析 连结EG,∵点E是CD的中点,∴CE=DE=EF,
而∠C=∠EFG=90°,EG=EG,∴Rt△EFG≌Rt△ECG.CG 1
∴GF=GC,∵ = , 设 CG=m, 则 GB=km,∴AD=CB=(k+1)m,GA=GF+FA=CG+DA=m+
GB k
(k+1)m=(k+2)m.
AD (k+1)m √k+1
∴AB=√GA2-GB2=√(k+2)2m2-k2m2=2√k+1m.∴ = = .
AB 2√k+1m 2
19.解析 原式=-1+1+3=3.
{ x-2≥1,①
20.解析
2(x-1)<x+3.②
解不等式①,得x≥3;
解不等式②,得x<5.
∴不等式组的解集为3≤x<5.
21.解析 原式=x-2÷(x2-1 3 )
-
x-1 x-1 x-1
x-2 x-1
= ·
x-1 (x-2)(x+2)
1
= .
x+2
√3
当x=√3-2时,原式= .
3
22.解析 设甲旅游团有x人,乙旅游团有y人.
{x+ y=55, {x=35,
根据题意,得 解得
x=2y-5, y=20.
答:甲、乙两个旅游团分别有35人、20人.
20
23.解析 (1)由题意得 =50,∴样本容量为50.
40%
补全的统计图如图;37
(2)由题意得优秀员工有 ×500=370(人).
50
答:估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩(等级)达到优秀的员工的总人数为370人.
24.解析 (1)△DFG或△DHF.
(2)画树状图:
由 树 状 图 可 知 共 有 6 种 等 可 能 结 果 , 其 中 与 △ ABC 面 积 相 等 的 有 3 种 , 即
3 1
△DHF,△DGF,△EGF,∴所画三角形与△ABC面积相等的概率P= = .
6 2
1
答:所画三角形与△ABC面积相等的概率为 .
2
25.解析 (1)如图,过点P作PD⊥AB于点D,
设PD=x km,
由题意可知,∠PBD=45°,∠PAD=30°,
∴在Rt△BDP中,BD=PD=x km,
在Rt△PDA中,AD=√3PD=√3x km.
∵AB=2 km,
∴x+√3x=2,2
∴x= =√3-1.
1+√3
∴点P到海岸线l的距离为(√3-1)km.
(2)过点B作BF⊥CA于点F,
1
在Rt△ABF中,BF=AB·sin 30°=2× =1 km.
2
在△ABC中,∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°.
∴在Rt△BFC中,
BC=√2BF=√2×1=√2 km.
∴点C与点B之间的距离为√2 km.
26.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC平分∠DAB,
∴∠DAP=∠BAP.
{
AB=AD,
在△APB和△APD中, ∠BAP=∠DAP,∴△APB≌△APD.
AP=AP,
(2)①∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∴△AFP∽△CBP.
AF FP
∴ = .∵DF∶FA=1∶2,∴AF∶AD=2∶3,
BC BPFP 2
∴AF∶BC=2∶3.∴ = .
BP 3
由(1)知PB=PD=x.
y 2 2
又∵PF=y,∴ = .∴y= x.
x 3 3
2
即y与x的函数关系式为y= x.
3
2
②当x=6时,y= ×6=4.∴FB=FP+PB=10.
3
FG FD FG 1
∵DG∥AB,∴△DFG∽△AFB,∴ = ,∴ = ,
FB FA FB 2
1
∴FG= ×10=5.
2
∴FG的长度为5.
评析 本题主要考查了菱形的性质,三角形全等和三角形相似的判定,相似三角形的性质等
知识,属中等偏难题.
27.解析 (1)证明:如图,连结OE,∵AC与☉O相切于点E.
∴OE⊥AC,∴∠OEA=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=∠ACB,∴OE∥BC,∴∠OED=∠F.
∵OE=OD,∴∠OED=∠ODE,
∴∠F=∠ODE,∴BD=BF.
(2)设BC=3x,则AB=5x,又CF=1,∴BF=3x+1,3x+1
由(1)知BD=BF,∴BD=3x+1,∴OE= ,
2
3x+1 7x-1
AO=5x- = .
2 2
3x+1
OE 3 2 3
∵OE∥BF,∴∠AOE=∠B.∴ = ,即 = ,
OA 5 7x-1 5
2
4
解得x= .
3
3x+1 5
∴☉O的半径为 = .
2 2
评析 本题主要考查了圆的有关知识,圆的切线的性质,平行线的性质,锐角三角函数的定义
等,属中档题.
28.解析 (1)2.5.
(2)由题意得AE=t cm,BF=3t cm,CG=1.5t cm,
∵AB=10 cm,BC=12 cm,∴BE=(10-t)cm,FC=(12-3t)cm.
∵点F在BC上运动,∴0≤t≤4.
EB BF
①当△EBF∽△FCG时,得 = ,
FC CG
10-t 3t 14
∴ = ,∴t= .
12-3t 1.5t 5
EB BF
②当△EBF∽△GCF时,得 = ,
CG FC
10-t 3t
∴ = ,
1.5t 12-3t∴t2+28t-80=0,
∴t=-14+2√69,t=-14-2√69(舍去).
1 2
14
∵0≤t≤4,∴t= 或-14+2√69符合题意.
5
(3)不存在.
理由如下:如图,连结BD.
∵点O为矩形ABCD的对称中心,∴点O为BD中点.
假设存在实数t,使得点B'与点O重合,
此时,EF是OB的垂直平分线,垂足为点H,
BD √61
易知BD=2√61,BH= = .
4 2
易证△EHB∽△BHF∽△BCD,
61 61 39
∴BF= ,BE= .∴AE=10-BE= .
12 10 10
BF
∵点F的运动速度是点E运动速度的3倍,但 ≠3,∴不存在实数t,使得点B'与点O重合.
AE
评析 本题是动点运动型问题,主要考查了三角形相似的判定和相似三角形的性质.根据不
同情形进行分类讨论是解决本题的关键.本题属中等偏难题.
1
29.解析 (1) +c;-2c.
2
(2)令x=0,得y=c,即点C坐标为(0,c).
设直线BC的解析式为y=kx+c,∵点B坐标为(-2c,0),1 1
∴-2kc+c=0.∵c≠0,∴k= .∴y= x+c.
2 2
1
∵AE∥BC,∴可设直线AE的解析式为y= x+m.
2
1 1 1 1
∵点A坐标为(-1,0),∴ ×(-1)+m=0,∴m= ,∴y= x+ .
2 2 2 2
{ y= 1 x2+ (1 +c ) x+c,
由 2 2 解得{x 1 =-1,{x 2 =1-2c,
1 1 y =0; y =1-c.
y= x+ , 1 2
2 2
∴点E坐标为(1-2c,1-c).
∵点C坐标为(0,c),点D坐标为(2,0),
c
∴直线CD的解析式为y=- x+c.
2
c
∵C,D,E三点在同一直线上,∴1-c=- (1-2c)+c.∴2c2+3c-2=0.
2
1 1 3
∴c= (舍去),c=-2.∴b= +c=- .
1 2
2 2 2
1 3
∴抛物线的解析式为y= x2- x-2.
2 2
(3)①设点P坐标为(
x,
1
x2-
3
x-2
),
2 2
∵点A坐标为(-1,0),点B坐标为(4,0),点C坐标为(0,-2).
1
∴AB=5,OC=2,直线CB解析式为y= x-2.
21
当-1<x<0时,0<S<S .∵S = AB·OC=5,
△ACB △ACB
2
∴0<S<5.
当0<x<4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F.
∴点F坐标为(
x,
1
x-2
).∴PF=1x-2-(1
x2-
3
x-2
)=-1x2+2x.
2 2 2 2 2
∴S=1PF·OB=1(
-
1
x2+2x
)×4.
2 2 2
∴S=-x2+4x.∴当x=2时,S =4.∴0<S≤4.
最大值
∴综上所述0<S<5.
②11.
∵当-1<x<0时,0<S<5,∴S为整数的△PBC有4个,当0<x<4时,0<S≤4,S为整数的△PBC有7
个,所以,若△PBC的面积为整数,这样的△PBC共有11个.
评析 这是一道二次函数的综合题,主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二
次方程之间的关系等知识,掌握点的坐标与函数表达式的关系、一次函数与二次函数表达式
的求法是解决本题的关键.本题属难题.
