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第七章 不等式 ３ ３１
§７．３ 基本不等式
基本不等式 学生用书Ｐ１１９
Ａ． ２ Ｂ．２ Ｃ．２ ２ Ｄ．４
１．（２０２０江苏，１２，５分）已知 ｘ２ｙ２ ｙ４ ｘ ｙ Ｒ 则ｘ２ ｙ２ 的
５ ＋ ＝１（ ， ∈ ）， ＋ 答案 Ｃ 依题意知ａ ｂ 则 １ ２ ２ ２ ２ 当
最小值是 ． ＞０， ＞０， ａ ＋ ｂ ≥２ ａｂ ＝ ａｂ，
１． 答案 ４ 且仅当 １ ２ 即ｂ ａ时 成立．因为 １ ２ ａｂ 所以
ａ ＝ ｂ ， ＝２ ，“＝” ａ ＋ ｂ ＝ ，
５
２．（２０２０天津，１４，５分）已知ａ ｂ 且ａｂ 则 １ １ ８
＞０， ＞０， ＝１， ａ＋ ｂ＋ａ ｂ ａｂ ２ ２ 即ａｂ 所以ａｂ的最小值为 故选 ．
２ ２ ＋ ≥ ａｂ， ≥２ ２， ２ ２， Ｃ
的最小值为 ．
２． 答案 ４．（２０１４重庆文，９，５分）若 ａ ｂ ａｂ 则ａ ｂ的最
４ ｌｏｇ４（３ ＋４ ）＝ｌｏｇ２ ， ＋
３．（２０１９ 天津理，１３，５ 分） 设 ｘ ｙ ｘ ｙ 则 小值是
＞ ０， ＞ ０， ＋ ２ ＝ ５， （ ）
ｘ ｙ
（ ＋１）（２ ＋１）的最小值为 ． Ａ．６＋２ ３ Ｂ．７＋２ ３ Ｃ．６＋４ ３ Ｄ．７＋４ ３
ｘｙ 答案 Ｄ 由 ａ ｂ ａｂ
ｌｏｇ４（３ ＋４ ）＝ｌｏｇ２ ，
３． 答案 得 ａ ｂ ａｂ 且ａ ｂ
４ ３ ３ ＋４ ＝ ， ＞０， ＞０，
４．（２０１７江苏，１０，５分）某公司一年购买某种货物 吨 每次 ｂ
６００ ， ａ ４ 由ａ 得ｂ ．
购买ｘ吨 运费为 万元／次 一年的总存储费用为 ｘ万元．要 ∴ ＝ｂ ， ＞０， ＞３
， ６ ， ４ －３
使一年的总运费与总存储费用之和最小 则ｘ的值是 ． ｂ ｂ
， ａ ｂ ｂ ４ ｂ ４（ －３）＋１２ ｂ １２
４． 答案 ∴ ＋ ＝ ＋ｂ ＝ ＋ ｂ ＝（ －３）＋ｂ ＋７≥２ １２＋７＝
３０ －３ －３ －３
５．（２０１９江苏，１０，５分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 Ｐ是曲线ｙ ｘ 即ａ ｂ的最小值为 ．
， ＝ ４ ３＋７， ＋ ７＋４ ３
４ ｘ 上的一个动点 则点Ｐ到直线ｘ ｙ 的距离的最小 ５．（２０１４福建，９，５分）要制作一个容积为 ３ 高为 的无盖
＋ ｘ （ ＞０） ， ＋ ＝０ ４ ｍ ， １ ｍ
长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 元 侧面造
值是 ． ２０ ，
价是每平方米 元 则该容器的最低总造价是
５． 答案 １０ ， （ ）
４ 元 元 元 元
Ａ．８０ Ｂ．１２０ Ｃ．１６０ Ｄ．２４０
以下为教师用书专用（１—９） 答案 Ｃ 设底面矩形的长和宽分别为ａ ｂ 则ａｂ ．
ｍ、 ｍ， ＝４
容器的总造价为 ａｂ ａ ｂ ａ ｂ 元
１．（２０１５陕西，理９，５分）设ｆ ｘ ｘ ａ ｂ 若ｐ ｆ ａｂ ｑ ２０ ＋２（ ＋ ）×１０＝［８０＋２０（ ＋ ）］ ，８０＋
（ ）＝ｌｎ ，０＜ ＜ ， ＝ （ ），
(ａ ｂ) ａ ｂ ａｂ 当且仅当ａ ｂ时等号成立 ．故
ｆ ＋ ｒ １ ｆ ａ ｆ ｂ 则下列关系式中正确的是 ２０（ ＋ ）≥８０＋４０ ＝１６０（ ＝ ）
＝ ， ＝ （ （ ）＋（ ））， 选 ．
２ ２ Ｃ
６．（２０１８江苏，１３，５分）在 ＡＢＣ中 角Ａ Ｂ Ｃ所对的边分别为
（ ） △ ， ， ，
ｑ ｒ ｐ ｑ ｒ ｐ ｐ ｒ ｑ ｐ ｒ ｑ ａ ｂ ｃ ＡＢＣ ° ＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄ 且ＢＤ
Ａ． ＝ ＜ Ｂ． ＝ ＞ Ｃ． ＝ ＜ Ｄ． ＝ ＞ ， ， ，∠ ＝１２０ ，∠ ， ＝１，
ａ ｂ 则 ａ ｃ的最小值为 ．
答案 Ｃ 由题意得ｐ ａｂ ｑ ＋ ｒ １ ａ ｂ ４ ＋
＝ｌｎ ， ＝ｌｎ ， ＝ （ｌｎ ＋ｌｎ ） 答案
２ ２ ９
ａ ｂ ａ ｂ 解析 本题考查基本不等式及其应用．
ａｂ ｐ ａ ｂ ＋ ａｂ ＋ ａｂ ｐ ｒ
＝ｌｎ ＝ ，∵ ０＜ ＜ ，∴ ＞ ，∴ ｌｎ ＞ｌｎ ，∴ ＝
２ ２
依题意画出图形 如图所示．
，
ｑ．
＜
ｘ ｙ
２．（２０１５福建理，５，５分）若直线 ａ ｂ 过点
ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１，
则ａ ｂ的最小值等于
１）， ＋ （ ） 易知Ｓ Ｓ Ｓ
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ △
ＡＢＤ＋
△
ＢＣＤ＝
△
ＡＢＣ，
答案 Ｃ 因为直线 ｘ ｙ ａ ｂ 过点 所以 即 １ ｃ ｓｉｎ６０ ° ＋ １ ａ ｓｉｎ６０ ° ＝ １ ａｃ ｓｉｎ１２０ ° ，
ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１，１）， ２ ２ ２
( ) ａ ｂ
１ ａ ＋ １ ｂ ＝１ ．所以 ａ ＋ ｂ ＝（ ａ ＋ ｂ ）· １ ａ ＋ １ ｂ ＝２＋ ｂ ＋ ａ ≥２＋ ∴ ａ ＋ ｃ ＝ ａｃ ，∴ １ ａ ＋ １ ｃ ＝１，
( ) ｃ ａ
ａ ｂ ａ ｃ ａ ｃ １ １ ４
当且仅当ａ ｂ 时取 故选 ． ∴４ ＋ ＝（４ ＋ ） ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９，
２ ｂ · ａ ＝４， ＝ ＝２ “＝”， Ｃ
ｃ ａ
３．（２０１５湖南文，７，５分）若实数ａ ， ｂ满足 １ ａ ＋ ２ ｂ ＝ ａｂ ， 则ａｂ的 当且仅当 ａ ＝ ４ ｃ ， 即ａ ＝ ３ ， ｃ ＝３ 时取 “＝” ．
２
最小值为 一题多解 作 ＤＥ ＣＢ 交 ＡＢ 于 Ｅ， ＢＤ 为 ＡＢＣ 的平
（ ） １ ∥ ∵ ∠
分线，
３ ３２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ｂ ａ ｂ ａ
ａ ｂ ａ ｂ １ ２ ４ ４
∴２ ＋ ＝（２ ＋ ） ａ ＋ ｂ ＝２＋ ａ ＋ ｂ ＋２≥４＋２ ａ · ｂ ＝
( ｂ ａ )
当且仅当 ４ 即ｂ ａ时 等号成立 ．
８ ａ ＝ ｂ ， ＝２ ，
ＢＡ ＡＤ ｃ
，
∴ ＢＣ＝ＤＣ＝ ａ 故 ａ ｂ的最小值为 ．
２ ＋ ８
ＡＤ ＡＥ ＤＥ ｃ ８．（２０１９ 天津文，１３，５ 分） 设 ｘ ｙ ｘ ｙ 则
ＤＥ ＣＢ， ， ＞ ０， ＞ ０， ＋ ２ ＝ ４，
∵ ∥ ∴ ＡＣ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ａ ｃ ｘ ｙ
＋ （ ＋１）（２ ＋１）的最小值为 ．
ａ ｃ ｘｙ
Ｂ→Ｅ →ＢＡ，Ｅ→Ｄ Ｂ→Ｃ．
∴ ＝ａ ｃ ＝ａ ｃ
＋ ＋ 答案 ９
ａ ｃ
Ｂ→Ｄ →ＢＡ Ｂ→Ｃ． ２
∴ ＝ａ ｃ ＋ａ ｃ 解析 本题主要考查基本不等式的运用．考查学生对基本不
＋ ＋
( ａ ｃ ) ２ 等式及其简单变形使用条件的掌握程度 以及学生的推理 运
Ｂ→Ｄ２ →ＢＡ Ｂ→Ｃ ， ， 、
∴ ＝ ａ ｃ ＋ａ ｃ 算能力．
＋ ＋
( ａ ) ２ ( ｃ ) ２ ａ ｃ ｘ ｙ ｘｙ ｘ ｙ ｘｙ
→ＢＡ Ｂ→Ｃ · · →ＢＡ · Ｂ→Ｃ （ ＋１）（２ ＋１） ２ ＋ ＋２ ＋１ ２ ＋５ ５ ．
∴ １ ＝ ａ ｃ ＋ ａ ｃ ＋２ ａ ｃ ａ ｃ ｜ ｜ ｜ ｜ ｘｙ ＝ ｘｙ ＝ ｘｙ ＝２＋ｘｙ
＋ ＋ ＋ ＋
( )
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ 解得 ｘｙ 当且仅当ｘ
１ ， ∵ ＞０， ＞０，∴４＝ ＋２ ≥２ ·２ ， ０＜ ≤２，
× －
２
ｙ 即ｘ 且ｙ 时 成立．此时 １ １ ５
（ａｃ）２ ＝２ ＝２， ＝２ ＝１ “＝” ｘｙ≥ ，∴ ２＋ｘｙ≥２
， ａｃ ａ ｃ， １ １ ， ２
∴１＝（ａ
＋
ｃ）２ ∴ ＝ ＋ ∴ ａ ＋ ｃ ＝１
ｘ ｙ
( ) ｃ ａ ｃ ａ ＋ ５ ＝ ９ ， 故（ ＋１） ｘ （ ｙ ２ ＋１）的最小值为 ９ ．
ａ ｃ （ ａ ｃ） １ １ ４ ，当且仅当 ４ ， ２ ２ ２
∴４ ＋ ＝ ４ ＋ ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９ ａ ＝ ｃ 思路分析 首先将分子展开，并把已知条件ｘ ｙ 代入，
＋２ ＝４
即ａ ３ ，ｃ 时取“ ”．
＝ ＝３ ＝ 则原式化简为 ５ ，注意到ｘ与 ｙ的和为定值，用基本不等
２ ２＋ｘｙ ２
一题多解
２
以Ｂ为原点，ＢＤ所在直线为ｘ轴建立如图所
式即可求ｘｙ的最大值，最终得到原式的最小值，在此应特别
示的平面直角坐标系，
注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，注意等号
是否成立．
９．（２０１５重庆文，１４，５分）设ａ ｂ ａ ｂ 则 ａ ｂ 的
， ＞０， ＋ ＝５， ＋１＋ ＋３
最大值为 ．
答案
３ ２
解析 解法一 令ｔ ａ ｂ
： ＝ ＋１＋ ＋３，
æ ｃ ö æ ａ ö 则ｔ２ ＝（ ａ ＋１＋ ｂ ＋３） ２ ＝ ａ ＋１＋ ｂ ＋３＋２ ａ ＋１· ｂ ＋３≤９＋ ａ ＋１
则Ｄ（ １ ， ０ ）． ∵ ＡＢ ＝ ｃ，ＢＣ ＝ ａ， ∴ Ａ è ç ， ３ｃ ø ÷，Ｃ è ç ， － ３ａ ø ÷． ＋ ｂ ＋３＝１８，
２ ２ ２ ２
当且仅当 ａ ｂ
Ａ，Ｄ，Ｃ三点共线， Ａ→Ｄ Ｄ→Ｃ， ＋１＝ ＋３，
∵ ∴ ∥
( ｃ )æ ö ( ａ ) 即ａ ７ ｂ ３ 时 等号成立．
ç ３ａ÷ ３ｃ ， ＝ ， ＝ ，
∴ １－ è－ ø＋ －１ ＝０ ２ ２
２ ２ ２ ２ 即ｔ的最大值为 ．
３ ２
∴ ａｃ ＝ ａ ＋ ｃ， ∴ １ ａ ＋ １ ｃ ＝１ ， 解法二 ： 设 ａ ＋１＝ ｍ ， ｂ ＋３＝ ｎ ，
( ) ｃ ａ ｃ ａ 则ｍ ｎ均大于零
ａ ｃ （ ａ ｃ） １ １ ４ ，当且仅当 ４ ， ， ，
∴４ ＋ ＝ ４ ＋ ａ ＋ ｃ ＝５＋ ａ ＋ ｃ ≥９ ａ ＝ ｃ 因为ｍ２ ｎ２ ｍｎ
＋ ≥２ ，
所以 ｍ２ ｎ２ ｍ ｎ ２
即ａ ３ ，ｃ 时取“ ”． ２（ ＋ ）≥（ ＋ ） ，
＝
２
＝３ ＝ 所以ｍ
＋
ｎ
≤ ２·
ｍ２
＋
ｎ２
，
ｘ ｙ
７．（２０１７ 山东，１２，５ 分）若直线 ａ ｂ 过点 所以 ａ ｂ ａ ｂ
ａ ＋ ｂ ＝１（ ＞０， ＞０） （１， ＋１＋ ＋３≤ ２· ＋１＋ ＋３＝３ ２，
当且仅当 ａ ｂ
则 ａ ｂ的最小值为 ． ＋１＝ ＋３，
２）， ２ ＋
答案 即ａ ７ ｂ ３ 时 成立
８ ＝ ， ＝ ，“＝” ，
２ ２
解析 由题设可得 １ ａ ＋ ２ ｂ ＝１，∵ ａ ＞０， ｂ ＞０， 所以所求最大值为 ３ ２ ．
第七章 不等式 ３ ３３
学生用书Ｐ１１９
ａ２ ｂ２ ａ ｂ
考点 基本不等式 ＋ ＋ ａｂ ２ ａ ｂ ．
（４） ≥④ ≥⑤ ≥ （ ＞０， ＞０）
２ ２ １ １
ａ ＋ ｂ
１．基本不等式
注意 运用基本不等式及其变形时 一定要验证等号是否成立．
，
基本不等式 不等式成立的条件 等号成立的条件 ３．基本不等式与最值
ａ ｂ
ａｂ ＋ ａ ｂ ａ ｂ 已知ｘ ｙ
≤ ＞０， ＞０ ＝ ＞０， ＞０，
２ 如果积ｘｙ是定值ｐ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘ ｙ有最小
ａ ｂ （１） ， ＝ ， ＋
其中 ＋ 为正数ａ ｂ的算术平均数 ａｂ为正数ａ ｂ的几
， ， ， ， 值 ｐ 简记 积定和最小 ．
２ ２ （ ： ）
何平均数 基本不等式可叙述为 两个正数的算术平均数不小于 如果ｘ ｙ是定值ｓ 那么当且仅当ｘ ｙ时 ｘｙ有最大值
， ： （２） ＋ ， ＝ ，
它们的几何平均数． ｓ２
简记 和定积最大 ．
２．基本不等式的变形 （ ： ）
４
注意 此结论应用的前提是 一正 二定 三相等 ．
（１） ａ２ ＋ ｂ２ ≥① ２ ａｂ （ ａ ， ｂ ∈ Ｒ ） ． （１） “ ”“ ”“ ”
一正 指正数 二定 指求最值时和或积为定值 三相等 指
ａ ｂ ａ ｂ同号 ． “ ” ，“ ” ，“ ”
（２） ｂ ＋ ａ ≥② ２ （ ， ） 等号成立． 连续使用基本不等式时 牢记等号要同时成立．
（２） ，
(ａ ｂ)
２
ａｂ ＋ ａ ｂ Ｒ ．
（３） ≤③ （ ， ∈ ）
２
学生用书Ｐ１２０
利用基本不等式求最值的方法
Ａ．９ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６
１．代数式最值的求解方法——拼凑法 解题思路
拼凑法就是将相关代数式进行适当变形 通过添项 拆项
， 、 、 已知 ９ １ 考虑 的代换 将代数式ｘ ｙ ｚ与 ９
变系数 凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式 然后利 （１） ｙ ｚ＋ ｘ ＝１， “１” ， ＋ ＋ ｙ ｚ
、 ， ＋ ＋
用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质在于代数式的灵活
１ 相乘 构造积为定值的形式后 利用基本不等式可求出最值．
变形 拼系数 凑常数是关键． ＋ ｘ ， ，
， 、
注意 注意变形的等价性及基本不等式应用的前提条件． 由已知条件找出ａ ｂ的数量关系 再观察式子结构特征
（２） 、 ，
２．条件最值的求解方法——常数代换法 凑出和为定值的形式 利用基本不等式求最值．
→ →
常数代换法求最值的步骤
（１） 解析 ｘ ｙ ｚ ｙ ｚ 又 ９ １ ｘ ｙ ｚ
根据已知条件或其变形确定定值 常数 （１）∵ ＞０， ＞０，＞０，∴ ＋ ＞０， ｙ ｚ＋ ｘ ＝１，∴ ＋ ＋ ＝
① （ ）； ＋
把确定的定值 常数 变形为 ( ) ｘ ｙ ｚ ｘ ｙ ｚ
② （ ） １； ｘ ｙ ｚ １ ９ ９ ＋ ９ ＋ 当且仅
把 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除 进而构 ［ ＋（ ＋）］ ｘ ＋ｙ ｚ ＝１０＋ｙ ｚ＋ ｘ ≥１０＋２ ｙ ｚ· ｘ ＝１６，
③ “１” ， ＋ ＋ ＋
造和或积为定值的形式 ｘ ｙ ｚ
； 当９ ＋ 即ｙ ｚ ｘ时等号成立 ｘ ｙ ｚ的最小值为 ．故选
利用基本不等式求解最值． ｙ ｚ＝ ｘ ， ＋ ＝３ ，∴ ＋ ＋ １６ Ｄ．
④ ＋
常数代换法求最值适用的题型及解题通法
（２） ａ ｂ ａ ｂ ａｂ ａ ｂ 又 ａ ｂ １
当式子中含有两个变量 且条件和所求的式子分别为整式 （２）∵ｌｇ ＋ｌｇ ＝ｌｇ（ ＋２ ），∴ ＝ ＋２ ， ∵ ＞０， ＞０，∴ ｂ ＋
，
(ｍ ｎ ) ( ) ａ ｂ ( ａ ｂ )
和分式时 常构造出 ａｘ ｂｙ ａ ｂ ｍ ｎ为常数 的形 ２ ａ ｂ ａ ｂ ２ １ ２ ２
， （ ＋ ） ｘ ＋ ｙ （ ， ， ， ） ａ ＝１，∴２ ＋ ＝（２ ＋ ） ａ ＋ ｂ ＝４＋ ｂ ＋ ａ ＋１＝５＋２ ｂ ＋ ａ
(ｍ ｎ ) ｂｍｙ ａｎｘ ａ ｂ
式 利用 ａｘ ｂｙ ａｍ ｂｎ ａｍ ｂｎ 当且仅当ａ ｂ时取等号 ａ ｂ的最小值
， （ ＋ ） ｘ ＋ ｙ ＝ ＋ ＋ ｘ ＋ ｙ ≥ ＋ ＋ ≥５＋４ ｂ · ａ ＝９， ＝ ，∴ ２ ＋
( ｂｍｙ ａｎｘ ) 为 ．
ａｂｍｎ 当且仅当 时等号成立 得到结果． ９
２ ｘ ＝ ｙ 答案 Ｄ Ａ
（１） （２）
例 （２０２０广东珠海期末，９）已知ｘ ｙ ｚ 且 ９ １－１ （２０１９山东潍坊一模，９）中国南宋大数学家秦九韶提
（１） ＞０， ＞０， ＞０， ｙ ｚ
＋
出了 三斜求积术 即已知三角形三边长求三角形面积的公式
“ ”， ：
＋ １ ｘ ＝１， 则ｘ ＋ ｙ ＋ ｚ的最小值为 （ ） 设三角形的三条边长分别为ａ ｂ ｃ 则三角形的面积Ｓ可由公式
， ， ，
Ｓ ｐ ｐ ａ ｐ ｂ ｐ ｃ 求得 其中ｐ为三角形周长的一半 这
Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１２ Ｄ．１６ ＝ （ － ）（ － ）（ － ） ， ，
（２０２０山东师范大学附中月考，９）若ａ ｂ ａ ｂ 个公式也被称为海伦 秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足
（２） ＞０， ＞０，ｌｇ ＋ｌｇ －
ａ ｂ 则 ａ ｂ的最小值为 ａ ｂ ｃ 则此三角形面积的最大值为
＝ｌｇ（ ＋２ ）， ２ ＋ （ ） ＝６， ＋ ＝８， （ ）
３ ３４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
Ａ．３ ７ Ｂ．８ Ｃ．４ ７ Ｄ．９ ３ １－３ （２０２０江苏无锡期末，１６）已知ａｂ １ ａ ｂ
１－１． 答案 Ａ ＝
２
， ， ∈（０，１），
１－２ 已知ｆ （ ｘ ）＝ ｘ２ ＋ ｘ ３ ＋ ｘ １ ＋６ （ ｘ ＞０）， 则ｆ （ ｘ ） 的最小值是 （ ） １ 则 － １ ３ － １ ． ａ＋ 答 １－ ２ 案 ｂ 的最小值为 ．
Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５
１－２． 答案 Ｄ
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ１２０
基本不等式 ｎ
则 １ ＋３的最小值为
２， ｍ ＋ｎ （ ）
＋１ ＋２
１．（２０２０山东百师联盟测试二，６）已知ｘ ｙ均为正数 且 １ １
， ， ｘ ， ， ３ ５ ７ ９
２ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
２ ３ ４ ５
２ 成等差数列 则ｘ ｙ的最小值为 ３． 答案 Ｄ
ｙ ， ＋ （ ）
ａ ｂ
４．（２０２１湖南衡阳联考（一），５）设 ａ ｂ ４ 则 ＋
Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ ２ Ｄ．３＋２ ２ ＝ｌｏｇ２３， ＝ｌｏｇ２ ， ，
１． 答案 Ｄ ３ ２
ｂ
２．（２０２１重庆一模，６）已知ａ ｂ ａｂ ａ ｂ 则ａｂ的最小值为 ａｂ 的大小关系为
， ＞０， ＝ ＋ ＋８， ， ａ （ ）
（ ） ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ｂ ａ ｂ
ａｂ ＋ ＋ ａｂ ＋ ａｂ ａｂ ＋
Ａ． ＞ ＞ ａ Ｂ． ＞ ａ ＞ Ｃ． ＞ ＞ ａ Ｄ． ＞ ａ ＞
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．１２ Ｄ．１６ ２ ２ ２ ２
２． 答案 Ｄ ４． 答案 Ｃ
３．（２０２０河北衡水中学第九次调研，６）设ｍ ｎ为正数 且ｍ ｎ
， ， ＋ ＝
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ１２１ ４０分钟 ６０分
一、单项选择题（每小题５分，共２５分） ３． 答案 Ｂ
ａｂ ４．（２０２０山东肥城一中模拟，８）点Ｍ ｘ ｙ 在曲线Ｃ ｘ２ ｘ ｙ２
１．（２０２１山东淄博二模，７）已知 ａ ｂ 为正实数 则 是 （ ， ） ： －４ ＋ －
， ， “ａ ｂ≤２” 上运动 ｔ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ａ 且ｔ的最大值为ｂ 若
＋ ２１＝０ ， ＝ ＋ ＋１２ －１２ －１５０－ ， ，
ａｂ 的
“ ≤１６” （ ） ａ ｂ 则 １ １ 的最小值为
充要条件 必要不充分条件 ＞０， ＞０， ａ ＋ ｂ （ ）
Ａ． Ｂ． ＋１
充分不必要条件 既不充分也不必要条件
Ｃ． Ｄ． Ａ．２ Ｂ．１ Ｃ． ２ Ｄ．２ ２
１． 答案 Ｂ ４． 答案 Ｂ
２．（２０２１上海静安一模，１１）在平面直角坐标系ｘＯｙ中 α β是位 ５．（２０１９广东惠州三调，１０）在 ＡＢＣ中 点Ｄ是ＡＣ上一点 且
， 、 △ ， ，
于不同象限的任意角 它们的终边交单位圆 圆心在坐标原点
， （ →ＡＣ Ａ→Ｄ Ｐ为ＢＤ上一点 向量→ＡＰ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ
Ｏ 于Ａ Ｂ 两点．若 Ａ Ｂ 两点的纵坐标分别为正数 ａ ｂ 且 ＝４ ， ， ＝ ＋ （ ＞０， ＞０），
） 、 、 、 ，
ｃｏｓ（ α － β ）≤０， 则ａ ＋ ｂ的最大值为 （ ） 则 λ ４ ＋ μ １ 的最小值为 （ ）
不存在
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ．２ Ｄ． Ａ．１６ Ｂ．８ Ｃ．４ Ｄ．２
２． 答案 Ｂ ５． 答案 Ａ
３．（２０２１湖南六校４月联考，６）数学里有一
二、多项选择题（共５分）
种证明方法叫做 也称
Ｐｒｏｏｆｓｗｉｔｈｏｕｔ ｗｏｒｄｓ， ６．（２０２１山东菏泽一模，９）下列结论正确的是
为无字证明 一般是指仅用图形语言而无 （ ）
，
需文字解释就能不证自明的数学命题．由 ｘ Ｒ ｘ １
Ａ．∀ ∈ ， ＋ ｘ ≥２
于这种证明方法的特殊性 无字证明被认为比严格的数学证明
( ) ( )
， ３ ３
更为优雅．如图所示 在等腰直角 ＡＢＣ中 点Ｏ为斜边ＡＢ的中 若ａ ｂ 则 １ １
， △ ， Ｂ． ＜ ＜０， ａ ＞ ｂ
点
该
，
图
点
形
Ｄ
可
为
以
斜
完
边
成
Ａ
的
Ｂ
无
上
字
异
证
于
明
顶
为
点的一个动点 ， 设ＡＤ ＝ ａ ， ＢＤ ＝ ｂ ， 则 Ｃ． 若ｘ （ ｘ －２）＜０， 则 ｌｏｇ２ ｘ ∈（０，１）
（ ） 若ａ ｂ ａ ｂ 则 ａｂ １
ａ
＋
ｂ
ａｂ ａ ｂ
ａ
＋
ｂ ａ２
＋
ｂ２
ａ ｂ
Ｄ． ＞０， ＞０， ＋ ≤１， ０＜ ≤
４
Ａ． ≥ （ ＞０， ＞０） Ｂ． ≤ （ ＞０， ＞０） ６． 答案 ＢＤ
２ ２ ２
ａｂ
２ ａｂ ａ ｂ ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ
Ｃ．ａ ｂ≤ （ ＞０， ＞０） Ｄ． ＋ ≥２ （ ＞０， ＞０）
＋
三、填空题（每小题５分，共３０分）
第七章 不等式 ３ ３５
７．（２０２１湖南岳阳一模，１４）已知点Ｃ ｘ ｙ 在线段ＡＢ ｘ ｙ １１．（２０２１辽宁开原三模，１６）如图 将一矩形花坛ＡＢＣＤ扩建成一个
（ ， ） ： ＋４ ＝１ ，
ｘ ｙ 上运动 则ｘｙ的最大值是 ． 更大的矩形花坛ＡＭＰＮ 要求点Ｂ在ＡＭ上 点Ｄ在ＡＮ上 且对
（ ＞０， ＞０） ， ， ， ，
角线ＭＮ过点Ｃ．已知ＡＢ ＡＤ 那么当ＢＭ 时 矩
７． 答案 １ ＝４， ＝３， ＝ ，
形花坛ＡＭＰＮ的面积最小 最小值为 ．
１６ ，
８．（２０２０江苏扬州江都大桥高级中学月考，６）已知ｘ ｙ为正数
， ，
且 １ ４ 则ｘ ｙ的最小值为 ．
ｘ＋ ｙ ＝１， ＋
２＋
８． 答案
７
９．（２０２１辽宁沈阳市郊联体一模，１４）已知ａ ｂ ａ ｂ 则
＞０， ＞０， ＋４ ＝４，
４ ａ ＋ ９ ｂ 的最小值为 ． １１． 答案 ４；４８
９． 答案 １２．（２０２１湖南怀化一模，１５）已知关于ｘ的不等式ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＞０（ ａ ， ｂ ，
１６
１０．（２０２１广东揭阳４月联考，１６）已知 ＡＢＣ的内角Ａ Ｂ Ｃ所 ｃ Ｒ 的解集为 ｘ ｘ 则 ｃ２ ＋５的取值范围为 ．
△ ， ， ∈ ） ｛ ｜３＜ ＜４｝， ａ ｂ
对的边分别为ａ ｂ ｃ 且满足ａ ａ２ ｂ２ ｃ２ 则 ＡＢＣ的面 ＋
， ， ， ＝２， ＝２ ＋ ， △
积的最大值是 ． １２． 答案
［４ ５，＋∞）
１０． 答案 ２
３
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题
２ ３
１．（２０２１北京东城二模，４）已知ａ２
＋
ｂ２
＝２，
那么ａ
＋
ｂ的最大值为 Ａ．４ Ｂ．９ Ｃ．
３
Ｄ．
２
答案 Ｄ 设各项均为正数的等比数列 ａ 的公比为ｑ ｑ
（ ） ｛ ｎ｝ ，
Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ．２ Ｄ．２ ２ ＞０，
答案 Ｃ 本题考查基本不等式 考查逻辑推理的核心素 由ａ ａ ａ 成等差数列 可得 ａ ａ ａ
， ６，３ ５， ７ ， ６ ５＝ ６＋ ７，
养 试题体现基础性． 即 ａ ｑ４ ａ ｑ５ ａ ｑ６
， ６ １ ＝ １ ＋ １ ，
ａ２ ｂ２ ａｂ ａ ｂ ２ ａ２ ｂ２ ａｂ 从而ａ ｂ 解得ｑ ｑ 舍去
∵２＝ ＋ ≥２ ，∴ （ ＋ ） ＝ ＋ ＋２ ≤２＋２＝４， ＋ ≤ ＝２（ ＝－３ ），
当且仅当ａ ｂ 时取等号 因此ａ ｂ的最大值为 故选 ． 由 ａ 中存在两项ａ ａ 使得 ａ 为其等比中项
２， ＝ ＝１ ， ＋ ２， Ｃ ｛ ｎ｝ ｍ， ｎ， ４ １ ，
２．（２０２１北京朝阳二模，６）设ｘ ＞０， ｙ ＞０， 则 “ ｘ ＋ ｙ ＝１” 是 “ ｘｙ ≤ １ ” 的 可得 １６ ａ２ １＝ ａ ｍ ａ ｎ＝ ａ２ １·２ ｍ ＋ ｎ －２ ，
４ 化简可得ｍ ｎ ｍ ｎ Ｎ∗
＋ ＝６， ， ∈ ，
（ ） ( ) ( ｎ ｍ)
充分而不必要条件 必要而不充分条件 则 １ ４ １ ｍ ｎ １ ４ １ ４
Ａ． Ｂ． ｍ ＋ ｎ ＝ （ ＋ ） ｍ＋ ｎ ＝ ５＋ｍ＋ ｎ ≥
充分必要条件 既不充分也不必要条件 ６ ６
Ｃ． Ｄ． æ ｎ ｍö
答案 Ａ 本题考查基本不等式 考查逻辑推理的核心素 １ ç ４ ÷ ３ ．
， è５＋２ ｍ· ｎ ø＝
养 试题体现基础性． ６ ２
， (ｘ ｙ) ２ 当且仅当ｎ ＝２ ｍ ＝４ 时 ， 上式取得等号．
充分性 当ｘ ｙ 时 ｘｙ ＋ １ 当且仅当ｘ ｙ １ 时 ５．（２０２１山西高考前测试，７）已知ａ ｂ ｃ 且ａ ａｂ
： ＋ ＝１ ， ≤ ＝ ， ＝ ＝ ， ， ∈（０，＋∞）， ＞４， ＋
２ ４ ２
取等号 充分性成立
ａｃ 则 ２ ２ ３２ 的最小值是
， ； ＝４， ａ ＋ｂ ｃ＋ａ ｂ ｃ （ ）
＋ ＋ ＋
必要性 当ｘ ｙ １ 时 ｘｙ １ ｘ ｙ ５ 因而必要性不
： ＝１， ＝ ， ≤ ， ＋ ＝ ≠１，
４ ４ ４ Ａ．８ Ｂ．６ Ｃ．４ Ｄ．２
成立． 答案 Ａ 因为ａ ｂ ｃ 且ａｂ ａｃ
， ， ∈（０，＋∞）， ＋ ＝４，
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ
综上 ｘ ｙ 是 ｘｙ １ 的充分而不必要条件 故选 ． 所以 ２ ２ ３２ ２（ ＋ ＋ ） ３２ ＋ ＋ ３２
，“ ＋ ＝１” “ ≤ ” ， Ａ ａ ＋ｂ ｃ＋ａ ｂ ｃ＝ ａ ｂ ｃ ＋ａ ｂ ｃ＝ ＋ａ ｂ ｃ≥８，
４ ＋ ＋ ＋ （ ＋ ） ＋ ＋ ２ ＋ ＋
３．（２０２１天津河东一模，７）已知ａ ｂ 且 ａｂ ａ ｂ 则ａ ｂ ａ ｂ ｃ
＞０， ＞０， ＝ ＋ ＋３， ＋ 当且仅当 ＋ ＋ ３２ 即ａ ｂ ｃ 时取等号 所以ｂ ｃ
的最小值为 ＝ａ ｂ ｃ， ＋ ＋ ＝８ ， ＋ ＝８－
（ ） ２ ＋ ＋
ａ 代入ａｂ ａｃ 解得ａ
Ａ．４ Ｂ．８ Ｃ．７ Ｄ．６ ， ＋ ＝４， ＝４±２ ３，
答案 Ｄ ａ ｂ ａｂ １ ａ ｂ ２ 令ｔ ａ ｂ ｔ 又因为ａ 所以ａ ｂ ｃ 此时等号成立
＋ ＋３＝ ≤ （ ＋ ） ， ＝ ＋ ，＞０， ＞４， ＝４＋２ ３， ＋ ＝４－２ ３， ，
４ 故所求最小值为 ．
８
则 １ ｔ２ ｔ ｔ２ ｔ ｔ 即ａ ｂ ６．（２０２１江西宜春重点高中月考，９）已知ｘ ｙ ｘ ｙ 则
≥ ＋３⇒ －４ －１２≥０⇒≥６， ＋ ≥６， ＞０， ＞０， ＋２ ＝３，
４
当且仅当ａ ｂ 时 成立．
ｘ２
＋３
ｙ
的最小值为
＝ ＝３ ，“＝” ｘｙ （ ）
４．（２０２１河南顶级名校４月联考，１０）已知各项均为正数的等比
数列 ａ ａ ａ ａ 成等差数列 若 ａ 中存在两项ａ ａ
｛ ｎ｝， ６，３ ５， ７ ， ｛ ｎ｝ ｍ， ｎ， Ａ．３－２ ２ Ｂ．２ ２＋１ Ｃ． ２－１ Ｄ． ２＋１
ｘ２ ｙ ｘ２ ｙ ｘ ｙ
使得 ａ 为其等比中项 则 １ ４ 的最小值为 答案 Ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ 则 ＋３ ＋ （ ＋２ ）
４ １ ， ｍ＋ ｎ （ ） ＞０， ＞０， ＋２ ＝３， ｘｙ ＝ ｘｙ
３ ３６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ 不成立 均成立．
２ ２ ． ｓｉｎ ＝２ ；ＢＤ
＝ ｙ ＋ ｘ ＋１≥２ ｙ · ｘ ＋１＝２ ２＋１ 方法总结 本题考查了基本不等式在求最值中的应用．利
当且仅当ｘ ｙ时 上式取得等号 用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，
＝ ２ ， ，
ｘ２ ｙ
三相等”的内涵：一正是要判断参数是不是正；二定是要看和
则 ＋３ 的最小值为 ．
ｘｙ ２ ２＋１ 或积是不是定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是一定要
验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义
７．（２０２１浙江新高考研究卷（一），９）已知ａ ｂ 且 ａ １
＞０， ＞０， ２ ＋ ｂ ＝ 域内，二是多次用基本不等式时等号能否同时成立）．
ａｂ １０．（２０２１届广东佛山顺德第二次教学质量检测，１６）已知ａ ｂ
则２ １ 的最小值为 ＞ ＞
１， ｂ ＋ ａ （ ） 且ａ ｂ 则
＋１ ２ ０， ＋ ＝１， （ ）
． ３ ． １ ｂ ａ ２ １
Ａ ＋２ ２ Ｂ ＋２ ２ Ａ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ Ｂ． ａ ＋ ｂ ＞６
２ ２
ａｂ ｂａ ａ ｂ
－
ｂ
－
ａ
． ３ ． １ Ｃ． ＜ Ｄ．２ －２ ＞２ －２
Ｃ ＋ ２ Ｄ ＋ ２
２ ２ 答案 ＡＤ 由已知 ａ ｂ 且 ａ ｂ 得 １ ａ ｂ
＞ ＞０， ＋ ＝１， ＜ ＜１，０＜
答案 Ｄ 令ｃ １ 则ｃ 且 ａ ｃ ２
＝ ｂ ， ＞０， ２ ＋ ＝１，
１ ．
ａｂ ａ ａ ａ ｃ ａ ａ ｃ ＜
所以２ １ ２ １ ２ ２ ＋ ＋ １ ２
ｂ ＋ ａ ＝ ｃ ＋ ａ ＝ ａ ｃ＋ ａ ＝ ａ ｃ＋ ａ ＋ ≥
＋１ ２ ＋１ ２ ２ ＋２ ２ ＋ ２ ２ 对于选项 由于 １ ａ ｂ １
Ａ， ＜ ＜１，０＜ ＜ ，
ａ ａ ｃ ２ ２
＋ １ １ 所以 ｂ ａ ａ ｂ
２ ａ ｃ· ａ ＋ ＝ ２＋ ， ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ＝１，０＜ｌｏｇｂ ＜ｌｏｇｂ ＝１，
＋ ２ ２ ２ 所以 ｂ ａ成立 因此 正确
ａ ａ ｃ ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ， Ａ ；
当且仅当 ａ ＋ ｃ＝ ２ ＋ ａ， 即ｃ ＝（ ２－１） ａ时取等号 ， 又 ２ ａ ＋ ｃ ＝１， 所以 对于选项 Ｂ，∵ ( ２ ａ ＋ １ ｂ ) （ ａ ＋ ｂ ）＝ ２＋１＋ ２ ａ ｂ ＋ ａ ｂ ≥３＋２
ａ ｃ ｂ 时取等号 选 ．
＝ ２－１， ＝３－２ ２， ＝３＋２ ２ ， Ｄ ｂ ａ
８．（２０２１浙江绍兴４ 月模拟，８）已知 ａ ｂ ａ２ ｂ２ ａｂ ２
＞０， ＞０， ＋ － ＝３， ａ · ｂ ＝３＋２ ２，
ａ２ ｂ２ 则ａ ｂ的最小值是
｜ － ｜≤３， ＋ （ ） ｂ ａ
当且仅当２ 即ａ ｂ时 取等号
． ． ａ ＝ ｂ ， ＝ ２ ， ，
Ａ２ ２ Ｂ３
． ．
Ｃ２ ３ Ｄ４ ２ １
答案 Ｂ 解法一 因为 ａ２ ｂ２ 所以 ａ２ ｂ２ ２ ａ２ｂ２ ∴ ａ ＋ ｂ ≥３＋２ ２，
： ｜ － ｜≤３， ｜ ＋ ｜ －４
而 因此 不正确
≤９， ６＞３＋２ ２， Ｂ ；
即 ａｂ ２ ａ２ｂ２ 又ａ ｂ 所以解得ａｂ ． ｘ
｜３＋ ｜ －４ ≤９， ＞０， ＞０， ≥２ 对于选项 构造函数ｆ ｘ ｌｎ
又因为ａ２ ｂ２ ａｂ 所以 ａ ｂ ２ ａｂ Ｃ， （ ）＝ ｘ ，
＋ － ＝３， （ ＋ ） －３ ＝３，
所以 （ ａ ＋ ｂ ） ２ ＝３ ａｂ ＋３≥９， 所以ａ ＋ ｂ ≥３， 故选 Ｂ ． ｆ ′ ｘ １－ｌｎ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ′ ｘ 函数 ｙ ｆ
{ａ ｂ ∵ （ ）＝ ｘ２ ， ∈（０，ｅ） ， （ ）＞０，∴ ＝
＞ ＞０，
ｘ 在 上为增函数
解法二 和差换元 不妨设ａ ｂ 则 ａ２ ｂ２ ａｂ （ ） （０，ｅ） ，
：（ ） ＞ ， ＋ － ＝３，
又因为 ｂ ａ 所以ｆ ａ ｆ ｂ
ａ２ ｂ２ ０＜ ＜ ＜１， （ ）＞（ ），
{ｍ ｎ － ≤３， 即ｌｎ ａ ｌｎ ｂ ｂ ａ ａ ｂ
{ａ ｍ ｎ ＞ ＞０， ａ ＞ ｂ ，∴ ｌｎ ＞ ｌｎ ，
设 ＝ ＋ ， ｍ ｎ 则 ｍ２ ｎ２ 于是ｎ ３
ｂ ｍ ｎ （ ＞ ＞０）， ＋３ ＝３， ≤ ｍ， ａｂ ｂａ 因此 不正确
＝ － ｍｎ ４ ∴ ＞ ， Ｃ ；
４ ≤３， ( )ｘ
( ) ( )( ) 对于选项 构造函数ｆ ｘ ｘ １
进而有ｍ２
＋３
３
ｍ
２
≥３，
整理得 ｍ２
－
３ ｍ２
－
９
≥０，
Ｄ， （ ）＝２ ＋
２
，
４ ４ ４ ( )ｘ [ ( )ｘ]
ｆ ′ ｘ ｘ １ ｘ １ ．当ｘ
∵ （ ）＝２ ｌｎ２－ ｌｎ ２＝ ２ － ｌｎ ２ ∈（０，＋
解得 ｍ ３或ｍ ３ ２ ２
０＜ ≤ ≥ ， 时 ｆ ′ ｘ 函数ｙ ｆ ｘ 在 上为增函数
２ ２ ∞） ， （ ）＞０，∴ ＝ （ ） （０，＋∞） ，
( )ａ ( )ｂ
又 ｎ ｍ 所以 ｍ２ ｎ２ ｍ２ 所以ｍ２ ３ 解得ｍ ３ 所 又因为 ｂ ａ 所以ｆ ａ ｆ ｂ 即 ａ １ ｂ １
０＜ ＜ ， ３＝ ＋３ ＜４ ， ＞ ， ＞ ， ０＜ ＜ ＜１， （ ）＞（ ）， ２ ＋ ＞２ ＋ ，
４ ２ ２ ２
也就是 ａ ｂ － ｂ － ａ 因此 正确．
以ｍ ３ 于是ａ ｂ ｍ ．故选 ． ２ －２ ＞２ －２ ， Ｄ
≥ ， ＋ ＝２ ≥３ Ｂ １１．（２０２１届山东潍坊四中“十一”假期检测，１０）已知ａ ｂ
２ ＞１， ＞０，
二、多项选择题 且 １ ４ 则下列命题正确的是
ａ ＋ ｂ ＝１， （ ）
９．（２０２０山东百师联盟测试三，１１）下列四个函数中 最小值不为 －１
， ａ ａｂ ｂ的最小值为
的是 Ａ． ＞２ Ｂ． － １６
４ （ ）
ｘ ａ ｂ的最小值为 １ ９ 的最小值为
Ａ．
ｙ
＝
ｌｎ
３ ＋ ｌｎ
１２
ｘ Ｂ．
ｙ
＝
ｘ２
＋１＋ ｘ
４
２ ＋１
Ｃ．
答
＋
案 ＡＢＤ
９
项 由已知得
Ｄ．
４
ａ
－２
＋ ｂ
１ ａ －２
２
Ａ ， ｂ ＝１－ａ ＝ａ ，
ｙ ｘ ４ ｘ ｙ ｘ ４ －１ －１
Ｃ． ＝ｓｉｎ ＋ ｘ（ ∈（０，π）） Ｄ． ＝ｅ ＋ ｘ ａ
ｓｉｎ ｅ 由于ｂ 所以 ４ －２ 解得ａ 或ａ 又ａ 所以ａ
答案 ＡＣ 中 ｘ 时 最小值不为 中当ｙ 时 ＞０， ｂ ＝ａ ＞０， ＜１ ＞２， ＞１， ＞
Ａ ｌｎ ＜０ ， ４，Ｃ ＝４ ， －１
第七章 不等式 ３ ３７
２．故该项正确． ａｂ ａ ｂ
Ａ． ≤１ Ｂ． ＋ ≤ ２
项 由于ａ
Ｂ ， －１＞０， ａ２ ｂ２ １ １
Ｃ． ＋ ≥２ Ｄ． ａ ＋ ｂ ≥２
所以由基本不等式可得 １ ４ １ ４
１＝ａ ＋ ｂ ≥ ２ ａ · ｂ ＝ ４ 答案 ＡＣＤ 由于ａ ｂ ａ ｂ
－１ －１ ＞０， ＞０， ＋ ＝２，
( ) 则由基本不等式可得 ａ ｂ ａｂ
１ 当且仅当 １ ４ 即ａ ｂ 时等号成立 ． ２＝ ＋ ≥２ ，
ａ ｂ ａ ＝ ｂ ， ＝３， ＝８ 则 ａｂ 因此 正确
（ －１） －１ ０＜ ≤１， Ａ ；
所以 １ １ ∵ （ ａ ＋ ｂ ） ２ ＝ ａ ＋ ｂ ＋２ ａｂ ≤２＋２＝４，
ａ ｂ≤ ，
（ －１） ４ ａ ｂ 因此 不正确
即 ａ ｂ ．所以 ａ ｂ的最小值为 故该项正确． ∴ ＋ ≤２， Ｂ ；
（ －１） ≥１６ （ －１） １６， ａ ｂ Ｒ ａ２ ｂ２ ａ ｂ ２ 恒成立
( ) ∵ ∀ ， ∈ ，２（ ＋ ）≥（ ＋ ） ，
项 ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ １ ４
Ｃ ， ＋ ＝（ －１）＋ ＋１＝［（ －１）＋ ］· ａ ＋ ｂ ＋１＝５＋ ａ ｂ ａ２ ｂ２ １ ａ ｂ ２ 因此 正确 ａ ｂ ａ
－１ ＋ ＝２，∴ ＋ ≥ （ ＋ ） ＝２， Ｃ ；∵ ＞０， ＞０， ＋
２
ｂ ａ ｂ ａ ａ ｂ
４（ －１） ４（ －１） ｂ ＋
ａ ＋ ｂ ＋１≥６＋２ ａ · ｂ ＝１０， ＝２，∴ ＝１，
－１ －１ ２
ｂ ａ ( )( ａ ｂ ) ｂ ａ
当且仅当 ４（ －１） １ １ １ １ １ １
ａ ＝ ｂ ， ∴ ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ＝ ＋ ＋ ａ＋ ｂ≥１＋２
－１ ２ ２ ２ ２ ２ ２
即ａ ｂ 时等号成立．故该项不正确．
＝４， ＝６ ｂ ａ
当且仅当 ａ ｂ 时 取等号 因此
项 由已知得 １ ４ ｂ －４ ａ· ｂ ＝１＋１＝２， ＝ ＝１ ， ， Ｄ
Ｄ ， ａ ＝１－ ｂ ＝ ｂ ， ２ ２
－１ 正确．
ｂ
又ａ 所以 １ 即 －４ １４．（２０２１届广东云浮９月月考，９）已知ａ ｂ ａ ｂ 则下
＞１， ａ ＞０， ｂ ＞０， ＞０， ＞０， ＋ ＝１，
－１ 列结论中一定成立的是
又ｂ 所以ｂ ． （ ）
＞０， ＞４
ｂ ｂ ａ２ ｂ２ 的最小值是 １
又ａ 所以ａ ４ Ａ． ＋
－１＝ｂ ， －２＝ｂ －１＝ｂ ＞０， ２
－４ －４ －４
ａｂ １ 的最小值是
ｂ ｂ ｂ Ｂ． ＋ａｂ ２
所以 １ ９ －４ ９ ９ ９ 当且
ａ ＋ ｂ ＝ ＋ ｂ ＝ ＋ ｂ －１≥２ · ｂ －１＝２（
－２ ４ ４ ４ ａ ｂ的最大值是
仅当ｂ 时等号成立 ．故该项正确． Ｃ． ＋ ２
＝６ ）
１２．（２０２１届山东济宁鱼台第一中学第一次月考，１１）给出下面四 ４ ９ 的最小值是
Ｄ． ａ ＋ ｂ ２５
个推断 其中正确的为
， （ ） 答案 ＡＣＤ ａ ｂ ａ ｂ
∵ ＞０， ＞０， ＋ ＝１，
ｂ ａ
若ａ ｂ 则
Ａ． ， ∈（０，＋∞）， ａ ＋ ｂ ≥２ ａ２ ｂ２ １ ａ ｂ ２ １ 当且仅当ａ ｂ时取等号
∴ ＋ ≥ （ ＋ ） ＝ ， ＝ ，
２ ２
Ｂ．
若ｘ
，
ｙ
∈（０，＋∞）
则
ｌｇ
ｘ
＋ｌｇ
ｙ
≥２ ｌｇ
ｘ
·ｌｇ
ｙ
所以 中的结论一定成立 由已知得 ａｂ
(ａ
＋
ｂ)
２ １
Ａ ， ０＜ ≤ ＝ ，
若ａ Ｒ ａ 则 ４ ａ ２ ４
Ｃ． ∈ ， ≠０， ａ ＋ ≥４ ( ]
令ａｂ ｔ ｔ １ 则ａｂ １ ｔ １
ｘ ｙ ＝ ，∈ ０， ， ＋ａｂ＝ ＋ ｔ ，
若ｘ ｙ Ｒ ｘｙ 则 ４
Ｄ． ， ∈ ， ＜０， ｙ ＋ ｘ ≤－２ ( ]
设ｙ ｔ １ ｔ １
ｂ ａ ＝ ＋ ｔ ，∈ ０， ，
答案 ＡＤ 对于选项 因为ａ ｂ 则 ４
Ａ， ， ∈（０，＋∞）， ａ ＋ ｂ ≥ ( ]
ｙ ｔ １ 在 １ 上单调递减
ｂ ａ ｂ ａ ∵ ＝ ＋ ｔ ０， ，
当且仅当 即ａ ｂ时取等号 即选项 ４
２ ａ · ｂ ＝２， ａ ＝ ｂ ， ＝ ，
ｙ １ １ １７．所以 中的结论错误
正确 ∴ ≥ ＋ ＝ Ｂ ，
Ａ ； ４ １ ４
对于选项 当ｘ ｙ 时 ｘ ｙ ｘ ｙ ４
Ｂ， ， ∈（０，１） ，ｌｇ ，ｌｇ ∈（－∞，０），ｌｇ ＋ｌｇ
ｘ ｙ显然不成立 即选项 错误 由 （ ａ ＋ ｂ ） ２ ≤２（ ａ ＋ ｂ ）＝２ 得 ａ ＋ ｂ ≤ ２，
≥２ ｌｇ ·ｌｇ ， Ｂ ；
所以 中的结论成立
Ｃ ，
对于选项 Ｃ， 当 ａ ＜０ 时 ， ４ ａ ＋ ａ ≥４ 显然不成立 ， 即选项 Ｃ ( ) ｂ ａ
由已知得 ４ ９ ４ ９ ａ ｂ ４ ９
ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ （ ＋ ）＝１３＋ ａ ＋ ｂ ≥１３＋２ ３６
错误
；
ｂ ａ
ｙ ｘ ｘ ｙ 当且仅当４ ９ 时取等号 所以 中的结论成立 故
对于选项 ｘｙ 则 则 ＝２５， ａ ＝ ｂ ， Ｄ ，
Ｄ， ＜０， － ｘ ＞０，－ ｙ ＞０， ｙ ＋ ｘ ＝ －
选 ．
[( ｘ ) ( ｙ )] ( ｘ ) ( ｙ ) ＡＣＤ
－ ｙ ＋ － ｘ ≤－２· － ｙ × － ｘ ＝－２， 三、填空题
当且仅当
ｘ ｙ
即ｘ ｙ时取等号 即选项 正确 故
１５．（２０２１天津南开二模，１４）已知ａ
＞０，
ｂ
＞０，
ａ
＋２
ｂ
＝１，
则ａ２
＋４
ｂ２
－ ｙ ＝－ ｘ ， ＝－ ， Ｄ ，
１ 的最小值是 ．
选 ． ＋ ａｂ
ＡＤ ４
１３．（２０２１届山东青岛期初调研，１１）若ａ ｂ ａ ｂ 则
＞０， ＞０， ＋ ＝２， 答案 ５
（ ） ２
３ ３８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
解析 ａ２ ｂ２ １ ａ ｂ ２ ａｂ １ ａｂ １ ．令ｔ 因为ａ ｂ 所以 ｂ ３ ａ ｂ ３ ａ 当且仅当
＋４ ＋ ａｂ＝（ ＋２ ） －４ ＋ ａｂ＝１－４ ＋ ａｂ ＝ ＞０， ＞０， ａ＋ ｂ ＋３≥２ ａ· ｂ ＋３＝５，
４ ( ４ ] ４ ３ ３
ｂ ａ ｂ
ａｂ ａ ｂ ａｂ ａｂ １ 当且仅当 ａ ｂ ３ 即ａ １ ｂ ３ 时等号成立 即 ３ 的最小值为 ．
４ ，∵１＝ ＋２ ≥２ ２ ⇒４ ∈ ０， ， ＝２ ａ＝ ｂ ， ＝ ， ＝ ， ａ＋ ｂ ５
( ] ２ ３ ４ ４ ３
ｂ
时 成立 ｔ １ 原式 ｔ １ ｙ ｔ １ 在 思路分析 利用“ ”的代换，将所求式子变形为
，“＝” ，∴ ∈ ０， ， ＝１－ ＋ ｔ ，∵ ＝１－ ＋ ｔ １ ａ＋
( ] ２ ３
（ａ ｂ）
１ 上单调递减 ｔ １ １ ５ ． ３ ＋ ，然后利用基本不等式即可求出最小值．
０， ，∴１－ ＋ ｔ ≥１－ ＋２＝ ｂ
２ ２ ２
１６．（２０２１天津耀华中学一模，１４）已知实数ｘ ｙ满足ｘｙ ｘ ｙ ｘ
， ＝４ ＋ （ １８．（２０２１浙江新高考研究卷（三），１６）已知ａ ｂ 则 １
ｙ 则４ ｘ ＋ ｙ ＋４的最小值是 ． ， ＞０， ａ２ ＋
＞０， ＞０）， ｘｙ ＋１
ａｂ
２ 的最大值为 ．
答案
５ １＋
ａ２
＋
ｂ２
解析 ｘ ｙ ｘｙ ｘ ｙ ｘｙ 当且仅当 ｘ ｙ时 答案
∵ ＞０， ＞０，∴ ＝４ ＋ ≥４ ， ４ ＝ ２
ｘ ｙ ｘｙ ａｂ ａ
成立 令ｔ ｘｙ 则ｔ２ ｔ ｔ ４ ＋ ＋４ ＋４ ４ 解析 １ ２ １ ２ １
“＝” ， ＝ ， ≥４ ⇒ ≥４， ｘｙ ＝ ｘｙ ＝ ｘｙ＋ ａ２
＋１
＋
１＋
ａ２
＋
ｂ２ ＝ ａ２
＋１
＋
１＋
ａ２
ｂ
≤ ａ２
＋１
＋
ｂ ＋
ｘｙ ｔ ４ ｔ ｙ ｔ ４ 在 上单调递增 ｔ
＝ ＋ ｔ （ ≥４），∵ ＝ ＋ ｔ ［４，＋∞） ，∴ ＝４
ａ ａ ａ
２ ＋１ ２
１７．
时
（２ ， ０
ｙ
２ ｍ １ ｉｎ 江 ＝５ 西
．
五市九校联考，１４）若正实数ａ ｂ满足ａ ｂ 则 １＋ ａ２ ｂ
＝
ａ２ ＋１
＝ １＋ａ２
＋１
≤ ２，
， ＋ ＝１， ２ ｂ ·
ｂ
３ 的最小值为 ．
{ａ
ａ＋ ｂ 当且仅当 ＝１，时取等号．
３ ｂ
答案 ＝ ２
５
ｂ ｂ ａ ｂ ｂ ａ
解析 因为ａ ｂ 所以 ３ ３（ ＋ ） ３
＋ ＝１， ａ＋ ｂ ＝ ａ＋ ｂ ＝ ａ＋ ｂ ＋３，
３ ３ ３
学生用书Ｐ１２１
１．（２０２１ ５·３原创题）如图所示 在边长为 业废水 需制造一个高为 米的无盖长方体过滤装置箱 如
， ， １ （
的正方形ＡＢＣＤ中 Ｅ为ＣＤ的中点 ＡＥ 图 ．废水从Ａ孔流入 经沉淀后从Ｂ孔流出 设箱体的长度为
２ ， ， ） ， ，
交ＢＤ于 Ｆ．若→ＡＦ ＝２ ｘ→ＡＢ ＋３ ｙ Ａ→Ｄ ， 设正实
ａ米
，
宽度为ｂ米
，
已知流出的废水中该种有害杂质的质量分
数与 ａ ｂ 成正比 现有制箱材料 平方米 则当ａ ｂ各为
数ｍ ｎ满足 ｍｘ ｎｙ 则 １ ２ 的最 ｌｇ（ ＋ ） ， ４５ ， ，
， ６ ＋９ ＝１， ｍ＋ ｎ 米时 经沉淀后流出的水中该种有害杂质的质量分
，
小值为 数最小 Ａ Ｂ孔的面积忽略不计 ．
（ ） （ 、 ）
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．９
１． 答案 Ｄ
２．（２０２１５·３原创题）已知二次不等式ａｘ２ ｘ ｂ 的解集为
＋２ ２ ＋ ＞０
{ }
ｘ ｘ ２ 则ｓ ａ２ ｂ２ ａ ｂ 的最小值为
≠－ ａ ， ＝ ＋ －２（ ＋ ） （ ）
５． 答案
Ａ．２－４ ２ Ｂ．２＋４ ２ Ｃ．４－４ ２ Ｄ．４＋４ ２ ５，５
２． 答案 Ｃ
３．（２０２１５·３原创题）已知正数ａ ｂ满足 ａ ｂ ａｂ 若不等式ａ
， ９ ＋ ＝ ， ＋
ｂ ｘ２ ｘ ｍ对任意ｘ 恒成立 则实数ｍ的取
≥－ ＋４ ＋１８－ ∈（－∞，０］ ，
值范围为
（ ）
Ａ．［６，＋∞） Ｂ．（－∞，６］ Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．（－∞，２］
３． 答案 Ｃ
４．（多选题）（２０２１ ５·３原创题）若ａ ｂ 且ａｂ ａ ｂ 则下列
， ＞０ ＝ ＋ ＋３，
选项正确的有
（ ）
ａｂ ａ ｂ
Ａ． ≥９ Ｂ． ＋ ≥６
１ １ ２ １ １
Ｃ． ａ ＋ ｂ ≥ Ｄ．ａ ＋ｂ ≥１
３ －１ －１
４． 答案 ＡＢＣＤ
５．（２０２１ ５·３原创题）某化工厂为处理含有某种有害杂质的工
