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目录
第1 讲
微积分·····································1
第2 讲
抛体运动·································11
第3 讲
圆周运动进阶····························19
第4 讲
能量进阶································27
第5 讲
碰撞······································39
第6 讲
类碰撞与斜碰撞·························49
第7 讲
期中复习·································59
第
讲
1
1
微积分
Part 1
导数
Part 2
导数与函数
Part 3
定积分初步
2
Part 1
导数
知识点睛
一、导数的概念
1. 平均变化率：已知函数y = f(x) 在点x = x0 及其附近有定义，令∆x = x −x0，∆y = y −y0 = f(x) −f(x0) =
f(x0 +∆x)−f(x0)，则当∆x̸ = 0 时，比值f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
= ∆y
∆x 叫做函数y = f(x) 在x0 到x0 +∆x 之间的平均变
化率．
2. 瞬时变化率：如果当∆x 趋近于0 时，平均变化率f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
趋近于一个常数l，则数l 称为函数
f(x) 在点x0 的瞬时变化率．可用符号记为：当∆x →0 时，f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
→l．还可以说：当∆x →0 时，函数平
均变化率的极限等于函数在x0 的瞬时变化率l，记作：lim
∆x→0
f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
= l．
3. 导数：函数在x0 的瞬时变化率，通常就定义为f(x) 在x = x0 处的导数．并记作f ′ (x0) 或y′|x=x0．可以写为：
lim
∆x→0
f(x0 +∆x)−f(x0)
∆x
= f ′(x0)
4. 导函数：如果f(x) 在开区间(a,b) 内每一点x 导数都存在，则称f (x) 在区间(a,b) 可导，这样，对于开区间
(a,b) 内的每个值x，都对应一个确定的导数f ′ (x)，于是在区间(a,b) 内构成一个新的函数，我们把这个函数称为
函数y = f(x) 的导函数，记为f ′ (x)．
二、导数的运算
1. 基本初等函数的导数公式表
（1）若f (x) = C（C 为常数），则f ′ (x) = 0；
（2）若f (x) = xα(α ∈Q∗)，则f ′ (x) = αxα−1；
（3）若f (x) = ax，则f ′ (x) = ax lna；特别地，若f (x) = ex，则f ′ (x) = ex；
（4）若f (x) = logax，则f ′ (x) =
1
xlna；特别地，若f (x) = lnx，则f ′ (x) = 1
x；
（5）若f (x) = sinx，则f ′ (x) = cosx；
（6）若f (x) = cosx，则f ′ (x) = −sinx．
2. 导数的四则运算法则：其中f(x)g(x) 都是可导函数，C 为常数：
（1）[f(x)±g(x)]′ = f ′(x)±g′(x)；
推广：(f1 ± f2 ±···± fn)′ = f1′ ± f2′ ±···± fn′
（2）[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x)+ f(x)g′(x)；[C f(x)]′ = C f ′(x)；
推广：(f1 · f2 ····· fn)′ = f1′ · f2 ····· fn + f1 · f2′ ····· fn +···+ f1 · f2 ····· fn′
第1 讲
3
（3）
[ f(x)
g(x)
]′
= f ′(x)g(x)−f(x)g′(x)
g2(x)
（g(x)̸ = 0）．
3. 复合函数求导：对于可导函数y = f(u),u = u(x)，fx′ = d f
dx = d f
du · du
dx = fu′ux′．
推广：[f (g(h(x)))]′ = f ′ (g(h(x)))g′ (h(x))h′ (x)
1.1 导数的几何意义
lim
∆x→0
f (x0 +∆x)−f (x0)
∆x
= 切线AD 的斜率．
即曲线y = f (x) 在点(x0, f (x0)) 处的切线斜率等于f ′ (x0)．
精讲精练
【例1】已知函数f (x) = 2x2 −4 的图象上一点(1,−2) 及邻近一点(1+∆x,−2+∆y)，则∆y
∆x 等于（ ）
A. 4
B. 4∆x
C. 4+2∆x
D. 4+2(∆x)2
【例2】一物体运动过程中位移h(米) 与时间t(秒) 的函数关系式为h = 1.5t −0.1t2，当t = 3 秒时的瞬时速度
是
(米/秒)．
4
【例3】函数f (x) 的图象如图所示，下列结果正确的是（ ）
A. 0 < f ′ (x1) < f ′ (x2) < f (x2)−f (x1)
x2 −x1
B. 0 < f ′ (x2) < f (x2)−f (x1)
x2 −x1
< f ′ (x1)
C. 0 < f ′ (x2) < f ′ (x1) < f (x2)−f (x1)
x2 −x1
D. 0 < f (x2)−f (x1)
x2 −x1
< f ′ (x1) < f ′ (x2)
【例4】求y = x3 +3x2 +6x−10 的导数y′ =
．
【例5】已知函数f (x) = x2 +sinx
x
，则该函数的导函数f ′ (x) 等于（ ）
A. 2x+cosx
x2
B. 2x−cosx
C. 2x+xcosx−sinx
x2
D. x2 +xcosx−sinx
x2
第1 讲
5
Part 2
导数与函数
知识点睛
2.1 函数单调性与导数的关系
如果函数y = f (x) 在x 的某个开区间内，总有f ′ (x) > 0，则f (x) 在这个区间上是增函数；
如果函数y = f (x) 在x 的某个开区间内，总有f ′ (x) < 0，则f (x) 在这个区间上是减函数
2．利用导数求函数的极值(点)
若函数在定义域内可导，则求解其极值(点) 的步骤如下：
（1）确定函数定义域；
（2）求导数f ′ (x)；
（3）在定义域内求方程f ′ (x) = 0 的根；
（4）检查f ′ (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x) 在这个根处取得极大值，对应根为极大值
点；如果左负右正，那么f (x) 在这个根处取得极小值，这个根为极小值点；如果左右同号，那么f (x) 在这个根处不
取极值．
精讲精练
【例6】设f ′ (x) 是函数f (x) 的导函数，y = f ′ (x) 的图象如图所示，则y = f (x) 图象可能为（ ）
6
【例7】函数f (x) 的定义域为开区间(a,b)，导函数f ′ (x) 在(a,b) 内的图象如图所示，则函数f (x) 在开区间(a,b)
内有极小值（ ）
A. 2 个
B. 1 个
C. 3 个
D. 4 个
第1 讲
7
Part 3
定积分初步
知识点睛
1. 定积分的概念
一般地，设函数f(x) 在区间[a,b] 上连续，用分点a = x0 < x1 < x2 < ··· < xi−1 < xi < ··· < xn = b 将区间[a,b]
等分成n 个小区间，每个小区间长度为∆x(∆x = b−a
n
)，在每个小区间[xi−1,xi] 上取一点ξi(i = 1，2……n)，作和
式:Sn =
n
∑
i=1
f(ξi)∆x =
n
∑
i=1
b−a
n
f(ξi)
如果∆x 无限接近于0(亦即n →+∞) 时，上述和式Sn 无限趋近于常数S，那么称该常数S 为函数f(x) 在区间
[a,b] 上的定积分. 记为:S =
∫b
a f(x)dx
其中f(x) 成为被积函数，x 叫做积分变量，[a,b] 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限.
说明:
（1）定积分
∫b
a f(x)dx 是一个常数，即Sn 无限趋近的常数S(n →+∞时) 称为
∫b
a f(x)dx，而不是Sn.
（2）用定义求定积分的一般方法是:
①分割:n 等分区间[a,b]；
②近似代替: 取点ξi ∈[xi−1,xi]；
③求和:
n
∑
i=1
b−a
n
f(ξi)；
④取极限:
∫b
a f(x)dx = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (ξi)b−a
n
.
（3）曲边图形面积:S =
∫b
a f (x)dx；变速运动路程S =
∫t2
t1 v(t)dt；变力做功W =
∫b
a F(r)dr.
2. 定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,b] 上函数f (x) 连续且恒有f (x) ⩾0，那么定积分
∫b
a f (x)dx 表示由直线x = a，
x = b(a̸ = b)，y = 0 和曲线y = f (x) 所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分
∫b
a f (x)dx 的几何意义.
8
说明:
一般情况下，定积分
∫b
a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x) 的图形以及直线x = a,x = b 之间各部分面
积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.
分析: 一般的，设被积函数y = f(x)，若y = f(x) 在[a,b] 上可取负值.
考察和式f (x1)∆x+ f (x2)∆x+···+ f(xi)∆x+···+ f (xn)∆x
不妨设f(xi), f(xi+1),··· , f(xn) < 0
于是和式即为f (x1)∆x+ f (x2)∆x+···+ f(xi−1)∆x−{[−f(xi)∆x]+···+[−f (xn)∆x]}
所以
∫b
a f(x)dx = 阴影A 的面积—阴影B 的面积(即x 轴上方面积减x 轴下方的面积).
3. 微积分基本定理
一般地，如果f (x) 是区间[ab] 上的连续函数，并且F′ (x) = f (x)，那么
∫b
a f(x)dx = F (b)F (a). 这个结论叫做微
积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 可以把F (b)−F (a) 记为F (x)|b
a，即
∫b
a f(x)dx = F (x)|b
a = F (b)−F (a).
4. 奇偶函数的定积分
我们知道若函数是奇函数，则其但函数为偶函数；若函数为偶函数，则其导函数为奇函数，于是根据积分与导
数的关系，函数在其对称区间上积分时有如下结论:
（1）若函数f (x) 为偶函数，则不含常数项的原函数F (x) 为奇函数，
∫a
−a f(x)dx = F (x)|a
−a = F (a)−F (−a) =
2F (a)；
（2）若函数f (x) 是奇函数，则不含常数项的原函数F (x) 为偶函数，
∫a
−a f(x)dx = F (x)|a
−a = F (a)−F (−a) = 0；
这两个结论在定积分计算时往往有妙用.
5. 定积分的运算性质
（1）
∫b
a k f(x)dx = k
∫b
a f(x)dx (k 为常数).
（2）
∫b
a [f1 (x)± f2 (x)]dx =
∫b
a f1(x)dx±
∫b
a f2(x)dx.
（3）
∫b
a f(x)dx =
∫c
a f(x)dx+
∫b
c f(x)dx(a < c < b).
精讲精练
【例8】若a =
∫2
0 x2dx，b =
∫2
0 x3dx，c =
∫2
0 sinxdx，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A. a < c < b
B. a < b < c
C. c < b < a
D. c < a < b
第1 讲
9
【例9】
∫4
2
1
xdx 等于（ ）
A. −2ln2
B. 2ln2
C. −ln2
D. ln2
【例10】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t) = 7−3t + 25
1+t (t 的单位：s，v 的单
位：m/s ) 行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m) 是（ ）
A. 1+25ln5
B. 8+25ln 11
3
C. 4+25ln5
D. 4+50ln5
第
讲
2
11
抛体运动
Part 1
平面斜抛运动
Part 2
复杂抛体运动
12
Part 1
平面斜抛运动
知识点睛
我们已经学过自由落体、竖直上抛、平抛等运动，它们都是物体只在重力作用下的运动，只是初速度的方向有
所不同。在实际情景中，物体不一定是向上或水平抛出的，更多的可能是斜向上或斜向下抛出的。这种运动称为斜
抛运动。
处理斜抛运动时，同样采取运动分解的方法来研究。一般情况下，选取抛出点为坐标原点，物体运动的水平方
向为x 轴建立坐标系，如图所示。
设物体初速度v0 方向与x 轴正方向之间的夹角为θ，把初速度v0 分解为沿水平方向v0x = v0 cosθ 和竖直方
向的v0y = v0 sinθ。
在水平方向上，物体不受力，做匀速直线运动；在竖直方向上，物体受重力作用，做初速度为v0y 的竖直上抛运
动。由此可以得到斜抛运动的规律：
（1）速度公式
水平方向：vx = v0 cosθ
竖直方向：vy = v0 sinθ −gt
设合速度与水平方向夹角为α，则tanα = vy
vx
，合速度大小为v =
√
v2x +v2y。
（2）位移公式
水平方向：x = vxt = v0t cosθ
竖直方向：y = v0t sinθ −1
2gt2
设合位移与水平方向夹角为β，则tanβ = y
x，合位移大小为s =
√
x2 +y2。
根据任一时刻的位置公式消去时间可以得到斜抛的轨迹方程y = xtanθ −
g
2v2
0 cos2 θ x2
这个轨迹是一条抛物线．运用数学知识可以确定抛体运动的范围，寻找射中目标所必须满足的条件，等等。
（3）射高和射程
在斜抛运动中，轨迹最高点的高度Y 叫做射高；物体被抛出的地点到落地点的水平距离X 叫做射程；做斜抛
运动的物体从被抛出到落地所用的时间T，叫做飞行时间。利用竖直上抛运动的知识就可以求出飞行时间
T = 2v0 sinθ
g
第2 讲
13
最大射高
Y = v2
0 sin2 θ
2g
将飞行时间T 代入公式位移公式，可以求出射程为
X = v2
0 sin2θ
g
从射程的表达式可以看出，当θ = 45◦时，sin2θ = 1，射程达到最大值，如果两个抛射角互为余角，二者的射程
也相同。
抛体运动的研究应注意以下两点：
（a）水平方向的运动与竖直方向的运动具有等时性；
（b）从轨道的最高点将抛体运动分为前、后两个运动阶段，其运动特点具备对称性。
精讲精练
【例1】从某高处以6m/s 的初速度、以30◦抛射角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为
60◦，求：
（1）石子在空中运动的时间。
（2）石子的水平射程。
（3）抛出点离地面的高度。(忽略空气阻力，g 取10m/s2)
14
【例2】如图所示，将一篮球从地面上方B 点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A 点，不计空气阻力，若抛射点B
向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A 点，则可行的是（ ）
A. 增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ
B. 增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C. 减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ
D. 增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
【例3】如图所示，有一完全弹性的光滑水平面，在该平面的A 点处，以初速度v0 斜抛出一个完全弹性的小球。若
忽略空气阻力，试讨论当抛射角θ 满足什么条件时，能使小球最后恰好落到与A 点相距为s 的小孔B 中。
第2 讲
15
【例4】如图所示，小球从台阶上以一定初速度水平抛出，恰落到第1 级合阶边缘，反弹后再次落下，经0.3s 恰落
至第3 级台阶边缘，已知每级台阶宽度及高度均为18cm，取g = 10m/s2。且小球反弹时水平速度不变，而竖直速
度反向，大小变为原速度大小的1
4。
（1）求小球抛出时的高度及距第1 级台阶边缘的水平距离。
（2）小球是否会落到第5 级台阶上？说明理由。
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Part 2
复杂抛体运动
知识点睛
题目中可能会出现比较复杂的抛体运动，比如有高度差的抛体运动以及在斜面上的抛体运动。这类问题用常
规方法处理较为吃力，这里介绍另外两种抛体运动的研究方法。
1. 如图所示，将斜抛运动分解为初速度v0 方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由落体运动。两图分别为
速度和位移的分解。
2. 研究在斜面上的抛体运动时，将速度分解为沿斜面和垂直斜面的两个分速度，同时把重力加速度g 也分解
为沿斜面和垂直斜面的两个分量，在两个方向上物体都做匀变速直线运动。
精讲精练
【例5】推铅球是高中体育课程中的一个项目，下面我们来讨论一下出手角度为多大时，能将铅球投掷得更远。假
设情景如下：推铅球时，抛出点距地面高度为h，铅球出手的初速度为v0，与水平方向夹角为α，求α 取什么值时，
铅球落地的距离最远。
第2 讲
17
【例6】如图所示，A、B 为倾角为θ 的斜面，小球从A 点以初速度v0 (方向与斜面成α 角) 抛出，恰好落到斜面底
端的B 点，不计空气阻力，则A、B 两点间的距离为（ ）
A. v02 sinα cos(α −θ)
gcos2 θ
B. 2v02 cosα cos(α −θ)
gcos2 θ
C. 2sinα cos(α −θ)v02
gcos2 θ
D. 2v02 sinα cos(α −θ)
gsin2 θ
【例7】如图所示，从A 点以v0 的初速度抛出一个小球，在离A 点水平距离为s 处有一堵高度为h 的墙BC，要求
小球能越过B 点。问小球以怎样的角度抛出，才能使v0 最小？
18
【例8】大炮在山脚直接对着倾角为α 的山坡发射炮弹，炮弹初速度为v0，要在山坡上有尽可能远的射程，则大
炮的瞄准角为多少？最远射程为多少？
【例9】二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v0 沿各种角度发射炮弹，求飞机在
哪一区域之外飞行时不会有危险。换句话说，求一条曲线，这个曲线包围了所有可能被打到得范围(这条曲线叫做
包络线)。
第
讲
3
19
圆周运动进阶
Part 1
曲率半径
Part 2
复杂圆周运动
20
Part 1
曲率半径
知识点睛
一般物体的曲线运动，我们亦可以用研究圆周运动的方法对运动过程中的某一点进行研究，当我们把曲线运
动分成一段一段的、很短的部分时，那么每一段都可以看作一段很短的圆弧，只要将曲线分得足够短，那么这种近
似就足够得好．
所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧线，当这段弧极小时，可以把它看作
某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径，此圆通常称为曲率圆，它是所有在该点与圆弧相切的圆
中最大的圆．如图中，曲线在A 点的曲率半径为RA，在B 点的曲率半径为RB，我们不难理解，较平坦的曲线的曲
率半径较大，较弯曲的曲线的曲率半径较小．
质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度an，可以证明
an = v2
R ，v 为质点在该点的速度大小，R 为轨道曲线在该点的“曲率半径”．在中学阶段，确定曲线上某点的曲率半
径的方法有两种：一是数学方法，通过某种方法找到曲率圆上某段圆弧∆s 所对应的圆心角∆θ，然后利用圆的半径
的定义式R = ∆s
∆θ ，即可得该处的曲率半径；二是利用物理方法，通过力学手段求出质点以某一速度，沿曲线运动至
该处时的法向加速度an，再利用an = v2
R ，即可求出该处的曲率半径．
第3 讲
21
精讲精练
【例1】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同
半径的小圆弧来代替。如图1 所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一
圆，在极限情况下，这个圆就叫作A 点的曲率圆，其半径ρ 叫作A 点的曲率半径。现将一物体沿与垂直方向成α
角的方向以速度v0 抛出，如图2 所示，则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是（ ）
A. v02
g
B. v02sin2α
g
C. v02cos2α
g
D. v02cos2α
gsinα
【例2】有一等距螺旋线，螺旋半径为R，螺距为h，如图所示，求在任一点处的曲率半径。
22
【例3】如图所示，一物体做初速度为v0 的平抛运动，它的轨迹是半支抛物线，求在抛物线上任一点处的曲率半
径(重力加速度记为g)。
【例4】如图所示，质点运动的椭圆轨道方程为x2
a2 + y2
b2 = 1，试求A(a,0)、B(0,b) 两点的曲率半径。
第3 讲
23
Part 2
复杂圆周运动
知识点睛
做圆周运动的质点在任意时刻与圆心间的距离R（半径）恒定，它在任意位置的速度方向总是沿圆周的切线
方向，对圆周运动的定量描述一般用R（半径）、v（线速度）或ω（角速度）．v 或ω 不变的圆周运动被称为匀
速圆周运动，这里的匀速是匀速率的意思，我们应领会匀速圆周运动并不是一种匀速运动，因为速度的方向时时在
变；同时，它也不是一种匀变速运动，因为加速度的方向也时时在变．速度大小变化的圆周运动被称为变速圆周运
动．可以证明，不论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，均存在着一个向心加速度
an = v2
R = ω2R = ωv
对于变速圆周运动，除了有向心加速度an 外，还存在切向加速度，其大小为at = ∆v
∆t ，这里的∆v
∆t 实质上是速
率的变化率．质点做变速运动的合加速度为
−→a = −→
an +−→
at
其大小a =
√
a2n +a2t ，事实上，an 描述的是质点运动方向的改变，at 描述的是质点运动速度大小的改变．由此
可以看出，我们对圆周运动的研究可以从径向（半径方向）与切向两个方向进行．
24
精讲精练
【例5】汽车从某处启程，均匀加足速度，沿半径R = 100m 和α = 30◦的圆弧的水平路线行驶。求汽车可以进入
道路直线段的最大速度。轮胎与路面摩擦因数µ = 0.3。
【例6】如图所示，质量为M 的光滑半圆形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半径为R，质量为m 的小球从凹槽的
左侧最高点由静止释放，求当小球滑至凹槽的最低点时，小球对凹槽的压力。
第3 讲
25
【例7】若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如
图所示。月球变化的周期为29.5 天(图示是相继两次满月时，月、地、日的相对位置示意图)。
求：月球绕地球一周所用时间T(因月球总是一面朝向地球，故T 恰是月球自转周期)。
(提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法。)
【例8】如图所示，光滑的半球形圆拱的半径为R，一小球位于半球面上的θ 角处。为使小球刚好能落入拱顶的
小洞，给小球以向上的切向初速v，试问v 至少应为何值？
若小球在水平面上，欲使小球恰好落入拱顶的小洞中，求小球的最小初速度及抛出点距O 的距离。
26
【例9】如图所示，3 个质量均为m 的弹性小球用两根长均为L 的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上，现
给中间的小球B 一个初速度v0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求当3 个小球处
在同一直线上时，绳中的拉力F 的大小。
【例10】如图所示，在水平桌面上固定一个轮轴A，轮半径为r，其边缘绕有一条足够长的质量不计的细绳，绳端
系住一木块B，已知木块与桌面滑动摩擦因数为µ，当轮轴A 以匀角速度ω 旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳
定状态后，B 与A 的角速度相同。
（1）此时木块B 的旋转半径R 为多大？
（2）当摩擦因数µ 与轮半径r 为定值时，若欲保持上述稳定状态，则角速度ω 必须满足什么条件？
第
讲
4
27
能量进阶
Part 1
引力势能
Part 2
平衡的种类
Part 3
功能原理
Part 4
能量综合问题
28
Part 1
引力势能
知识点睛
由于受地球重力，地球表面的物体存在着重力势能。然而，万有引力定律告诉我们，距离地表越远，受到地球
的万有引力也越小，用于计算重力势能的公式∆Ep = mg∆h 仅仅适用于重力不变的情况，显然不能用于计算离地
球较远的物体的重力势能。
实际上，我们把在万有引力作用下物体间蕴含的势能称为引力势能，重力势能仅仅是引力势能在星球表面的
体现。下面来推导引力势能的表达式。
在计算重力势能时，需要人为规定一个参考平面，物体在参考平面高度时具有的重力势能定为0。但是对于引
力势能，统一规定：当两个物体相距无穷远时，他们之间的引力势能为0。而两个物体相距越近，他们之间的引力
势能就越小，因此在有限的空间内，两物体间的引力势能总是负的。
因为引力的大小与两物体间的距离有关，是变力，所以需要使用微积分计算引力势能。设两物体质量分别为
M、m，它们质心之间的距离为R，现在把质量为M 的物体固定住，只要计算出将质量为m 的物体缓慢移动到无穷
远处的过程中万有引力做的功，就可以求出两物体间的引力势能。当两物体间的距离为r 时，万有引力为−GMm
r2
。
对于每一段微小的位移∆r，万有引力做功为∆W = −GMm
r2
∆r，把它作为积分微元，则整个过程万有引力做的功为
W =
∫∞
R −GMm
r2
dr = GMm
r
|∞
R= 0−GMm
R
= −GMm
R
又W = ∆Ek +∆Ep，故相距为R 的两个物体之间的引力势能为E = −GMm
r
知识点睛
第4 讲
29
1. 第一宇宙速度
人造卫星围绕地球运动，则有GMm
r2 = mv2
r ，当物体在地球表面附近环绕地球运转时，由rmin ≈R，则GMm
R2 =
mv2
R ，得v =
√
GM
R =√gR ≈7.9km/s ，这便是地球表面附近卫星的运行速度，称为第一宇宙速度。
2. 第二宇宙速度
在地面附近发射人造卫星，如果发射速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，那么它绕地球运行的轨迹将是椭
圆。当发射速度等于或大于11.2km/s 时，卫星会克服地球的引力而永远离开地球，我们把11.2km/s 叫做第二宇宙
速度。第二宇宙速度的表达式是v2 =
√
2GM
R
，这是因为想要使卫星脱离地球引力的束缚，必须让其具有的动能和
引力势能之和大于0，即1
2mv2 −GMm
R
≥0。
3. 第三宇宙速度
达到第二宇宙速度的人造卫星还受到太阳的引力。在地面附近发射一颗人造卫星，要使它挣脱太阳引力的束
缚，飞到太阳系外，必须使其速度等于或大于16.7km/s，这个速度叫做第三宇宙速度。
精讲精练
【例1】质量为m 的行星在质量为M 的恒星引力作用下，沿半径为r 的圆轨道运行，要使该行星的轨道半径增大
1%，外界要做多少功(行星在恒星引力场中的势能为Ep = −GMm
r
，其中G 为引力常量)？
30
【例2】在真空中，质量分别为m1 和m2 的两个小球，只受万有引力作用，某个时刻，两球相距r0，m1 的速度为v0，
方向指向m2；m2 的速度为v0，速度垂直于两球球心连线。问：当速度v0 满足什么关系时，两个小球的间距可以为
无穷远？
【例3】已知月球质量约为地球质量的百分之一，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的六分之一。已
知地球上物体的逃逸速度为11.2km/s，则月球上物体的逃逸速度为（ ）
A. 5.6km/s
B. 4.52km/s
C. 2.24km/s
D. 1.13km/s
第4 讲
31
【例4】“嫦娥三号”在月面成功软着陆。该过程可简化为：距月面15km 时，打开反推发动机减速，下降到距月面
H = 100m 处时悬停，寻找合适落月点；然后继续下降，距月面h = 4m 时，速度再次减为零；此后关闭所有发动机，
自由下落至月面。
“嫦娥三号”质量为m （视为不变），月球质量是地球的k 倍，月球半径是地球的n 倍，地球半径
为R、表面重力加速度为g；月球半径远大于H，不计月球自转的影响。以下结果均用题中所给符号表示。
（1）求月球表面的重力加速度大小g。
（2）求“嫦娥三号”悬停时反推发动机的推力大小F，以及从悬停处到落至月面过程中所有发动机对“嫦娥三号”做
的功W。
（3）取无穷远处为零势能点，月球引力范围内质量为m 的物体具有的引力势能Ep = −GMm
r ，式中G 为引力常量，
M 为月球的质量，r 为物体到月心的距离。若使“嫦娥三号”从月面脱离月球引力作用，忽略其他天体的影响，
发射速度v0 至少多大？（用k、n、g、R 表示）
32
Part 2
平衡的种类
知识点睛
物体的平衡状态有稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡三种情况．平衡种类的判断一般有以下种方法：
1．受力分析法
处于平衡状态的质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后，如果所受的合外力指向平衡位置，此力有把它
拉回到原位置的倾向，则质点原来的平衡状态就是稳定的．反之，如果质点稍微偏离平衡位置后所受的合外力背离
平衡位置，则质点原来处于不稳定平衡．如果质点稍微偏离平衡位置后所受合外力仍为零，则质点处于随遇平衡．
2．力矩判断法
对于有转轴的刚性物体，当它受外界扰动而偏离平衡位置时，如果外力产生一个回复力矩，此力矩有把物体拉
回到原平衡位置的倾向，则称物体处于稳定平衡状态；如果外力引起一个推斥力矩，有把物体推离原平衡位置的倾
向，则称物体处于不稳定平衡；如果物体所受合力矩仍为零，则称物体处于随遇平衡．
3．能量判断法
能量越低越稳定。对于一个物体，当偏离平衡位置时，如果物体的总势能增加，则物体处于稳定平衡状态；如
果物体的总势能减小，则物体处于不稳定平衡状态；如果物体的总势能不变，则物体处于随遇平衡状态。
对受重力和支持力作用而平衡的物体判断其平衡种类时，可用重心升降法，若物体稍微偏离平衡位置，如其重
心升高，则为稳定平衡；若物体稍微偏离平衡位置后其重心降低，则为不稳定平衡；若物体偏离平衡位置后其重心
高度不变，则为随遇平衡．
第4 讲
33
精讲精练
【例5】如图所示，边长为a 的均匀立方体，平衡地放在一个半径为R 的圆柱面顶部。假设静摩擦因数很大，足以
阻止立方体下滑，试求立方体稳定平衡的条件。
【例6】儿童玩具“不倒翁”的高度h = 21cm，质量M = 300g，KD 为对称轴，不倒翁下部是一个半径为R = 6cm
的球的一部分，如图甲所示。若将不倒翁放在一个与水平面成α = 30◦角的粗糙斜面上，当对称轴KD 与竖直方向
成β = 45◦角时，不倒翁刚好处于平衡状态，如图乙所示。为了使它在水平面上失去稳定平衡，需要在其头顶K 处
固定些塑泥，求至少应加多少塑泥？
34
Part 3
功能原理
知识点睛
当求解一个力的大小时，我们可以让这个力沿某方向移动一段微小的位移x，如果可以求出这个力的功W，那
么这个力的大小就为F = W
x 。一般根据能量守恒原理去求这个力做的功，比如系统在力的作用下势能增加了∆E，
就有W = ∆E。
精讲精练
【例7】质量为m、长为l 的均匀光滑细绳，穿过半径为R 的光滑滑轮并搭在轮上(如图)。则绳上的最大张力为
。
第4 讲
35
【例8】如图所示，AO，CO，AD，BC，BO′′，DO′′ 为均匀钢片，可绕O，A，C，O′，B，D，O′′ 转运。由它们组成如图状铰
链，AB 与CD 两端分别用绳连接。O′′ 下挂重物M，若知钢片条AO，CO，BO′′，DO′′ 质量均为m，AD，BC 的质量为
2m。求静止时绳子中的张力。
36
Part 4
能量综合问题
知识点睛
在计算重力、弹簧弹力、万有引力做功时，我们发现这些力做功的大小，仅与初末位置有关，而于具体路径无
关。把做功与路径无关、只与初末位置有关的力称为保守力。不具有这种性质的力称为非保守力。比如摩擦力就是
一种非保守力，而且摩擦力是一种耗散力，摩擦力做功全部转化为内能。
如果一个系统中只有保守力做功，那么系统的机械能守恒。现阶段我们只讨论重力、弹簧弹力、万有引力、摩
擦力做功的情况。当摩擦力做功时，机械能转化为内能，或者说机械能以热量的形式耗散掉。虽然根据能量守恒定
律，这个过程中总能量是守恒的，但是系统的机械能减小了。如果题目中问的是系统的机械能减小多少，或者问产
生了多少内能，就可以通过摩擦力做功的方式进行计算。
需要注意，我们讨论能量守恒问题时仅限于孤立系统，如果外界向系统内输入能量或系统向外输出能量，那么
所研究系统的能量是不守恒的。
精讲精练
【例9】一小物体以100J 的初动能滑上斜面，当动能减少80J 时，机械能减少32J，则当物体滑回原出发点时动
能为多少?
第4 讲
37
【例10】如图所示，半径r = 1
3m 的两圆柱体A 和B，转动轴互相平行且在同一水平面内，轴心间的距离为s = 3.2m。
两圆柱体A 和B 均被电动机带动以6rad/s 的角速度逆时针转动。质量m = 5kg 且均匀分布的长木板无初速地水
平放置在A 和B 上，其重心恰好在B 的正上方。从木板开始运动计时。圆柱体转动两周后，木板不再受摩擦力的
作用，且仍沿水平方向运动。设木板与两圆柱体间的动摩擦因数相同。重力加速度g = 10m/s2，取π ≈3.0。
（1）圆柱体与木板间的动摩擦因数。
（2）从开始运动到重心恰在A 的正上方所需的时间。
（3）在圆柱体转动两周的过程中，发动机提供的能量至少是多少？
第
讲
5
39
碰撞
Part 1
弹性碰撞
Part 2
非弹性碰撞
Part 3
运动合理性
40
Part 1
弹性碰撞
知识点睛
碰撞(物体间作用时间极短的过程) 是生活中非常常见的现象，其中，我们拿两个物体碰撞的结果来看：有的物
体碰后分开了但都朝一个方向运动；有的物体碰后朝相反的方向运动；有的物体碰后则粘在一起(我们只研究碰撞
前后都在同一直线上运动的情况)。
1. 碰撞的分类
（1）弹性碰撞
碰撞前后动能没有损失，不仅动量守恒，而且初末动能之和相等。
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2
（2）完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v′
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2 (m1 +m2)v′2 +∆Ek 损max
（3）非弹性碰撞
是介于以上两个碰撞之间的碰撞，碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v12 + 1
2m2v22 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2 +∆Ek 损
【思考探究】
若两个物体发生碰撞，则上述各类碰撞中，那种碰撞前后各物体的速度变化量最大？
2. 弹性碰撞分析
根据弹性碰撞的动量、能量双守恒方程组
m1v1 +m2v2 = m1v′1 +m2v′2
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2m1v′1
2 + 1
2m2v′2
2
第5 讲
41
解得：
v
′
1 = (m1 −m2)v1 +2m2v2
m1 +m2
v
′
2 = (m2 −m1)v2 +2m1v1
m1 +m2
或可以写为：
v
′
1 = (m1 −m2)v1
m1 +m2
+ 2m2v2
m1 +m2
v
′
2 = (m2 −m1)v2
m1 +m2
+ 2m1v1
m1 +m2
由上式可以看出
（1）若m1 ≫m2，则v
′
1 ≈v1，v
′
2 ≈2v1 −v2，即m1 的速度几乎不变；特别的，若v2 = 0，即一开始时m2 静止，则
v
′
2 ≈2v1，碰撞后质量小的物体会接近质量大的球两倍的速度，而质量大的物体速度几乎不变。
（2）若m1 = m2，则v
′
1 = v2，v
′
2 = v1，即速度交换；特别的，若v2 = 0，则v
′
1 = 0。
（3）若m1 ≪m2，则v
′
1 ≈2v2 −v1，v
′
2 ≈v2，即m2 的速度几乎不变。特别的，若v2 = 0，则v
′
1 ≈−v1、v
′
2 ≈0，质
量小的物体以接近原速率被“弹回”，质量大的物体几乎不动。
精讲精练
【例1】下面关于碰撞的理解，正确的是（ ）
A. 碰撞是指相对运动的物体相遇时，在极短时间内它们的运动状态发生显著变化的过程
B. 在碰撞现象中，一般来说物体所受的外力作用不能忽略
C. 两物体发生碰撞后动能可以增加
D. 根据碰撞过程中动量是否守恒，碰撞可分为正碰和斜碰
【例2】A 球的质量是m，B 球的质量是2m，它们在光滑的水平面上以相同的动量运动，B 在前，A 在后，发生正碰
后，A 球仍朝原方向运动，但其速率是原来的一半，碰后两球的速率比vA : vB 为（ ）
A. 1
2
B. 1
3
C. 2
D. 2
3
42
【例3】现有甲、乙两滑块，质量分别为3m 和m，以相同的速率v 在光滑水平面上相向运动，发生了碰撞，已知碰
撞后，甲滑块静止不动，那么该碰撞是（ ）
A. 弹性碰撞
B. 非弹性碰撞
C. 完全非弹性碰撞
D. 条件不足，无法确定
【例4】质量分别为m1、m2 的A、B 两个小球在光滑水平面上发生弹性碰撞，碰撞前A 球的速度为v，B 球静止，
碰撞后A、B 两球速度大小分别为v1、v2，若v1 : v2 = 1 : 3，问m1、m2 的比值是多少？
【例5】如图所示，B、C、D、E、F，5 个球依次放置在光滑的水平面上，略有空隙，摆成一条直线。B、C、D、E，4 个球
质量相等，而F 球质量小于B 球质量，A 球的质量等于F 球质量。A 球以速度v0 向B 球运动，所发生的碰撞均为
弹性碰撞，则碰撞之后（ ）
A. 5 个小球静止，1 个小球运动
B. 4 个小球静止，2 个小球运动
C. 3 个小球静止，3 个小球运动
D. 6 个小球都运动
第5 讲
43
Part 2
非弹性碰撞
知识点睛
碰撞结束后，两物体共速，即粘贴在一起以同一速度共同运动，碰撞前后动量守恒，动能损失最大。
m1v1 +m2v2 = (m1 +m2)v′
1
2m1v2
1 + 1
2m2v2
2 = 1
2 (m1 +m2)v′2 +∆Ek 损max
解得：
v′ = m1v1 +m2v2
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
特别的，当v2=0，有：
v′ =
m1v1
m1 +m2
∆Ek 损max =
m1m2v2
1
2(m1 +m2)
44
精讲精练
【例6】用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块静止，如图所示，现有一质量为m 的子弹自左方水平
射向木块，并停留在木块中，子弹初速度为v0，则下列判断正确的是（ ）
A. 从子弹射向木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B. 子弹射入木块瞬间动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度为
mv0
M +m
C. 忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射入木块前的动能
D. 子弹和木块一起上升的最大高度为
m2v02
2g(M +m)2
【例7】如图所示，一根不可伸长的细绳一端固定在O 点，另一端连接一个质量为M 的沙摆。当沙摆以大小为v
的速度水平向右经过最低点A 时，第一颗子弹以大小为v0 的速度水平向右射入沙摆且未穿出。此后，每当沙摆经
过最低点A 时，都会有一颗子弹以大小为v0 的速度水平向右射入沙摆且均未穿出。若每颗子弹的质量为m，射入
沙摆后，沙摆的最大摆角均小于90◦，碰撞时间极短，不计空气阻力，则第三颗子弹射入沙摆后，沙摆在最低点A 的
速度大小为（ ）
A. mv0 −Mv
M +3m
B. mv0 +Mv
M +3m
C. 3mv0 −Mv
M +3m
D. 3mv0 +Mv
M +3m
第5 讲
45
【例8】如图所示，两个大小相等、质量均为1kg 的小球A、B 静止在光滑水平面上，现给小球A 水平向右的瞬时
冲量I = 2N·s，小球A 向右运动并与小球B 发生对心碰撞，两小球碰撞过程中系统的机械能损失可能为（ ）
A. 0.8J
B. 1.2J
C. 1.6J
D. 2J
【例9】如图所示，光滑水平地面上静止着A、B 两个相同的滑块，A 上固定一轻杆，杆上用轻绳在竖直方向悬挂一
个光滑的球C，球C 紧靠轻杆但与杆不粘连，对A 施加水平向右的瞬时冲量I = 6N·s，使A、C 从静止开始运动，A
向右滑动与静止在水平面上的B 碰撞，A、B 在极短时间内便粘在一起运动，此后运动过程中，绳子摆动均未超过水
平位置，已知A、B、C 质量均为m = 1kg ，取g = 10m/s2，求：
（1）A、B 碰撞结束瞬间A 的速度。
（2）小球第一次运动到最高点时上升的高度。
46
Part 3
运动合理性
知识点睛
碰撞过程要符合下列条件
1. 动量守恒：p1 + p2 = p′
1 + p′
2。
2. 动能不增加：Ek1 +Ek2 ⩾E′k1 +E′k2，或者p2
1
2m1
+ p2
2
2m2
⩾p
′
1
2
2m1
+ p
′
2
2
2m2
。
3. 速度要符合物理情境
（1）如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v后> v前，否则无法实现碰撞；
（2）碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度。即
v′
前⩾v′
后，否则碰撞没有结束；
（3）如果碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为
零。
第5 讲
47
精讲精练
【例10】冰壶运动深受观众喜爱，图1 为2014 年2 月第22 届索契冬奥会上中国队员投掷冰壶的镜头。在某次
投掷中，冰壶甲运动一段时间后与对方静止的冰壶乙发生碰撞，如图2。若两冰壶质量相等，则碰后两冰壶最终停
止的位置，可能是选项图中的哪几幅图？（ ）
【例11】甲、乙两球质量分别为1kg、4kg，在水平光滑轨道上向右匀速运动，速度大小分别为10m/s，5m/s，甲从
后面追上乙并发生碰撞，以向右为正方向，则碰撞后甲、乙速度可能是（ ）
A. 0，7.5m/s
B. −2m/s，7m/s
C. 8m/s，5.5m/s
D. 2m/s，7m/s
【例12】甲乙两球在水平光滑轨道上同方向运动，已知它们的动量分别是p1 = 5kg·m/s，p2 = 7kg·m/s，甲从后
面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kg·m/s，则两球质量m1 与m2 间的关系可能是（ ）
A. m1 = m2
B. 2m1 = m2
C. 4m1 = m2
D. 6m1 = m2
第
讲
6
49
类碰撞与斜碰撞
Part 1
类碰撞模型
Part 2
板块模型
Part 3
非对心碰撞
50
Part 1
类碰撞模型
知识点睛
1. 圆弧轨道模型
相互作用的两个物体在某些情况下可以当作碰撞问题处理，分析两物体相距“最远”
“最近”或上升到“最高点”
等临界状态，
“速度相等”是求解关键。
如图所示，光滑水平面上小球A 以速度v 滑上表面光滑的弧形滑块B，若A 恰好能到达B 的最高点，则此时A
和B 速度相同，系统的动能最小、重力势能最大，整个过程中系统的动量守恒、机械能守恒。
设A 的初速度为v，A，B 的质量分别为m1、m2，共速后速度分别为v
′
1、v
′
2，有：
v
′
1 = v
′
2 =
m1v
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
其中系统减少的动能转化为A 的重力势能。
A 继续运动，从最高点滑落至水平面，A、B 的速度分别为v
′′
1、v
′′
2，则
v
′′
1 = m1 −m2
m1 +m2
v1
v
′′
2 =
2m1
m1 +m2
v1
2. 弹簧模型
弹簧类问题多以轻质弹簧为载体，物理情景较复杂，考查物体的平衡、牛顿运动定律、能量的转化与守恒等知
识。
从受力分析出发，某时刻弹簧提供的弹力与其形变量相关，可运用牛顿运动定律求解。
从能量角度出发，弹性势能与其它形式的能量发生转化，根据能量的转化与守恒定律可求解弹性势能大小、弹
力做功大小等。
如图所示，光滑水平面上物块A 以速度v 撞击一端带有弹簧的静止物块B，则两物块相距最近时，速度必然相
等，此时弹簧最短、弹性势能最大，系统的动能最小，整个过程中系统的动量守恒、机械能守恒。
第6 讲
51
设A 的初速度为v，A，B 的质量分别为m1、m2，共速后速度分别为v
′
1、v
′
2，有：
v
′
1 = v
′
2 =
m1v
m1 +m2
∆Ek 损max = m1m2(v1 −v2)2
2(m1 +m2)
其中系统减少的动能转化为弹簧的弹性势能。
A 继续运动，弹簧恢复原长时，A、B 的速度分别为v
′′
1、v
′′
2，则
v
′′
1 = m1 −m2
m1 +m2
v1
v
′′
2 =
2m1
m1 +m2
v1
【思考探究】
如果A 与弹簧勾连，弹簧恢复原长后A、B 继续分离，弹簧伸长，则弹簧最长时A、B 的速度是多少？弹簧第二
次恢复原长时A、B 的速度是多少？
对比弹簧模型、圆弧轨道模型和碰撞模型，从初始状态到弹簧被压缩到最短(小球上升到最高点)，类似完全非
弹性碰撞，过程中系统的动能转化为弹性势能(重力势能)；从初始状态到弹簧再次回复原长(小球从轨道滑下并与
斜面分离)，类似于弹性碰撞，过程中系统的动能转化成弹性势能(重力势能) 又转化为动能。因此，弹簧模型和圆
弧轨道模型是两种“类碰撞”模型，与碰撞模型不同的是，上述的弹簧模型和圆弧轨道模型全过程中机械能守恒。
精讲精练
【例1】如图所示，光滑水平面上有一质量为M 的滑块，滑块的左侧是一光滑的圆弧，圆弧半径为R = 1m。一质
量为m 的小球以速度v0 向右运动冲上滑块。已知M = 4m，g 取10m/s2，若小球恰好到达1
4 圆弧的上端，求：
（1）小球的初速度v0 是多少？
（2）滑块获得的最大速度是多少？
52
【例2】如图所示，物体A 静止在光滑的水平面上，A 的左边固定有轻质弹簧，物体B 以速度v 向A 运动并与弹簧
发生碰撞，A、B 始终沿同一直线运动，质量分别为m1、m2，碰撞前后的过程中，弹簧的最大弹性势能是（ ）
A. 1
2m2v2
B.
m1m2v2
2(m1 +m2)
C.
m12v2
2(m1 +m2)
D.
m22v2
2(m1 +m2)
【例3】如图甲所示，一轻质弹簧的两端与质量分别为m1 和m2 的两物块A、B 相连接，并静止在光滑的水平面
上，现使A 获得水平向右，大小为3m/s 的瞬时速度，以此刻为计时起点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙
所示，从图象信息可得（ ）
A. 在t1、t3 时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都是处于压缩状态
B. 从t3 到t4 时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C. 两物块的质量之比为m1 : m2 = 1 : 2
D. 在t2 时刻A 和B 的动能之比为Ek1 : Ek2 = 1:8
【例4】如图所示，小车的上面是由中突的两个对称的曲面组成，整个小车的质量为m，原来静止在光滑的水平面
上。今有一个可以看作质点的小球，质量也为m，以水平速度v 从左端滑上小车，恰好到达小车的最高点后，又从另
一个曲面滑下。关于这个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 小球滑离小车时，小车又回到了原来的位置
B. 小球在滑上曲面的过程中，小车的动量变化大小是mv
2
C. 小球和小车作用前后，小车和小球的速度一定变化
D. 车上曲面的竖直高度不会大于v2
4g
第6 讲
53
Part 2
板块模型
知识点睛
板块模型的实质是两物体在一对作用力和反作用力作用下的运动，并通过做功实现不同形式能量之间的转
化。因此，可以从动量和能量的角度来去看这类问题。
如图所示，在光滑的地面上，木板M 与滑块m 所受合外力为0，组成的系统动量守恒，由于M 与m 之间存在
滑动摩擦，有一部分机械能损失，因此板块问题对应的是非弹性碰撞的情景，当m 相对M 滑行到一定距离时，M、
m 相对静止，二者速度相等，这时对应完全非弹性碰撞的情景。
动量守恒：mv = (m+M)v′，
能量守恒：1
2mv2 = 1
2(m+M)v′2 +Q，
功能关系：Q = f∆s(Q 为摩擦生热，∆s 为m 与M 间的相对路程)。
在“类碰撞”模型中，板块模型和“子弹打木块”模型的过程十分相似，都是系统机械能不守恒、动量守恒的物
理模型。下面我们以“子弹打木块”模型为例，详细讨论这种类碰撞问题。
设质量为m 的子弹，以初速度v0 射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在其中，设木块对子弹的
阻力恒为f。
1. 子弹、木块相对静止时的速度v
从动量的角度看，以m 和M 组成的系统为研究对象，根据动量守恒，mv0 = (M +m)v，得v =
mv0
M +m。
2. 子弹、木块发生的位移s1、s2 以及子弹打进木块的深度L
对子弹用动能定理：−fS1 = 1
2mv2 −1
2mv2
0，S1 =
mv2
0
[
(M +m)2 −m2]
2f(M +m)2
。
对木块用动能定理：fS2 = 1
2Mv2，S2 = Mv2
2 f
54
以上得fL = 1
2mv2
0 −1
2(M +m)v2 =
Mmv2
0
2(M +m)
故子弹打进木块的深度：L = S1 −S2 =
Mmv2
0
2 f(M +m)。
3. 系统损失的机械能∆E、系统增加的内能Q
系统损失的机械能∆E = 1
2mv2
0 −1
2(m+M)v2 系统增加的内能Q = ∆E 因此：Q = ∆E = fL。
4. 比较S1 子弹的位移、S2 木块的位移、S相子弹与木块相对位移的大小关系
运用图象法：子弹做匀减速直线运动木块做匀加速直线运动
由图可以判定：
①不论m、M 关系怎样，总有S相> S2，S1 > 2S2；
②若m < M，则S相> 2S2，S1 > 3S2。
5. 要使子弹不穿出木块，木块的最短长度d
子弹不穿出木块的长度：d ⩾S相=S1 −S2 =
Mmv2
0
2 f(M +m)。
精讲精练
【例5】如图所示，质量为M、长为L 的长木板放在光滑水平面上，一个质量也为M 的物块(视为质点) 以一定的
初速度从左端冲上木板，如果长木板是固定的，物块恰好停在木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上木板后
在木板上最多能滑行的距离为（ ）
A. L
B. 3L
4
C. L
4
D. L
2
第6 讲
55
【例6】如图所示，质量为M 的木块静止于光滑的水平面上，一质量为m，速度为v0 的子弹水平射入木块且未穿
出。设木块对子弹的阻力恒为F，求：
（1）木块至少多长子弹才不会穿出？
（2）子弹在木块中运动了多长时间？
56
【例7】如图甲所示，木板A 静止在光滑水平面上，一小滑块B(可视为质点) 以某一水平初速度从木板的左端冲
上木板。
（1）若木板A 的质量为M，滑块B 的质量为m，初速度为v0，且滑块B 没有从木板A 的右端滑出，求木板A 最终的
速度v；
（2）若滑块B 以v1 = 3.0m/s 的初速度冲上木板A，木板A 最终速度的大小为v = 1.5m/s；若滑块B 以初速度
v2 = 7.5m/s 冲上木板A，木板A 最终速度的大小也为v = 1.5m/s。已知滑块B 与木板A 间的动摩擦因数
µ = 0.3，g 取10m/s2。求木板A 的长度L。
（3）若改变滑块B 冲上木板A 的初速度v0，木板A 最终速度v 的大小将随之变化。请你在图乙中定性画出v−v0
图线。
第6 讲
57
【例8】光滑水平面上放置一辆平板小车, 车上放着一个木块，之间夹一个轻弹簧，两端不连接。弹簧处于原长，
如图所示，一颗子弹以水平速度v0 = 100m/s 打入木块并留在其中（设作用时间极短）。子弹质量为m0 = 0.05kg，
木块质量为m1 = 0.95kg，小车质量为m2 = 4kg，各接触面的摩擦均忽略不计。求：
（1）子弹打入木块后瞬间二者的速度为多少?
（2）木块压缩弹簧的过程中，弹簧具有的最大弹性势能是多少?
（3）最终小车和木块的速度各是多少？
58
Part 3
非对心碰撞
精讲精练
【例9】质量为m、速度为v0 的粒子A 与原来静止且质量为M 的粒子B 发生弹性碰撞。
（1）求碰撞后粒子B 的速度v 与v0 的夹角β 的最大可能值。
（2）若m = M，求证A、B 发生非对心碰撞后的运动方向必互相垂直。
第
讲
7
59
期中复习
Part 1
期中复习
60
Part 1
期中复习
精讲精练
【例1】如图所示，从倾角为θ 的足够长的斜面顶端P 以初速度v0 抛出一个小球，落在斜面上某处Q 点，小球落
在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，则以下说法正确的是（ ）
A. 小球在空中的运动时间变为原来的2 倍
B. 夹角α 将变大
C. PQ 间距一定大于原来间距的3 倍
D. 夹角α 与初速度大小有关
【例2】如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L。某人在乒乓球训练中，从左侧L
2 处，将球沿垂直于网
的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘，设乒乓球运动为平抛运动，则（ ）
A. 击球点的高度与网高度之比为2 : 1
B. 乒乓球在网左、右两侧运动时间之比为2 : 1
C. 乒乓球过网时与落到桌边缘时速率之比为1 : 2
D. 乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为1 : 2
第7 讲
61
【例3】如图，AB 为竖直面内半圆的水平直径。从A 点水平抛出两个小球，小球l 的抛出速度为v1、小2 的抛出
速度为v2。小球1 落在C 点、小球2 落在D 点，C，D 两点距水平直径分别为圆半径的0.8 倍和l 倍。小球l 的飞
行时间为t1，小球2 的飞行时间为t2。则（ ）
A. t1 = t2
B. t1 < t2
C. v1 : v2 = 4 :
√
5
D. v1 : v2 = 3 :
√
5
【例4】如图所示，ABC 为竖直平面内的金属半圆环，AC 连线水平，AB 为固定在A、B 两点间的直的金属棒，在直
棒上和圆环的BC 部分分别套着两个相同的小环M、N，现让半圆环绕对称轴以角速度ω 做匀速转动，半圆环的半
径为R，小圆环的质量均为m，棒和半圆环均光滑，已知重力加速度为g，小环可视为质点，则M、N 两环做圆周运
动的线速度之比为（ ）
A.
g
√
R2ω4 −g2
B.
√
g2 −R2ω4
g
C.
g
√
g2 −R2ω4
D.
√
R2ω4 −g2
g
【例5】如图所示，O1 为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1；O2 为从动轮的轴心，轮半径为r3；r2 为固定在从
动轮上的小轮半径。已知r3 = 2r1，r2 = 1.5r1。A、B 和C 分别是3 个轮边缘上的点，质点A、B 和C 的向心加速度
之比是(皮带不打滑)（ ）
A. 1 : 2 : 3
B. 2 : 4 : 3
C. 8 : 4 : 3
D. 3 : 6 : 2
62
【例6】计算机硬盘的内部结构如图所示，读写磁头在计算机的指令下移动到某个位置，硬盘盘面在电动机的带
动下高速旋转，通过读写磁头读写下方磁盘上的数据，磁盘分为若干个同心环状的磁道，每个磁道按圆心角等分为
18 个扇区，现在普通的家用电脑中的硬盘的转速通常有5400r/min 和7200r/min 两种，硬盘盘面的大小相同，则
（ ）
A. 磁头的位置相同时，7200r/min 的硬盘读写数据更快
B. 对于某种硬盘，磁头离盘面中心越远，磁头经过一个扇区所用的时间越长
C. 不管磁头位于何处，5400r/min 的硬盘磁头经过一个扇区所用的时间都相等
D. 5400r/min 与7200r/min 的硬盘盘面边缘的某点的向心加速度的大小之比为3：4
【例7】如图所示，质量为m 的物块与水平转台之间的动摩擦因数为µ，物体与转轴相距R，物体随转台由静止开
始转动，当转速增至某值时，物块即将在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动（设物块的最大静摩擦力近似等于
滑动摩擦力），则在这一过程中摩擦力对物体做的功是（ ）
A. 0
B. 2µmgR
C. 2µmgR
D. µmgR/2
【例8】已知地球和火星绕太阳公转的半径分别为R1 和R2(公转轨迹近似为圆)，如果把行星与太阳连线扫过的面
积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率。则地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是（ ）
A. R1
R2
B. R2
R1
C.
√R1
√R2
D.
√R2
√R1
第7 讲
63
【例9】宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星
系统绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示。若AO < OB，则（ ）
A. 星球A 的向心力一定大于B 的向心力
B. 星球A 的线速度一定大于B 的线速度
C. 星球A 的质量一定大于B 的质量
D. 双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
【例10】北斗卫星导航系统是我国自主研发、独立运行的全球卫星导航系统。北斗导航系统由静止轨道卫星（同
步卫星）、倾斜同步轨道卫星（24 小时轨道，轨道平面与赤道平面有一定夹角）和中轨道卫星组成，中轨道卫星的
轨道半径为r （约为同步卫星的0.67 倍）。如图为一颗中轨道卫星的轨道示意图，某时刻顺时针运行的卫星位于
轨道上的A 位置，已知地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，所有卫星均在圆轨道上运行，以下判断正确
的是（ ）
A. 静止轨道卫星运行速度的值大于倾斜同步轨道卫星运行速度的值
B. 倾斜同步轨道卫星从地球上看是移动的，其运行速度的值小于中轨道卫星运行速度的值
C. 中轨道卫星的加速度为R2
r2 g
D. 中轨道卫星由位置A 运行至位置B 所需的时间为2π r
3R
√r
g
64
【例11】一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，另一端穿过滑轮用恒力F 拉住并保持两股绳之间的夹
角θ 不变，如图所示，当用力拉绳使木块前进s 时，力F 对木块做的功是(不计绳重和摩擦)（ ）
A. Fscosθ
B. Fs(1+cosθ)
C. 2Fscosθ
D. 2Fs
【例12】有一辆质量为170kg、输出功率为1440W 的太阳能试验汽车，安装有约6m2 的太阳能电池板和蓄能电
池，该电池板在有效光照条件下单位面积输出的电功率为30W/m2。若驾驶员的质量为70kg，汽车最大行驶速度
为90km/h。假设汽车行驶时受到的空气阻力与其速度成正比，则汽车（ ）
A. 以最大速度行驶时牵引力大小为57.6N
B. 启动时的加速度大小恒为0.24m/s2
C. 保持最大速度行驶1h 至少需要有效光照8h
D. 直接用太阳能电池板提供的功率可获得3.13m/s 的最大行驶速度
第7 讲
65
【例13】一轻质弹簧竖直固定在地面上，上面连接一个质量为m1 = 1kg 的物体，平衡时物体离地面0.9m，弹簧
所具有的弹性势能为0.5J。现在在距物体m1 正上方高为0.3m 处有一个质量为m2 = 1kg 的物体自由下落后与弹
簧上物体m1 碰撞立即合为一体，一起向下压缩弹簧。当弹簧压缩量最大时，弹簧长为0.6m。求（g 取10m/s2）
（1）碰撞结束瞬间两物体的动能之和是多少？
（2）弹簧长为0.6m 时弹簧的弹性势能大小？
66
【例14】在娱乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨
论。如图所示，他们将选手简化为质量m = 60kg 的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角
α = 53◦，绳的悬挂点O 距水面的高度为H = 3m，绳长l 不确定，不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高
度不计。取重力加速度g = 10m/s2，sin53◦= 0.8，cos53◦= 0.6。
（1）若绳长l = 2m，选手摆到最低点时速度的大小。
（2）选手摆到最低点时对绳拉力的大小。
（3）若选手摆到最低点时松手，小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳却认为绳越短，落点距岸边越
远。请通过计算说明你的观点。
1119092614310
