文档文本内容
功率提升及机车启动
模块1
功
3
模块2
功率
6
模块3
机车启动
8
巧用动能定理
模块1
动能及动能定理
17
模块2
动能定理应用
20
机械能守恒
模块1
重力势能及重力做功
29
模块2
机械能守恒定律
31
功能关系
模块1
功能关系
41
模块2
能量守恒
44
目录
Contents
库仑定律及其应用
模块1
电荷守恒定律
53
模块2
库仑定律
56
电场中的力学问题
模块1
电场强度
63
模块2
电场叠加
65
模块3
电场线
67
电场中的能量问题
模块1
电势能
75
模块2
电势
79
电容器
模块1
电势差
87
模块2
电容器
90
带电粒子在电场中的运动
模块1
带电粒子在电场中的运动
97
模块2
等效重力场
101
模块3
示波器
102
第8 讲
功率提升及机车
启动
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3
8
1
模块
1
功
知识凝炼
一、功
如果有力作用在物体上，而且物体在力的方向上发生位移，我们就说力对物体做了功。力和物体在力的方
向上的位移，是做功的两个不可缺少的要素。功是描述力在空间位移上累积作用的物理量，是能量转化的量度。
二、功的计算
一般情况下功的计算式：W = Fscos θ。其中θ 是力矢量与物体位移方向的夹角。
用W = Fscosθ 求功的注意事项：
①只能用于求恒力做功；
②s 必须是相对于地面的位移；求力对物体所做功时s 为物体的位移；求力所做功时s 为作用点的位移；
③力对物体做功W 只与F、s、θ 相关，与物体受其他力与否、物体的运动状态等因素无关。
三、功的正负
1
功的正负的判断：
A. 当0◦⩽θ < 90◦时，cosθ > 0，W > 0，表示力对物体做正功；
B. 当θ = 90◦时，cosθ = 0，W = 0，表示力的方向与位移的方向垂直，力不做功；
C. 当90◦< θ ⩽180◦时，cosθ < 0，W < 0，表示力对物体做负功，或者说物体克服力做了功。
2
功的正负的物理意义：
虽然功有正负，但是功是标量，只有大小没有方向。功的正负的物理含义是：如果力对物体做正功，则这个
力对物体而言是动力，力对物体提供能量，即受力物体获得了能量；若力对物体做负功，则这个力对物体而言是
阻力，物体克服外力做功，消耗自身能量向外输出能量。
四、总功计算
在实际情况中，物体一般会受到多个力，这时需要求各力对物体做的总功。
求多个力对物体做的总功，有两种方法。第一种是求合力的功，即先把合力F 合求出来，再根据公式
W = Fscos θ 计算合力所做的功；第二种是求各个力功的代数和，即先把每个力所做的功求出来，再求它们的代
数和。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
4
8
五、功的图示
在F −s 图象中，表示F 与s 关系的曲线和s 坐标轴所包围的面积表示功的大小。如下图表示恒力做功的
情况：
精讲精练
达标检测1
★★
如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ 角的斜向上的拉力F 的作用下沿水平面移动了
距离s，若物体的质量为m，物体与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中（ ）
A. 摩擦力做的功为fs
B. 力F 做的功为Fscosθ
C. 力F 做的功为Fssinθ
D. 重力做的功为0
例1
★★★
正确率：10%
如图所示，同一物体分别沿斜面AD 和BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相
同。在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA 和WB，则（ ）
A. WA > WB
B. WA = WB
C. WA < WB
D. 无法确定
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5
8
例2
★★★★
一人通过轻滑轮和轻绳，将一物体从位置A 拉到位置B，如图所示。如果拉力F = 90N，滑轮尺寸可忽
略，高度h = 2m，绳与水平面夹角α = 30◦变为β = 37◦，求在物体运动过程中，人对物体所做的功。
例3
★★★★正确率：68%
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进
d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子钉入木板的深度是（ ）
A.
(√
3−1
)
d
B.
(√
2−1
)
d
C.
(√
5−1
)
d
2
D.
√
2
2 d
达标检测2
★★★
一物体所受的力F 随位移x 变化的图象如图所示，在这一过程中，力F 对物体做的功为（ ）
A. 3J
B. 6J
C. 7J
D. 8J
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
6
8
2
模块
2
功率
知识凝炼
不同物体做相同的功，所用的时间往往不同，也就是说，做功的快慢并不相同。在物理学中，用功率表示做
功的快慢。
1
功率
(1) 物理意义：功率是反应物体做功快慢的物理量。
(2) 定义：一个力所做的功W 跟完成这些功所用时间t 的比值叫做功率P，即P = W
t (此公式不仅适用于
恒力也适用于变力做功求功率)，单位是W，1W = 1J/s
2
平均功率
(1) 定义：表示在一段时间内力做功的平均快慢程度。
(2) 公式：①P = W
t
；
②P = Fvcosα，(v 是平均速度，α 是F 与v 方向间的夹角)
3
瞬时功率
(1) 定义：表示力在一段极短时间内做功的快慢程度。
(2) 公式：P = Fvcosα，式中v 是瞬时速度。
精讲精练
达标检测3
★★
某校高三学生体能检测中，有着班级“最标准身材”美誉的小明同学在半分钟内完成了10 次引体向上，
则这次检测中小明克服重力做功的平均功率大约为（ ）
A. 50W
B. 100W
C. 200W
D. 500W
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7
8
例4
★★★★
高铁列车行驶时受到的总阻力包括摩擦阻力和空气阻力。某一列高铁列车以180km/h 的速度在平直轨
道上匀速行驶时，空气阻力约占总阻力的50%，牵引力的功率约为2000kW。假设摩擦阻力恒定，空气阻
力与列车行驶速度的平方成正比，则该列车以360km/h 的速度在平直轨道上匀速行驶时牵引力的功率
约为（ ）
A. 4000kW
B. 8000kW
C. 10000kW
D. 16000kW
例5
★★★★
如图甲所示，某女士第一次站立在台阶式自动扶梯上，扶梯将她送上楼，第二次如图乙所示，该女士乘相
同自动扶梯的同时，她还相对于扶梯匀速向上走，两次到达同一高度，两次自动扶梯匀速运动的速度相
同，下列关于两次自动扶梯的牵引力做功和功率的说法正确的是（ ）
A. 两次牵引力做功相同，牵引力的功率第一次的较大
B. 牵引力做功第一次的较大，两次牵引力功率相同
C. 牵引力做功第一次的较大，功率也是第一次的大
D. 两次牵引力做功相同，功率也相同
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
8
8
3
模块
3
机车启动
知识凝炼
机车等现代交通工具有两种典型的启动方式：以恒定功率启动和以恒定加速度启动。下面我们来研究这两
种启动方式的具体过程及相应物理量的变化。用到的物理规律主要有：
⑴瞬时功率P = F ·v。其中P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功率小于或等于其额定功率；F
为发动机(机车) 的牵引力；v 为机车的瞬时速度。
⑵牛顿运动定律F −f = ma。其中，F 为发动机(机车) 的牵引力，f 为机车受到的阻力，a 为机车的加速
度。
另外，还需要结合加速度与速度的关系等运动学知识进行分析。
1
机车以恒定功率启动
当机车以恒定功率启动后，假设运动过程中所受阻力f 不变；由牵引力F = P
v 可得，v 增大，F 减小；根据
牛顿第二运动定律a = F −f
m
可得，加速度随速度的增大而减小，其运动情况是加速度减小的加速运动，直至
F = f 时，a 减小至零，此后速度不变，保持最大值vm 做匀速直线运动。
当机车达到最大速度vm 时，a = 0，F = f，P = Fvm = fvm，因此vm = P
f 。
上述动态分析过程可以用如下框图表示。
这一启动过程的v−t 图象如图所示。
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9
8
2
机车以恒定加速度启动
假设运动过程中所受阻力f 不变，由a = F −f
m
可知，当加速度a 不变时，发动机牵引力F 恒定，再由
P = Fv 可知，此过程中发动机的实际功率P 随v 的增大而增大，但当P 增大到额定功率以后不再增大，此后发
动机保持额定功率不变，重复恒定功率启动的过程，v 继续增大，牵引力F 减小，直至F = f 时，a = 0，车速达
到最大值vm = P额
f 。
设机车在匀加速运动过程中能达到的最大速度为v1，匀加速运动过程能持续的时间为t1。由牛顿第二定
律F −f = ma，得F = f +ma，当P = P额时，v1 = P额
F =
P额
f +ma；由匀加速运动公式可知，t1 = v1
a =
P额
(f +ma)a。
上述动态分析过程可以用如下框图表示。
这一启动过程的v−t 关系图象如图所示。
在解决机车启动问题时，要注意弄清是哪种启动方式，然后分阶段处理。如果机车处于匀加速运动阶段，可
以考虑用牛顿第二定律和运动学公式分析；如果机车处于非匀加速运动阶段，则很难利用牛顿第二定律进行分
析，这时可以考虑利用动能定理求解。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
10
8
精讲精练
达标检测4
★★★
正确率：68%
汽车的额定功率为50kW，质量为1000kg，沿水平路面行驶，所受阻力恒定为2×103N，发动机以额定功
率工作，则当汽车的速度为10m/s 时，汽车的加速度为
m/s2，汽车的最大速度为
m/s。
例6
★★★
正确率：68%
以恒定功率从静止开始启动的汽车，经过时间t1 后速度达到最大速度vm，在此过程中汽车通过的位移
为x，则（ ）
A. x > vmt1
2
B. x = vmt1
2
C. x < vmt1
2
D. 无法判断
例7
★★★★正确率：53%
汽车在平直公路上以速度v0 匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0。t1 时刻，司机减小了油门，使汽
车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2 时刻，汽车又恢复了匀速直线运动(设整个过程
中汽车所受的阻力不变)。下面几个关于汽车牵引力F、汽车速度v 在这个过程中随时间t 变化的图像
中正确的是（ ）
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11
8
例8
★★★★★
一辆汽车从静止开始启动，其加速度与速度的倒数关系如图所示，已知汽车的质量为m，汽车启动过程
受到的阻力恒定，图中b、c、d 已知，则（ ）
A. 汽车启动过程的功率越来越大
B. 汽车启动过程的功率恒为
mb
d −c
C. 汽车启动过程的最大速度为1
d
D. 汽车启动过程受到的阻力为mbc
d −c
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
12
8
直击高考
考题
一汽车在平直公路上行驶，从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图所示。假定汽车
所受阻力的大小f 恒定不变。下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图象中，可能正确的是（ ）
答案
A
解析
解：机车启动，P = Fv ，F −f = ma，P 恒定时，机车加速运动，牵引力减小，加速度减小，机车做加速度
减小的加速运动，又vm1 = P1
f ，vm2 = P2
f ，该汽车的速度v 随时间t 变化的图象如A 图所示，故选A。
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13
8
随堂测试
测试1 如图所示，一个小物体A 放在斜面B 上，B 放于光滑的水平地面上，现用水平恒力F 推B 使A 和B 相
对静止一起通过一段路程，在这个过程中，以下哪些力有可能做正功（ ）
A. A 受的重力
B. B 受的摩擦力
C. A 受的支持力
D. B 受的压力
测试2 近期，由国防科技大学与唐山机车车辆有限公司联合研制的新型磁浮列车运行试验取得了成功，这标
志着我国已掌握了中速磁浮交通的关键技术。假设列车从静止开始做匀加速直线运动，经1000m 速度
达到144km/h。已知列车的质量为1.00×105kg，所受阻力恒为车重的0.05 倍，重力加速度g = 10m/s2，
则在这一过程中牵引力的最大功率是（ ）
A. 5.2×103kW
B. 4.5×103kW
C. 2.5×103kW
D. 1.3×103kW
测试3 汽车以恒定功率P 由静止开始在水平路面上启动，其所受阻力大小恒为f，经过时间t，汽车的运动速
度v1 刚好满足P = fv1，在此过程中（ ）
A. 汽车做匀加速直线运动
B. 汽车牵引力做功为1
2mv12
C. 汽车牵引力做功为Pt
D. 汽车最终做匀速运动时的速度大小等于v1
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
14
8
课堂总结
第9 讲
巧用动能定理
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17
9
1
模块
1
动能及动能定理
知识凝炼
1
动能：物体由于运动而具有的能量。
表达式：Ek = 1
2mv2
基本性质
(1) 动能具有相对性：选择不同的参考系，速度会不同所以动能也不同。高中阶段以地面为参考系。
(2) 动能是状态量：是表征物体运动状态的物理量，只能说物体在某一时刻或某一位置时具有的动能。
(3) 动能是标量：物体的动能仅与速度大小有关，且恒为非负。
2
动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
表达式：W总= Ek2 −Ek1，W1 +W2 +W3 +...... = Ek2 −Ek1。
精讲精练
达标检测1
★★
正确率：66%
关于动能，下列说法正确的是（ ）
A. 公式Ek = 1
2mv2 中的速度v 一般指物体相对于地面的速度
B. 动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C. 物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同
D. 物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同
例1
★★★
如图所示，小球m 分别从A 点和B 点无初速度地释放，则经过最低点C 时，小球的速率之比v1 : v2 为
(空气阻力不计)（ ）
A.
1
√
2
B.
√
2
1
C. 2
1
D. 1
2
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
18
9
例2
★★★
正确率：44%
如图所示，质量为M 的木块放在光滑水平面上，质量为m 的子弹以速度v0 沿水平方向射入木块，并最
终留在木块中与木块一起以速度v1 运动，已知当子弹相对木块静止时，木块前进了L，子弹射入的深度
为∆s，将子弹所受的阻力f 视为恒力，则下列关系式中正确的有（ ）
A. fL = 1
2Mv12
B. f∆s = 1
2mv12
C. f∆s = 1
2mv02 −1
2 (M +m)v12
D. f (L+∆s) = 1
2mv02 −1
2mv12
达标检测2
★★★★
如图所示，A、C 和B、C 是两个固定的斜面，斜面的顶端A、B 在同一竖直线上。甲、乙两个小物体在同一
竖直线上。甲、乙两个小物块分别从斜面AC 和BC 顶端由静止开始下滑，质量分别是m1、m2 (m1 < m2)，
与斜面间的动摩擦因数均为µ。若甲、乙滑至底端C 的过程中克服摩擦力做的功分别是W1、W2，所需时
间分别是t1、t2。甲、乙滑至底端C 时速度分别是v1、v2，动能分别是Ek1、Ek2，则（ ）
A. Ek1 > Ek2
B. v1 > v2
C. W1 < W2
D. t1 < t2
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19
9
例3
★★★★
如图所示，在水平桌面的边角处有一轻质光滑的定滑轮K，一条不可伸长的轻绳绕过K 分别与物块A、
B 相连，A、B 的质量分别为mA、mB。开始时系统处于静止状态，现用一水平恒力F 拉物块A，使物块B
上升。已知当物块B 上升的距离为h 时，B 的速度为v。求此过程中物块A 克服摩擦力所做的功(重力
加速度为g)。
例4
★★★★★
如图所示，固定于水平面内的直角形光滑杆，OM 与ON 段均足够长，转角处为光滑的小圆弧。质量均
为m 的A、B 两个有孔小球串在杆上，且被长为L 的轻绳相连。忽略两球的大小，初态时，它们的位置如
图中虚线所示，两球均静止，绳处于伸直状态，且与OM 平行。现对B 球施加沿ON 方向的恒定拉力F，
当B 球运动3
5L 时，两球位置如图中实线所示，此时B 球的速度大小为（ ）
A.
√
32(mg+F)L
25m
B.
√
96(mg+F)L
25m
C.
√
96(mg+F)L
125m
D.
√
32(mg+F)L
125m
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
20
9
2
模块
2
动能定理应用
精讲精练
例5
★★★
正确率：71%
如图所示，一个质量为m 的小球用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 的作用下，从平衡位置
P 点很缓慢地移动到Q 点，则水平力F 所做的功为（ ）
A. mgl cosθ
B. Fl sinθ
C. mgl (1−cosθ)
D. Fl (1−cosθ)
达标检测3
★★★
如图所示，AB 为竖直面内1
4 圆弧轨道，半径为R，BC 为水平直轨道，长度也是R，一质量为m 的物体，
与两个轨道间的动摩擦因数都为µ，现使物体从轨道顶端A 由静止开始下滑，恰好运动到C 处停止，那
么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为（ ）
A. 1
2µmgR
B. 1
2µmgπR
C. mgR
D. (1−µ)mgR
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21
9
例6
★★★★正确率：49%
小球被绳系在光滑的水平面上做匀速圆周运动，当绳子的拉力由F 增大到8F 时，圆周运动的半径从r
减小到r
2，在这一过程中拉力所做的功是（ ）
A. 4Fr
B. 7
2Fr
C. 7
4Fr
D. 3
2Fr
达标检测4
★★★
如图所示，质量为m 的物块与转台之间的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，物块与转轴OO′ 相距R，物
块随转台由静止开始转动，当转速缓慢增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到相对
滑动前瞬间的过程中，转台的摩擦力对物块做的功为（ ）
A. 0
B. 2πkmgR
C. 2kmgR
D. 0.5kmgR
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
22
9
例7
★★★★正确率：55%
如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧，BC 是水
平的，其距离d = 0.50m。盆边缘的高度为h = 0.30m。在A 处放一个质量为m 的小物块并让其从静止
开始下滑。已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 面与小物块间的动摩擦因数为µ = 0.10。小物块在盆内
来回滑动，最后停下来，则停的地点到B 的距离为（ ）
A. 0.50m
B. 0.25m
C. 0.10m
D. 0
例8
★★★★★
如图所示，足够长的斜面的倾角为θ，质量为m 的滑块与挡板P 的距离为s0，以初速度v0 沿斜面上滑，
滑块与斜面间的动摩擦因数为µ，且µ < tanθ，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块经过的
路程。
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23
9
直击高考
考题
如图所示，两个半圆柱A、B 紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R，C 的质
量为m，A、B 的质量都为m
2 ，与地面的动摩擦因数均为µ。现用水平向右的力拉A，使A 缓慢移动，直
至C 恰好降到地面。整个过程中B 保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
（1）未拉A 时，C 受到B 作用力的大小F。
（2）动摩擦因数的最小值µmin。
（3）A 移动的整个过程中，拉力做的功W。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
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9
答案（1）F =
√
3
3 mg
（2）µmin =
√
3
2
（3）W = (2µ −1)
(√
3−1
)
mgR。
解析（1）解：C 受力平衡2F cos30◦= mg，解得F =
√
3
3 mg。
（2）解：C 恰好降落到地面时，对C 受力分析，C 受重力和A、B 对其的支持力，结合牛顿第三定律可得
B 受C 压力的水平分力最大Fxmax =
√
3
2 mg
B 受地面的摩擦力f = µmg 根据题意fmin = Fxmax，解得µmin =
√
3
2 。
（3）解：C 重心下降的高度h =
(√
3−1
)
R
由几何关系得A 的位移x = 2
(√
3−1
)
R
摩擦力做功的大小Wf = fx = 2
(√
3−1
)
µmgR
根据动能定理W −Wf +mgh = 0−0
解得W = (2µ −1)
(√
3−1
)
mgR。
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25
9
随堂测试
测试1
正确率：89%
如图所示，质量为m 的物体沿动摩擦因数为µ 的水平面以初速度v0 从A 点出发到B 点时速度变为
v，设同一物体以初速度v0 从A′ 点先经斜面A′C，后经斜面CB′ 到B′ 点时速度变为v′，两斜面在水平
面上投影长度之和等于AB 的长度，且动摩擦因数也为µ，则有（ ）
A. v′ > v
B. v′ = v
C. v′ < v
D. 不能确定
测试2
正确率：76%
一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。第一次小球在水平拉力F1 作用下，从平衡位置P
点缓慢地移到Q 点，此时绳与竖直方向夹角为θ(如图所示)，在这个过程中水平拉力做功为W1。第二
次小球在水平恒力F2 作用下，从P 点移到Q 点，水平恒力做功为W2，重力加速度为g，且θ < 90◦，则
（ ）
A. W1 = F1l sinθ，W2 = F2l sinθ
B. W1 = W2 = mgl (1−cosθ)
C. W1 = mgl (1−cosθ)，W2 = F2l sinθ
D. W1 = F1l sinθ，W2 = mgl (1−cosθ)
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
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9
测试3
正确率：52%
质量为m 的小球在距地面高h 处，以初速度v 竖直向上运动。设空气阻力恒为f 且小于mg，小球与
地面碰撞过程中不损失能量，最后静止在地面上，则小球在整个运动过程中所经历的路程为（ ）
A.
2mgh+2 fh+ 1
2mv2
mg+ f
B. 2mgh+mv2
2 f
C. mgh+ fh+mv2
mg+ f
D.
mgh+ 1
2mv2
2 f
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27
9
课堂总结
第10 讲
机械能守恒
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29
10
1
模块
1
重力势能及重力做功
知识凝炼
1
重力做功
物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体的运动路径无关。如图，小球从A
点下落到B 点，重力做功的大小等于物重跟起点高度的乘积mghA 与物重跟终点高度的乘积mghB 两者之差，
即WG = mghA −mghB 。
2
重力势能
我们把物理量mgh 叫做物体的重力势能，用Ep 表示，物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积，
即Ep = mgh 。重力势能是标量，单位为焦耳（J）。
(1) 重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量。
(2) 重力势能的大小是相对的，与参考面的选择有关的，式中的h 是物体重心到参考平面的高度。
在参考平面上，物体的重力势能为零；在参考平面上方，物体的重力势能为正；在参考平面的下方，物体
的重力势能为负。比较重力势能的大小需要比较符号。
(3) 参考平面的选取是任意的，选取不同的参考平面，物体的重力势能大小不同。
(4) 重力势能的变化是绝对的，物体从一个位置到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平
面的选取无关。
3
重力做功与重力势能改变的关系
如图，小球从A 点下落运动到B 点，重力对小球做的功为WG = mgh = mghA −mghB = EpA −EpB ；重力势
能的变化量为∆Ep = EpB −EpA ，所以有WG = −∆Ep 。
当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，也就是WG > 0 ，∆Ep < 0 。重力势能减少的数量
等于重力做的功。
当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，也就是WG < 0，∆Ep > 0。重
力势能增加的数量等于物体克服重力所做的功。
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30
10
精讲精练
达标检测1
★★★
正确率：64%
关于重力势能与重力做功的下列说法中正确的是（ ）
A. 物体克服重力所做的功等于重力势能的增加量
B. 在同一高度，将物体以速率v0 向不同方向抛出，从抛出到落地的过程中，重力所做的功相等，物体所
减少的重力势能也一定相等
C. 重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D. 用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功等于克服重力所做的功与物体重力势能的增量之
和
例1
★★★★
如图所示，一条铁链长为2m，质量为10kg，放在光滑水平地面上，拿住一端提起铁链直到铁链全部离开
地面的瞬间(g 取10m/s2)。求：
（1）铁链克服重力做的功为多少？
（2）铁链重力势能变化了多少？
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31
10
2
模块
2
机械能守恒定律
知识凝炼
弹性势能
(1) 定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势
能。
(2) 弹力做功与弹性势能变化的关系
弹性势能的改变量只与弹力做功有关．弹力做了多少正功，弹性势能就减少多少；弹力做多少负功，弹性势
能就增加多少，即W弹=−∆Ep 。
(3) 弹性势能表达式（以弹簧为例）
Ep = 1
2kl2，l 是弹簧的形变量。
机械能守恒定律的应用
1
机械能：动能和势能的总和称为机械能（势能包括重力势能和弹性势能）。
2
机械能守恒定律：只有重力或系统内弹簧弹力对物体做功，此系统机械能守恒。
3
机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹簧弹力做功。
具体表现为以下三种情况：①只受重力或弹簧弹力；②还受其它力，但其它力不做功；③其它力做功，但
做功的代数和为零。
4
系统机械能守恒
对于涉及两个或两个以上的物体组成的连接体问题，常把这几个物体看成一个系统。如果只有系统内重力
或弹簧弹力做功，则系统机械能守恒。但对于一个物体而言，机械能不一定守恒，系统内一部分物体增加的机械
能等于另一部分减少的机械能。因此，对于连接体问题，机械能守恒的表达式还可以写成：EA减=EB增(A 物体减
少的机械能等于B 物体增加的机械能)。
5
应用机械能守恒定律分析解决实际问题的一般步骤：
⑴合理选取研究对象；
⑵明确研究过程，判断是否符合机械能守恒定律；
⑶选定势能参考平面，确定始末状态的机械能(如果利用∆Ek = −∆Ep 或EA减=EB增的形式，则只需明确
对应的能量变化，不需要零势能面)；
⑷根据机械能守恒定律列出方程求解。
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32
10
精讲精练
例2
★★
如图甲所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F 作用下缓慢拉伸了x。关于拉力F、弹性势能
Ep 随伸长量x 的变化图象正确的是（ ）
达标检测2
★★
两只不同的弹簧A、B，劲度系数分别为k1、k2，并且k1 > k2，现在用相同的力从自然长度开始拉弹簧，当
弹簧处于平衡状态时，下列说法中正确的是（ ）
A. A 的弹性势能大
B. B 的弹性势能大
C. 弹性势能相同
D. 无法判断
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33
10
例3
★★★★正确率：53%
在北京奥运会蹦床比赛中，何雯娜为中国获得了第一块奥运会蹦床金牌。若她在比赛中从高处落到蹦
床上后又被弹起到原高度，何雯娜从高处开始下落到弹回的整个过程中，她的运动速度v 随时间t 变化
的图线如图所示，图中只有Oa 段和cd 段为直线。则根据该图线可知，蹦床的弹性势能增大的过程所
对应的时间间隔为（ ）
A. 仅在t1 到t2 的时间内
B. 仅在t2 到t3 的时间内
C. 仅在t1 到t3 的时间内
D. 在t1 到t5 的时间内
例4
★★★
正确率：69%
如图所示，一颗水平飞行的子弹射入一个原来悬挂在天花板下静止的沙袋，并留在其中，和沙袋一起上
摆。将子弹射入沙袋叫做Ⅰ过程，子弹和沙袋一起上摆叫做Ⅱ过程，则在这两个阶段中，关于子弹和
沙袋组成的系统，下列说法中正确的是（ ）
A. 第Ⅰ、Ⅱ两阶段机械能都守恒
B. 第Ⅰ、Ⅱ两阶段机械能都不守恒
C. 第Ⅰ阶段机械能守恒，第Ⅱ阶段机械能不守恒
D. 第Ⅰ阶段机械能不守恒，第Ⅱ阶段机械能守恒
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34
10
达标检测3
★★★
正确率：71%
如图所示，质量为m 的物体沿斜上方以速度v0 抛出后，能达到的最大高度为H，当它将要落到离地面
高度为h 的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考平面)，下列判断正确的是（ ）
A. 它的总机械能大于1
2mv02
B. 它的总机械能为mgH
C. 它的动能为mg(H −h)
D. 它的动能为1
2mv02 −mgh
例5
★★★
正确率：79%
如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，在弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于能量的
叙述中正确的是（ ）
A. 重力势能和动能之和总保持不变
B. 重力势能和弹性势能之和总保持不变
C. 动能和弹性势能之和总保持不变
D. 重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
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35
10
例6
★★★★
如图所示，质量为m = 2kg 的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O 处，将弹簧拉至水平位置A
处由静止释放，小球到达距O 点下方h 处的B 点时速度为2m/s。求小球从A 运动到B 的过程中弹簧
弹力做的功(h = 0.5m，g 取10N/kg)。
例7
★★★★
如图所示，有一轻质杆OA，可绕O 点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端A 点和中点B 各固定一个
质量为m 的小球，设杆长为L，开始时，杆静止在水平位置。求释放杆后，杆转到竖直位置时，A、B 两小
球的速度各是多少?
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10
例8
★★★
正确率：56%
如图所示，物体A、B 通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B 的质量分别为m、2m，开始时细
绳伸直，用手托着物体A 使弹簧处于原长且A 与地面的距离为h，物体B 静止在地面上。放手后物体A
下落，与地面即将接触时速度为v，此时物体B 对地面恰好无压力，则下列说法中正确的是（ ）
A. 物体A 下落过程中的任意时刻，加速度不会为零
B. 此时弹簧的弹性势能等于mgh+ 1
2mv2
C. 此时物体B 处于平衡状态
D. 此过程中物体A 的机械能变化量为mgh+ 1
2mv2
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10
直击高考
考题
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物块由静止释放，当弹簧被
压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接。
AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图
所示。物块P 与AB 间的动摩擦因数µ = 0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，物
块P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
（1）正确率：73%
若物块P 的质量为m，求物块P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位
置与B 点间的距离。
（2）正确率：44%
若物块P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求物块P 的质量的取值范围。
答案（1）vB = √6gl x = 2
√
2l
（2）5
3m ≤mP < 5
2m。
解析（1）解：弹簧竖直放置，被压缩到最短时，由机械能守恒有：5mgl = Ep ，
物块P 从开始运动到运动到B 点的过程中由动能定理可得：Ep −µmg·4l = 1
2mvB2，
解得：vB = √6gl，
物块P 由B 点到D 点：−mg·2l = 1
2mvD2 −1
2mvB2，
解得：vD = √2gl，
物块P 由D 点平抛，则：2l = 1
2gt2，
x = vDt，
解得：x = 2
√
2l。
（2）解：物块P 至少过B 点，则：Ep > µmPg·4l ，
P 最多到C 点而不脱轨：Ep ≤µmPg·4l +mPgl ，
则：5
3m ≤mP < 5
2m。
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10
随堂测试
测试1 物体在运动过程中，克服重力做功100J，则以下说法正确的是（ ）
A. 物体的高度一定降低了
B. 物体的高度一定升高了
C. 物体的重力势能一定是100J
D. 物体的重力势能一定增加了100J
测试2 如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F 缓慢向上提A，直到B 恰好离开地面。开始时
木块A 静止在弹簧上面。设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B 刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，
则关于Ep1、Ep2 大小关系及弹性势能变化∆Ep，说法中正确的是（ ）
A. Ep1 = Ep2
B. Ep1 > Ep2
C. ∆Ep > 0
D. ∆Ep < 0
测试3
正确率：70%
如图所示，用轻绳跨过定滑轮悬挂质量为m1、m2 两个物体，已知m1 > m2。若滑轮质量及一切摩擦都
不计，系统由静止开始运动的过程中（ ）
A. m1、m2 各自的机械能守恒
B. m1 减少的机械能等于m2 增加的重力势能
C. m1 减少的重力势能等于m2 增加的重力势能
D. 当m1 下落高度为h 时，若m1 的速度为v，则有m1gh−m2gh = 1
2 (m1 +m2)v2
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39
10
课堂总结
第11 讲
功能关系
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41
11
1
模块
1
功能关系
知识凝炼
功能关系
1
功和能的区别与联系
⑴区别：功是过程量，能量是状态量。只能说处于某一状态的物体具有多少能量，而不能说这个物体(或
系统) 具有多少功。功和能是两个不同的概念。
⑵联系：功是能量转化的量度：
①不同形式的能量之间的转化通过做功来实现，即做功的过程是能量转化的过程；
②做了多少功就有多少能量发生了转化，功的正、负表示能量的转化方向。
2
常用的功能关系
⑴重力做功↔重力势能
重力做正功，重力势能减少；重力做负功(克服重力做功)，重力势能增加，即：WG = −∆EP。
⑵弹簧弹力做功↔弹性势能
弹簧弹力做正功，弹性势能减少；弹簧弹力做负功(克服弹力做功)，弹性势能增加，即：WN = −∆EP。
⑶合外力做功↔动能(对单个质点)
合外力做功等于物体动能变化，即动能定理：W合= ∆Ek = 1
2mv2
末−1
2mv2
初。
⑷除重力和弹簧弹力之外的力做功↔机械能
除重力(或万有引力)、弹簧弹力之外，其他所有力对系统所做的功等于系统机械能的增量，即：W其他=
∆E机械能=E末−E初。
⑸一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和↔内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功的代数和的绝对值(即滑动摩擦力与相对位移的乘积) 等于系统由摩擦产
生的内能的增量，即：fd = Q。
如果物体在地面上滑动，由于地面位移为零，则Q = fx，x 为物体对地位移。
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11
精讲精练
达标检测1
★★
正确率：71%
关于功和能，下列说法中正确的是（ ）
A. 功和能的单位相同，物理意义也相同
B. 物体对外未做功，这个物体就不具有能量
C. 物体对外做功多，这个物体具有的能量就多
D. 功和能不能相互转化，二者是不同的物理量
例1
★★★
正确率：88%
起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动。一质量为m 的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起跳，从
该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了h，离地时他的速度大小为v。下列说法
正确的是（ ）
A. 该同学机械能增加了mgh
B. 起跳过程中该同学机械能增量为mgh+ 1
2mv2
C. 地面的支持力对该同学做功为mgh+ 1
2mv2
D. 该同学所受的合外力对其做功为1
2mv2 +mgh
例2
★★★
光滑水平面上静止一质量为M 的木块，一颗质量为m 的子弹以水平速度v1 射入木块，并以速度v2 穿
出，对这个过程，下列说法正确的是（ ）
A. 子弹克服阻力做的功等于1
2m(v2
1 −v2
2)
B. 子弹对木块做的功等于子弹克服阻力做的功
C. 子弹对木块做的功等于木块获得的动能与子弹跟木块摩擦生热的内能之和
D. 子弹损失的动能等于木块的动能跟子弹和木块摩擦转化的内能之和
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43
11
达标检测2
★★★
正确率：45%
如图所示，传送带以初速度v0 匀速运动。将质量为m 的物体无初速度放在传送带上的A 端，物体将被
传送带带到B 端，已知物体到达B 端之前已与传送带相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A. 传送带对物体做功为1
2mv02
B. 传送带克服摩擦力做功1
2mv02
C. 电动机由于传送物体多消耗的能量为1
2mv02
D. 在传送物体过程中产生的热量为1
2mv02
例3
我国已相继完成“神十”与“天宫”对接、
“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”
回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月
球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的
重力加速度为g月，以月面为零势能面，
“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为Ep = GMmh
R(R+h)，其中G 为
引力常量，M 为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为（ ）
A. mg月R
R+h (h+2R)
B. mg月R
R+h
(
h+
√
2R
)
C. mg月R
R+h
(
h+
√
2
2 R
)
D. mg月R
R+h
(
h+ 1
2R
)
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11
2
模块
2
能量守恒
知识凝炼
1
内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转
移到别的物体，在这种转化和转移中能量的总量保持不变。
2
表达式：
(1)E1 = E2（初态能量等于末态能量）；
(2)∆EⅠ= −∆EⅡ（一种能量的减少等于其他能量的增加）。
精讲精练
例4
★★
正确率：86%
下列对能量的转化和守恒的认识错误的是（ ）
A. 某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加
B. 某个物体的能量减少，必然有其他物体的能量增加
C. 不需要任何外界的动力而持续对外做功的机器——永动机，是不可能制成的
D. 石子从空中落下，最后静止在地面上，说明能量消失了
达标检测3
★★★
正确率：50%
如图所示表示撑杆跳高运动的几个阶段：助跑、撑杆起跳、越横杆、落地(未画出)，在这几个阶段中有关
能量转化情况的说法，正确的是（ ）
A. 助跑阶段，身体中的化学能转化为人和杆的动能
B. 起跳时，人的动能和化学能转化为人和杆的势能
C. 越过横杆后，人的重力势能转化为动能
D. 落地后，人的能量消失了
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45
11
例5
★★★
把一乒乓球压入盛有水的烧杯底部(如图所示)，松手后，乒乓球上升至水面最后漂浮在水面上。乒乓球
在上升的过程中，它的机械能不断增加。下列关于乒乓球机械能来源的说法中正确的是（ ）
A. 是由水的内能转化来的
B. 是由水的重力势能转化来的
C. 是由乒乓球的内能转化来的
D. 是由乒乓球的化学能转化来的
例6
★★★
如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M 和m，且M > m，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中
（ ）
A. M 和m 各自的机械能分别守恒
B. M 减少的机械能等于m 增加的机械能
C. M 减少的重力势能等于m 增加的重力势能
D. M 和m 组成的系统机械能守恒
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11
例7
★★★★正确率：37%
由理想电动机带动的水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一小工件放到传送带左端点上。设工件
初速度为零，当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v 而与传送带保持相对静止。设工件质量为m，
它与传送带间的滑动摩擦系数为µ，左右端相距L，则该电动机每传送完一个工件消耗的电能为（ ）
A. µmgL
B. 1
2mv2
C. 1
2mv2 + µmgL
D. mv2
例8
★★★★
如图所示，半圆形轨道MON 竖直放置且固定在地面上，直径MN 是水平的，一小物块从M 点正上方高
度为H 处自由下落，正好在M 点滑入半圆轨道，测得其第一次离开N 点后上升的最大高度为H
2 ，小物
块接着下落，从N 点滑入半圆轨道，在向M 点滑行过程中(整个过程不计空气阻力)（ ）
A. 小物块正好能到达M 点
B. 小物块一定到不了M 点
C. 小物块一定能冲出M 点
D. 不能确定小物块能否冲出M 点
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47
11
例9
★★★★
如图所示，一倾角为α 的固定斜面下端固定一挡板，一劲度系数为k 的轻弹簧下端固定在挡板上。现将
一质量为m 的小物块从斜面上离弹簧上端距离为s 处，由静止释放，已知物块与斜面间的动摩擦因数
为µ，物块下滑过程中的最大动能为Ekm，则小物块从释放到运动至最低点的过程中，下列说法中正确
的是（ ）
A. µ < tanα
B. 物块刚与弹簧接触的瞬间达到最大动能
C. 弹簧的最大弹性势能等于整个过程中物块减少的重力势能与摩擦力对物块做功之和
D. 若将物块从离弹簧上端2s 的斜面处由静止释放，则下滑过程中物块的最大动能小于2Ekm
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11
直击高考
考题
如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37◦的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨
道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为5
6R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC = 7R，A、B、C、
D 均在同一竖直面内。质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P
沿轨道被弹回，最高点到达F 点，AF = 4R，已知P 与直轨道间的动摩擦因数µ = 1
4，重力加速度大小
为g。(取sin37◦= 3
5，cos37◦= 4
5)
（1）求P 第一次运动到B 点时速度的大小。
（2）求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能。
（3）改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放。已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出
后，恰好通过G 点。G 点在C 点左下方，与C 点水平相距7
2R、竖直相距R，求P 运动到D 点时速
度的大小和改变后P 的质量。
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11
答案（1）P 第一次运动到B 点时速度的大小vB = 2√gR。
（2）P 运动到E 点时弹簧的弹性势能Ep = 12
5 mgR。
（3）P 运动到D 点时速度为3
5
√5gR；改变后P 的质量为1
3m。
解析（1）解：根据题意知，B、C 之间的距离l 为
l = 7R−2R = 5R
设P 到达B 点时的速度为vB，由动能定理得
mgl sinθ −µmgl cosθ = 1
2mv2
B
式中θ = 37◦，联立并由题给条件得
vB = 2√gR。
（2）解：设BE = x。P 到达E 点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep。P 由B 点运动到E 点的过
程中，由动能定理有
mgxsinθ −µmgxcosθ −Ep = 0−1
2mv2
B
E、F 之间的距离l1 为
l1 = 4R−2R+x
P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有
Ep −mgl1 sinθ −µmgl1 cosθ = 0
联立并由题给条件得
x = R
Ep = 12
5 mgR。
（3）解：设改变后P 的质量为m1。D 点与G 点的水平距离x1 和竖直距离y1 分别为x1 = 7
2R−5
6Rsinθ
y1 = R+ 5
6R+ 5
6Rcosθ
式中，已应用了过C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ 的事实。设P 在D 点的速度为vD，
由D 点运动到G 点的时间为t。由平抛运动公式有：y1 = 1
2gt2
x1 = vDt
联立得vD = 3
5
√5gR
设P 在C 点速度的大小为vC。在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有
1
2m1vC2 = 1
2m1vD2 +m1g
(
5
6R+ 5
6Rcosθ
)
P 由E 点运动到C 点的过程中，同理，由动能定理有
Ep −m1g(x+5R)sinθ −µm1g(x+5R)cosθ = 1
2m1vC2
联立得m1 = 1
3m。
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随堂测试
测试1
正确率：61%
关于功和能，下列说法正确的是（ ）
A. 功和能单位相同，意义相同，功是能，能是功
B. 功和能虽然是两个不同的物理量，但是功和能可以相互转化
C. 水对水轮机做了8.9×106J 的功表示水的能量减少了8.9×106J
D. 竖直上抛的石子上升过程克服重力做功5J 表示石子将5J 的功转化为5J 的重力势能
测试2
正确率：54%
节日燃放礼花弹时，要先将礼花弹放入一个竖直的炮筒中，然后点燃礼花弹的发射部分，通过火药剧烈
燃烧产生的高压燃气，将礼花弹由炮筒底部射向空中。若礼花弹在由炮筒底部发射至炮筒口的过程中，
克服重力做功W1，克服炮筒阻力及空气阻力做功W2，高压燃气对礼花弹做功W3，则礼花弹在炮筒内
运动的过程中(设礼花弹发射过程中质量不变)（ ）
A. 动能变化量为W3 +W2 +W1
B. 动能变化量为W3 −W2 −W1
C. 机械能变化量为W3 −W2
D. 机械能变化量为W3 −W2 −W1
测试3 上端固定的一根细线下面悬挂一摆球，摆球在空气中摆动，摆动的幅度越来越小，对此现象，下列说法
正确的是（ ）
A. 摆球机械能守恒
B. 总能量守恒，摆球的机械能正在减少，减少的机械能转化为周围的内能
C. 能量正在消失
D. 只有动能和重力势能的相互转化
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51
11
课堂总结
第12 讲
库仑定律及其应
用
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53
12
1
模块
1
电荷守恒定律
知识凝炼
1
电现象
(1) 正电荷: 用丝绸摩擦过的玻璃棒所带的电荷；
负电荷: 用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷。
(2) 同种电荷相斥，异种电荷相吸。
2
常见的三种起电方式
(1) 摩擦起电: 当两个物体互相摩擦时，一些束缚得不紧的电子往往从一个物体转移到另一个物体，于是原
来电中性的物体由于得到电子而带负电，失去电子的物体则带正电。
(2) 接触起电: 将一个带电体与另一个不带电的物体接触，就可以使不带电的物体带电。一般情况下，接触
后两个物体带有同种电荷；两个完全相同的物体接触后带电量相等。
(3) 感应起电: 当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或排斥，导体中的自由电荷便会趋向或远离
带电体，使导体靠近带电体的一端带异号电荷，远离带电体的一端带同号电荷，这种现象叫做静电感应。利用静
电感应使金属导体带电的过程叫做感应起电。
3
电荷守恒定律
(1) 表述一: 电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转
移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。
(2) 表述二: 一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。
4
元电荷
(1) 电荷量: 电荷的多少叫电荷量，一般用q 表示。电荷量的单位是库仑，简称库，用C 表示。正电荷的电
荷量为正值，负电荷的电荷量为负值。
(2) 最小电荷量就是电子所带的电荷量，人们把它叫做元电荷，用e 表示。e = 1.60217733×10−19C，可取
e = 1.60×10−19C。
(3) 带电粒子电荷量与质量的比值叫做比荷。电子的比荷为: e
m = 1.76×1011C/kg
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
54
12
精讲精练
例1
★★★
用金属箔做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上。小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦
后，将笔套自上向下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5cm 时圆环被吸引到笔套上，如图所示。对上述现象
的判断与分析，下列说法不正确的是（ ）
A. 摩擦使笔套带电
B. 带电的笔套靠近圆环时，圆环上、下部感应出异号电荷
C. 笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
D. 圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力
达标检测1
★★
正确率：85%
一个带负电的绝缘金属小球被放在潮湿的空气中，经过一段时间后，发现该小球上的静电荷几乎不存在
了，这说明（ ）
A. 小球上原有的负电荷逐渐消失了
B. 在此现象中，电荷不守恒
C. 小球上负电荷减少的主要原因是潮湿的空气将电荷导走了
D. 该现象是由于电子的转移引起的，仍然遵循电荷守恒定律
例2
★★★
把两个完全相同的金属球A 和B 接触一下，再分开一小段距离，发现两球之间相互排斥，则A 和B 两
球原来的带电情况不可能是（ ）
A. A 和B 原来带等量异种电荷
B. A 和B 原来带有同种电荷
C. A 和B 原来带异种不等量电荷
D. A 原来带电，B 原来是中性的
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55
12
例3
★★★
用绝缘柱支撑着贴有小金属箔的导体A 和B，使它们彼此接触，起初它们不带电，贴在它们下部的并列
平行双金属箔是闭合的。现将带正电荷的物体C 移近导体A，发现金属箔都张开一定的角度，如图所示，
则（ ）
A. 导体B 下部的金属箔感应出负电荷
B. 导体B 下部的金属箔感应出正电荷
C. 导体A 和B 下部的金属箔都感应出负电荷
D. 导体A 感应出负电荷，导体B 感应出等量的正电荷
达标检测2
★★
正确率：73%
关于摩擦起电和感应起电的实质，下列说法正确的是（ ）
A. 摩擦起电现象说明了机械能可以转化为电能，也说明通过做功可以创造电荷
B. 摩擦起电说明电荷可以从一个物体转移到另一个物体
C. 感应起电说明电荷可以从物体的一部分转移到另一部分
D. 感应起电说明电荷从带电的物体转移到原来不带电的物体上去了
例4
★★
保护知识产权，抵制盗版是我们每个公民的责任与义务，盗版书籍影响我们学习效率，甚至给我们的学
习带来隐患。小华有一次不小心购买了盗版的物理参考书，做练习时，他发现有一个关键数据看不清，
拿来问老师，如果你是老师，你认为可能是下列几个数据中的（ ）
A. 6.2×10−19C
B. 6.4×10−19C
C. 6.6×10−19C
D. 6.8×10−19C
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
56
12
2
模块
2
库仑定律
知识凝炼
1
点电荷
带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体就可以看做点
电荷。点电荷是一种理想化的物理模型。
2
库仑定律
(1) 库仑定律的内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的
距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。电荷间这种相互作用力叫做静电力或库仑力。
(2) 库仑定律表达式为：F = kq1q2
r2 ，其中k 是静电力常量，k = 9.0×109N·m2/C2
(3) 使用条件：
①库仑定律只适用于真空中的点电荷，但在要求不很精确的情况下，点电荷在空气中的相互作用也可以
应用库仑定律。
②当带电体间的距离远大于它们本身的尺寸时，可把带电体看作点电荷。但不能根据公式错误地推论：当
r →0 时，F →∞。其实，在这样的条件下，两个带电体已经不能再看作点电荷了。
③对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集于球心的点电荷，r 为两球心之间的距离。
④对两个带电金属球，要考虑金属表面电荷的重新分布。
精讲精练
达标检测3
★★
下面关于点电荷的说法正确的是（ ）
A. 只有体积很小的带电体才可看作点电荷
B. 只有做平动的带电体才可看作点电荷
C. 只有带电荷量很少的带电体才可看作点电荷
D. 点电荷所带电荷量可多可少
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57
12
例5
★★★
正确率：75%
两个分别带有电荷量−Q 和+3Q 的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r 的两处，它们之
间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为r
2，则两球间库仑力的大小为（ ）
A. 1
12F
B. 3
4F
C. 4
3F
D. 12F
例6
★★★★正确率：70%
如图所示，一个均匀的带电圆环，带电荷量为+Q，半径为R，放在绝缘水平桌面上。圆心为O 点，过O
点做一竖直线，在此线上取一点A，使A 到O 点的距离为R，在A 点放一试探电荷+q，则+q 在A 点
所受的库仑力为（ ）
A. kQq
R2 ，方向向上
B.
√
2kQq
4R2
，方向向上
C. kQq
4R2 ，方向水平向左
D. 不能确定
例7
★★★★正确率：32%
一半径为R 的绝缘球壳上均匀的带有电荷量为+Q 的电荷，另一电荷量为+q 的点电荷放在球心O 点
上，由于对称性，点电荷受力为零，现在球壳上挖去半径为r(r ≪R) 的一个小圆孔，此时置于球心的点
电荷受力的大小和方向（ ）
A. 受力大小为kQqr2
4R4 ，方向指向小孔
B. 受力大小为kQqr2
4R4 ，方向背向小孔
C. 受力大小为kQq(4R2 −r2)
4R4
，方向指向小孔
D. 受力大小为kQq(4R2 −r2)
4R4
，方向背向小孔
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
58
12
例8
★★★★
如图所示、用三根长度相同的绝缘细线将三个带电小球连接后悬挂在天花板。三个带电小球质量相等，
A 球带正电，平衡时三根绝缘细线都是直的，但拉力都为零，则（ ）
A. B 球带正电荷，C 球带负电荷
B. B 球带负电荷，C 球带正电荷
C. B 球和C 球所带电荷量不一定相等
D. B 球和C 球所带电荷量一定相等
例9
★★★★正确率：25%
如图，光滑绝缘的水平面上依次放置A、B、C 三个带电小球恰处于平衡状态，若已知A、B 的电荷量，那
么下列说法不正确的是（ ）
A. B 的电荷量一定小于A 和C 的电荷量
B. B 一定与AC 电性相反
C. B 的电荷量大小可以由qAqC = qAqB +qBqC 求得
D. 因不知小球之间的距离，故B 的电荷量无法定量求得
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59
12
直击高考
考题
如图，三个固定的带电小球a，b 和c，相互间的距离分别为ab = 5cm，bc = 3cm，ca = 4cm，小球c 所受
库仑力的合力的方向平行于a，b 的连线，设小球a，b 所带电荷量的比值的绝对值为k，则（ ）
A. a，b 的电荷同号，k = 16
9
B. a，b 的电荷异号，k = 16
9
C. a，b 的电荷同号，k = 64
27
D. a，b 的电荷异号，k = 64
27
答案
D
解析
解：根据同种电荷相斥，异种电荷相吸，且小球c 所受库仑力的合力的方向平行于a，b 的连线，可知：a，
b 的电荷异号，
对小球c 受力分析，如图所示：
因ab = 5cm，bc = 3cm，ca = 4cm，故ac⊥bc，那么两力的合力构成矩形，
依据相似三角形之比，则有：Fa
Fb
= ac
bc = 4
3；
而根据库仑定律，Fa = kqcqa
(ac)2 ，Fb = kqcqb
(bc)2 ，
综上所得，qa
qb
= 4
3 × 42
32 = 64
27，故ABC 错误，D 正确。
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60
12
随堂测试
测试1 关于元电荷，正确的说法是（ ）
A. 元电荷就是点电荷
B. 1C 电荷量叫元电荷
C. 元电荷就是电子
D. 元电荷目前被认为是自然界中电荷的最小单元
测试2
正确率：77%
下列关于点电荷的说法中正确的是（ ）
A. 只要带电体的体积很小，都可以看成点电荷
B. 只要带电体的电荷量很小，都可以看成点电荷
C. 均匀带电圆环一定不能看成点电荷
D. 只要带电体的大小远小于电荷间的距离，都可看成点电荷
测试3
正确率：32%
半径相同的两个金属球A、B（可以看作点电荷）带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间相互吸引
力的大小是F，今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B 两球接触后移开，这时A、B 两球
之间的相互作用力的大小是（ ）
A. F
8
B. F
4
C. 3F
8
D. 3F
4
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61
12
课堂总结
第13 讲
电场中的力学问
题
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63
13
1
模块
1
电场强度
知识凝炼
1
电场
电荷的周围存在由它产生的电场。电场明显的特征之一是对场中的其他电荷具有作用力。
电场以及磁场已被证明是一种客观存在，并且是互相联系的，统称为电磁场。变化的电磁场以光速在空间
传播。它和实物一样具有能量和动量，因而场与实物是物质存在的两种不同形式。本章只讨论静止电荷产生的
电场，称为静电场。
2
电场强度
(1) 定义：放入电场中某点的试探电荷(又称检验电荷，电性可正可负) 所受的电场力F 与电荷量q 的比
值。
⑵公式：E = F
q 。对于E = F
q ，等号右边的物理量与被定义的物理量之间不存在正比或反比的函数关系，
只是用右边两个物理量之比来反映被定义的物理量的属性。
⑶方向：某点电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力方向相同。
⑷单位：电场强度的单位是牛顿每库仑，符号为N/C。
3
点电荷周围的场强
场源电荷Q 与试探电荷q 相距为r，则它们间的库仑力为F = kQq
r2 = qk Q
r2 ，所以电荷q 处的电场强度
E = F
q = k Q
r2 ，如图所示。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
64
13
(1) 公式：E = k Q
r2 ，Q 为真空中场源点电荷的带电荷量，r 为该点到点电荷Q 的距离。
(2) 方向：若Q 为正电荷，场强方向沿Q 和该点的连线指向该点；若Q 为负电荷，场强方向沿Q 和该点的
连线指向Q。
(3) 适用条件：真空中点电荷Q 产生的电场。
精讲精练
例1
★★
下列说法中不正确的是（ ）
A. 电场是人为设想出来的，其实并不存在
B. 电荷间的相互作用是通过电场产生的，电场对处于其中的电荷有力的作用
C. 只要有电荷存在，电荷周围就一定存在着电场
D. 电场是一种特殊物质，是客观存在的
例2
★★
如图，把q1 = −1.0×10−9C 的检验电荷放入点电荷Q 产生的电场中的P 点，测得q1 所受电场力大小
为1.0×10−6N，方向水平向右。Q 在P 激发的电场强度为（ ）
A. 1000N/C，方向水平向右
B. 1000N/C，方向水平向左
C. 10N/C，方向水平向右
D. 10N/C，方向水平向左
达标检测1
★★
正确率：67%
在电场中某一点放一试探电荷q，它受到的静电力为F，则该点的电场强度为E = F
q ，那么下列说法正
确的是（ ）
A. 若移去试探电荷，则该点电场强度为0
B. 若该点放一电荷量为2q 的试探电荷，则该点的电场强度为2E
C. 若该点放一电荷量为2q 的试探电荷，则该点的电场强度为E
2
D. 若该点放一电荷量为2q 的试探电荷，则该点的电场强度为E
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65
13
例3
★★★
正确率：44%
在一个真空点电荷电场中，离该点电荷为r0 的一点，引入电量为q 的检验电荷，所受到的电场力为F，
则离该点电荷为r 处的场强的大小为（ ）
A. F
q
B. Fr02
qr2
C. Fr0
qr
D.
F
√r0
r
q
2
模块
2
电场叠加
知识凝炼
电场强度的叠加
电场中某点的电场强度为各个场源点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。这种关系叫做电场强度
的叠加。例如，图P 点的电场强度，等于+Q1 在该点产生的电场强度E1 与−Q2 在该点产生电场强度E2 的
矢量和。
精讲精练
例4
★★★
正确率：65%
如图，两个等量正点电荷位于垂直于x 轴的连线上，相对原点O 对称分布，则x 轴上电场强度E 与位
置x 的关系可能是( )
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
66
13
达标检测2
★★★
正确率：40%
在x 轴上的−L 和L 点分别固定了A，B 两个点电荷，A 的电荷量为+Q，B 的电荷量为−Q，如图所示，
设沿x 轴正方向为电场强度的正方向，则整个x 轴上的电场强度E 随x 变化的图象正确的是（ ）
例5
★★★
如图所示，图中边长为a 的正三角形ABC 的三个顶点分别固定有三个点电荷+q、+q、−q，则该三角形
中心O 点处的场强为（ ）
A.
√
3kq
a2
，方向由C 指向O
B.
√
3kq
a2
，方向由O 指向C
C. 6kq
a2 ，方向由O 指向C
D. 6kq
a2 ，方向由C 指向O
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67
13
例6
★★★★正确率：35%
如图所示，N 个小球(可看做质点) 均匀分布在半径为R 的圆周上，圆周上P 点的一个小球所带电荷量
为−3q，其余小球带电量为+q，圆心处的电场强度大小为E，若仅撤去P 点的带电小球，圆心处的电场
强度大小为（ ）
A. E
B. E
2
C. E
3
D. E
4
3
模块
3
电场线
知识凝炼
1
电场线
电场线是用于描述电场的假想曲线，电场线具有以下性质
⑴电场线越密的地方，场强越大。
⑵电场线上各点的切线方向是该点处的场强方向。
⑶电场线既不相交也不闭合。
2
几种典型电场的电场线分布
⑴正点电荷电场的电场线如图甲所示，起始于正电荷，终止于无穷远。
⑵负点电荷电场的电场线如图乙所示，起始于无穷远，终止于负电荷。
⑶等量异种点电荷形成电场的电场线分布如图丙所示，等量同种正点电荷形成电场的电场线分布如图丁
所示。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
68
13
⑷各点电场强度的大小相等、方向相同的电场叫做匀强电场。带有等量异号电荷的一对平行金属板，如
果两板相距很近，它们之间的电场，除边缘部分外，可以看做匀强电场。在两板的外面几乎没有电场。
精讲精练
例7
★★★
以下关于电场线的叙述，正确的是（ ）
A. 电场线是电荷移动的轨迹
B. 电场线是仅受电场力作用且从静止开始运动的电荷的运动轨迹
C. 仅受电场力作用时，电荷不可能沿电场线运动
D. 电荷的运动轨迹有可能与电场线重合
例8
★★
下列正确描述正点电荷电场线的图示是（ ）
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69
13
达标检测3
★★
下列电荷，能产生图中电场线的是（ ）
A. 等量同种点电荷
B. 等量异种点电荷
C. 单个正点电荷
D. 单个负点电荷
例9
★★★
正确率：75%
如图所示，是某电场中的电场线，在该电场中有A、B 两点，下列结论正确的是（ ）
A. A 点的场强比B 点的场强大
B. A 点的场强方向与B 点的场强方向相同
C. 将同一点电荷分别放在A、B 两点，放在A 点的加速度比放在B 点的加速度大(不计重力)
D. 因为A、B 两点没有电场线通过，所以电荷放在这两点都不会受电场力的作用
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
70
13
直击高考
考题
如图1 所示，半径为R 均匀带电圆形平板，单位面积带电量为σ，其轴线上任意一点P(坐标为x) 的电
场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E = 2πkσ
1−
x
(
R2 +x2)
1
2
，方向沿x 轴。现考
虑单位面积带电量为σ0 的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r 的圆板，如图2 所示。则圆
孔轴线上任意一点Q(坐标为x) 的电场强度为（ ）
A. 2πkσ0
x
(r2 +x2)
1
2
B. 2πkσ0
r
(r2 +x2)
1
2
C. 2πkσ0 x
r
D. 2πkσ0 r
x
答案
A
解析
利用均匀带电圆板轴线上的场强公式E = 2πkδ
1−
x
(
R2 +x2)1
2
，当R 趋向于∞时，Q 点电场强度
E1 = 2πkσ0，当R = r 时，Q 点电场强度E2 = 2πkσ0
1−
x
(
r2 +x2)1
2
，现从带电平板上中间挖去一半
径为r 的圆板，则Q 点电场强度E3 = E1 −E2 = 2πkσ0
x
(r2 +x2)
1
2
，只有选项A 正确。
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71
13
随堂测试
测试1 下列关于电场强度的说法中，正确的是（ ）
A. 公式E = F
q 只适用于真空中点电荷产生的电场
B. 由公式E = F
q 可知，电场中某点的电场强度E 与试探电荷q 在电场中该点所受的电场力成正比
C. 在公式F = kQ1Q2
r2
中，kQ2
r2 是点电荷Q2 产生的电场在点电荷Q1 处的电场强度的大小；而kQ1
r2 是
点电荷Q1 产生的电场在点电荷Q2 处的电场强度的大小
D. 由公式E = k Q
r2 可知，在离点电荷距离相同的地方电场强度相等
测试2
正确率：57%
如图，M、N 和P 是以MN 为直径的半圆弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，∠MOP = 60◦。电荷量相
等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N 两点，这时O 点电场强度的大小为E1；若将N 点处的点电
荷移至P 点，则O 点的场强大小变为E2，E1 与E2 之比为（ ）
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 2 :
√
3
D. 4 :
√
3
测试3
正确率：76%
下列关于电场线的说法中，正确的是（ ）
A. 电场线上每一点的切线方向为该点场强的方向
B. 电场线的方向就是电荷的受力方向
C. 电场线是反映电场性质而客观存在的线
D. 电场线是从正电荷出发到负电荷，又从负电荷回到正电荷的闭合曲线
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72
13
课堂总结
第14 讲
电场中的能量问
题
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75
14
1
模块
1
电势能
知识凝炼
1
电场力做功的特点
在电场中移动电荷时，电场力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。这个结
论适用于所有静电场。
2
电势能
势能是相互作用的物体凭借其位置而具有的能量。电场与电荷有相互作用，且电场力做的功与路径无关，
只与物体位置变化有关，而做功是能量转化的量度，因此可以说电荷在电场中凭借其位置而具有能量，我们把
这种势能叫做电势能。
⑴定义：由电荷及电荷在电场中的相对位置决定的势能，叫电荷的电势能。
①势能具有相对性，其值与零参考点的选取有关(通常选大地或无穷远为电势能零点)。
②电势能是标量，是电荷与所在电场所共有的。
⑵电场中的功能关系
①电荷仅受静电力作用时，电荷的电势能与动能之和守恒。
②静电力做功是电荷电势能变化的量度，具体来讲，静电力对电荷做正功时，电荷的电势能减少；静电力
对电荷做负功时，电荷的电势能增加，并且，电势能增加或减少的数值等于静电力做功的数值。公式：WAB = EpA
−EpB。
⑶大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时电场力做的功。通常把电荷在无穷
远处或地表处的电势能规定为0。
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76
14
精讲精练
例1
★★
正确率：88%
如图所示，电场强度为E 的匀强电场中，带电荷量为+q 的电荷沿直线AB、折线ACB、曲线AB 运动，
关于电场力做的功和大小关系，下列说法正确的是（ ）
A. 沿折线ACB 运动时做功最多
B. 沿直线AB 运动时做功最少
C. 沿直线AB 运动时，电场力做功为qEd
D. 沿折线ACB 运动时做功为Eq(l +l′)
例2
★★★
正确率：53%
如图甲所示，在某电场中建立x 坐标轴，A、B 为x 轴上的两点，xA、xB 分别为A、B 两点在x 轴上的坐标
值。一电子仅在电场力作用下沿x 轴运动，该电子的电势能Ep 随其坐标x 变化的关系如图乙所示，则
下列说法中正确的是（ ）
A. 该电场一定不是孤立点电荷形成的电场
B. A 点的电场强度小于B 点的电场强度
C. 电子由A 点运动到B 点的过程中电场力对其所做的功W = EpA −EpB
D. 电子在A 点的动能小于在B 点的动能
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77
14
达标检测1
★★★
如图所示，实线是一簇未标明方向的由点电荷Q 产生的电场线，若带电粒子q(|Q| ≫|q|) 由a 运动到
b，电场力做正功。已知粒子在a、b 两点所受电场力分别为Fa、Fb，则下列判断正确的是（ ）
A. 若Q 为正电荷，则q 带正电，Fa > Fb
B. 若Q 为正电荷，则q 带正电，Fa < Fb
C. 若Q 为负电荷，则q 带正电，Fa > Fb
D. 若Q 为负电荷，则q 带正电，Fa < Fb
例3
★★★
下列说法中正确的是（ ）
A. 无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，电场力做的正功越多，电荷在该点的电势
能越大
B. 无论是正电荷还是负电荷，从电场中某点移到无穷远处时，电场力做的正功越少，电荷在该点的电势
能越大
C. 无论是正电荷还是负电荷，从无穷远处移到电场中某点时，克服电场力做功越多，电荷在该点的电势
能越大
D. 无论是正电荷还是负电荷，从无穷远处移到电场中某点时，克服电场力做功越多，电荷在该点的电势
能越小
达标检测2
★★★
静电场中，一带电粒子仅在电场力的作用下自M 点由静止开始运动，N 为粒子运动轨迹上的另外一点，
则（ ）
A. 运动过程中，粒子的速度大小可能先增大后减小
B. 在M、N 两点间，粒子的轨迹一定与某条电场线重合
C. 粒子在M 点的电势能不低于其在N 点的电势能
D. 粒子在N 点所受电场力的方向一定与粒子轨迹在该点的切线平行
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
78
14
例4
★★★
电荷量分别为+q、+q、−q 的三个带电小球，分别固定在边长均为L 的绝缘三角形框架的三个顶点上，
并置于电场强度为E 的匀强电场中，如图所示。若三角形绕穿过其中心O 且垂直于三角形所在平面的
轴逆时针转过120◦，则此过程中系统电势能变化情况为（ ）
A. 增加EqL
B. 减少EqL
C. 增加2EqL
D. 减少2EqL
例5
★★★★
如图，半径为R 的均匀带正电薄球壳，其上有一小孔A，已知壳内的场强处处为零，壳外空间的电场与
将球壳上的全部电荷集中于球心O 时在壳外产生的电场一样，一带正电的试探电荷(不计重力) 从球心
以初动能Ek0 沿OA 方向射出，下列关于试探电荷的动能Ek 与离开球心的距离r 的关系图线，可能正
确的是（ ）
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79
14
2
模块
2
电势
知识凝炼
1
电势
⑴定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势，一般用φ 表示，φ = Ep
q 。
⑵单位：电势单位是伏特，简称伏，符号为V。1V = 1J/C。
⑶电势与电场线的关系：沿着电场线方向电势逐渐降低。
⑷应先规定电场中某处的电势为零，然后才能确定电场中其他各点的电势。在物理学的理论研究中常取
无穷远处电势为零，在实际应用中常取大地的电势为零。
在规定了电势零点后，电场中各点的电势可以是正值，也可以是负值。电势只有大小，没有方向，是标量。
2
等势面
电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面，等势面是用于描述电场的假想曲面。
等势面具有以下性质：
⑴在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
⑵电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
⑶等势面之间不会相交。
⑷等势面越密，电场强度越大。
3
几种典型电场的等势面分布
⑴点电荷的等势面是一系列同心球面。
⑵等量异、同种点电荷等势面比较。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
80
14
⑶匀强电场中的等势面是一系列平行的平面。
精讲精练
达标检测3
★★★
正确率：62%
将一正电荷从无穷远处移入电场中M 点，电势能减少了8.0 ×10−9J，若将另一等量的负电荷从无穷远
处移入电场中的N 点，电势能增加了9.0×10−9J，则下列判断中正确的是（ ）
A. φM < φN < 0
B. φN > φM > 0
C. φN < φM < 0
D. φM > φN > 0
例6
★★★
如图所示，匀强电场中的△PAB 平面平行于电场方向，C 点为AB 的中点，D 点为PB 的中点，将一个带
电粒子从P 点移动到A 点，电场力做功WPA = 1.6×10−8J；将该粒子从P 点移动到B 点，电场力做功
WPB = 3.2×10−8J。则下列说法正确的是（ ）
A. 直线PC 为等势线
B. 直线AD 为等势线
C. 若将该粒子从B 点移动到A 点，电场力做功WBA = 1.6×10−8J
D. 若将该粒子从P 点移动到C 点，电场力做功是WPC = 2.4×10−8J
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81
14
例7
★★★
空间中P、Q 两点处各固定一个点电荷，其中P 点处为正电荷，P、Q 两点附近电场的等势面分布如图所
示，a、b、c、d 为电场中的4 个点，则（ ）
A. P、Q 两点处的电荷等量同种
B. a 点和b 点的电场强度相同
C. c 点的电势低于d 点的电势
D. 负电荷从a 到c，电势能减少
例8
★★★★
两个固定的等量异号点电荷所产生电场等势面如图中虚线所示，一带负电的粒子以某一速度从图中A
点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用，则粒子在电场中（ ）
A. 做直线运动，电势能先变小后变大
B. 做直线运动，电势能先变大后变小
C. 做曲线运动，电势能先变小后变大
D. 做曲线运动，电势能先变大后变小
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
82
14
直击高考
考题
正确率：33%
如图，同一平面内的a、b、c、d 四点处于匀强电场中，电场方向与此平面平行，M 为a、c 连线的中点，N
为b、d 连线的中点，一电荷量为q(q > 0) 的粒子从a 点移动到b 点，其电势能减小W1；若该粒子从c
点移动到d 点，其电势能减小W2，下列说法正确的是（ ）
A. 此匀强电场的场强方向一定与a、b 两点连线平行
B. 若该粒子从M 点移动到N 点，则电场力做功一定为W1 +W2
2
C. 若c、d 之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为W2
qL
D. 若W1 = W2，则a、M 两点之间的电势差一定等于b、N 两点之间的电势差
答案
B，D
解析
A、一电荷量为q(q > 0) 的粒子从a 点移动到b 点，其电势能减小W1，但ab 连线不一定沿着电场线，
故A 错误；
B、粒子从a 点移动到b 点，其电势能减小W1，故qφa −qφb = W1，
粒子从c 点移动到d 点，其电势能减小W2，故qφc −qφd = W2，
匀强电场中，沿着相同方向每前进相同距离电势的变化相同，故φa −φM = φM −φc，
即φM = 1
2 (φa +φc)，
同理φN = 1
2 (φb +φd)，
故qφM −qφN = W1 +W2
2
，故B 正确；
C、若c、d 之间的距离为L，但cd 不一定平行电场线，故W2 = qELcosθ，θ 为cd 与电场线的夹角，不
一定为零，故该电场的场强大小不一定为W2
qL ，故C 错误；
D、若W1 = W2，根据U = W
q 可知，Uab = Ucd，故φa −φb = φc −φd，则φa −φc = φb −φd，故Uac = Ubd；
而Uac = 2UaM，Ubd = 2UbN，故UaM = UbN，故D 正确。
故选：BD。
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83
14
随堂测试
测试1
正确率：71%
在电场中，把电荷量为4×10−9C 的正点电荷从A 点移动到B 点，克服静电力做功6×10−8J，以下说
法中正确的是（ ）
A. 电荷在B 点具有的电势能是6×10−8J
B. B 点的电势是15V
C. 电荷的电势能增加了6×10−8J
D. 电荷的电势能减少了6×10−8J
测试2
正确率：56%
如图所示，abcd 是矩形的四个顶点，它们正好处于某一匀强电场中，电场线与矩形所在平面平行。已知
ab =
√
3cm，ad = 3cm；a 点电势为15V，b 点电势为24V，d 点电势为6V。则此匀强电场的电场强度大
小为（ ）
A. 300V/m
B. 300
√
3V/m
C. 600V/m
D. 600
√
3V/m
测试3
正确率：18%
如图所示，虚线a、b、c 代表电场中三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，即Uab = Ubc，实线
为一带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、Q 是这条轨迹上的两点，据此可知
（ ）
A. 三个等势面中，a 的电势最高
B. 带电质点在P 点具有的电势能比在Q 点具有的电势能小
C. 带电质点通过P 点时的动能比通过Q 点时的大
D. 带电质点通过P 点时的加速度比通过Q 点时的大
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84
14
课堂总结
第15 讲
电容器
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87
15
1
模块
1
电势差
知识凝炼
⑴定义：电场中两点间电势的差值叫做电势差，也叫电压，用U 表示。公式：UAB = φA −φB。
⑵电势差与电场力做功的关系：UAB = WAB
q 。
⑶电势差与电场强度的关系：在匀强电场中，UAB = Ed，也可写做E = UAB
d 。d 为两点沿电场线方向的距
离。
精讲精练
例1
★★
正确率：61%
对于电场中A、B 两点，下列说法中正确的是（ ）
A. 电势差的定义式UAB = WAB
q ，说明两点间的电势差UAB 与电场力做功WAB 成正比，与移动电荷的电
荷量q 成反比
B. 把正电荷从A 点移到B 点电场力做正功，则有UAB > 0
C. 电势差的定义式UAB = WAB
q
中，UAB 与移动电荷的电荷量q 无关
D. 电场中A、B 两点间的电势差UAB 等于把正电荷q 从A 点移动到B 点时电场力所做的功
达标检测1
★★★
正确率：85%
在电场中，A、B 两点间的电势差UAB = 75V，B、C 两点间的电势差UBC = −200V，则A、B、C 三点电势高
低关系是（ ）
A. φA > φB > φC
B. φA < φC < φB
C. φC > φA > φB
D. φC > φB > φA
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
88
15
例2
★★★
正确率：72%
空间某一静电场的电势φ 在x 轴上分布如图所示，若规定沿x 轴正向的电场强度为正，则x 轴上电场
强度在x 轴方向上的分量E 随x 变化的图象是（ ）
例3
★★★
正确率：76%
如图所示，a、b 是电场线上的两点，将一点电荷q 从a 点移动到b 点，电场力做功W，且知a、b 间的距
离为d，则以下说法中正确的是（ ）
A. a、b 两点间的电势差为W
q
B. a 点的电场强度为E = W
qd
C. b 点的电场强度为E = W
qd
D. a 点的电势为W
q
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89
15
例4
★★★★正确率：56%
如图所示，abcd 是矩形的四个顶点，它们正好处于某一匀强电场中，电场线与矩形所在平面平行。已知
ab =
√
3cm，ad = 3cm；a 点电势为15V，b 点电势为24V，d 点电势为6V。则此匀强电场的电场强度大
小为（ ）
A. 300V/m
B. 300
√
3V/m
C. 600V/m
D. 600
√
3V/m
达标检测2
★★★★
如图所示，A、B、C、D、E、F 为匀强电场中一个边长为10cm 的正六边形的六个顶点，A、C、D 三点电势分
别为1.0V、2.0V、3.0V，正六边形所在平面与电场线平行。则（ ）
A. E 点的电势与C 点的电势相等
B. 电势差UEF 与电势差UBC 相同
C. 电场强度的大小为20
√
3
3
V/m
D. 电场强度的大小为20
√
3V/m
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
90
15
2
模块
2
电容器
知识凝炼
1
两个彼此绝缘又相互靠近的导体就可以构成电容器，电容器所带电荷量与两板间电势差的比值，叫做电
容器的电容。
2
电容的定义式为C = Q
U 。可由C = ∆Q
∆U 计算电容C。在国际单位制中，电容的单位是法拉(F)，常用单位
有微法(µ F) 和皮法(pF)。它们的换算关系是1F = 106 µ F = 1012pF。
3
电容器所带电荷量是电容器的一个极板上所带电荷量的绝对值。使电容器带电的过程称为充电；使充电
后的电容器失去电荷的过程称为放电。
4
平行板电容器的电容，跟电介质的相对介电常数εr 成正比，跟正对面积S 成正比，跟极板间距离d 成反
比，用公式表示为C = εrS
4πkd 。
精讲精练
例5
★★
关于电容器的电容，下列说法正确的是（ ）
A. 电容器所带的电荷量越多，电容越大
B. 电容器两极板间电压越高，电容越大
C. 电容器不带电时，电容为零
D. 电容是描述电容器储存电荷能力的物理量
达标检测3
★★
一个电容器所带电荷量增加4×10−7C 时，其电势差增加了20V，则它的电容是（ ）
A. 1×10−8F
B. 2×10−8F
C. 4×10−8F
D. 8×10−8F
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91
15
例6
★★
正确率：72%
一个电容器的规格是100µF、25V，对这两个数据的理解正确的是（ ）
A. 这个电容器加上25V 电压时，电容才是100µF
B. 这个电容器最大电容是100µF，当带电荷量较小时，电容小于100µF
C. 这个电容器所加电压不能高于25V
D. 这个电容器所加电压可以低于25V，但电容不变，总是100µF
例7
★★★
如图所示，平行板电容器的金属板始终与电源两极相连，电源电压为8.0V，两板的间距为2cm，而且极
板B 接地。极板间有C、D 两点，C 距A 板0.5cm，D 距B 板0.5cm，则（ ）
A. 两板间的场强为400V/m
B. C、D 两点的电势相等
C. C 点的电势φC = 2.0V
D. D 点的电势φD = 2.0V
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92
15
例8
★★★
正确率：61%
平板电容器A、B 带有等量异种电荷，通过如图所示的方式与静电计相连。可由静电计指针的偏转定性
显示电容器两极板间的电势差。θ 表示静电计指针的偏角，C 表示电容器的电容。实验中，可认为极板
所带电荷量不变。则下列操作中符合实验事实的是（ ）
A. 把A 板向右移，C 变大，θ 增大
B. 把A 板向左移，C 变大，θ 增大
C. 把A 板竖直向下移，C 变大，θ 减小
D. 把A、B 板间插入一块电介质，C 变大，θ 减小
例9
★★★★正确率：58%
如图所示，当被测物体在左右方向发生位移时，电介质板随之在电容器两极板之间移动。如果测出了电
容的变化，就能知道物体位移的变化。若电容器的电容变大，则物体的位移可能的变化是（ ）
A. 加速向右移动
B. 加速向左移动
C. 减速向右移动
D. 减速向左移动
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93
15
直击高考
考题
将平行板电容器两极板之间的距离、电压、电场强度大小和极板所带的电荷量分别用d、U、E、Q 表示。
下列说法正确的是（ ）
A. 保持U 不变，将d 变为原来的两倍，则E 变为原来的一半
B. 保持E 不变，将d 变为原来的一半，则U 变为原来的两倍
C. 保持d 不变，将Q 变为原来的两倍，则U 变为原来的一半
D. 保持d 不变，将Q 变为原来的一半，则E 变为原来的一半
答案
A，D
解析
根据平行板电容器的电容C =
εS
4πkd 和电容的定义式C = Q
U ，可得E = U
d = 4πkQ
εS 。保持U 不变，将
d 变为原来的两倍，则E 变为原来的一半，A 正确；
保持E 不变，将d 变为原来的一半，则U 变为原来的一半，B 错；
保持d 不变，将Q 变为原来的两倍，则U 变为原来的两倍，C 错；
保持d 不变，将Q 变为原来的一半，则E 变为原来的一半，D 正确。
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
94
15
随堂测试
测试1
正确率：80%
下列说法正确的是（ ）
A. A、B 两点的电势差等于将正电荷从A 点移到B 点时电场力所做的功
B. 电势差是一个标量，但是有正值与负值之分
C. 由于电场力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置
有关
D. A、B 两点的电势差是恒定的，不随零电势面的不同而改变，所以UAB = UBA
测试2 下列关于电容器的叙述正确的是（ ）
A. 电容器是储存电荷和电能的容器，只有带电的容器才称为电容器
B. 任何两个彼此绝缘而又互相靠近的导体，就组成了电容器，跟这两个导体是否带电无关
C. 电容器所带的电荷量是指每个极板所带电荷量的绝对值
D. 电容器充电过程是将其他形式的能转变成电容器的电场能并储存起来；电容器放电的过程是将电容
器储存的电场能转化为其他形式的能
测试3 对于水平放置的平行板电容器，下列说法正确的是（ ）
A. 将两极板的间距加大，电容将增大
B. 将两极板平行错开，使正对面积减小，电容将减小
C. 在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于板间距的陶瓷板，电容将增大
D. 在下极板的内表面上放置一面积和极板相等、厚度小于板间距的铝板，电容将增大
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95
15
课堂总结
第16 讲
带电粒子在电场
中的运动
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97
16
1
模块
1
带电粒子在电场中的运动
知识凝炼
1
带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子平行于电场线方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一条直线上，做匀加(或匀减) 速
直线运动。
由动能定理可得，qUAB = 1
2mv2
B −1
2mv2
A。
2
带电粒子在匀强电场中的偏转
带电粒子以垂直于匀强电场的方向进入电场后，受到恒定的电场力作用而做类平抛运动，如图所示。
设平行板电容器电压为U，板长为l，两极板距离为d。
沿极板方向，l = v0t
垂直于极板方向，y = 1
2
qU
mdt2
离开电场时的偏移量，y = qUl2
2mdv2
0
离开电场时的偏转角，tanθ = vy
vx
= qUl
mdv2
0
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
98
16
精讲精练
例1
★★
正确率：70%
如图所示，实线表示匀强电场的电场线，虚线表示某一带电粒子从a 点进入电场时通过该电场区域的运
动轨迹，a、b 是轨迹上的两点。若带电粒子在运动过程中只受电场力作用，则由此图可作出正确的判断
是（ ）
A. 粒子带正电
B. 粒子在a 点的电势能大于在b 点的电势能
C. 粒子在a 点的速度大于在b 点的速度
D. 粒子在a 点的加速度大于在b 点的加速度
例2
★★★
正确率：71%
让原来静止的氢核(1
1H)、氘核(2
1H) 和氚核(3
1H) 的混合物通过同一加速电场后，各种核将具有（ ）
A. 相同的速度
B. 相同的动能
C. 相同的速率
D. 以上都不相同
达标检测1
★★★
正确率：57%
如图所示，M、N 是真空中的两块平行金属板，质量为m、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v0 由小孔进
入电场，当M、N 间电压为U 时，粒子恰好能到达N 板，如果要使这个带电粒子到达M、N 板间距的1
2
后返回，下列措施中能满足要求的是(不计带电粒子的重力)（ ）
A. 使初速度减为原来的1
2
B. 使M、N 间电压加倍
C. 使M、N 间电压提高到原来的4 倍
D. 使初速度和M、N 间电压都减为原来的1
2
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99
16
例3
★★★
如图所示，初速度为零的电子经电压U1 加速后，垂直进入偏转电场偏转，离开偏转电场时侧向位移是
y，偏转板间距离为d，偏转电压为U2，板长为l。为了提高偏转灵敏度(每单位偏转电压引起的侧向位移
即y
U2
)，可采用下面哪些办法（ ）
A. 增大偏转电压U2
B. 增大板长l
C. 减小板间距离d
D. 增大加速电压U1
达标检测2
★★★★
a、b、c 三个α 粒子由同一点垂直电场方向进入偏转电场，其轨迹如图所示，其中b 恰好飞出电场。由此
可以肯定（ ）
A. 在b 飞离电场的同时，a 刚好打在负极板上
B. b 和c 同时飞离电场
C. 进入电场时，c 的速度最大，a 的速度最小
D. 动能的增量，c 的最小，a 和b 的一样大
高一物理·目标清北班（必修2+ 电场）·春
100
16
例4
★★★★
如图所示，一价氢离子
(1
1H+)
和二价氦离子
(4
2He2+)
的混合体，经同一加速电场加速后，垂直射入同一
偏转电场中，偏转后，打在同一荧光屏上，则它们（ ）
A. 同时到达屏上同一点
B. 先后到达屏上同一点
C. 同时到达屏上不同点
D. 先后到达屏上不同点
例5
★★★★正确率：45%
如图所示，边长为L 的正方形abcd 区域内有场强大小为E 的匀强电场，电场方向与正方形的一条边平
行(图中未画出)。一质量为m、电荷量为+q 的粒子由ad 边中点，以垂直该边的速度v 进入该正方形
区域，若不计粒子的重力，则该粒子再次从该正方形区域射出时，具有的动能可能是（ ）
A. 1
2mv2
B. 1
2mv2 −1
2EqL
C. 1
2mv2 + 1
3EqL
D. 1
2mv2 + 2
3EqL
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101
16
2
模块
2
等效重力场
精讲精练
例6
★★★★
如图所示，可视为质点的质量为m 且所带电荷量为q 的小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O 点，绳长为
l，现加一水平向右的足够大的匀强电场，电场强度大小为E = 3mg
4q ，小球初始位置在最低点，若给小球
一个水平向右的初速度，使小球能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列说
法正确的是（ ）
A. 小球在运动过程中机械能守恒
B. 小球在运动过程中机械能不守恒
C. 小球在运动过程中的最小速度至少为√gl
D. 小球在运动过程中的最大速度至少为5
2
√gl
例7
★★★★
如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E = 1 × 104N/C 的匀强电场。在匀强电场中有一根长
L = 2m 的绝缘细线，一端固定在O 点，另一端系一质量为0.08kg 的带电小球，它静止时悬线与竖直方
向成37◦角，若小球获得初速度恰能绕O 点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势
能零点和重力势能零点，cos37◦= 0.8，g = 10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A. 小球所带的电荷量q = 6×10−5C
B. 小球动能的最小值为1J
C. 小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D. 小球绕O 点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为4J
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3
模块
3
示波器
知识凝炼
示波器是一种用途十分广泛的电子测量仪器。它能把肉眼看不见的电信号变换成看得见的图像，便于人们
研究各种电现象的变化过程。示波器利用狭窄的、由高速电子组成的电子束，打在涂有荧光物质的屏面上，就可
产生细小的光点（这是传统的模拟示波器的工作原理）。在被测信号的作用下，电子束就好像一支笔的笔尖，可
以在屏面上描绘出被测信号的瞬时值的变化曲线。
如图为示波器的简单的示意图，电子经加速电场加速后，进入偏转电场，离开偏转电场后打在荧光屏上的
P 点。通过P 点的位置变化，可以知道偏转电场电压的变化，从而得到输入信号的信息。
利用示波器能观察各种不同信号幅度随时间变化的波形曲线，还可以用它测试各种不同的电学量，如电
压、电流、频率、相位差、调幅度等等。
精讲精练
达标检测3
★★★
示波管是示波器的核心部件，它由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，如图所示。如果在荧光屏上P 点出
现亮斑，则示波管中的（ ）
A. 极板X、Y 带正电
B. 极板X、Y ′ 带正电
C. 极板X′、Y 带正电
D. 极板X′、Y ′ 带正电
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例8
★★★★★正确率：62%
如图甲所示为示波管的原理图，如果在电极YY ′ 之间所加的电压按图乙所示的规律变化，在电极XX′
之间所加的电压按图丁所示的规律变化，则在荧光屏上看到的图形是（ ）
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直击高考
考题
如图，两金属板P、Q 水平放置，间距为d。两金属板正中间有一水平放置的金属网G，P、Q、G 的尺寸
相同。G 接地，P、Q 的电势均为φ (φ > 0)。质量为m、电荷量为q(q > 0) 的粒子自G 的左端上方距离
G 为h 的位置，以速度v0 平行于纸面水平射入电场，重力忽略不计。
（1）求粒子第一次穿过G 时的动能，以及它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小。
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为多少。
答案（1）粒子第一次穿过G 时的动能为1
2mv02 + 2qhφ
d
；它从射入电场至此时在水平方向上的位移大小为
v0
√mdh
qφ 。
（2）若粒子恰好从G 的下方距离G 也为h 的位置离开电场，则金属板的长度最短应为2v0
√mdh
qφ 。
解析（1）解：PG、QG 间的电场强度大小相等、方向相反，设为E，则有：
E = φ
d
2
= 2φ
d
设粒子第一次到达G 时动能为Ek，根据动能定理可得：
qEh = Ek −1
2mv02
解得：Ek = 1
2mv02 + 2qhφ
d
；
粒子在PG 间运动的加速度为：a = qE
m = 2qφ
md
此过程中粒子运动时间为t，则有：h = 1
2at2
在水平方向上的位移大小为：x = v0t，
解得：x = v0
√mdh
qφ 。
（2）解：若粒子穿过G 一次就从电场的右侧飞出，则金属板的长度最短，根据对称性可知，此时金属板
的长度为：
L = 2x = 2v0
√mdh
qφ 。
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随堂测试
测试1 质子(1
1H)、α 粒子(4
2He)、钠离子(Na+) 三个粒子分别从静止状态经过电压为U 的同一电场加速后，获
得动能最大的是（ ）
A. 质子(1
1H)
B. α 粒子(4
2He)
C. 钠离子(Na+)
D. 都相同
测试2 如图所示，平行金属板A、B 间加速电压为U1，C、D 间的偏转电压为U2，MN 为荧光屏，A、B 板的中点
与荧光屏中心点O 处于同一水平位置。今有电子(不计重力) 从A 板中点处由静止开始经加速和偏转
后打在与荧光屏中心点O 相距为Y 的P 点，电子从A 板运动到荧光屏的时间为t。下列判断中正确
的是（ ）
A. 若只增大U1，则Y 增大，t 增大
B. 若只增大U1，则Y 减小，t 减小
C. 若只减小U2，则Y 增大，t 增大
D. 若只减小U2，则Y 减小，t 减小
测试3
正确率：59%
如图一根不可伸长绝缘的绳子一端固定于O 点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现
把绳子水平拉直，小球从A 点静止释放，经最低点B 后，小球摆到C 点时速度为0，则（ ）
A. 小球在B 点时的速度最大
B. 小球从A 到B 的过程中，机械能一直在减少
C. 小球在B 点时的绳子拉力最大
D. 从B 到C 的过程中小球的电势能一直增大
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课堂总结
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