第1页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
数学试题
一、选择题（本大题共有8 小题，每小题3 分，共24 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1. 6 的相反数是（ ）
A. 1
6
B.
1
6
−
C. 6
D.
6
−
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，数a 的相反数是a
−，
∴6 的相反数为6
−．
2. 下列银行标志的图形中是轴对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B、C、D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形．
3. 2026 年“五一”假期期间，我市接待游客突破608 万人次，同比增长20.51% ．数据“608 万”用科学记
数法可表示为（ ）
A.
4
608 10
B.
5
6.08
10
C.
6
6.08 10
D.
7
0.608 10
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的形式为𝑎× 10𝑛，其中1
10
a
，n 为整数，解题时先将单位“万”转换为普通数
字再进行表示即可．
第2页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：∵608万
6080000
=
，
将6080000 写成𝑎× 10𝑛（1
10
a
，n 为整数）的形式，可得
6.08
a =
，小数点向左移动了6 位，
∴
6
n =
，即
6
6080000
6.08 10
=
．
4. 如图，数轴上的点A，B，C 分别对应实数a，b，c．下列结论正确的是（ ）
A. a
c
B. b
c
C. a
b
D. c
a
b
+
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴可知：
0
a
b
c
，a
b
c
，即可判断选项A，B，C，根据a
b
a
b
c
+
=
+
即可判断选项D．
【详解】解：根据数轴可知：
0
a
b
c
，a
b
c
，
故A 选项错误，B 选项正确，C 选项错误，
∵a
b
a
b
c
+
=
+
，
∴D 选项错误．
5. 已知
9
5
p =
+
，以下对p 的值估算正确的是（ ）
A. 3
4
p
B. 4
5
p
C. 5
6
p
D. 6
7
p
【答案】C
【解析】
【分析】先化简p ，再估算无理数√5的取值范围，即可推得p 的范围，得到正确结果．
【详解】解：
9
5
p =
+
，且9
3
=
3
5
p
=
+
，
4
5
9
，即2 < √5 < 3 ，
不等式三边同时加3 ，得2
3
3
5
3 3
+ +
+
，即5
6
p
．
6. 如图，扇形OAB ，点C 在AB 上．若
60
AOB
=
，则
ACB
的度数是（ ）
第3页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
A. 150°
B. 140
C. 130°
D. 120
【答案】A
【解析】
【分析】连接OC ，则OA
OC
OB
=
=
，根据等边对等角与三角形内角和定理得到
1
90
2
ACO
AOC
=
−
，
1
90
2
BCO
BOC
=
−
，根据
ACB
ACO
BCO
=
+
即可求出
ACB
的度数．
【详解】解：连接OC ，则OA
OC
OB
=
=
，
∴
(
)
1
1
180
90
2
2
ACO
OAC
AOC
AOC
−
−
=
=
=
，
(
)
1
1
180
90
2
2
BCO
OBC
BOC
BOC
−
−
=
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
90
180
2
2
2
ACB
ACO
BCO
AOC
BOC
AOC
BOC
−
−
−
=
+
=
+
=
+
1
1
180
180
60
150
2
2
AOB
=
−
=
−
=
．
7. 下列命题为真命题的是（ ）
①若𝑎2 = 𝑏2，则𝑎= 𝑏 ；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5 的整数，能被5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
A. ①②⑤
B. ③④
C. ④⑤
D. ①③
【答案】B
【解析】
【详解】解：逐个判断命题：
①若𝑎2 = 𝑏2，则a
b
= ，例如𝑎= 2 ，
2
b = −满足𝑎2 = 𝑏2但a
b
，①是假命题；
第4页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是5 的整数可表示为
(
)
10
5
5 2
1
k
k
+
=
+
，其中k 为整数，该数是5 的倍数，能被5 整除，③
是真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相
等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
8. 如图，四边形ABCD中，AB
CD
，𝐴𝐵= 10 ，
4
DC =
，
5
AD
BC
=
=
．点P 从点A出发，以每秒
1个单位长度的速度沿A
D
C
B
→
→
→
的路径向终点B 运动，同时点Q 从点A出发，以同样速度沿边AB
向终点B 运动．设APQ
的面积为S ，运动时间为t （s ），则S 关于t 的函数图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点
,
C D 分别作AB 的垂线，垂足分别为
,
F E ，先求得
4
DE =
，
4
sin
sin
5
A
B
=
=
，根据三角形
的面积公式，分成当P 在AD上时，即0
5
t
时，当P 在CD上时，即5
9
t
时，当P 在𝐶𝐵 上且Q
未到达B 时，即9
10
t
时，当P 在𝐶𝐵 上且Q 到达B 后，即10
14
t
时，分别求得函数解析式，结合
选项，即可求解．
【详解】解：如图，过点
,
C D 分别作AB 的垂线，垂足分别为
,
F E ，
第5页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶= 90° ，
∵AB
CD
，即EF
CD
，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 90° ，
∴∠𝐶𝐷𝐸= ∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶= 90° ，
∴四边形CDEF 是矩形，
∴
4
EF
CD
=
=
，
90
AED
BFC
=
=
，𝐷𝐸= 𝐶𝐹 ，
∵
5
AD
BC
=
=
，
∴
(
)
ADE
BCF HL
≌
，
∴
(
)
1
3
2
AE
BF
AB
EF
−
=
=
=
，
∵
5
AD =
，
在Rt ADE
中，
2
2
4
DE
AD
AE
=
−
=
，
∴
4
sin
sin
5
A
B
=
=
，
过点P 作PM
AB
⊥
于点M ，
当P 在AD上时，即0
5
t
时，如图所示，
∴
4
sin
5
PM
AP
A
t
=
=
，
∴
2
1
1
4
2
2
2
5
5
S
AQ PM
t
t
t
=
=
=
，函数图象为开口向上的抛物线，C，D 不符合题意；
当P 在CD上时，即5
9
t
时，
第6页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
∴
4
PM
DE
=
=
，
∴
1
1
4
2
2
2
S
AQ PM
t
t
=
=
=
，函数图象为直线的一部分，
当P 在𝐶𝐵 上且Q 未到达B 时，即9
10
t
时，
∴
14
BP
AD
DC
CB
t
t
−
−
=
+
+
=
，
∴
(
)
4
sin
14
5
PM
PB
B
t
−
=
=
，
∴
(
)
2
1
1
4
2
28
14
2
2
5
5
5
S
AQ PM
t
t
t
t
−
−
=
=
=
+
，函数图象为开口向下的抛物线，故B 不符合题意；
当P 在𝐶𝐵 上且Q 到达B 后，即10
14
t
时，
∴
(
)
1
1
4
10
14
4
56
2
2
5
S
AB PM
t
t
−
−
=
=
=
+
，函数图象为直线的一部分，故A 符合题意．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
9. 不等式
1
0
x−
的解集是___________．
【答案】
1
x
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，本题是一元一次不等式基础型，只需要进行移项，注意移项时该项
的符号要改变．
【详解】解：
1
0
x−
，
移项，得：
1
x ．
故答案是：
1
x ．
10. 分解因式：
2
4
a −
= ______．
第7页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(
)(
)
2
2
a
a
+
−
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分
解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解：
(
)(
)
2
4
2
2
a
a
a
−
=
+
−
，
故答案为：(
)(
)
2
2
a
a
+
−
．
11. 要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10 次测试，他们的平均成绩都是89.5 分，方
差分别是
2
1.6
S
=
甲
，
2
2.5
S
=
乙
，
2
3.58
S
=
丙
，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适．
【答案】甲
【解析】
【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出
结论．
【详解】解：∵三人的平均成绩都是89.5分，方差分别是
2
1.6
S
=
甲
，
2
2.5
S
=
乙
，
2
3.58
S
=
丙
，
1.6
2.5
3.58
，
甲的方差最小，甲的成绩最稳定，
故派甲去参赛更合适．
12. 如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷 中，
3
AB =
，
2
AD =
，∠𝐵𝐴𝐷 的平分线交CD于点E，则CE = ____．
【答案】1
【解析】
【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 3 ，
EAB
DEA
=
，
EA
平分
DAB
，
DAE
EAB
=
，
第8页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
DAE
DEA
=
，
2
AD
DE
=
=
，
1
EC
CD
DE
=
−
= ．
13. 取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2 所示方式折叠，使点A 落在CD 上，折痕为DE ，再按如图
3 所示方式折叠，点𝐶 与点E 恰好重合，则AB
BC = ____．
【答案】2
【解析】
【分析】设𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 𝑎 ，根据折叠的性质、矩形的性质可判断ADE
是等腰直角三角形，则可得
2
2
DE
AD
a
=
=
，根据折叠的性质得出
2
CD
DE
a
=
=
，即可求解．
【详解】解：设𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 𝑎 ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
A
ADC
=
=
，
根据图2 可得
1
45
2
ADE
FDE
ADF
=
=
=
，
∴ADE
是等腰直角三角形，
∴
2
2
DE
AD
a
=
=
，
根据图3 可得
2
CD
DE
a
=
=
，
∴
2
2
AB
CD
a
BC
BC
a
=
=
=
.
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数
6
y
x
= −
和
2
y
x
−
=
在第二象限内的图象依次为
1
C ，
2
C ．已知点P 在
1
C 上，点A，B 在
2
C 上，且PA
x
⊥
轴，PB
y
⊥
轴，则四边形𝑂𝐴𝑃𝐵 的面积为____．
第9页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】4
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到
1,
6,
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
=
四边形
即可求出答案．
【详解】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得，
1
2
1,
6
6,
2
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
−
=
= −
=
四边形
∴四边形𝑂𝐴𝑃𝐵 的面积为
6 1 1
4
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
−
−
=
−−=
四边形
．
15. 若a、b、c 是三个不为零的实数，且𝑎2 = 𝑏𝑐 ，则𝑐2−𝑎2
𝑏2 的最小值为____．
【答案】−
1
4##−0.25
【解析】
【分析】利用已知条件𝑎2 = 𝑏𝑐 对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最
小值即可．
【详解】解：∵𝑎2 = 𝑏𝑐 ，且, ,
a b c 都不为0 ，
∴𝑏𝑐≠0 ，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
a
c
bc
c
bc
c
c
b
b
b
b
b
b
−
−
=
=
−
=
−
，
设𝑡=
𝑐
𝑏则
0
t
，原式= 𝑡2 −𝑡 = (𝑡−
1
2)
2
−
1
4，
2
1
0
2
t
−
，
第10页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
2
1
1
1
2
4
4
t
−
−
−
，当𝑡=
1
2时，原式取得最小值−
1
4，
即𝑐2−𝑎2
𝑏2 的最小值为−
1
4．
16. 如图，菱形ABCD中，∠𝐵𝐶𝐷= 60° ，𝐶𝐷= 6 ，点P 在边CD上，且𝑃𝐶= 2 ，Q 为边BC 上的动点，
点C 关于PQ 的对称点为𝐶′．若△𝐶′𝐴𝐷 、△𝐶′𝐵𝐷 的面积分别记为𝑆△𝐶′𝐴𝐷、𝑆△𝐶′𝐵𝐷，则𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷的
最大值为____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐴得出当𝑆△𝐶′𝐵𝐴最小时，即𝐶′𝐺 最小时，𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷最大，
再根据𝑃𝐶′ + 𝐶′𝐺≥𝑃𝐻 得出𝐶′𝐺最小= 𝑃𝐻−𝑃𝐶′ = 3√3 −2 ，由此即可求解．
【详解】解：过点D 作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵 ，垂足为F ，过点P 作𝑃𝐻⊥𝐴𝐵 ，垂足为H ，过点𝐶′作𝐶′𝐺⊥𝐴𝐵 ，垂
足为G ，
∵𝑆△𝐶′𝐴𝐷+ 𝑆△𝐶′𝐴𝐵−𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐶′𝐷𝐵，
∴𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐴，
∵菱形ABCD中，∠𝐵𝐶𝐷= 60° ，𝐶𝐷= 6 ，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 6 ，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐵𝐶𝐷= 60° ，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝐷sin∠𝐷𝐴𝐵= 6sin60° = 3√3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 6 × 3√3 = 9√3．
∴𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷= 9√3 −𝑆△𝐶′𝐵𝐴，
又∵𝑆△𝐶′𝐵𝐴=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐶′𝐺=
1
2 × 6𝐶′𝐺= 3𝐶′𝐺 ，
第11页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
∴当𝑆△𝐶′𝐵𝐴最小时，即𝐶′𝐺 最小时，𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷最大，
由对称可知：𝑃𝐶′ = 𝑃𝐶= 2 ，
∴C在以P 为圆心2 为半径的圆弧上运动，
∵𝑃𝐻⊥𝐴𝐵 ，
∴𝑃𝐶′ + 𝐶′𝐺≥𝑃𝐻 ，
∴当𝐶′在线段PH 上时，𝐶′𝐺 取最小值，最小值𝐶′𝐺= 𝑃𝐻−𝑃𝐶′，
又∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷 ，
∴𝑃𝐻= 𝐷𝐹= 3√3，
∴𝐶′𝐺最小= 𝑃𝐻−𝑃𝐶′ = 3√3 −2 ，
∴𝑆△𝐶′𝐵𝐴的最小值= 3𝐶′𝐺= 3 × (3√3 −2) = 9√3 −6 ，
∴𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷的最大值为= 9√3 −(9√3 −6) = 6 ．
【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出𝑆△𝐶′𝐴𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐶′𝐵𝐴，将面积差最大问题转化
为𝑆△𝐶′𝐵𝐴最小，即𝐶′𝐺 最小．
三、解答题（本大题共11 小题，共102 分．请在答题卡指定区域内
．．．．．．．．作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算(
)
(
)
1
3
0
3
1
2
2026
π
3
−
+
+
−
．
【答案】0
【解析】
【分析】根据
3
0
1
3
1
( 2)
2,(2026
)
1,( )
3
3
−
=
+
=
=
，再计算即可．
【详解】解：原式
2 1 3
0
= + −=
．
18. 解方程(
)
1
8
8
x x
x
−
=
−
．
【答案】
1
8
x =
，𝑥2 = 1
【解析】
【分析】方程移项后运用因式分解法解答即可．
【详解】解：(
)
1
8
8
x x
x
−
=
−
，
(
)
(
)
1
8
1
0
x x
x
−
−
−
=
，
第12页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
(
)(
)
8
1
0
x
x
−
−
=
，
8
0
x −=
或
1
0
x−=
，
1
8
x
=
，𝑥2 = 1 ．
19. 先化简
2
2
2
4
4
a
a
a
a
a
a
−
−
+
+
，再从3 ，−1 ，2 中选取一个合适的数代入求值．
【答案】
1
2
a
a
+
−
，当
3
a =
时，原式
4
=
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a 的值代入进行计算即可．
【详解】解：
2
2
2
4
4
a
a
a
a
a
a
−
−
+
+
(
)
(
)
2
1
2
2
a a
a
a
a
−
−
+
=
1
2
a
a
+
=
−
．
要使原式有意义，需满足得
0
a
，
2
0
a
a
+
且
2
4
4
0
a
a
−
+
，
0
a
，
1
a
−
且
2
a
，
选取
3
a =
．
当
3
a =
时，原式
3 1
4
3
2
+
=
=
−
．
20. 如图，在矩形ABCD中，点E，F 分别在AD，BC 上，且BE
DF
=
．求证：四边形BFDE是平行四
边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
,
AB
CD AD
BC
=
=
，
90
A
C
=
=
．
又
BE
DF
=
，
第13页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
∴Rt △𝐴𝐵𝐸≌Rt △𝐶𝐷𝐹(HL)．
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹 ，
∵𝐴𝐷= 𝐵𝐶 ，
∴𝐴𝐷−𝐴𝐸= 𝐵𝐶−𝐶𝐹 ．即𝐸𝐷= 𝐵𝐹 ．
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】
【分析】根据矩形性质结合BE
DF
=
证明
(
)
Rt
ABE
Rt
CDF HL
≌
，继而可得𝐸𝐷= 𝐵𝐹 ，根据两组
对边相等的四边形是平行四边形即可得出结论．
【详解】略
21. 6 月5 日是世界环境日，今年我国六五环境日的主题为“全面绿色转型，共建美丽中国”．为了解某市
的空气质量，环保部门采用简单随机抽样的方法抽查了该市一年内30 天的空气质量，并对空气质量指数
(
)
W
进行了统计分析．
【收集数据】
43 95 59 48 62 67 50 40 110 60 63 44 45 60 92
60 112 38 37 60 115 47 35 66 41 68 40 60 98 60
【整理数据】
规定：
50
W
时，空气质量为优；50
100
W
时，空气质量为良；100
150
W
时，空气质量为轻微
污染．
空气质量
频数（天数）
频率
优
12
0.4
良
a
0.5
轻微污染
3
b
合计
30
1.0
【分析数据】
此组数据的平均数是62.5，众数是 c ，中位数是60．
【解决问题】
（1）填空：a = ，b = ，𝑐= ；
第14页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
（2）请估计该城市这一年（365 天）中有多少天空气质量达到优；
（3）根据上述统计分析情况，写一条你的想法．
【答案】（1）15，0.1，60
（2）146天
（3）该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据频数总和等于总样本数、频率总和为1、众数的定义逐个求解即可；
（2）利用一年总天数乘以样本中空气质量为优的频率即可；
（3）根据统计结果提出合理结论即可．
【小问1 详解】
解：由题意得：
30 12 3 15
a =
−
−=
，
1 0.4 0.5
0.1
b = −
−
=
，
在这组数据中，60 出现的次数最多，
∴其众数
60
c =
．
【小问2 详解】
解：365 0.4
146
=
（天），
答：估计该城市这一年（365 天）中有146 天空气质量达到优．
【小问3 详解】
解：该城市一年内空气质量总体良好，应持续推进环境治理，进一步减少轻微污染天气（答案不唯一）．
22. 我市以西游文化、山海风情和地域特产为主题，全新打造了十大文旅IP 形象．小明将关于地域特产的4
个IP 形象（A 云雾茶、B 豆丹、C 沙光鱼、D 东海水晶），制作成4 个玩具盲盒，每个盲盒中只有1 个IP 形
象玩具．
（1）若从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是 （填序号）；
①必然事件 ②随机事件 ③不可能事件
（2）若从这4 个盲盒中随机抽取2 个，请用画树状图或列表的方法，求盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东
第15页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
海水晶”的概率．
【答案】（1）② （2）1
6
【解析】
【分析】（1）直接根据随机事件的概念可得答案；
（2）画树状图展示所有12 种等可能的结果，再找出抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的
结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1 详解】
解：从这4 个盲盒中随机抽取1 个，盲盒中玩具是“A 云雾茶”的事件是：随机事件；
【小问2 详解】
解：树状图如图所示：
由图可以看出一共有12 种等可能结果，
其中抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的结果有2 种．
P
（抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”）=
2
12 =
1
6．
答：抽取的盲盒中玩具是“B 豆丹”和“D 东海水晶”的概率是1
6
．
23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点分别为
(
)
6,0
A −
，
(
)
10,0
B
，
(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（1）在CD边上作一点P，使PA
PB
=
，此时点P 的坐标为 ；
（2）在BC 边上作一点Q，使
QAD
△
和QOB
的面积相等．
【答案】（1）如图所示，点P 的坐标为
第16页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
(
)
2,9
（2）如图2 所示．
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得P 在直线
2
x =
上，进而待定系数法求得直线CD的解析式，令
2
x =
，
即可求解；
（2）根据题意得出Q 为
DAB
的角平分线与BC 的交点，即可求解．
【小问1 详解】
解：∵(
)
6,0
A −
，
(
)
10,0
B
∴P 在直线
6 10
2
2
x
−+
=
=
上，
设直线CD的解析式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
∴4
10
8
k
b
b
+
=
=
，解得；
1
2
8
k
b
=
=
∴直线CD的解析式为
1
8
2
y
x
=
+
当
2
x =
时，
1
2
8
9
2
y =
+
=
∴
(
)
2,9
P
；
【小问2 详解】
第17页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
解：如图，
∵
(
)
6,0
A −
，
(
)
10,0
B
，
(
)
0,8
D
∴
6,
8,
10
OA
OD
OB
=
=
=
∴
2
2
10
AD
AO
OD
=
+
=
∴AD
OB
=
设Q 到AD的距离为
1h ，Q 到AB 的距离为
2h
∵
QAD
△
和QOB
的面积相等
∴
1
2
1
1
10
10
2
2
h
h
=
∴
1
2
h
h
=
∴Q 在
DAB
的角平分线上，作
DAB
的角平分线交BC 于点Q ，即为所求．
24. 某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买
100 亩，价一万．其大意为：今有好田1 亩价值300 钱；坏田7 亩价值500 钱．今买好田、坏田共100 亩，
价值10000 钱．
（1）求好田、坏田各买了多少亩？
（2）现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50 亩，好田的总产量为3000 kg
，坏田的总产量为
6000 kg
，但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3 倍，求好田的平均亩产量？
【答案】（1）好田买了
25
2 亩，坏田买了175
2
亩
（2）好田的平均亩产量是300 kg
【解析】
【分析】（1）设好田有x 亩，则坏田有(100 −𝑥)亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
第18页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
（2）设坏田平均亩产量为
kg
y
，则好田平均亩产量是3
kg
y
，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即
可求解．
【小问1 详解】
解：设好田有x 亩，则坏田有(100 −𝑥)亩．
根据题意，得
(
)
500
300
100
10000
7
x
x
+
−
=
．
解这个方程，得
25
2
x =
．
175
100
2
x
−
=
．
答：好田买了
25
2 亩，坏田买了175
2
亩．
【小问2 详解】
设坏田平均亩产量为
kg
y
，则好田平均亩产量是3
kg
y
．
根据题意，得3000
6000
50
3y
y
+
=
．
解方程，得
100
y =
．
经检验，
100
y =
是所列方程的解．所以有3
300
y =
．
答：好田的平均亩产量是300 kg
．
25. 【生活观察】
第19页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
（1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心
圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的
圆心的距离）𝐴𝐵= 1.5m ，前轮转向角即∠𝐶𝐵𝐷= 30° ，则旋转半径OB = _____m ．
【类比探究】
（2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行
驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行
驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图3，某款家用汽车宽AB 约为2m ，轴心距BC 约为3m ．转弯时，若右前轮的转向角即∠𝐸𝐶𝐹= 20.6° ，
求此时左前轮的转向角∠𝐺𝐷𝐻 的度数．
（参考数据：tan20.6° ≈
3
8，tan26.6° ≈
1
2，sin20.6° ≈
9
25，tan33.6° ≈
2
3，tan18.5° ≈
1
3）
【综合实践】
（3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心𝐶 ，D 与直角拐
点Q 共线位置时，其俯视图如图5 所示．若路宽均为5m ，车辆左侧与实线PQ 的距离为1m
．现右前轮
欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin𝜃 的范围．
【答案】（1）3 （2）此时左前轮的转向角∠𝐺𝐷𝐻 的度数约为26.6°
（3）3
8 < sin𝜃<
3√58
58
【解析】
第20页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【分析】（1）根据题求得∠𝐴𝑂𝐵= 30° ，根据含30 度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）先求得
8
OB
m
，进而解Rt △𝑂𝐴𝐷 得出
26.6
AOD
，根据等角的余角相等得出
26.6
GDH
AOD
=
，即可求解；
（3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．
【小问1 详解】
解：依题意，OB
BD
⊥
，∠𝐶𝐵𝐷= 30°
∴∠𝐴𝐵𝑂= 90° −∠𝐶𝐵𝐷= 90° −30° = 60°
∵𝑂𝐴⊥𝐴𝐵
∴∠𝐴𝑂𝐵= 90° −∠𝐴𝐵𝑂= 90° −60° = 30°
∵𝐴𝐵= 1.5m
∴𝑂𝐵= 3m
【小问2 详解】
解：由题意得𝑂𝐶⊥𝐶𝐹 ，𝑂𝐵⊥𝐵𝐶 ，𝑂𝐴⊥𝐴𝐷 ，𝑂𝐷⊥𝐷𝐻
90 ,
90
ECF
OCB
COB
OCB
+
=
+
=
，
20.6 .
COB
ECF
=
=
在Rt △𝑂𝐶𝐵 中，tan
CB
COB
OB
=
3
tan20.6
OB
=
3
3
8
OB
解得：
8
OB
m
8 2
6
OA
OB
AB
m
=
−
−
=
在Rt △𝑂𝐴𝐷 中,tan
AD
AOD
OA
=
3
1
tan
6
2
AOD
=
=
26.6
AOD
90
AOD
ADO
+
=
，
90
GDH
ADO
+
=
，
26.6 .
GDH
AOD
=
答：此时左前轮的转向角∠𝐺𝐷𝐻 的度数约为26.6 .
【小问3 详解】
第21页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
解：如图，连接𝑂𝑄 ，设OA，PQ 交于点M ，
当最大时，A点经过Q 点，此时𝐷𝑄= 𝐴𝑀= 1
依题意，∠𝐸𝐶𝐹= ∠𝐶𝑂𝐵= 𝜃 ，
设𝑂𝐴= 𝑟 ，则𝑂𝑀= 𝑟−1 ，𝑀𝑄= 𝐴𝐷= 3
在Rt △𝑂𝑄𝑀 中，𝑂𝑄2 = 𝑂𝑀2 + 𝑄𝑀2
∴𝑟2 = (𝑟−1)2 + 32
解得：
5
r =
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐵= 5 + 2 = 7 ，
3
BC =
,
在Rt △𝑂𝐵𝐶 中，𝑂𝐶= √𝐵𝐶2 + 𝑂𝐵2 = √32 + 72 = √58
∴
3 58
sin
sin
sin
58
CB
ECF
COB
OC
=
=
=
=
当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O 作ON 垂直于道路右侧
设道路宽为l ，依题意，𝑙= 5
∴𝑂𝐶= 𝑂𝑁= 𝑙+ 𝐴𝐷= 5 + 3 = 8
∴sin𝜃= sin∠𝐸𝐶𝐹= sin∠𝐶𝑂𝐵=
𝐶𝐵
𝑂𝐶=
3
8
第22页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
综上所述，3
8 < sin𝜃<
3√58
58
26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
y
x
m
m
=
−
−
（m 为常数）与x 轴交于点A，B，点A 位于点B
的左侧，与y 轴交于点C．若将抛物线向右平移1 个单位，或向左平移3 个单位，都经过点(
)
3,0 ．
（1）直接写出抛物线和直线BC 对应的函数表达式；
（2）若平行于x 轴的直线l 与抛物线交于点
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
，与直线BC 交于点
(
)
3
3
,
Q x
y
，且
1
3
2
x
x
x
，求
2
2
2
1
2
3
x
x
x
+
+
的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为D，连接AC ，在x 轴上找一点P，使以点P，B，D 为顶点的△𝑃𝐵𝐷 与ABC
相
似，求点P 的坐标．
【答案】（1）
(
)
2
2
4
4
8
12
y
x
x
x
=
−
−
=
−
+
；
2
12
y
x
= −
+
（2）
2
2
2
1
2
3
60
76
x
x
x
+
+
（3）点P 的坐标为14 ,0
3
或(
)
9,0
−
【解析】
【分析】（1）根据二次函数平移的性质分别得出两次平移后的解析式，再把点(
)
3,0 分别代入两次平移后的
解析式，解出m 的值，取其公共解，最后将公共解代入原二次函数解析式即可得出二次函数解析式，再求
出二次函数解析式与坐标轴的交点，最后运用待定系数法求出BC 解析式即可．
（2）设直线l：𝑦= 𝑎 ，根据已知条件得出a 的取值范围，再联立直线l 与抛物线和直线BC ，得出
(
)
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
−
+
=
+
+
，根据抛物线可知𝑥1 + 𝑥2 = 8 代入
(
)
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
−
+
=
+
+
，最后得
出
(
)
2
2
2
2
1
2
3
1
8
60
4
x
x
x
a−
+
+
=
+
，最后由二次函数的图象和性质求解即可．
（3）连接BD，过点D 作DE
x
⊥
轴，垂足为E．根据正切的定义得出∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸 ，进而可得出点P
在点B 的左侧．则存在
ABC
PBD
△
△
∽
或
ABC
DBP
△
∽△
．然后根据相似三角形的性质列出比例进一
步求解即可得出答案．
【小问1 详解】
解：将抛物线向右平移1 个单位后的解析式变成：
(
)
2
1
y
x
m
m
−−
−
=
，
将点(
)
3,0 代入
(
)
2
1
y
x
m
m
−−
−
=
得：
(
)
2
0
3 1
m
m
−
−
=
−
，
解得
1
m = 或
4
m =
，
第23页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
将抛物线向左平移3 个单位后的解析式变成：
(
)
2
3
y
x
m
m
−
−
=
+
，
将点(
)
3,0 代入
(
)
2
3
y
x
m
m
−
−
=
+
得：
(
)
2
0
3
3
m
m
−
−
=
+
，
解得
4
m =
或𝑚= 9 ，
∴公共解为
4
m =
，
把
4
m =
代入
(
)
2
y
x
m
m
=
−
−
，
得出抛物线对应的函数表达式为
(
)
2
2
4
4
8
12
y
x
x
x
=
−
−
=
−
+
；
令
0
y =
，
则
2
0
8
12
x
x
=
−
+
，
解得𝑥1 = 2 ，
2
6
x =
，
∴𝐴(2,0)，𝐵(6,0)，
令
0
x =
，则
12
y =
，
∴𝐶(0,12)，
设BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
则6
0
12
k
b
b
+
=
=
，
解得
2
12
k
b
= −
=
∴直线BC 对应的函数表达式为
2
12
y
x
= −
+
．
【小问2 详解】
解：如图1，设直线l：𝑦= 𝑎 ，
第24页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
1
3
2
x
x
x
，𝐶(0,12)，
0
12
a
．
∵直线l 与抛物线和直线BC 都相交，
∴可列方程
2
1
1
2
2
2
3
8
12
,
8
12
,
2
12
.
x
x
a
x
x
a
x
a
−
+
=
−
+
=
−
+
=
得
(
)
2
2
1
2
1
2
8
24
2
x
x
x
x
a
+
−
+
+
=
．
(
)
2
2
1
2
1
2
2
24
8
x
x
a
x
x
−
+
=
+
+
，
∵抛物线的对称轴是
4
x =
，
1
2
8
x
x
+
=
，
2
2
1
2
2
40
x
x
a
+
=
+
．
又
3
6
2
a
x =
−
，
(
)
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
40
6
8
60
2
4
a
x
x
x
a
a−
+
+
=
+
+
−
=
+
．
∵1
0
4
，
∴抛物线开口向上，
又
0
12
a
，
∴当
8
a =
时，y 取得最小值为60，当
0
a =
时，y 取得最大值为(
)
2
1 0 8
60
76
4
−
+
=
，
(
)
2
1
60
8
60
76
4 a−
+
．
即
2
2
2
1
2
3
60
76
x
x
x
+
+
．
【小问3 详解】
解：如图2，连接BD，过点D 作DE
x
⊥
轴，垂足为E．
第25页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
∵抛物线
(
)
2
4
4
y
x
=
−
−
，
∴顶点
(
)
4, 4
D
−
．
∴
(
)
(
)
2
2
4
6
4
0
2 5
BD =
−
+ −−
=
，
由（1）可知，
12
OC =
，𝑂𝐵= 6 ，
4
DE =
，
2
BE =
，
4
AB =
，
(
)
(
)
2
2
0
6
12
0
6 5
BC =
−
+
−
=
，
∵
12
tan
2
6
ABC
=
=
，
4
tan
2
2
DBE
=
=
tan
tan
2
ABC
DBE
=
=
，
ABC
DBE
=
．
PBD
与ABC
相似，
∴点P 在点B 的左侧．
∴存在
ABC
PBD
△
△
∽
或
ABC
DBP
△
∽△
．
当
ABC
PBD
△
△
∽
时，
则
D
AB
PB
BC
B
=
，
得
4
6 5
2 5
PB
=
4
3
PB
=
．
∴点
14 ,0
3
P
．
当
ABC
DBP
△
∽△
时，
有AB
DB
BC
BP
=
，
第26页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
得
4
2 5
6 5
PB
=
15
PB
=
，
∴点
(
)
9,0
P −
．
综上，使△𝑃𝐵𝐷 与ABC
相似的点P 的坐标为14 ,0
3
或(
)
9,0
−
．
27. 【问题情境】
（1）在锐角ABC
中，求作一点P，使𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶 的值最小．
下面是小明对该问题的一种解决方法及简要说理．
如图1，以AC 为边向外作等边三角形ACD ，再作△𝐴𝐶𝐷 的外接圆
O
，连接BD，
与
O
交于点P．则点P 即为求作的点．
在PD上取一点P，使𝑃𝑃′ = 𝐴𝑃 ，连接𝐴𝑃′，在
O
中，根据“同弧所对的圆周角相等”，
得∠𝐴𝑃𝑃′ = ① = 60° ，故△𝐴𝑃𝑃′是等边三角形．所以𝐴𝑃= 𝑃𝑃′．
进而可证得△𝐴𝐷𝑃′ ≌△𝐴𝐶𝑃 ．所以𝐶𝑃= 𝐷𝑃′．
所以𝑃𝐵+ 𝑃𝐴+ 𝑃𝐶= 𝐵𝑃+ 𝑃𝑃′ + 𝑃′𝐷= 𝐵𝐷 ．
由 ② （从“两点之间线段最短”和“垂线段最短”中选择填空）可得，
BD的长即为𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶 的最小值．
【方法迁移】
（2）如图2，已知点A，B 到直线l 的距离𝐴𝐸= 𝐵𝐹= 4 ，𝐸𝐹= 6 ．在图中找一点P，使点P 到点A、点
B、直线l 的距离之和最小，简要说明作法，并求出最小值．
【拓展应用】
（3）如图3，若村庄A，B，C，D 的连线构成一个矩形，且AB
a
=
，𝐵𝐶= 𝑏 （𝑎< 𝑏< √3𝑎 ）．
现要在矩形区域内铺设天然气管道，使四个村庄能够连接互通起来．请你设计管道路线总长最短的铺设方
案（不需要说明理由），并直接写出路线总长（用含a，b 的代数式表示）．
第27页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）①∠𝐴𝐶𝐷 ；②两点之间线段最短
（2）作法：如图，连接AB ，在AB 上方作等边三角形ABD，再作ABD
的外接圆，过点D 作𝐷𝑀⊥𝑙 ，
垂足为M，DM 交AB 于N，交圆于点P，点P 即为要作的点．
点P 到点A、点B、直线l 的距离之和最小值为3√3 + 4 ；
（3）管道路线总长度最短为𝑏+ √3𝑎 ．
设计方案：如图所示，分别以边AB 和边CD 向矩形外侧作等边三角形𝐴𝐵𝑀 和等边三角形𝐶𝐷𝑁 ，再作
ABM
和△𝐶𝐷𝑁 的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点
1P 和点
2P ，其中铺设路线为𝐴𝑃1，𝐵𝑃1，𝐶𝑃2，
𝐷𝑃2，𝑃1𝑃2．
【解析】
【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角相等”以及“两点之间线段最短”完成填空，即可求解；
（2）连接AB ，在AB 上方作等边三角形ABD，再作ABD
的外接圆，过点D 作𝐷𝑀⊥𝑙 ，垂足为M，
DM 交AB 于N，交圆于点P，点P 即为要作的点．证明四边形𝐴𝐸𝐹𝐵 是平行四边形，利用平行，可证
𝐷𝑀⊥𝐴𝐵 ，根据等边三角形的性质，可求得∠𝐴𝐷𝑃= 30° ，证明出𝐷𝑃 是外接圆的直径，接着证明此时
𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝑀= 𝐷𝑀 达到最小，再解Rt △𝐴𝑁𝐷 ，求得𝑁𝐷 、𝑀𝐷 ，得出答案；
（3）分别以边AB 和边CD向矩形外侧作等边三角形𝐴𝐵𝑀 和等边三角形𝐶𝐷𝑁 ，再作ABM
和△𝐶𝐷𝑁 的
外接圆，连接M，N，分别交两圆于点
1P 和点
2P ，结合（2）可得出𝑀𝑁 的长即为管道路线总长度的最小值，
第28页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
即可求解．
【小问1 详解】
略
【小问2 详解】
作法：如图1，连接AB ，在AB 上方作等边三角形ABD，再作ABD
的外接圆，过点D 作𝐷𝑀⊥𝑙 ，
垂足为M，DM 交AB 于N，交圆于点P，点P 即为要作的点．
∵𝐴𝐸⊥𝑙, 𝐵𝐹⊥𝑙 ，
∴𝐴𝐸∥𝐵𝐹 ，
∵AE
BF
=
，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐵 是平行四边形，
∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹 ，𝐴𝐵= 𝐸𝐹= 6 ，
又𝐷𝑀⊥𝑙 ，即∠𝐷𝑀𝐹= 90° ，
∴∠𝐷𝑁𝐵= ∠𝐷𝑀𝐹= 90° ，
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹 ，𝐷𝑀⊥𝑙 ，𝐴𝐸= 4 ，𝐴𝐸⊥𝑙 ，
∴𝑀𝑁= 𝐴𝐸= 4 ，
∵三角形𝐴𝐵𝐷 是等边三角形，𝐷𝐴= 𝐷𝐵 ，∠𝐷𝑁𝐵= 90° ，
∴∠𝐴𝐷𝑃= ∠𝐵𝐷𝑃= 30° ，∠𝐷𝐴𝐵= 60° ，
∵∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝐵𝐷𝑃= 30° ，
∴∠𝑃𝐴𝐷= ∠𝑃𝐴𝐵+ ∠𝐷𝐴𝐵= 90° ，
∴PD为ABD
的外接圆的直径，
∵∠𝑃𝐴𝐷= 90° ，∠𝐴𝐷𝑃= 30° ，
∴𝑃𝐴=
1
2 𝑃𝐷 ，同理𝑃𝐵=
1
2 𝑃𝐷 ，
∴此时𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝑀=
1
2 𝑃𝐷+
1
2 𝑃𝐷+ 𝑃𝑀= 𝑃𝐷+ 𝑃𝑀= 𝐷𝑀 ，
∴此时点P 到点A、点B、直线l 的距离之和达到最小，最小值为DM 的长．
∵△𝐴𝐵𝐷 是等边三角形，
∴∠𝐷𝐴𝐵= 60° ，𝐴𝐷= 𝐴𝐵= 6 ．
在Rt △𝐴𝑁𝐷 中，𝐷𝑁= 𝐴𝐷⋅sin∠𝐷𝐴𝐵= 6 × sin60° = 6 × √3
2 = 3√3，
∴𝐷𝑀= 𝐷𝑁+ 𝑀𝑁= 3√3 + 4 ．
∴点P 到点A、点B、直线l 的距离之和最小值为3√3 + 4 ．
第29页/共29页
学科网（北京）股份有限公司
【小问3 详解】
解：如图所示，分别以边AB 和边CD向矩形外侧作等边三角形𝐴𝐵𝑀 和等边三角形𝐶𝐷𝑁 ，再作ABM
和
△𝐶𝐷𝑁 的外接圆．连接M，N，分别交两圆于点
1P 和点
2P ，连接𝐴𝑃1，𝐵𝑃1，𝐶𝑃2，𝐷𝑃2，设MN 交AB 于
点E ，交CD于点F ，其中铺设路线为𝐴𝑃1，𝐵𝑃1，𝐶𝑃2，𝐷𝑃2，𝑃1𝑃2．
由（2）可知，𝐴𝐵⊥𝑀𝑁, 𝐶𝐷⊥𝑀𝑁 ，𝐴𝑃1 = 𝐵𝑃1 =
1
2 𝑀𝑃1，𝐶𝑃2 = 𝐷𝑃2 =
1
2 𝑃2𝑁 ，𝐸𝐹= 𝐴𝐷= 𝑏 ，
∴铺设的管道长度为：𝐴𝑃1 + 𝐵𝑃1 + 𝑃1𝑃2 + 𝐶𝑃2 + 𝐷𝑃2 = 𝑀𝑃1 + 𝑃1𝑃2 + 𝑃2𝑁= 𝑀𝑁 ，
∴此时管道长度达到最小，最小值为MN ，
∵三角形𝐴𝐵𝑀 为等边三角形，AB
a
=
，
∴∠𝑀𝐴𝐵= 60° ，𝐴𝑀= 𝑎 ，
∵𝐴𝐵⊥𝑀𝑁 ，
∴𝑀𝐸= 𝐴𝑀sin60° = √3
2 𝑎 ，同理可求得𝑁𝐹 为√3
2 𝑎 ，
∴𝑀𝑁= 𝑀𝐸+ 𝑁𝐹+ 𝐸𝐹= 2 × √3
2 𝑎+ 𝑏= √3𝑎+ 𝑏 ，
∴管道路线总长度的最小值为𝑏+ √3𝑎 ．
