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杭州学军中学2024 学年高三（下）周末练（4）
命题人：詹长刚 审题人：吴昊
一、单选题
1．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标是(1, 2)
−
，则i =
z
（ ）
A．1
2i
+
B．1 2i
−
C．2
i
+
D．2
i
−+
2．已知实数x，y 满足3
4
5
x
y
+
=
，则
2
2
x
y
+
的最小值为（ ）
A．1
5
B．3
5
C．4
5
D．1
3．有四张卡片，每张卡片的一面上写着英文字母，则另外一面上写着数字.现在规定：当牌的一面写着数字
7 时，另外一面必须写着字母H .你的任务是：为了检验下面4 张卡牌是否有违反规定的写法，你需要翻看
哪些牌？（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．④③
4．函数
2
ln(
1
)
( )
e
e
x
x
x
x
f x
−
+ +
=
+
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费
维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择
电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为1
2 和3
10 ，且对应维权成功的概率分别为4
5 、9
10 ，选择其他
方式维权且成功的概率为13
100 ，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ）
A．6
25
B．27
80
C．2
5
D．4
5
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用m x
∣表示整数x 被m 整除，设
*
,
,
a b
m
Z
N 且
1
m ，若
(
)
m a
b
−
∣
，则称a 与b 对模m 同余，记为
(
)
mod
a
b
m
.已知
0
16
1
15
14
2
15
16
16
16
16
C
5
C
5
C
5
C
5
a =
−
+
+
−
，则（ ）
A．
(
)
2030 mod7
a
B．
(
)
2031 mod7
a
C．
(
)
2032 mod7
a
D．
(
)
2033 mod7
a
{#{QQABCYQwwgK40FaACC5KRQ2YCAuQsJMjJYoMRQCUuAQDSAFIFIA=}#}
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7．函数
( )
(
)
1
0
f x
x
x
x
=
−
的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列
nc
中，1
1
c = ，
( )(
)
1
,
2
n
f n
n
n
c =
N
，记数列
nc
的前n 项积为
nT ，数列
nT
的前n 项和为
n
S ，则（ ）
A．5
2
3
n
S
B．
5
1
3
n
S
C．5
7
3
4
n
S
D．7
2
4
n
S
8．如图，已知半椭圆
(
)
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
x
a
b
+
=
与半椭圆
2
2
2
2
2
:
1(
0)
y
x
C
x
b
c
+
=
组成
的曲线称为“果圆”，其中
2
2
2,
0
a
b
c
a
b
c
=
+
.“果圆”与x 轴的交点分别为
1
2
,
A A ，与y 轴的交点分别为
1
2
,
B B ，点P 为半椭圆
2
C 上一点（不与
1A 重合），
若存在
0
2
1
=
PA
PA
，则半椭圆
1
C 的离心率的取值范围为（ ）
A．
2
0, 3
B．1 2
,
2 3
C．1
5
1
,
2
2
−
D．
5
1 2
,
2
3
−
二、多选题
9．已知函数
( )
sin(
)
f x
x
=
+
，其中
π
0,0
2
，且
π
π
0
6
3
f
f
−
=
=
．若函数
( )
f x 在区间
π π
,
6 3
−
内无零点，则下列说法正确的是（ ）
A．
( )
f x 的图象关于π ,0
3
对称
B．
( )
f x 在
π
0, 6
上单调递增
C．直线
3
2
y
x
=
+
是
( )
f x 的一条切线
D．若
( )
f x 在区间(0,
)
m 上的图象与直线
1
2
y =
有且只有三个交点，则实数m 的取值范围为5π 23π
,
4
12
10．下列说法正确的是（ ）
A．决定系数
2
R 越小，模型的拟合效果越好
B．若随机变量X 服从两点分布，
3
(
1)
4
P X =
=
，则
3
(
)
16
D X =
C．若随机变量X 服从正态分布
( ,4)
N
，(
1)
(
3)
P x
P x
=
，则
2
=
D．一组数
1
2
,
,
,
n
x x
x （
*
N
n
）的平均数为a ，若再插入一个数a ，则这
1
n + 个数的方差变大
{#{QQABCYQwwgK40FaACC5KRQ2YCAuQsJMjJYoMRQCUuAQDSAFIFIA=}#}
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11．如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
−
的棱长为2，点M 为
1
CC 的中点，点P
为底面
1
1
1
1
D
C
B
A
上的动点（包括边界），则（ ）
A．满足
//
MP 平面
1
BDA 的点P 的轨迹长度为
2
B．满足
6
MP =
的点P 的轨迹长度小于2
C．存在点P 满足
90
APM
=
D．存在点P 满足
4
PA
PM
+
=
三、填空题
12．已知向量
(2,1)
a =
，
(
2 )
7
a
a
b
+
=
，则b 在a 上的投影向量的坐标为 ．
13．某互联网公司为响应国家政策的号召，积极招聘优秀本科生人职，经统计得到近7 个月内每月招聘的
本科生人数如下：2，4，2，3，9，5，7，则该组数据的上四分位数是 .
14．已知
( )
ln
f x
x
ax
=
−
，( )
ex
g x
ax
=
−
，若对任意
1
(0,
)
x
+，都存在
2
(0,
)
x
+，使得
1
2
1
2
(
) (
)
f x g x
x x
=
，
则实数a 的取值范围为 .
四、解答题
15．记ABC
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且(
)
π
cos
cos
,
3
b a
B
b
A
c B
+
=
=
.
(1)求b 的值； (2)求ABC
周长的最大值.
16．设
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1,
n
n
S
a
a
=
是公差为1
2 的等差数列．令
2,
3
,
n
n
n
a
n
b
a n
−
=
为奇数
为偶数
，nT 为数
列
nb
的前n 项和．
(1)求数列
na
的通项公式； (2)证明：当
3
n
时，
n
n
T
S
．
17．如图1 所示，在平行四边形EBCD 中，BA
ED
⊥
，垂足为A ，
2
EA
AD
AB
=
=
=
，将EAB 沿AB 折到
PAB 的位置，使得二面角P
AB
D
−
−
的大小为60，如图2 所示，点M 为棱AB 的中点.
(1)证明：PM
CD
⊥
；
(2)若点N 在棱PC 上，且直线PC 与平面AMN 所成角
的正弦值为3
4 ，求PN
PC 的值.
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18．已知点
(0,1)
M
，
(0, 1)
N
−
是圆
2
2
2
:
(
)
0
O x
y
r
r
+
=
与椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
的公共点，且点M，N
和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形.
(1)求r 的值和椭圆C 的方程；
(2)过点M 的直线l 分别交圆O 和椭圆C 于A，B 两点.
（i）若3
4
MB
MA
=
，求直线l 的方程；
（ii）P 是C 上一点，直线MP 斜率为m，直线NA 斜率为n，
3
2
m
n
=
，求BMP 面积的最大值.
19．定义：如果函数
( )
f x 在定义域内，存在极大值
(
)
1
f x
和极小值
(
)
2
f x
，且存在一个常数k ，使
( )
1
f x
−
(
)
(
)
2
1
2
f x
k x
x
=
−
成立，则称函数
( )
f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数.已知函数
( )
1
ln
f
x
x
a
x
x
=
−
−
.
(1)当
5
2
a =
时，判断
( )
f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a 使
( )
f x 的极值差比系数为2
a
−
？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由；
(3)若3 2
5
2
2
a
，求
( )
f x 的极值差比系数的取值范围.
{#{QQABCYQwwgK40FaACC5KRQ2YCAuQsJMjJYoMRQCUuAQDSAFIFIA=}#}
