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2024 学年第二学期高三数学学科周测卷（2）
命题：李逸扬审题：吴林
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．集合
2
|
0 ,
x
A
x
B
a
x
，若B
A
，则a 可能是
A．
1
2
B．1
3
C．3
D．
1
3
2．在复平面内，复数Z 绕原点逆时针旋转π
2 得
3
i
，则复数Z 的虚部为
A．
3
B．1
C．1
D．
3i
3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为
1
2 ，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是
A．
2
2
1
4
3
x
y
B．
2
2
1
16
12
x
y
C．
2
2
1
4
x
y
D．
2
2
1
16
4
x
y
4．已知变量x 和y 的统计数据如下表.
x
80
90
100
110
120
y
120
140
a
165
180
若x ，y 线性相关，经验回归方程为
1.45
7
ˆy
x
，则a
A．155
B．158
C．160
D．162
5．已知4sin
5sin 2
6 tan
，
π
0
2
，则cos2
A．
3
5
-
B．3
5
C．
7
25
D．7
25
6．圆
2
2
:(
2)
9
M
x
y
的圆心与抛物线
2
:
2
0
C y
px p
的焦点重合，
,
A B 为两曲线的
交点，则AB
A．4
B．8
C．4 2
D．4 10
7．已知
6
7
0
1
7
1
(
)
x
a
x
a
a x
a x
，若
0
1
7
0
a
a
a
，则
3a
A．5
B．20
C．15
D．35
8.已知函数
,
f x
g x 的定义域均为
R,
1
f x
为奇函数，且
1
2,
3
2
f
x
g x
f x
g x
，则
A．
f x 不为偶函数
B．
g x 为奇函数
C．
20
1
40
k
f k
D．
20
1
40
k
g k
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得6 分，部分选对得部分分，有选错得0 分.
{#{QQABKYa04gKY0FSACC4KVQXoCguQsJOjJQoMxRCcuAQDSBNIFIA=}#}
9．工厂质检科从标准质量为500 g 的一批奶粉中，随机抽查了100 袋，测得的质量数据如下
表（单位：g ）：
质量
[485,490)
[490,495)
[495,500)
[500,505)
[505,510)
[
]
510 515
,
频数
11
25
28
20
12
4
A．这100 袋产品质量的中位数为494 g
B．这100 袋产品质量的极差介于20 g 到30 g 之间
C．这100 袋产品质量的75%分位数为506g
D．这100 袋产品质量的平均数大于495 g
10．已知任何大于1 的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次
序，则这种分解式是唯一的．例如
3
24
3 2
，其中素数2 和3 称为24 的素因数，且24 的
不同正因数个数为(1 1) (3 1)
8
．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，
它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如6
2 3
1 6
，可
知6 的所有真因子为1，2，3，且1
2
3
6
，则6 为完全数，则
A．97200 不同的正因数有96 个
B．97200 的素因数为2，3，5
C．在小于30 的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为9
35
D．在小于30 的非负偶数中有3 个完全数
11．如图，曲线C 是一条“双纽线”，其C 上的点满足：到点
1
2,0
F
与到点
2 2,0
F
的距离
之积为4，则下列结论正确的是
A．点
2 2,0
D
在曲线C 上
B．点
,1
0
M x
x
在C 上，则
1
2 2
MF
C．点Q 在椭圆
2
2
1
6
2
x
y
上，若
1
2
FQ
F Q
，则Q
C
D．过
2
F 作x 轴的垂线交C 于
,
A B 两点，则
2
AB
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12．已知
2
1
0,
0
a
b
a
b
，则
2
2
log
log
a
b
的最大值为
．
13．设实数
0
k
，对于任意的
1
x ，不等式e
ln
kx
k
x
恒成立，则k 的最小值为
．
14．已知空间单位向量
1e
，
2e
，
3e
，
4
e ，
1
2
3
4
1
2
3
4
2
1
e
e
e
e
e
e
e
e
，则
1
3
e e 的
最大值是
．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在△���中，角
, ,
A B C 的对边分别为
2
2
, , ,
2 cos2
a b c a
c
b
a
A
b
.
(1)求证：
2
C
A
；
(2)若
4,
5
a
b
，求△���的面积.
{#{QQABKYa04gKY0FSACC4KVQXoCguQsJOjJQoMxRCcuAQDSBNIFIA=}#}
16．如图，三棱锥A
BCD
中，
,
BD
CD AB
AD
，且AB
AD
，
2,
1
BD
DC
.
(1)当三棱锥A
BCD
的体积最大时，求其外接球的表面积；
(2)设M 为BC 的中点，记平面ABD 与平面AMD 的夹角为，求cos的最小值.
17．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.通过建立坐标系，悬
链线可表示为双曲余弦函数
e
e
ch( )
2
x
x
x
的图象.现定义双曲正弦函数
e
e
s
2
)
h(
x
x
x
，回答
以下问题：
(1)对任意
0
x
，恒有sh( )
x
ax
成立，求实数a 的取值范围；
(2)求
2
( )
( )
ch
cos
f
x
x
x
x
的最小值．
{#{QQABKYa04gKY0FSACC4KVQXoCguQsJOjJQoMxRCcuAQDSBNIFIA=}#}
18．已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
的左，右焦点分别为
1F ，
2F ，短轴长为2 3 ，离心率
为
1
2 .
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左顶点为A ，直线l 与C 交于P，Q 两点，直线AP，AQ 的斜率之积为
1
4
.
（i）证明：直线l 过定点；
（ii）若P 在x 轴上方，直线
1
PF 与圆
2
2
: (
1)
16
M
x
y
交于点B ，点B 在x 轴上方.是否存
在点P ，使得
2
PBF
与
1
2
QF F
的面积之比为3：5？若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明
理由.
19. 随着中国式现代化高速发展，中华民族伟大复兴事业蒸蒸日上，人民生活的幸福指数节
节攀高，事关身体健康的各项指标越来越被国民重视.已知身体某项健康指标的值记为n，n
为正整数，当
22
n
时，则该项健康状况为正常.且n 可以由关于该健康指标的专门体检数据
推算.某人先进行若干次体检，由其体检所有数据构造得到集合T ，�⊆{1，2，3……，�}，
设集合T 中最小的元素为u ，最大的元素为v .
(1)若
2
u
，试用n 表示符合条件的集合T 的个数；
(2)若
3
u
的概率
21
3
85
p u
，求n 值；
(3)记随机变量是随机变量u，v 的等差中项.对居民小帅的该项指标体检数据研究后发现，
随机变量的期望为12，请由此计算n 的值，并判断小帅的该项健康状况是否正常?请说明
理由.
{#{QQABKYa04gKY0FSACC4KVQXoCguQsJOjJQoMxRCcuAQDSBNIFIA=}#}
