关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2024 年1 月“九省联考”考后提升卷
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.现有一组数据：
，则这组数据的第85 百分位
数是( )
A.652
B.668
C.671
D.674
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义，求得
，即可确定第85 百分位数为第11 个数，可得
答案.
【详解】由题意这组数共12 个，则
，
将这组数据从小到大排列
，
故这组数据的第85 百分位数为第11 个数，即671，故选：C
2.已知椭圆
的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则
椭圆C 的离心率为( )
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A.
B.
C.
D.
2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为
;则
即有
,解得e
,故选：D.
3.已知
为数列
的前
项和，且满足
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题，当
时，
，当
时
，进而分奇偶性讨论得
，
为正偶数，
，
为正奇数，再求和即可.
【详解】解：因为
，
所以，当
时，
，解得
，
当
时，
，
所以，当
为偶数时，
，故
，
为正奇数；
当
为奇数时，
，即
，故
，
为正偶数；
所以
，
故选：A
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
4..已知
，
为异面直线，直线与
，
都垂直，则下列说法不正确的是( )
A.若
平面
，则
，
B.存在平面
，使得
，
，
C.有且只有一对互相平行的平面
和
，其中
，
D.至少存在两对互相垂直的平面
和
，其中
，
【答案】A
【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；
【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为
，
为
，
为
，平面
为平面
，则
，
，故A 错误；
对于B，在正方体中取为
，
为
，
为
，平面
为平面
，此时
，
，
，故B 正确；
对于C，由线面垂直的判定可知，
，
，过直线
且与垂直的平面只有一个，过直线
且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面
和
，其中
，
，故C
正确；
对于D，在正方体中取为
，
为
，
为
，此时平面
平面
，平面
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
平面
，即至少存在两对互相垂直的平面
和
，其中
，
，故D 正确；
故选：A.
5.某学校举办运动会，径赛类共设100 米､200 米､400 米､800 米､1500 米5 个项目，田赛类共设铅
球､跳高､跳远､三级跳远4 个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参
赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于( )
A.70
B.140
C.252
D.504
【答案】B
【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.
【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有
种选法，
他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有
种选法，
所以此时满足题意的选法有
，
由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有
种选法，
他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有
种选法，
所以此时满足题意的选法有
，
综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于
种.故选：B
6.在棱长为1 的正方体
中，
在侧面
（含边界）内运动，
在底面
（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（ ）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A. 若直线
与直线
所成角为30°，则
点的轨迹为圆弧
B. 若直线
与平面
所成角为30°，则
点的轨迹为双曲线的一部分
C. 若
，则
点的轨迹为线段
D. 若
到直线
的距离等于
到平面
的距离，则点
的轨迹为抛物线的一部分
【答案】C
【解析】
【分析】画出正方体
，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨
迹问题的结论.
【详解】直线
与直线
所成角即为
，在
中，
，∴
，故
在以
为圆心，
为半径的圆落在侧面
内的圆弧上，A 正确；
过
作
于点
（如图），设
，
，直线
与平面
所成角即为
，
在
中，
，从而
，故点
的轨迹为双曲线的一部
分，故B 正确；
在
中，
，从而
，故
在以
为圆心，
为半径的圆落
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在底面
内的圆弧上，C 错误；
到直线
的距离等于
到平面
的距离，即
到点
的距离等于
到直线
的距离，
故点
的轨迹为抛物线的一部分，故D 正确.
故选：C.
7.已知角
的终边上一点
的坐标为
，则
的值为( )
A.0
B.
C.
D.
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出
，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.
【详解】角
的终边上一点
的坐标为
所以
，则
，故选：B
8.已知
，
分别为双曲线
：
的左，右焦点，点P 为双曲线渐近线上一
点，若
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得
，然后利用二倍角公式结合条件可得
，然后根据离心率
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
公式即得.
【详解】因为
，
为
的中点，
所以
，
，
所以
，又
，
，
所以
，
所以
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9.将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍
（纵坐标不变），得到
的图象，则（ ）
A. 函数
是偶函数
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
B. x＝－
是函数
的一个零点
C. 函数
在区间
上单调递增
D. 函数
的图象关于直线
对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求出
的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得
，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），可得
，
对于A 选项，令
，
则
，
，故函数
不是偶函数，A 不正确；
对于B 选项，因为
，故
是函数
的一个零点，B 正确；
对于C 选项，当
时，
，所以函数
在区间
上单调递增，
C 正确；
对于D 选项，因为对称轴满足
，解得
，
则
时，
，所以函数
的图象关于直线
对称，D 正确.
故选：BCD.
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
10.已知z1与z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】设
，分别求出
，得到A 不正确；根据复数的运算，可得B
正确；根据
，可得C 正确；根据复数的除法运算，可得D 不一定正确，即可求解．
【详解】设
，
则
，
，所以A 不正确；
又由
，
，所以
，所以B 正确；
由
，所以C 正确；
由
不一定是实数，所以D 不一定正确.
故选：BC
11.已知定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，则下列说法一定
正确的是（ ）
A. 函数
的周期为
B. 函数
的图象关于
对称
C. 函数
为偶函数
D. 函数
的图象关于
对称
【答案】BC
【解析】
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】由
得函数
的一个周期，由
是奇函数得函数的对称中心，
两条件结合得函数
的奇偶性.
【详解】由
，得
，
将
代入，
，即
，
所以函数
的一个周期为7，A 项错误；
由
是奇函数得
，
因为
和
，
所以
，
即
，所以
的图象关于
中心对称，B 项正确，D 项错误；
因为
，
，
所以
，将
代入，
得
，即函数
为偶函数，C 项正确.
故选：BC.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12.已知集合
，若
，且
，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】
【分析】先解分式不等式，即可得出集合
，再由
，且
，即可求出实数的
取值范围.
详解】由
可得：
，解得：
，
所以
，
因为
，且
，
所以
.
故答案为：
.
13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分别为
和
，体积
分别为
和
．若
，则
【答案】
【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，根据圆锥的侧面积公式可
得
，再结合圆心角之和可将
分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再
根据圆锥的体积公式即可得解.
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，
则
，所以
，
又
，则
，所以
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，
所以
.
14.已知数列
满足
，
,则
的前
项积的最大值为
【答案】1
【分析】先通过递推关系推出数列的周期为，然后个数为一组，分别计算
的表达
式
后进行研究.
【详解】由
可知，
，
，亦可得：
，两式相除得：
，即
，所以数列
是以为周期的周期数列，由
得：
.
记数列
的前
项积为
，结合数列的周期性，当
，则
，记
，为了让
越大，显然需考虑
为偶数，令
，结合指数函数的单调性，则
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，即
；类似的
，
.综上所述，
的前
项积的最大值为.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）设函数
，
，
，已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直．
（1）求a 的值；
（2）求
的单调区间；
【答案】（1）2 （2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数
几何意义可得关于a 的方程，解方程即可得出答案；
（2）对
求导，分
和
讨论
的正负，即可求出
的单调性；
【小问1 详解】
的定义域为
，
，
由于直线
的斜率为，
. 6 分
【小问2 详解】
，
，
①当
时，
，
在R 上单调递增；
②当
时，令
有
，
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增.
综上所述：
，
的单调递增区间为R，
，
的单调减区间为
，
的单调增区间为
. 13 分
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题
求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.
16．（15 分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得
善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50 多个班级参与，1000 余件物品待出售.摄影社
从中选取了20 件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，
已知高三1，2,3 班分别有
的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
(i)求该同学有购买意向的概率；
(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2 班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一
以0 元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1 元更新叫
价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到10 元，即获
得以10 元为价格的购买资格，未出现叫价为10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学
已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).
【答案】(1)(i)
(2)0.75.
【分析】(1)设事件
“该同学有购买意向”,事件
“该同学来自i 班”(i=1,2,3).根据全概率
公式即可求解
,根据条件概率公式即可求解
(2)由题意可得每次叫价增加1 元的概率为
,每次叫价增加2 元的概率为
.设叫价为
元
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
的概率为
,叫价出现
元的情况只有下列两种：①叫价为
元，且骰子点数大于2，其概率为
②叫价为
元，且骰子点数小于3，其概率为
.于是得到
,构
造等比数列
,结合累加法可求解。
【详解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i 班”
由题意可知
,
所以，由全概率公式可得
8 分
(2)由题意可得每次叫价增加1 元的概率为
,每次叫价增加2 元的概率为
.
设叫价为
元的概率为
,叫价出现
元的情况只有下列两种：
①叫价为
元，且骰子点数大于2，其概率为
②叫价为
元，且骰子点数小于3，其概率为
于是得到
,易得
由于
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于是当
时,数列
是以首项为
公比为
的等比数列,
故
.
于是
=
$
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75. 15 分
【点睛】关键点睛：
第二问中关键是设叫价为
元的概率为
,利用叫价为
元是在叫价为
元的基础上
再叫价1 元或在叫价为(
元的基础上再叫价2 元，从而确定
与
的关系，再结合数列中的
构造法和累加法即可求解.
17．（15 分）如图，在多面体
中，底面
为菱形，
平面
，
，且
为棱
的中点，
为棱
上的动点.
（1）求二面角
的正弦值；
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）是否存在点
使得
平面
？若存在，求
的值；否则，请说明理由.
【答案】（1）
；
（2）存在，
.
【解析】
【分析】（1）连接
交于点
，作
平面
，以
为原点建立空间直角坐标系，利
用面面角的向量求法求解即得.
（2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点
，利用空间位置关系的向量证明求解即得.
【小问1 详解】
连接
交于点
，由四边形
为菱形，得
，过点
作
平面
，
显然直线
两两垂直，以
为原点，直线
分别为
建立空间直角坐标系，
由
平面
，得
，又
，且
，
则
，
，
设平面
，平面
的法向量分别为
，
则
，取
，得
，
则
，取
，得
，
设二面角
的大小为
，则
，
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因此
，所以二面角
的正弦值为
. 8 分
【小问2 详解】
存在
符合题意，且
.理由如下：
令
，而
，棱
中点
，
则
，
，
，
若
平面
，而平面
的法向量
，则
，即
，
因此
，解得
，即
，则
，
所以在点
使得
平面
，
. 15 分
18．（17 分）与x 轴不垂直的直线交抛物线T:
于M、N 两点，F 为抛物线的焦点，
线段MN 的垂直平分线交x 轴于点E(3,0),已知O0(0,0),Q(4,0)且有
(1)求抛物线T 的方程：
(2)过F 的直线交抛物线T 于A、B 两点，延长AQ、BQ 分别交抛物线T 于C、D;G、H 分别为
AB、CD 的中点，求
的最小值.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1)
(2)
【解析】
(1)设M
,N
,由抛物线定义可知
,又线段MN 的垂直平分线
交x 轴于点E(3,0),故|ME|=|NE|,
即(
=
=2
因为
,所以(
,即
,则有
,
即抛物线T 的方程为
. 7 分
（2）设
代入
得
,则有
,
所以
,故
设C(
,D(
,则
解得
,同理，
,
所以H 点的横坐标为
H 点的纵坐标为
,所以
,有
, 9 分
记
,故
,
当
时，
=0,
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
,
易求得
取直线OG、OH 的方向向量分别为
,
故cos
13 分
当
时，
,当
时，
函数
在区间
上单调递减，最小值为
,
所以当
时，
取到最小值为
17 分
19．（17 分）对于无穷数列{an}，设集合A ={x | x =an,n≥1}．若A为有限集，则称数列{an}为“T
数列”．
(1)已知数列{an}满足a1=2,an+1=
1
1−an，判断{an}是否为“T数列”，并说明理由；
(2)设函数y = f ( x)的表达式为f ( x)=3| x +1|−| x +2|，数列{an}满足an+1= f (an)．若{an}为“T数
列”，求首项a1的值；
(3)设an=cos(tπn)．若数列{an}为“T数列”，求实数t的取值集合．
【解题思路】（1）根据a1=2,an+1=
1
1−an，计算即可；（2）f ( x)min= f (−1)=−1，当x>−1时，
f ( x)=2 x +1> x，分a1=−1，a1≠−1两种情况讨即可；（3）当t为有理数时，必存在p∈Z
+,q∈Z，
使得t = q
p，则an+2 p=cos[
q
p π(n+2 p)] =cos(
q
p πn+2qπ)=cos q
p πn=an，因此集合
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
A ={x| x =an,n∈N
∗}中元素个数不超过2 p，为有限集；t为无理数时，用反证法证明am≠an解决即
可.
【解答过程】（1）因为a1=2,an+1=
1
1−an，
所以a2=
1
1−2 =−1,a3=
1
1+1 = 1
2 ,a4=
1
1−1
2
=2,a5=
1
1−2 =−1，
所以A ={x| x =an,n∈N
∗}={−1, 1
2 ,2}，所以{an}是“T数列”； 5 分
（2）由题知，f ( x)=3| x +1|−| x +2|=¿，
所以f ( x)min= f (−1)=−1，
当x>−1时，f ( x)=2 x +1> x(∗)，
因此当a1=−1时，a2= f (a1)=−1,a3= f (a2)=−1,⋯，
即an=−1,n∈N
∗，此时{an}为“T数列”，
当a1≠−1时，a2= f (a1)>−1，
由(∗)得a3= f (a2)>a2>−1,a4= f (a3)>a3>−1，...，
因此an+1>an,{an}显然不是“T数列”；
综上，a1=−1； 9 分
（3）当t为有理数时，必存在p∈Z
+,q∈Z，使得t = q
p，
则an+2 p=cos[
q
p π(n+2 p)] =cos(
q
p πn+2qπ)=cos q
p πn=an，
因此集合A ={x| x =an,n∈N
∗}中元素个数不超过2 p，为有限集；
当t为无理数时，对任意m,n∈N
∗,m≠n，下用反证法证明am≠an，
若am=an，即cost πn=cost πm，
则t πn=t πm+2k π或t πn=−t πm+2k π，其中k ∈Z，
则t = 2k
n−m ∈Q或t = 2k
n+m ∈Q，矛盾，所以am≠an，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因此集合A ={x| x =an,n∈N
∗}必为无限集；
综上，的取值集合是全体有理数，即． 17 分
22
