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专题09 平面向量及其应用
（十四大题型5 大易错题）
【考点1 平面向量的概念辨析】
1．下列说法错误的是（ ）．
A．零向量没有方向
B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同
C．只有零向量的模等于0
D．向量AB
→与BA
→的长度相等
2．下列说法错误的是（ ）
A．|⃗CD|=|⃗DC|
B．⃗e1
，⃗e2
是单位向量，则|⃗e1|=|⃗e2|
C．若|⃗AB|>|⃗CD|，则⃗AB>⃗CD
D．两个相同的向量的模相等
【考点2 平面向量的线性运算】
3．在平行四边形ABCD中，⃗EB =2⃗AE ,⃗BF =⃗FC，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗EF =（ ）
A．2
3⃗a−1
2⃗b
B．2
3⃗a+ 1
2⃗b
C．1
3⃗a+ 1
2⃗b
D．1
2⃗a+ 2
3⃗b
4．在△ABC中，D为BC中点，连接AD，设E为AD中点，且⃗BA =⃗x ,⃗BE =⃗y，则⃗BC =
（ ）
A．4⃗x +2⃗y
B．−4⃗x +⃗y
C．−4⃗x−2⃗y
D．4⃗y −2⃗x
5．已知平行四边形ABCD，点P 在△BCD的内部（不含边界），则下列选项中，⃗AP可能
的关系式为（ ）
1
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A．⃗AP = 1
5⃗AB+ 3
5⃗AD
B．⃗AP = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AD
C．⃗AP = 2
3⃗AB+ 3
4⃗AD
D．⃗AP = 2
3⃗AB+ 4
3⃗AD
6．在△ABC中，⃗AN =3⃗NC ,⃗BP = 4⃗PN，则⃗AP =（ ）
A．1
5⃗AB+ 3
5⃗CA
B．3
5⃗AB−4
5⃗CA
C．3
5⃗AB−1
5⃗CA
D．1
5⃗AB−3
5⃗CA
7．已知四边形ABCD是平行四边形，⃗EC =2⃗BE，⃗DF =2⃗FC，记⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，则⃗
EF =（ ）
A．−1
3⃗a+ 2
3⃗b
B．−1
3⃗a−2
3⃗b
C．2
3⃗a+ 1
3⃗b
D．2
3⃗a−1
3⃗b
【考点3 向量共线及其应用】
8．在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且⃗CD =⃗DA，⃗
AP = 2
3⃗AB+ λ⃗AC，则λ =（ ）
A．1
6
B．1
3
C．2
3
D．5
6
9．已知e⃗1,e⃗2
是两个不共线的向量，若2 e
→
1+ λ e
→
2
与μ e
→
1+ e
→
2
是共线向量，则（ ）
A．λ
μ =−2
B．λμ=−2
C．λ
μ =2
D．λμ=2
10．如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =2⃗DB，P为CD上一点，且⃗
AP =m⃗AC + 1
2⃗AB，若|⃗AC |=3,|⃗AB|= 4，则⃗AP⋅⃗CD的值为（ ）
2
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A．−7
6
B．7
6
C．−13
12
D．13
12
11．已知平面向量⃗a与⃗b
不共线，向量⃗m= x⃗a+⃗b,⃗n=⃗a+(3 x −2)⃗b，若⃗m//⃗n，则实数x的
值为（ ）
A．1
B．−1
3
C．1 或−1
3
D．−1或1
3
【考点4 基底的概念及判断】
12．在下列各组向量中，可以作为基底的一组是（ ）
A．⃗e1=(0,0),⃗e2=(1,1)
B．⃗e1=(−1,2),⃗e2=(5,−10)
C．⃗e1=(3,5),⃗e2=(−3,−5)
D．⃗e1=(2,−3),⃗e2=(2,−3
4)
13．设⃗e1、⃗e2是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的
是（ ）
A．⃗e1+⃗e2和⃗e1−⃗e2
B．⃗e1+2⃗e2和⃗e2+2⃗e1
C．3⃗e1−2⃗e2和4⃗e2−6⃗e1
D．⃗e2和⃗e2+⃗e1
【考点5 用已知基底表示向量】
14．已知边长为1 的正方形ABCD，点E，F 分别是BC，CD 的中点，则⃗AE⋅⃗EF =（ ）
A．3
4
B．1
4
C．−3
4
D．−1
4
15．已知平行四边形ABCD中，E为AC中点.F为线段AD上靠近点A的四等分点，设
3
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AB =⃗a，⃗AD =⃗b，则⃗EF =（ ）
A．−1
4⃗a−1
2⃗b
B．−3
4⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a−1
4⃗b
D．−1
2⃗a−3
4⃗b
16．在△ABC中，E在边BC上，且EC =3 BE , D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，
若⃗CP = x⃗CA + y⃗CB，则3 x + 4 y =（ ）
A．3
4
B．−3
4
C．3
D．-3
17．在梯形ABCD中，⃗DC =3⃗AB , E为线段AD的中点，⃗DF =2⃗FC，则⃗EF =（ ）
A．−⃗BA + 1
2⃗BC
B．−1
2⃗BA +⃗BC
C．−1
2⃗BA + 1
2⃗BC
D．−⃗BA + 3
2⃗BC
18．在△ABC中，AB =2，AC =3，∠BAC =60°，⃗BE =⃗FC = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF =
（ ）
A．41
9
B．4
C．32
9
D．29
6
【考点6 向量运算的坐标表示】
19．已知向量⃗AB =(2,−1)，⃗AC =(3,2)，点C (−1,2)，则点B 的坐标为（ ）
A．(−2,−1)
B．(0,5)
C．(2,−5)
D．(2,−1)
20．已知⃗a=(1,1),⃗b=(2,5),⃗c =(3, x)，若(8⃗a−⃗b)⋅⃗c =30，则x =（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
21．在矩形ABCD中，⃗AB =(1,2)，⃗AC =( x ,0)，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．25
【考点7 平面向量数量积的运算】
22．已知单位向量⃗a，⃗b满足⃗b⋅(2⃗a+⃗b)=2，则⃗a与⃗b的夹角等于（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
23．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=2，|⃗a−⃗b|=2√3，则⃗a⋅⃗b=（ ）
4
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A．－2
B．−2√3
C．2√3
D．6
24．已知向量⃗a=(4,5)，⃗b=(λ ,−2)，若|⃗a+⃗b|=5，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．−42或10
B．42或10
C．−42或−10
D．42或−10
25．已知向量⃗a,⃗b
的夹角为60
°，若(4⃗a−⃗b)⋅⃗b=−8,|⃗a|=1，则|⃗b|=
.
26．已知单位向量⃗a,⃗b满足|⃗a−3⃗b|=3，则cos⟨⃗a,⃗b⟩= .
【考点8 平面向量的垂直问题】
27．已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(−2, x)，若⃗a⊥(⃗a+⃗b)，则|⃗b|=
（ ）
A．2
B．3
C．2√5
D．2√10
3
28．已知向量⃗a=(1,√3)，⃗b=(sinθ ,cosθ)，θ∈(0,π)，若⃗a⊥⃗b
，则θ =（ ）
A．5
6 π
B．2
3 π
C．π
3
D．π
6
29．若a⃗=(1,2)，b⃗=(m,3)，且⃗a⊥⃗b，则实数m=（ ）
A．6
B．−6
C．3
D．−3
30．已知向量⃗a=(2,m),⃗b=(1,−1)，若(⃗a−⃗b)⊥⃗b，则m=（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
31．已知⃗a=(3, λ),⃗b=(1,2)，若(⃗a−⃗b)⊥⃗b，则实数λ＝（ ）
A．﹣4
B．1
C．2
D．6
32．已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=1，且⃗a⊥⃗b，若(λ⃗a+⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=0
B．λ+ μ=−1
C．λμ=−1
D．λμ=0
【考点9 平面向量模的有关问题】
33．已知向量⃗a=(2,3),⃗b=(−1,3)，则|⃗a−2⃗b|=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5
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34．已知非零向量⃗a，⃗b的夹角为π
3
，⃗a=(−√3
2 , 1
2)
，|⃗a−⃗b|=1，则|⃗a+⃗b|=（ ）
A．1
B．√3
2
C．√2
D．√3
35．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=3，⃗a−⃗b=(2,√6)，则|3⃗a+⃗b|=
【考点10 平面向量的夹角问题】
36．已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2√3，⃗b⋅(2⃗a−⃗b)=−18，则⃗a与⃗b的夹角等于（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
37．已知向量⃗a,⃗b为单位向量，|⃗c|=√3且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则⃗a与⃗b的夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
38．已知⃗a=(1,2)，向量⃗b
为单位向量，(⃗a+⃗b)⋅⃗a= 4，则cos〈⃗a,⃗b 〉=
（ ）
A．√5
5
B．−√5
5
C．1
5
D．−1
5
39．已知向量⃗a，⃗b
满足|⃗a|=2，⃗b=(1,2√2)，且⃗a⋅⃗b=−3
，则向量⃗a，⃗b
的夹角为（ ）
A．2π
3
B．π
3
C．5 π
6
D．π
6
【考点11 平面向量的投影向量问题】
40．若非零向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=|⃗b|=|⃗a+⃗b|，则⃗a+2⃗b在⃗b方向上的投影向量为（ ）
A．2⃗b
B．3
2⃗b
C．⃗b
D．1
2⃗b
41．已知向量⃗a=(3,−4)，⃗b=(2,0)，则⃗a在⃗b
上的投影向量为（ ）
A．(
3
2 ,0)
B．(3,0)
C．(2,0)
D．(6,0)
42．已知x∈R，向量⃗a=(x ,2),⃗b=(2,−1)，且⃗a⊥⃗b
，则⃗a+⃗b
在⃗a上的投影向量为（ ）
A．√5
B．5
C．(1,2)
D．(2,−1)
6
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43．已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(m,2√3)，⃗b
在⃗a方向上的投影向量为2⃗a，则m=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点12 平面向量数量积的取值范围】
44．已知向量⃗a=(−1,1)，⃗b=(m,3)，且cos⟨⃗a,⃗b⟩= √2
2
，则m=（ ）
A．2
B．－2
C．0
D．±1
45．已知非零向量⃗a,⃗b
两向量夹角为锐角，⃗a=(−1,4)，⃗b=(m,2)，求m的取值范围
.
【考点13 向量与几何最值】
46．在矩形ABCD中，AB =5，AD = 4，点E满足2⃗AE =3⃗EB，在平面ABCD中，动点P
满足⃗PE⋅⃗PB =0，则⃗DP⋅⃗AC的最大值为（ ）
A．√41+ 4
B．√41−6
C．2√13+ 4
D．2√13−6
47．已知圆C的半径为1，过圆C外一点P作一条切线与圆C相切于点A，| PA |=2，Q为
圆C上一个动点，则⃗PA ⋅⃗PQ的取值范围为（ ）
A．[2,4]
B．[2,6]
C．[0,4]
D．[4,6]
48．在平面四边形OACB中，OA ⊥OB，OA =3，∠OBA =∠ACB =π
3
，⃗
OC = λ⃗OA + μ⃗OB，则λ+ μ的最大值为（ ）
A．√3
B．2
C．3
D．2√3
49．设A，B，C，D 为平面内四点，已知|⃗AB|=2，|⃗AC |=1，⃗AB与⃗AC的夹角为60
°，
M 为AB 的中点，|⃗MD|=1，则⃗AC ⋅⃗AD的最大值为 ．
50．已知正六边形ABCDEF边长为2，MN是正六边形ABCDEF的外接圆的一条动弦，
MN =2，P 为正六边形ABCDEF边上的动点，则⃗PM ⋅⃗PN的最小值为 .
【考点14 平面向量在几何其他的应用】
51．在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别a,b,c，且bcos A +acos B =2ccos A
(1)求角A 的值；
(2)已知D在边BC上，且BD =3 DC , AD =3，求△ABC的面积的最大值
7
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52．在△ABC中，角A ,B ,C，的对边分别为a,b,c，△ABC的面积为S，
4√3
3
S =b
2[
sin(2 A + B)
sin B
+1]
．
(1)求角A．
(2)若△ABC的面积为3√3，a=√13，D为边BC的中点，求AD的长．
【易错点1 虚数单位i、复数】
1．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝（x2﹣1）+（x+1）i 为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【易错点2 共轭复数】
2．已知复数z＝
，则z 的共轭复数是（ ）
A．1﹣i
B．1+i
C．i
D．﹣i
3．复数z＝
的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．1+i
D．1﹣i
【易错点3 复数的模】
4．复数z1，z2满足z1∈R
，则z1＝（ ）
8
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A．1
B．2
C．0 或2
D．1 或2
（多选）5．已知复数z1对应的向量为
，复数z2对应的向量为
，下列说法中正确
的是（ ）
A．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
B．若
，则|z1|＝|z2|
C．若z1与z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z1z2＝|z1z2|
D．若|z1|＝|z2|，则
【易错点4 复数的运算】
6．已知复数z 是一元二次方程x2﹣2x+2＝0 的一个根，则|z|的值为（ ）
A．1
B．
C．0
D．2
7．复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知方程x2﹣px+1＝0 的两虚根为x1、x2，若|x1﹣x2|＝1，则实数p 的值为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
（多选）9．若复数z 满足z（1+i）＝2﹣i（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．z 的虚部为
C．
D．若复数ω 满足|ω﹣2z|＝1，则|ω|的最大值为
【易错点5 复数的除法运算】
10．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9
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11．若i 为虚数单位，则
＝ ．
10
