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第 13 讲 半分离参数、全分离参数与分离函数
【典型例题】
例1．（2024·高三·安徽六安·阶段练习）已知函数 ，若 时，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
例3．（2024·安徽安庆·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围．
例4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 处的切线与直线
平行．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，恒有 成立，求k的取值范围．
例5．（2024·高三·湖北荆州·阶段练习）设函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
例9．（2024·辽宁·一模）已知函数 ， （其中a，b为实数，且 ）
(1)当 时， 恒成立，求b；
(2)当 时，函数 有两个不同的零点，求a的最大整数值．（参考数据：
）
例10．（2024·河南·三模）已知函数 ，e为自然对数的底数．
(1)若此函数的图象与直线 交于点P，求该曲线在点P处的切线方程；
(2)判断不等式 的整数解的个数；
(3)当 时， ，求实数a的取值范围．
例11．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 ，若当 时， ，求 的取值范围.
例12．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 的导函数为 .(1)证明：函数 有且只有一个极值点；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
例13．（2024·河南·模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的极值；
(2)若 时，恒有 ，且 ，求实数 的取值范围．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·北京·阶段练习）已知函数 ，若关于 的不等式 在 上
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川攀枝花·二模）已知函数 ，若关于 的不等式 恒成
立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（2024·高三·天津河西·阶段练习）已知 ，设函数 ，若关于 的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为 .
三、解答题
4．（2024·江苏·一模）已知函数 (m R)的导函数为 ．
（1）若函数 存在极值，求m的取值范围；（2）设函数 （其中e为自然对数的底数），对任意m R，若关于x的不等式
在(0， )上恒成立，求正整数k的取值集合．
5．（2024·高三·上海黄浦·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)当 时，讨论函数 的单调性；
(3)当 时， ，求 的取值范围．
6．（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围．
7．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）设函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）令 .当 时， ，求实数 的取值范围.
8．（2024·河北唐山·一模）已知函数 ， ．（1） 时，证明： ；
（2） ，若 ，求 的取值范围．
9．（2024·高二·安徽安庆·期中）已知函数 ， 的图象在点 处的切线方
程为 ，又函数 与函数 的图象在原点处有相同的切线，其中 为自然对数
的底数.
(1)求函数 的解析式及 的值；
(2)若 对于任意 恒成立，求整数 的最大值.
参考数据： ，
10．（2024·高三·上海浦东新·期中）已知函数 的导函数为 ， 的图像在点
处的切线方程为 ，且 ，函数 ．
(1)求函数 的解析式．
(2)令 ，讨论函数 在 的零点个数．
(3)若函数 与函数 的图像在原点处有相同的切线．若 对于任意
恒成立，求m的取值范围．
11．（2024·高二·陕西渭南·期末）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)已知 时， 恒成立；若当 时， 恒成立，求 的取值范围12．（2024·高三·新疆·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
13．（2024·江西·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
14．（2024·高二·江苏南京·开学考试）（1）若曲线 的一条切线为 ，其中 ， 为正
实数，求 的取值范围．
（2）已知函数 ．
①当 时，讨论 的单调性；
②当 时， ，求 的取值范围．
15．（2024·天津·一模）已知函数 ，其中 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求 与 满足的关系；
（2）当 时，讨论 的单调性；
（3）当 时，对任意的 ，总有 成立，求实数 的取值范围.16．（2024·四川南充·二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
17．（2024·四川成都·二模）已知函数 的图象在 处的切线经过点 .
(1)求 的值及函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围.
18．（2024·高三·北京顺义·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，讨论函数 的单调性；
(3)当 时， 恒成立，求a的取值范围.
