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7-5
数
恒
利用导
研究
(能)成立问题
7-5 利用导数研究恒(能)成立问题....................................................................................................................1
一、分类题型..................................................................................................................................................... 1
题型一 分离参数求参数范围............................................................................................................... 2
题型二 等价转化求参数范围............................................................................................................... 2
题型三 双变量的恒(能)成立问题......................................................................................................3
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................4
1
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、分
题
一
类
型
题
型一分离参数求参数范围
【例题精析1】
（2022 春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数
恒成立，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析2】
（2023·河北·统考模拟预测）若
，不等式
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析3】
（2023 春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
分离参数法解决恒(能)成立
的策略
问题
(1)分离
量．构造函数，直接把
化
函数的最
．
变
问题转
为
值问题
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
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【对点精练1】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若对任意的
，
恒
成立，求实数
的取值范围．
【对点精练2】
（2023 春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数
，
时，
，则
实数
的范围是__________.
【对点精练3】
（2023 春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数
在
上存在
单调递增区间，则
的取值范围是______.
【对点精练4】
（2023·全国·高三专题练习）若存在
，使得不等式
成立，则m 的取值
范围为______
题
型二等价转化求参数范围
【例题精析4】
已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1 处的切线与直线3x－y＝0 平行，求a 的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1 对一切x [1
∈
，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数
单调性求解．
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【对点精练5】
（2022 秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数
，
．
(1)研究函数
在区间
上的单调性；
(2)若对于
，恒有
，求
的取值范围．
【对点精练6】
（2023 春·福建福州·高二校联考期中）已知函数
.
(1)令
，讨论
的极值；
(2)若
时，
恒成立，求正实数a 的取值范围.
【对点精练7】
（2023 春·重庆·高二校联考期末）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)设
，其中
，若
恒成立，求
的取值范围．
题
型三双变量的恒(能)成立问题
【例题精析5】
（2023 春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，存在
满足
，证明
.
【例题精析6】
（2023 春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数
（
是自然对数的底数）
(1)求
在
处的切线方程.
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(2)存在
成立，求a 的取值范围.
(3)对任意的
，存在
，有
，则
的取值范围.
“双
量
变
”的恒(能)成立
一定要正确理解其
，深刻挖掘内含条件，
行等价
，常
问题
实质
进
变换
的等价
有
见
转换
(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
【对点精练8】
（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
有两个不同零点
，
证明：
．
【对点精练9】
（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
，且
，求
的取值范围．
【对点精练10】
（2023 春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数
．
(1)若
在
单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
有两个极值点
，
，且
，求证：
．
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（浙江高考）设
，若
时，均有
，则
．
2．（2023•天津）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在
处的切线斜率；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）证明：
．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）设函数
，当
时，
，求
的取值范围．
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4．（2022•浙江模拟）已知函数
的振幅为2，初相为
，函数
的
图象关于
轴对称．
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数
，若
恒成立，求
的取值范围．
5．（2022•毕节市模拟）已知
．
（Ⅰ）若
，解不等式
；
（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
6．（2022•上饶一模）已知函数
，
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
在
，
时有解，求实数
的取值范围．
7．（2022•赤峰模拟）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若对任意的
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
8．（2022•临夏州一模）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围．
9．（2022•长丰县校级模拟）已知
．
（1）解不等式
；
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（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
10．（2022•安康三模）已知函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
11．（2022•河南模拟）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
恒成立，求
的取值范围．
12．（2022•上海）
．
（1）若将函数
图像向下移
后，图像经过
，
，求实数
，
的值．
（2）若
且
，求解不等式
．
13．（2022•通辽模拟）已知函数
．
（1）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围；
（2）若对任意的实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
14．（2022•大兴区校级三模）设函数
，
．
（1）当
时，求
在点
，
处的切线方程；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围；
（3）求证：当
时，
．
15．（2022•海拉尔区校级四模）已知函数
．
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（1）当
，
时，求不等式
的解集；
（2）当
时，
的最大值为
，求
的最小值．
16．（2022•呼和浩特模拟）已知函数
（Ⅰ）当
时，解不等式：
；
（Ⅱ）若不等式
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
17．（2022•爱民区校级三模）已知函数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
，求
的最小值．
18．（2022•叙州区校级模拟）已知函数
．
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若关于
的不等式
在
，
上恒成立，求实数
的取值范围．
19．（2022•河南模拟）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
对任意的
恒成立，求
的取值范围．
20．（2022•陕西模拟）已知函数
．
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围．
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