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7-5 利用导数研究恒(能)成立问题
7-5 利用导数研究恒(能)成立问题..................................................1
一、分类题型................................................................1
题型一 分离参数求参数范围................................................2
题型二 等价转化求参数范围................................................2
题型三 双变量的恒(能)成立问题............................................3
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................4
1
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一、分类题型
题型一 分离参数求参数范围
【例题精析1】
（2022 春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数
恒成立，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】当
时，
成立；当
时，由已知可得，
，
设
，则
.当
时，有
.
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，有
，所以
在
上单调递增.
所以，
在
处取得唯一极小值，也是最小值
，所以，
.
因为
在
时恒成立，所以
；当
时，由已知可得，
，
则
恒成立，所以
在
上单调递减.
要使
在
时恒成立，则应有
.
因为
，所以
.综上所述，要使
恒成立，
应有
.故选：A.
2
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【点睛】思路点睛：对
的范围讨论，分离常数，构造函数，转化为求解函数的最值问题.求解导函数，根
据导函数得出函数的单调区间以及最值，即可得出参数的取值范围.
【例题精析2】
（2023·河北·统考模拟预测）若
，不等式
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】因为
，不等式
等价于
，
即
，即
构造函数
，则
，
在
上单调递增，
所以
，于是
，则
，
即
，设
，则
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，解得
.故选：A.
【例题精析3】
（2023 春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数
.
(1)若
是增函数，求
的取值范围；
(2)若
在
上恒成立，求
的取值范围.
【解答】（1）
的定义域为
.
因为
是增函数，所以
在
上恒成立.
即
在
上恒成立.
令函数
，
.
3
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所以
在
上单调递增，则
.
所以
，故
的取值范围为
.
（2）由题意可得
在
上恒成立.
令函数
，则
.
当
时，
，
所以
，此时
在
上单调递增，
故
，符合题意.
当
时，令函数
，则
.
所以
在
上单调递增.
.
当
，即
时，
在
上恒成立，
此时
在
上单调递增，故
，符合题意.
当
，即
时，存在
，使得当
时，
，
即
在
上单调递减，此时
，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围方法点睛：
常规套路无非是分类讨论和分离参数.分类讨论是一定可行的，但却未必简单，这需要严密的逻辑，甚至耗
费洪荒之力.分离参数的方法无需讨论，降低了难度，同时也会有一定的计算量.
分离参数法解决恒(能)成立
的策略
问题
(1)分离
量．构造函数，直接把
化
函数的最
．
变
问题转
为
值问题
4
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(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.
【对点精练1】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若对任意的
，
恒
成立，求实数
的取值范围．
【解答】解法一，由
在
上恒成立，得
在
上恒成立，即
在
上恒成立
令
，
则
．
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
因为
，
，所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
．
解法二，由
在
上恒成立，得
在
上恒成立．
令
，
，则
满足
即可
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
．
因为
，
，所以
，
5
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所以
，即实数
的取值范围为
．
【对点精练2】
（2023 春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数
，
时，
，则
实数
的范围是__________.
【解答】由题可得
对任意
恒成立，
等价于
对任意
恒成立，
令
，则
，
令
，则
，
在
单调递增，
，
，
存在唯一零点
，且
，使得
，
在
单调递减，在
单调递增，
，
，即
，
令
，显然
在
单调递增，则
，即
，
则
，
.
故答案为：
【对点精练3】
（2023 春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数
在
上存在
单调递增区间，则
的取值范围是______.
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【解答】函数
，∴
，
∵函数
在
上存在单调递增区间，
，即
有解，
令
,
,∴当
时，
，
即可．
故答案为:
【对点精练4】
（2023·全国·高三专题练习）若存在
，使得不等式
成立，则m 的取值
范围为______
【解答】存在
，要使
成立，即
，
，
令
，
，即
，
又
，设
，
，
则
，则
在
内单调递增，
，则
，
在
内单调递增，
，故m 的取值范围为
．
故答案为：
.
7
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题型二 等价转化求参数范围
【例题精析4】
已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1 处的切线与直线3x－y＝0 平行，求a 的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1 对一切x [1
∈
，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．
【解答】(1)f′(x)＝ex－1－a＋，∴f′(1)＝2－a＝3，∴a＝－1，经检验a＝－1 满足题意，∴a＝－1，
(2)f(x)≥ln x－a＋1 可化为ex－1－ax＋a－1≥0，x>0，
令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，则当x [1
∈
，＋∞)时，φ(x)min≥0，∵φ′(x)＝ex－1－a，
①当a≤时，φ′(x)>0，∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0 恒成立，∴a≤符合题意．
②当a>时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1.当x (0
∈
，ln a＋1)时，φ′(x)<0，
当x (ln
∈
a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，ln a＋1)上单调递减，
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增．当ln a＋1≤1，即<a≤1 时，φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
φ(x)min＝φ(1)＝0≥0 恒成立，∴<a≤1 符合题意．当ln a＋1>1，即a>1 时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(ln a＋1)<φ(1)＝0 与φ(x)≥0 矛盾．故a>1 不符合题意．
综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数
单调性求解．
【对点精练5】
（2022 秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数
，
．
(1)研究函数
在区间
上的单调性；
(2)若对于
，恒有
，求
的取值范围．
【解答】（1）函数
的定义域为
．
，
8
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当
时，
，而
，所以
，
当
时，
，而
，
所以
．
所以当
时，
，即
．
综上，
在
上单调递增．
（2）
即
，
设
，
当
时，结合（1）知，
在
上是增函数，则
，
所以当
时，不等式显然成立．
当
时，
，
令
，则
，
当
时，
，
，所以
，
所以
为增函数，
．
当
时，
，从而有
，此时不等式恒成立．
当
时，令
，即
，
由前面分析知，函数
在
上是增函数，
且
，
．
故存在唯一的
，使得
．
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当
时，
，
为减函数且
．
所以
与
恒成立矛盾．
综上所述，
的取值范围为
．
【对点精练6】
（2023 春·福建福州·高二校联考期中）已知函数
.
(1)令
，讨论
的极值；
(2)若
时，
恒成立，求正实数a 的取值范围.
【解答】（1）
，则
，
若
，则
，此时
无极值；
若
，由
得
；由
得
；
则
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
在
处取极小值且极小值为
，
综上，当
时，
无极值；
当
时，
有极小值为
，无极大值.
（2）
时，
恒成立等价于
恒成立，
设
，则
，
若
，则
，则
为
上的增函数，
故
，故
恒成立.
若
，则当
时，
，
故
在
上为减函数，而
，
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故当
时，
成立，
这与题设矛盾，
故
.
【对点精练7】
（2023 春·重庆·高二校联考期末）已知函数
．
(1)求
的单调区间；
(2)设
，其中
，若
恒成立，求
的取值范围．
【解答】（1）
的定义域为
，
，令
，得
，
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
故
递减区间为
，递增区间为
.
（2）
，定义域为
，
令
，
，所以在
上单调递增，
而当
趋向于1 时，趋向负无穷；
趋向正无穷时，趋向正无穷，故
，
由
恒成立，
，得
，
即
，
恒成立，
令
，则
，令
，得
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，解得
.
所以
的取值范围是
.
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【点睛】关键点睛：本题第（2）小题关键是由
恒成立，得
恒成立，换元令
可转化为
恒成立，构造函数
求出其最大值即可求解，可减少复杂的隐
零点运算.
题型三 双变量的恒(能)成立问题
【例题精析5】
（2023 春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，存在
满足
，证明
.
【解答】（1）依题意得
，
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
.
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（2）
时，
，
，
令
，得
，
时，
，
单调递增，
时，
，
单调递减，
，
，
，
因为存在
满足
，不妨设
，
则其一个必要条件是
，
由
得
，即
，
令
，
，
则
，两边取对数得
，即
，
要证
，只要证
，
，
故只要证
，即
，
设
，则
，
故只要证
，即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，所以
，
即
成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对
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数均值不等式即可.
【例题精析6】
（2023 春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数
（
是自然对数的底数）
(1)求
在
处的切线方程.
(2)存在
成立，求a 的取值范围.
(3)对任意的
，存在
，有
，则
的取值范围.
【解答】（1）由题意可得：
，
则
，
即切点坐标
，切线斜率
，
故
在
处的切线方程为
，即
.
（2）∵
，则
，
∴原题意等价于存在
成立，
又∵
，则
，
∴
，
故a 的取值范围为
.
（3）因为对任意的
，存在
，有
，所以
，
因为
，所以
，
令
，得
；令
，得
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故
，
因为
开口向下，对称轴为
，则有：
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①当
，即
时，
在
上单调递减，则
，
所以
，则
，
故
；
②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，则
，
所以
，故
；
③当
，即
时，
在
上单调递增，则
，
所以
，故
；
综上所述：
，即
的取值范围
.
“双
量
变
”的恒(能)成立
一定要正确理解其
，深刻挖掘内含条件，
行等价
，常
问题
实质
进
变换
的等价
有
见
转换
(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max.
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min.
(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max.
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【对点精练8】
（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
有两个不同零点
，
证明：
．
【解答】（1）当
时，
，
故
，
，
故在
处的切线方程为
，即
.
（2）证明：不妨设
，设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，
在
单调递增，
可知
，
也是
的两个零点，且
，
，于是
，
设
，
因为
．
设
，
当
时，
，
故
在
单调递增，
16
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所以
，从而
，
因此
在
单调递增．
又
，故
，故
，于是
．
又
在
单调递减，故
即
，故
【点睛】关键点点睛：第一个关键点是从结论分析，由
得
，
故构造函数
；第二个关键点是能利用
函数的最值得到
，进
而证明
.
【对点精练9】
（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有两个极值点
，且
，求
的取值范围．
【解答】（1）
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
，
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则函数
的定义域为
，
若函数
有两个极值点
，且
．
则方程
的判别式
，且
，
．
．
设
，
则
在
上恒成立．
故
在
单调递减，从而
．
因此，
的取值范围是
．
【对点精练10】
（2023 春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数
．
(1)若
在
单调递增，求实数
的取值范围；
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(2)若函数
有两个极值点
，
，且
，求证：
．
【解答】（1）函数
的定义域为
，则
，
若
单调递增，则
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
又
在
上单调递减，于是
，
所以
，
故实数a 的取值范围为
.
（2）证明：
（
），
则
，
依题意可得
，
是方程
的两个不同的根，
于是
，
，
，即
，
又
，则
，
.
要证
，
只需证
，
即证
，
，
因为
，所以
，
从而
，
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令
，
，
则
，
设
，则
，
令
，解得：
（舍去
），
由
，得
，由
，得
，
于是
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，
而
，
，于是在
上，
，
因此
在
上单调递增，从而
，
综上所述，
，
所以原命题
得证．
【点睛】方法点睛：破解含双参不等式证明题的3 个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
本题中得到
，
是方程
的两个不同的根，根据韦达定理得到
及
，从而将原不等式转化为只
的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.本题中构造函数
，
；
（3）再次利用导数研究函数的最值，即可证得结果.
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（浙江高考）设
，若
时，均有
，则
．
【解答】解：（1）
时，代入题中不等式明显不成立．
（2）
，构造函数
，
，它们都过定点
．
考查函数
：令
，得
，
，
；
考查函数
，
时均有
，
过点
，
，代入得：
，
解之得：
，或
（舍去）．
故答案为：
．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．
2．（2023•天津）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在
处的切线斜率；
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（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）证明：
．
【解答】解：（Ⅰ）对函数
求导，可得
，
则曲线
在
处的切线斜率为
（2）
；
（Ⅱ）证明：当
时，
，即
，即
，
而
在
上单调递增，
因此
，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列
的前
项和
，
则
；
当
时，
，
由（2），
，
故
，不等式右边得证；
要证
，只需证：对任意的
，
，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
则
，即
，
22
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则
，
因此当
时，
，
当
时，累加得
，
又
，
，
故
，即得证．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）设函数
，当
时，
，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
，
，
，
，
，
解得
，
不等式
的解集为
．
（2）
，
，
，
23
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，
当
时，成立，
当
时，
，
，
解得
，
的取值范围是
，
．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意不等式性质的合理运用．
4．（2022•浙江模拟）已知函数
的振幅为2，初相为
，函数
的
图象关于
轴对称．
（Ⅰ）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数
，若
恒成立，求
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知
．
令
．
的图象关于
轴对称，
，
，
，
，
，
，
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函数
的最小正周期
，
令
，
解得
，
函数
的单调递增区间为
．
（Ⅱ）
，
令
，
，
，
恒成立等价于
在
上恒成立，
易知
，
由函数
在
上单调递增可得：
，
，
，
即
的取值范围为
．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，不等式的恒成立问题，属于中档题．
5．（2022•毕节市模拟）已知
．
（Ⅰ）若
，解不等式
；
（Ⅱ）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
化为
，
当
时，
，
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当
时，
，
，
综上可得，解集为
；
（Ⅱ）由题意得：
恒成立，
恒成立，
上式化为
恒成立，
即
由于
，
，
令
，则
，
上式化为：
，
在
，
上为减函数，
（3）
，
同理
在
，
上为增函数，
，
，
所以实数
的取值范围是
，
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
6．（2022•上饶一模）已知函数
，
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
在
，
时有解，求实数
的取值范围．
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【解答】解：（1）
时，函数
，
所以不等式
等价于
或
或
，
解得
或
或
，
所以不等式
的解集为
，
；
（
2
）
因
为
，
时
，
所
以
函
数
，
又因为
，
所以
在
，
上的值域是
，
，
若
在
，
时有解，则
，
当
时，
，所以
，解得
；
当
时，
，所以
，解得
，
综上知，
，
所以实数
的取值范围是
，
．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式有解的应用问题，是中档题．
7．（2022•赤峰模拟）已知函数
．
27
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（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若对任意的
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）
时，函数
，
不等式
等价于
或
，
解得
，
所以不等式
的解集为
；
（2）对任意的
，
，不等式
恒成立，等价于
，
即
，所以
或
，
所以
或
，
又因为
，
，所以
或
，
所以实数
的取值范围是
，
，
．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．
8．（2022•临夏州一模）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）
时，函数
，
①当
时，不等式
可化为
，解得
，此时无解；
②当
时，不等式
可化为
，解得
，即
；
③当
时，不等式
可化为
，解得
，即
；
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综上，不等式
的解集为
，
．
（2）因为
，
①当
时，
，
②当
时，
，
③当
时，
，
因为
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
，
又因为
恒成立，所以
，
即
，解得
，
所以
的取值范围是
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想和转化思想，是中
档题．
9．（2022•长丰县校级模拟）已知
．
（1）解不等式
；
（2）若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】（1）解：
，
①当
时，
可化为
，解得
，无解；
②当
时，
可化为
，解得
，故
；
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③当
时，
可化为
，解得
，故
；
综上所述，不等式
的解集为
，
；
（2）关于
的不等式
在
上恒成立，即
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
，
，解得
，
故实数
的取值范围为
，
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
10．（2022•安康三模）已知函数
．
（1）求不等式
的解集；
（2）当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）函数
，
所以不等式
等价于
或
或
，
解得
或
或
，
所以不等式
的解集为
，
；
（2）当
时，
恒成立，等价于
或
恒成立；
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由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
综上知，实数
的取值范围是
，
．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与不等式恒成立问题，是中档题．
11．（2022•河南模拟）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
恒成立，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
，
所以
，即
或
或
，
解得
，
即不等式
的解集是
，
；
（2）因为
，
所以
恒成立等价于
恒成立，
当
时，
恒成立，所以
符合题意；
当
时，
等价于
，
即
，解得
或
，
综上，
的取值范围是
，
，
．
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【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
12．（2022•上海）
．
（1）若将函数
图像向下移
后，图像经过
，
，求实数
，
的值．
（2）若
且
，求解不等式
．
【解答】解：（1）因为函数
，
将函数
图像向下移
后，得
的图像，
由函数图像经过点
和
，
所以
，
解得
，
．
（2）
且
时，不等式
可化为
，
等价于
，
解得
，
当
时，
，
，解不等式得
，
当
时，
，
，解不等式得
；
综上知，
时，不等式
的解集是
，
，
时，不等式
的解集是
，
．
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【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
13．（2022•通辽模拟）已知函数
．
（1）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围；
（2）若对任意的实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（1）
有解，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
综上，
或
，
即
的取值范围是
，
，
；
（2）
恒成立，
由（1）知，
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当
时，
，
，
，
或
，
即
的取值范围为
，
，
．
【点评】本题考查了函数的有解和恒成立问题，属于中档题．
14．（2022•大兴区校级三模）设函数
，
．
（1）当
时，求
在点
，
处的切线方程；
（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围；
（3）求证：当
时，
．
【解答】解：（1）
，
，即切点
．
，
，则切线方程为：
．
（2）
，
恒成立等价于
恒成立．
设
，
，
，
为增函数，
，
，
为减函数，
所以
，即
．
（3）证明：
等价于
设
，
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设
，
所以
在
为增函数，即
，
所以
，
即
在
为增函数，即
，
即证：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的切线方程及函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题
15．（2022•海拉尔区校级四模）已知函数
．
（1）当
，
时，求不等式
的解集；
（2）当
时，
的最大值为
，求
的最小值．
【解答】解：（1）由于
，
，
则
，
，
，
或
或
，解得
，
故不等式的解集为
，
．
（2）
，
则在
区间上函数
为增函数，
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在
区间上函数
为减函数，
故
，即
，
，当且仅当
等号成立，
故
的最小值为
．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．
16．（2022•呼和浩特模拟）已知函数
（Ⅰ）当
时，解不等式：
；
（Ⅱ）若不等式
对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
时，
，
由
，得
或
或
，解得
，
所以不等式
的解集为
．
（Ⅱ）不等式
对任意实数
恒成立，
对任意实数
恒成立，
，
当且仅当
时等号成立，
所以
，所以
，
所以
，解得
或
，
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即
，
，
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
17．（2022•爱民区校级三模）已知函数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）若
，求
的最小值．
【解答】解：（1）函数
，
当
时，
，
时，不等式
化为
，解得
；
时，不等式
化为
，解得
，此时无解；
时，不等式
化为
，解得
；
综上，不等式
的解集为
或
；
（2）由
，
，
，
由
，
设
，
，
，当且仅当
或
时等号成立）；
的最小值为
．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题．
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18．（2022•叙州区校级模拟）已知函数
．
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若关于
的不等式
在
，
上恒成立，求实数
的取值范围．
【解答】解：
由
得
或
或
解得
或
或
，
不等式的解集为
．
（Ⅱ）由题意知，当
，
时，
恒成立．
若
，则
，即
恒成立，
此时，
，故
；
若
，则
，即
恒成立，
此时，
在
，
上的最小值为
，
故
．综上所述，
的取值范围是
，
．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2022•河南模拟）已知函数
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
对任意的
恒成立，求
的取值范围．
【解答】解：（1）当
时，
化为
，
当
时，不等式化为
，解得
，
当
时，不等式化为
，解得
，
当
时，不等式化为
，解得
，
38
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综上所述，当
时，不等式
的解集为
；
（2）由
，得
，即
，
因为
（当且仅当
时，等号成立），
又因为
对任意的
恒成立，所以
，
当
，即
时，有
，即
，此不等式无解；
当
，即
时，有
，即
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
，即
，
．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
20．（2022•陕西模拟）已知函数
．
（Ⅰ）解不等式
；
（Ⅱ）若关于
的不等式
有解，求实数
的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）
即为
，
当
时，不等式等价于
，解得
；
当
时，不等式等价于
，即
，无解；
当
时，不等式等价于
，解得
；
综上，不等式的解集为
，
，
；
（Ⅱ）
，易知
，
要使不等式
有解，则
，即
或
，解得
或
，
39
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实数
的取值范围为
，
，
．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
40
