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备战2024年高考《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考）
第 13 讲圆锥曲线中的存在性、探索性问题
【考题分析】
圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求
考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考
中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆
及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求.
存在性问题的求解方法
(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化。一般步骤:
①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在，用待定系数法设出;
2列出关于待定系数的方程(组);
③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在。
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法
【题型突破】
题型一 点的存在型问题
例1（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆过点 和 ．
(1)求C的方程；
(2)不过原点 的直线 与 交于不同的 两点，且直线 的斜率成等比数列．
在 上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在； 或 或 或 .
【分析】（1）根据题意列出方程组，求得 的值，即得答案.
（2）设直线方程，联立椭圆方程可得根与系数的关系式，结合 化简求值可
得 的值，再利用四边形 为平行四边形，表示出M点坐标，利用点在椭圆上求出
，说明适合题意，即可得结论.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
故C的方程为 ；
（2）由题意知直线 的斜率一定存在，设直线的l方程为 ，设 ，
由 ，得 ，
需满足 ，则 ，
所以 ，
故 ；
由于直线 的斜率成等比数列，即 ，
即 ，故 ，解得 ，
存在点M，使得四边形 为平行四边形，
理由如下：四边形 为平行四边形，则 ,
故 ，
又点M在椭圆C上，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 ，满足 ，
所以直线l的方程为 或 或 或 .
【思维总结】解决探索性问题是否存在时，要设出直线方程并联立椭圆方程，得到根与系
数关系，结合已知条件化简，难点在于计算过程比较复杂，计算量较大，且基本都是字母
参数的运算，因此要十分仔细,
【对点演练1】（2024·全国·高三专题练习）椭圆 的离心率是 ，
点 是椭圆 上一点，过点 的动直线 与椭圆相交于 两点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)求 面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使 恒成立？存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在， .
【分析】（1）由离心率及过点 列方程组求解 .（2）设直线 为 与椭圆方程联立，将 表达为 的函数，由基本不
等式求最大值即可.
（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出 ，设点 关于 轴的对称点 ，证得
三点共线得到 成立.
【详解】（1）根据题意，得 ，解得 ，椭圆C的方程为 .
（2）依题意，设 ，直线 的斜率显然存在，
故设直线 为 ，联立 ，消去 ，得 ，
因为直线 恒过椭圆内定点 ，故 恒成立， ，
故
，
令 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取
得等号，
综上可知： 面积的最大值为 .
（3）当 平行于 轴时，设直线与椭圆相交于 两点，如果存在点 满足条件，
则有 ，即 ，所以 点在 轴上，可设 的坐标为 ；当 垂直于 轴时，设直线与椭圆相交于 两点，如果存在点 满足条件，
则有 ，即 ，解得 或 ，
所以若存在不同于点 的定点 满足条件，则点 的坐标为 ；
当 不平行于 轴且不垂直于 轴时，设直线 方程为 ，
由（2）知 ，
又因为点 关于 轴的对称点 的坐标为 ，
又 ， ，
则 ，
所以 ，则 三点共线，所以 ；
综上：存在与点 不同的定点 ，使 恒成立，且 .
.
【对点演练2】（2023春·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点 在双
曲线 上．
(1)点 ， 为 的左右顶点， 为双曲线 上异于 ， 的点，求 的值；(2)点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足，证明：存在定点 ，使得
为定值．
【答案】(1) ;
(2)证明见解析.
【分析】（1）代入点 ，得 ，从而得双曲线方程及 ， 的坐标，设 点坐标
为 ，则 ，结合 在双曲线 上，即可得答案；
（2）设直线 方程为 ，设 ，联立直线与双曲线方程，结合
韦达定理及 ，得 ，舍去 ，从而得 ，直线
过定点 ， 为直角三角形， 为直角，再根据直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半即可得证.
【详解】（1）解：因为点 在双曲线 上，
所以 ，解得 ，
所以双曲线 ，则 ．
设 点坐标为 ，则 ，
所以 ．
因为点 在曲线 上，
所以 ，所以 ，
所以 的值为 ．
（2）证明：依题意，直线 的斜率存在，
故设其方程为 ，设 ，
联立 ，消 得 ，
显然 ，否则不可能有两个交点，
，
由韦达定理得 ，
因为直线 的斜率之积为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以有 ，
将韦达定理代入化简得 ，
而当 ，此时直线 为 ，
易知 恒过定点 ，故舍去，
所以 ，此时满足 且直线 过定点 ，（如图所示）又因为 为垂足，所以 为直角三角形， 为直角，
所以当点 为斜边 的中点 时， 为定值 ．
综上所述，存在定点 ，使得 为定值 ．
题型二 直线存在型问题
例2 （2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C： ，直线l在x轴上
方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A
的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB
交于点N， ， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理
由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由点A的坐标求得 ，结合双曲线的定义求得 ，进一步计算得出双曲线的
方程即可；
（2）设直线PQ的方程为 ，与双曲线联立得出韦达定理，结合两个向量共线的坐标表示求得 ，得到直线l的方程.
【详解】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，
由已知得 ， ，设 ， ，
则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，由已知 ，
故存在定直线l： 满足条件.【对点演练1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两定点 ，
，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且
．
(1)求动点M的轨迹 ；
(2)设过 的直线交曲线 于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜
率分别为 ， ， ，且满足 ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出
该定直线的方程；若不在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线y＝8（x≠0）上．
【详解】（1）设 ，则 ，由题意知－4＜x＜4．
∵ ，∴ ，即 ，故动点M的轨迹 为
．
（2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下：
当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1．设 ， ， ，则 ， ， ，由此知
．
将y＝kx＋1代入 ，得 ，于是
， ．①
条件 即 ，也即 ．
将 ， 代入得
．
显然 不在直线y＝kx＋1上，∴ ，从而得 ，即
．
将 ， 代入得 ．将式①代入得
，解得 ．
当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意．
因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．
【对点演练2】（2023秋·全国·高二期中）椭圆E的方程为 ，左、右顶点分别为
， ，点P为椭圆E上的点，且在第一象限，直线l过点P
(1)若直线l分别交x，y轴于C，D两点，若 ，求 的长；
(2)若直线l过点 ，且交椭圆E于另一点Q（异于点A，B），记直线 与直线 交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)点M在定直线 上，理由见解析.
【分析】（1）设 ，由题意可得则 ， ，从而
可得 ，根据 即可求解；
（2）依题可设直线l的方程为 ， ， ， ．求出直线
的方程为 ，直线 的方程为 ，联立可得
，联立直线l的方程和椭圆方程，结合韦达定理，从而可求解.
【详解】（1）设 ，
则 ①， ②，
由①②可得 ，
，即 ，
（2）依题可设直线l的方程为 ， ， ， ．联立方程组 ，整理得 ，
，
则 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
因为
，
，
由 ，得 ，得 ．
所以 .
故点M在定直线 上．题型三 参数存在型
例3（2023春·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）设椭圆 ：
的一个顶点为 ，离心率为 ， 为椭圆 的右焦点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若满足 ，求 的值；
(3)过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，过点 ， 分别作直线 ： 的垂线
（点 ， 在直线 的两侧）．垂足分别为 ， ，记 ， ， 的面积分
别为 ， ， ，试问：是否存在常数 ，使得 ， ， 总成等比数列？若存在，求
出 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用离心率，根据 ， ， 的关系即可求出方程.
（2）根据条件 ，向量化，垂直的两个向量数量积为 ，即可解出 值.
（3）因为过点 ， 分别作直线 ： 的垂线（点 ， 在直线 的两侧），表示出面
积，根据 ， ， 总成等比数列列出方程，即可求出 .
【详解】（1）因为椭圆 ： 的一个顶点为 ，离心率为 ，
所以有 ， ，则 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为 为椭圆 的右焦点，所以 ，
过 且斜率为 的直线与椭圆 交于 ， 两点，所以设直线方程为 ， ， ，
则 ，则 ，
， ， ，
， ，
因为满足 ，所以 ，
即 ，
即 ，
则有 ，
整理得 ，
解得 （舍）， .
（3）
由已知得，BC的斜率存在，且B，C在x轴的同侧，
设直线BC的方程为 ， ， ，不妨设 ，
则 ， ，
由 得 ，所以 ， ， ，
因为 ， ， ，
所以
，
，
要使 ， ， 总成等比数列，则应有 解得 ，
所以存在 ，使得 ， ， 总成等比数列.
【对点演练1】（2022·山东淄博·高三期末）已知双曲线 的左焦
点为F，右顶点为A，渐近线方程为 ，F到渐近线的距离为 ．
(1)求C的方程；
(2)若直线l过F，且与C交于P，Q两点（异于C的两个顶点），直线x=t与直线AP，AQ的交点分别为M，N．是否存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|？若存在，求出t的
值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)双曲线 一条渐近线方程为 ，
|bc|
焦点F(−c,0) ，则焦点到准线的距离d= =b ，
❑√a2+b2
由F到渐近线的距离为 可知： ，
b
由渐近线方程为 知： =❑√3 ，故 ，
a
所以双曲线方程为： ；
(2)设直线l的方程为x=my−2 ，
{x=my−2
联立 y2 ，整理得：（3m2−1)y2−12my+9=0 ，
x2− =1
3
设P(x ,y ),Q(x ,y ) ，而A(1,0),F(−2,0) ,
1 1 2 2
12m 9
则y + y = ,y y = ，
1 2 3m2−1 1 2 3m2−1
4 −3m2−4
所以x +x =m(y + y )−4= ，x x =m2y y −2m(y + y )+4= ，
1 2 1 2 3m2−1 1 2 1 2 1 2 3m2−1
假设存在实数t，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|，则⃑FM⋅⃑FN=0 ,
y y
故由 方程：y= 1 (x−1) ,令x=t得M(t, 1 (t−1)) ，
x −1 x −1
1 1
y y
同理 方程：y= 2 (x−1) ,令x=t得N(t, 2 (t−1))，
x −1 x −1
2 2
y y
所以⃑FM⋅⃑FN=(t+2, 1 (t−1))(t+2, 2 (t−1))=0，
x −1 x −1
1 2
y y
即 (t+2) 2+ 1 2 (t−1) 2=0 ，
(x −1)(x −1)
1 29
3m2−1
则(t+2) 2+ (t−1) 2=0 ，
−3m2−4 4
− +1
3m2−1 3m2−1
1
即(t+2) 2−(t−1) 2=0 ，解得t=− ，
2
1
故存在实数t=− ，使得|⃑FM+⃑FN|=|⃑FM−⃑FN|.
2
【对点演练2】已知椭圆 ： 经过点 ，且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程与焦距；
（2）直线 ： 与椭圆 的交点为 ， 两点，线段 的中点为 .是否存
在常数 ，使 恒成立，并说明理由.
【分析】（1）根据上顶点的坐标和离心率可得 ，从而可求标准方程和焦距.
（2）设 ， ，联立直线方程和椭圆方程，消去 后利用韦达定理化简
可得 ，从而可得 .
【详解】（1）因为椭圆 ： 经过点 ，且离心率为 ，
所以 ， ，又因为 ，
可解得 ， ，焦距为 ，所求椭圆的方程为 .
（2）存在常数 ，使 恒成立，
证明如下：由 ，得 ， ，
设 ， ，则 ， .
又因为 ， ，
所以
，所以 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，所以 .
存在常数 ，使 恒成立.
题型四 定值存在型
例4、（2023·安徽·统考一模）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线
的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲
线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲线， 分别为 的离心率，且 ，点
分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为
.（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请
说明理由；
（ii）求 的取值范围.
【详解】（1）由题意可设双曲线 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消元得 .
则 ，且 ，；
或由韦达定理可得 ，即 ,
，
即 与 的比值为定值 .
（ii）设直线 ，代入双曲线方程并整理得
，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 ，
解得 ，即 ，
同理可得 ，由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，
故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 .
另解：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（含 轴，不含直线 与 ），
所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 与 ，由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 与 之间（不含 轴，不含直线 与 ），所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故
【对点演练1】（2023·湖南邵阳·统考三模）已知椭圆C： 的离心率为
，且过点 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若 .试问：△ABP
的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.
【详解】（1）因为椭圆 的离心率为 ，且过点 ，则 ，解得
，
所以椭圆方程为 .（2）因为 ，则四边形 为平行四边形，
所以 .
①若直线 的斜率不存在，此时点 为长轴顶点，不妨取 ，
设 ，则 ，解得 ，
则 ；
②若直线 斜率存在时，设 方程： ，
联立方程组得 ，消去 可得： ，
由 ，整理得 ，
则 ，
可得 ，
所以 .
因为点 在椭圆 上，则 ，
所以 ，满足 ，
则 ，
又因为点 到直线 的距离 ，
所以 ；
综上所述： 面积为定值，且定值为 .【对点演练2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知椭圆 .
(1)若 为椭圆上一定点，证明：直线 与椭圆 相切；
(2)若 为椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直线 分别
交直线 于 两点，且 的面积为8.问：在 轴是否存在两个定
点 ，使得 为定值.若存在，求 的坐标；若不存在，说明理由.
【详解】（1）当 时， ，直线 与椭圆 相切，当 时，
，
由 消去y并整理得 ，
所以 ，有
所以直线 与椭圆 相切.
（2）设 ，则由（1）得： ，而二切线过点 ，则有
，因此 是方程 的两个解，即直线 的方程为： ，
设点 ，由 解得 ，同理： ，
， ，
又 ，解得 ，
，即 ，整理得
，
取点 的轨迹方程为 ，此时点 的轨迹是焦点为 ，实轴长为8的双曲
线，
所以在 轴上存在点 ，使得|| 成立.
题型五 轨迹存在型
例5（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知椭圆 的左右焦点分
别为 ， ，离心率是 ，P为椭圆上的动点.当 取最大值时， 的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有 ，是否存在一个以原点O为
圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
【答案】（1） ；（2）存在，
【分析】（1）根据余弦定理和基本不等式确定点P为椭圆短轴端点时， 取最大值，
再根据三角形面积及 ，求得 ， ， ，即可得到答案；
（2）对直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论，当直线斜率存在时，设直线 的方程为
， ， ，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理可得 ，
即可得到答案；
【详解】（1）依题意可得 ，
设 ，由余弦定理可知： ，
所以 ，
当且仅当 （即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且 取最大值；
此时 的面积是 ，
同时 ，联立 和
解得 ， ， ，
所以椭圆方程为 .
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为 ，所以 ， ，此时 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ，
原点O到直线1的距离为d，所以 ，
整理得 ，
由 ，可得 ，
，
，
， ，恒成立，
即 恒成立 ，
所以 ，所以 ，
所以定圆C的方程是
所以当 时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，
其方程是 .
题型六 探究其它存在性问题例6设椭圆 过 ， 两点， 是坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点
、 ，且 ？若存在，写出圆的方程；若不存在，说明理由.
分析：（1）根据过点 ， ，利用待定系数法，求出几何量，从
而可求椭圆 的方程；（2）先假设存在，设该圆的切线方程代入椭圆方程，利
用韦达定理及 ，可确定 的范围及所求的圆的方程，验证当切线的斜
率不存在时，结论也成立．
解析：（1）因为椭圆 过 ， 两点，
所以 解得 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交
点 、 ，且 ,
设该圆的切线方程为 ，解方程组 ，得 ，
即 ，
则 ，即 ，要使 ，需使 ，即 ，
所以 ，所以 又
所以 ，所以 ，即 或 ，
因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 ,
, ,
所求的圆为 ，此时圆的切线 都满足 或 ，
而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为
或 满足 .
综上，存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 、 ，且 .
1.
（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线 ，左､右顶点分别为 ，
经过右焦点 垂直于 轴的直线与 相交于 两点，且 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与圆 相切，且与双曲线左､右两支分别交于 ， 两点，
记直线 的斜率为 ， 的斜率为 ，那么 是否为定值？并说明理由.
【详解】（1）设 ，把 代入到 的方程，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，则双曲线 的方程为 .
（2） 是否为定值,理由如下：
设 ，其中 ， ，.
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
所以 ，
因为 ， ， ，即 ，
所以
，
由已知 ..
即 为定值.
2.（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆
过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；点
【分析】（1）根据上顶点与右顶点距离和椭圆所过点可构造方程组求得 ，进而得到
椭圆方程；
（2）当直线 与 轴不重合时，假设直线方程，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，根
据 可构造方程求得 点坐标；当直线 与 轴重合时，验证所求 点坐标满足条件；综合两种情况可得结论.
【详解】（1） 椭圆 上顶点与右顶点的距离为 ， ；
又椭圆 过点 ， ；
两式联立可解得： ， ， 椭圆 的方程为： .
（2）当直线 与 轴不重合时，设其方程为 ， ，
由 得： ，
则 ，解得： 或 ，
， ，
假设存在点 使得 ，即存在点 使得 ，
设点 ，则 ，
，
，又 ， ，解得： ，
；
当直线 与 轴重合时， 分别为椭圆 左右顶点，若 ，此时 显然成立；
综上所述： 轴上存在点 满足题意．
3.（2023·全国·高二专题练习）已知曲线 ．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设 ，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线 与曲
线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？
若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线 上，理由见详解.
【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消 ，设直线
AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.
【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以 ，解得 ；.
（2）是在定直线 上，理由如下：
当 时，此时椭圆 ，设点 与直线l联立得
，
，且 ，
所以
易知 ，则 ，两式作商得 是定值，
故G在定直线 上.
4．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点
到点 的距离等于点 到直线 距离的 倍，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 ： 与曲线 交于 两点，问曲线 上是否存在两点 满
足 ，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)曲线 上存在两点 和
【分析】（1）设点，由题意由点到直线的距离得出等量关系，化简即可求得.
（2）联立直线方程与曲线方程，根据题意由 可得点 及点 在圆上，
求出定圆与定直线的交点即为 ，再求出两点之间的距离即可.【详解】（1）设 ，动点 到点 的距离等于点 到直线 距离的 倍，
所以 ，
化简得 .
所以曲线 的方程为 .
（2）存在两点 满足 .
设
联立直线与双曲线方程，有 ，
由韦达定理，有 ，
， ，
所以上式当 时，上式恒成立，
即过定点 ，经检验两点恰在双曲线 上，且不与 重合，故存在双曲线上两点 满足 .
6.（2023·全国·高二课堂例题）设F是双曲线 ： 的左焦点，经过F的直线与
相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求 面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得 为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说
明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的定点
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，即可由弦长公式以及点到直线距离公式求解长度，
利用面积公式以及二次函数的性质即可求解，
（2）由向量数量积的坐标运算，即可结合韦达定理化简求解.
【详解】（1）设直线MN的方程为 ， ， ．
由 可得 ，
由根与系数的关系可知 ， ①．
此时 ．原点O到直线MN的距离为 ，
此时 ．
由M，N都在双曲线的左支上知 ， ，
得 ，
令 ，则 ，
由于 ，所以当 ，即 时，此时取最大值，则 ，
当 ，即 时，等号成立．
（2）假设存在这样的定点 ．
当直线的斜率不为0时，由（1）知
②．
将①代入②可得 ，此时要想 为定值，则 ，得 ，从而 ．
即存在这样的定点 满足题意．
当直线的斜率为0时，易知 ，若 ，则
，满足题意.综上，存在 满足题意．
7.（2024·全国·高三专题练习）如图，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于
圆心 的对称点为 ，点 的轨迹为 .
(1)求曲线 的方程；
(2)一条直线 经过点 ，且交曲线 于 、 两点，点 为直线 上的动点.
①求证： 不可能是钝角；
②是否存在这样的点 ，使得 是正三角形？若存在，求点 的坐标；否则，说明理
由.
【答案】(1) ；
(2)①证明见解析；②存在，且 .
【分析】（1）设 ，则可得 ，圆 的直径为 ，利
用动圆 与 轴相切，即可求得曲线 的方程；（2）①设直线 的方程为 ，点 、 、 ，联立直线
的方程与抛物线方程，进而利用韦达定理结合向量的数量积运算，得到 恒成立，
可得结论；
②由①知 ，根据 与 垂直，斜率积为 ，可得 ，再由
，求出 值.
【详解】（1）设 ，因为点 在圆 上，且点 关于圆心 的对称点为 ，
则 ，
而 ，
因为动圆 过定点 且与 轴相切，则 ，
即 ，化简得 ，
所以曲线 的方程为 .
（2）①若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 有且只有一个公共点，不合乎
题意.
设直线 的方程为 ，设点 、 、 ，
联立 ，可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
，同理可得 ，所以，
，
故 不可能为钝角；
②假设存在这样的点 满足条件，
因为 ，则线段 的中点为 ，
若 ，则 轴，此时，直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 ，此时， 位于 轴上，则 ，
所以， 为直角三角形，不合乎题意，
所以， ，则 ，可得 ，
则 ，
则 ，
而 ，
由 ，可得 ，解得 ，所以，存在点 满足条件.
