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专题1.2 常用逻辑用语
思维导图
知识点总结
知识点一 充分条件、必要条件与充要条件
若p⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件
p 是q 的
要
条件
p⇒q 且q
p
p 是q 的 条件
p
q 且q⇒p
p 是q 的 条件
p⇔q
p 是q 的 条件
p
q 且q
p
知识拓展
1．(1)若p 是q 的充分不必要条件，q 是r 的充分不必要条件，则p 是r 的充
分不必要条件．
(2)若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件．
2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p 是q 的充分条件；
(2)若A⊇B，则p 是q 的必要条件；
1
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(3)若A＝B，则p 是q 的充要条件；
知识点二 ．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在
量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M 中任意一个x，有p(x)
成立”用符号简记为 .
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M 中元素x，使p(x)成
立”用符号简记为 .
2．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
知识拓展
1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面
词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
否定
词语
不等于(≠)
不大于(≤)
不小于(≥)
不是
正面
词语
都是
任意的
所有的
至多
有一个
至少
有一个
否定
词语
不都是
某个
某些
至少
有两个
一个
也没有
典型例题分析
2
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考向一 充分、必要条件的判断
例1
“x2>4”是“3x>9”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
若l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”
的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
充分、必要条件的两种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断．
(2)集合法：根据p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．
考向二 根据充分、必要条件求参数的范围
例2 已知关于x 的不等式(x－a)(x－3)>0 成立的一个充分不必要条件是－
1<x<1，则a 的取值范围是( )
3
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A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
1．条件、结论的相对性
充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条
件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A 是B 的充分
不必要条件”是指A⇒B 但B
A；“A 的充分不必要条件是B”是指B⇒A 但A
B.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．
2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间
的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两
个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值
的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
考向三 充要条件的证明与探求
例3 已知a，b，c 均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 有一正
考向四 全称量词命题、存在量词命题真假的判断
例4
下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R，x2≥0
4
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B．∀x∈R,2x－1>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2
(多选)下列命题为假命题的是( )
A．∃x∈R，ln (x2＋1)<0
B．∀x>2,2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
考向五 含有量词的命题的否定
例5
设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p 是( )
A．所有常数数列都不是等比数列
B．有的常数数列不是等比数列
C．有的等比数列不是常数数列
D．不是常数数列的数列不是等比数列
5
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命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是( )
A．∀x∈R,1<f(x)≤2
B．∃x∈R,1<f(x)≤2
C．∃x∈R，f(x)≤1 或f(x)>2
D．∀x∈R，f(x)≤1 或f(x)>2
写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其
量词的位置及相应结论．
(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题
的含义加上量词，再对量词进行改写．
(3)否定结论：对原命题的结论进行否定．
基础题型训练
一、单选题
1．命题“
”的否定为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．命题“
”的否定为（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
3．已知命题
，
（
且
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．“
”是“
的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知命题
：
，
是真命题，那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列说法中，正确的是
A．命题“若
，则
”的否命题是假命题
B．设
为两不同平面，直线
，则“
”是 “
” 成立的充分不必要条
件
C．命题“存在
”的否定是“对任意
”
D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件
二、多选题
7．下列叙述正确的是（ ）
A．
B．
，使得
7
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C．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
D．
；q：对
不等式
恒成立，p 是q 的充分不必要条件
8．下列说法是正确的是（ ）
A．命题“
，都有
”的否定是“
，都有
”
B．
中，角
、
、
成等差数列的充分条件是
C．若函数
满足
，则函数
是周期函数
D．若
，则实数
的取值范围是
三、填空题
9．“
”是“
”的___________条件.（用“充要”“充分不必要”“必要不充
分”“既不充分也不必要”填空）
10．若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是______.
11．已知命题
：“
或
”，
：“
”，则P 是Q 成立的______
12．方程
至少有一个正实数根的充要条件是________；
四、解答题
13．设
，求证：
成立的充要条件是xy≥0．
14．已知集合
，
或
．
（1）当
时，求
；
（2）若
，且“
”是“
”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
15．设
是实数，命题
：函数
的最小值小于0，命题
：函数
8
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在
上是减函数，命题：
.
（1）若“
”和“
”都为假命题，求实数
的取值范围；
（2）若
是的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
16．已知全集为
，集合
，
.
(1)求
；
(2)若
，且“
”是“
”的充分不必要条件，求实数
的
取值范围.
提升题型训练
一、单选题
1．设命题
，则
为 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，则“
”是“直线：
与直线
：
平行”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．“
”是“
”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知命题
使
；命题
当
时，
的最
9
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小值为4．下列命题是真命题的是
A．
B．
C．
D．
5．在
中，“
”是“
”的
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
6．给出下列四个说法：
①命题“
，都有
”的否定是“
，使得
”；
②已知
、
，命题“若
，则
”的逆否命题是真命题；
③
是
的必要不充分条件；
④若
为函数
的零点，则
.
其中正确的个数为
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．下列能成为
充分条件的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．下列说法正确的是
A．命题“若
且
，则
”为真命题
B．“若直线
与直线
平行，则
”的逆命题是真命题
C．若
：
，使得
，则
：
，使得
D．“
”是“
”的充要条件
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三、填空题
9．命题
：
，
的否定
________.
10．已知集合
，若
是
的充分不必要
条件，则
的取值范围为______________
11．已知直线
和
，则∥
的充要条件是
=______．
12．设函数
的定义域为D，若命题p：“
，
”为假
命题，则a 的取值范围是___________.
四、解答题
13．下列各题中，
是
的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条
件”“既不充分也不必要条件”，下同）？
（1）
；（2）
有意义；（3）
.
14．命题
：“
，
”，命题
：“
，
”，若
和
中至少有一个是假命题，求实数
的取值范围．
15．已知全集
，集合
，集合
，其中
.
(1)当
时，求
；
(2)若“
”是“
”的充分条件，求a 的取值范围.
16．已知全集
，集合
，集合
．条件①
；②
是
的充分条件；③
，使得
．
(1)若
，求
；
(2)若集合A，B 满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m 的取值范围．
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