专题1.3 常用逻辑用语（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)必要条件、充分条件、充要条件
(2)全称量词与存在量词
(3)全称量词命题与存在量词命题的否定
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
常用逻辑用语
新课标I 卷：第7 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第2 题，
5 分
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命题规律
分析
1、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，从近三年高考情况来看，常用逻
辑用语较少单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目
中，大概率在单选题中考查，难度不大，以基础题为主。重点关注以下两点：
①集合与充分、必要条件相结合的问题的求解；②命题的否定和全称量词命
题与存在量词命题的真假判断。
知识点1
充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出q，
记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论q，
记作：
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条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p
既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p 是q 的充要条件，记为p⇔q.
(2)如果p⇒
且q⇒
，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
(3)如果p⇒q 且q⇒
，则称p 是q 的充分不必要条件.
(4)如果p⇒
且q⇒p，则称p 是q 的必要不充分条件.
知识点2
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀x∈M，p(x)”
2．存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃x∈M，p(x)”
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
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1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设
|
( ) ,
| ( )
A
x p x
B
x q x
.
(1)若A
B
，则p 是q 的充分条件( p
q
)，q 是p 的必要条件；若A
B
，则p 是q 的充分不必要条件，
q 是p 的必要不充分条件，即p
q
且q
p
¿
；
(2)若B
A
，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件；
(3)若A
B
，则p 与q 互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立；要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0 使之成立即可，否则这个存在量
词命题就是假命题.
【题型1
充分条件与必要条件的判断】
【例1】（2026·山东滨州·二模）已知实数a，b，则“�> 2 且�> 2”是“�+ �> 4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据充分必要条件的定义，即可得到答案．
【解答过程】由�> 2 且�> 2，根据不等式性质可得�+ �> 2 + 2 = 4，
反之，取�= 1, �= 4 满足�+ �> 4，此时�> 2 和�> 2 不成立，
故“�> 2 且�> 2”是“�+ �> 4”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1-1】（2025·山东聊城·模拟预测）“�3 + 3�2 < 0”的一个充分不必要条件是（
）
A．−3 < �< 0
B．�<−4
C．�<−3
D．�≠−3
【答案】B
【解题思路】解出�的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案.
【解答过程】由�3 + 3�2 = �2(�+ 3) < 0，得�<−3，
故“�< −4”是“�3 + 3�2 < 0”的一个充分不必要条件.
故选：B.
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【变式1-2】（2026·福建·三模）已知函数��= �2 + ��+ 1（�∈�），则“∃�0 > 0，��0 = 0”是“�≤−2”
的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充分必要条件
【答案】D
【解题思路】根据充分必要条件的定义，结合二次函数的图象及性质即可得到答案．
【解答过程】由函数��= �2 + ��+ 1 是开口向上的二次函数，且�0 = 1，
若∃�0 > 0，��0 = 0，即方程�2 + ��+ 1 = 0 有正实根，
则Δ = �2 −4 ≥0
−
�
2 > 0
，解得�≤−2，所以充分性成立；
若�≤−2，则Δ = �2 −4 ≥0，即方程�2 + ��+ 1 = 0 有实根，
又二次函数��= �2 + ��+ 1 的对称轴�=−
�
2 > 0，即该方程必有正实根，
即∃�0 > 0，��0 = 0，所以必要性成立，
故“∃�0 > 0，��0 = 0”是“�≤−2”的充分必要条件．
故选：D.
【变式1-3】（2026·重庆·一模）已知�> 0，�> 0，则“�> �”是“�2 >
�”的（
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】充分条件是指如果A 成立，则B 一定成立；必要条件是指如果B 成立，则A 一定成立，要判
断“�> �”是“�2 >
�”什么条件，需要分别判断充分性和必要性是否成立.
【解答过程】判断充分性：充分性是指由“�> �”能否推出“�2 >
�”.
当�> �> 0 时，例如�= 1, �= 0.01，此时�> �成立，
此时，取�2 = 1,
�= 0.1，满足�2 >
�，
取�= 0.1, �= 0.01，此时�> �成立，
此时，取�2 = 0.01,
�= 0.1，�2 <
�，不满足�2 >
�，
这说明当�> �> 0 时，不一定得出�2 >
�，所以充分性不成立.
判断必要性：必要性是指由“�2 >
�”能否推出“�> �”.
取�= 2, �= 5，此时�2 = 4,
�=
5，满足�2 >
�，但是�< �
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这说明当“�2 >
�”时，不能一定得出“�> �”，所以必要性不成立.
综上，“�> �”是“�2 >
�”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【题型2
根据充分条件、必要条件求参数】
【例2】（2025·吉林延边·一模）若“�≥�”的充分不必要条件是“0 ≤�< 1”，则实数�的取值范围是（
）
A．�< 0
B．�≤0
C．�> 0
D．�≥0
【答案】B
【解题思路】根据充分不必要条件的判断即可得到实数�的取值范围.
【解答过程】由＂�≥�＂的充分不必要条件是＂0 ≤�< 1＂，
得{�∣0 ≤�< 1} ⊆{�∣�≥�}，但{�∣0 ≤�< 1} ≠{�∣�≥�}，
所以�≤0．
故选：B.
【变式2-1】（2025 高一上·江苏·专题练习）若−1 < �< 2 是−2 < �< �的充分不必要条件，则实数�的值不
可以是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解题思路】根据−1 < �< 2 是−2 < �< �的充分不必要条件可得( −1,2)是( −2, �)的真子集，求得a 的范
围，可得答案.
【解答过程】由题意可知−1 < �< 2 是−2 < �< �的充分不必要条件，
则( −1,2)是( −2, �)的真子集，故�≥2，
故a 的值可取2,3,4，不可以是1.
故选：A.
【变式2-2】（25-26 高一上·贵州·期中）已知�= −∞, �，�= −∞, 3 ，且�∈�的一个充分不必要条件是
�∈�，则m 的取值范围是（
）
A．�< 3
B．�≤3
C．�> 3
D．�≥3
【答案】A
【解题思路】分析可知集合A 是集合B 的真子集，结合包含关系分析求解.
【解答过程】若�∈�的一个充分不必要条件是�∈�，可知集合A 是集合B 的真子集，
且�= −∞, �，�= −∞, 3 ，可得�< 3，
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所以m 的取值范围是�|�< 3 .
故选：A.
【变式2-3】（24-25 高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合�= �−2 ≤�≤5 ，�= ��+ 1 ≤�≤2�−1 .
若“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（
）
A．�|�≤3
B．�|2 ≤�≤3
C．∅
D．�|2 < �≤3
【答案】A
【解题思路】分集合�是否为空集讨论即可，当�≠∅时，由集合间的包含关系求出；
【解答过程】由“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，则�是�的真子集，
当�= ∅时，�+ 1 > 2�−1，解得�< 2；
当�≠∅时，
�+ 1 ≥−2
2�−1 ≤5
�+ 1 ≤2�−1
，前两个等号不能同时取得，解得2 ≤�≤3，
综上m 的取值范围是�|�≤3 ，
故选：A.
【题型3
全称量词命题与存在量词命题的真假】
【例3】（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题�: ∀�∈�，�≠0，则�+
1
�> 2，命题�: ∃�0 ∈�，
�0
2 −�0 −2 ≤0，则（
）
A．�和�都是假命题
B．�是真命题，�是假命题
C．�是假命题，�是真命题
D．�和�都是真命题
【答案】C
【解题思路】根据全称量词命题、存在量词命题的特征，逐一进行判断，即可得解.
【解答过程】对于命题�，当�= 1 时，�+
1
�= 2，所以�为假命题；
对于命题�，解不等式�2 −�−2 ≤0，得−1 ≤�≤2，所以�为真命题．
故选：C.
【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）已知命题�: ∀�∈�, �2 > 0；命题�: ∃�> 0,ln�< 0．则（
）
A．�和�都是真命题
B．�是假命题，�是真命题
C．�是真命题，�是假命题
D．�和�都是假命题
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【答案】B
【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.
【解答过程】对于命题�: ∀�∈�, �2 > 0，因为当�= 0 时，�2 = 0，故命题�是假命题；
对于命题�: ∃�> 0,ln�< 0，当�=
1
e时，ln
1
e =−1 < 0，故命题�是真命题.
故选：B.
【变式3-2】（25-26 高一上·辽宁丹东·阶段检测）下列命题中为真命题的是（
）
A．�1: ∃�∈�，�2 + 2�+ 3 < 0
B．�2: ∀�∈�，�> 0
C．�3: ∀�∈�，�∈�
D．�4: ∃�∈�，�2 −5�+ 10 = 0
【答案】C
【解题思路】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可.
【解答过程】选项A：�2 + 2�+ 3 = �+ 1 2 + 2，因为�+ 1 2 ≥0 恒成立，所以�+ 1 2 + 2 ≥2 > 0，即
�2 + 2�+ 3 > 0 恒成立，故不存在实数�使原式小于0，�1为假命题，A 错误；
选项B：当�= 0 时，�= 0，不满足�> 0，�2为假命题，B 错误；
选项C：Z 是整数集，自然数集�是非负整数集，故�3为真命题，C 正确；
选项D：一元二次方程的Δ = −5 2 −4 × 1 × 10 =−15 < 0，方程无实数根，不存在实数�使方程成立，�4
为假命题，D 错误.
故选：C.
【变式3-3】（24-25 高一上·陕西咸阳·期中）已知命题�: ∀�> 0，�2 > �，命题�: ∃�< 0，�3 + 1 > 0，则（
）
A．�和�均为真命题
B．¬�和�均为真命题
C．�和¬�均为真命题
D．¬�和¬�均为真命题
【答案】B
【解题思路】通过举反例即可判断出两个命题的真假.
【解答过程】对于命题�，当�= 1 时，�2 = �，所以�为假命题，则¬�为真命题；
对于命题�，当�=−
1
2时，�3 + 1 =
7
8 > 0，所以�为真命题，
综上可知，¬�和�均为真命题．
故选：B．
【题型4
全称量词命题与存在量词命题的否定】
【例4】（2026·重庆渝中·三模）命题“ ∃�∈�，�2 + 4 ∈�” 的否定为（
）
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A．∀�∉�，�2 + 4 ∈�
B．∃�∈�，�2 + 4 ∉�
C．∀�∉�，�2 + 4 ∉�
D．∀�∈�，�2 + 4 ∉�
【答案】D
【解题思路】全称命题和存在命题的否定规则为“改量词，否结论”.
【解答过程】将存在量词∃改为全称量词∀，同时否定结论“ �2 + 4 ∈N”为“ �2 + 4 ∉N”.
所以原命题否定形式为“∀�∈N, �2 + 4 ∉N”，对应选项为D.
故选：D.
【变式4-1】（2026·浙江温州·二模）已知命题�: ∃�∈R，�2 −�+ 1 ≤0，那么¬�为（
）
A．∀�∈R，�2 −�+ 1 > 0
B．∃�∈R，�2 −�+ 1 > 0
C．∀�∈R，�2 −�+ 1 ≤0
D．∃�∈R，�2 −�+ 1 ≥0
【答案】A
【解题思路】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案.
【解答过程】原命题�: ∃�∈R，�2 −�+ 1 ≤0，是存在量词命题，
其否定是全称量词命题，注意到要否定结论，
所以¬�为∀�∈R，�2 −�+ 1 > 0.
故选：A.
【变式4-2】（2026·天津河东·一模）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（
）
A．菱形是矩形
B．存在一个菱形，它是矩形
C．存在菱形不是矩形
D．存在是菱形的矩形
【答案】B
【解题思路】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解.
【解答过程】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题，
所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形.
故选：B.
【变式4-3】（2026·吉林·三模）命题“∀�∈�，�2 −2�+ 6 > 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�2 −2�+ 6 ≤0
B．∀�∈�，�2 −2�+ 6 < 0
C．∃�∈�，�2 −2�+ 6 > 0
D．∃�∈�，�2 −2�+ 6 ≤0
【答案】D
【解题思路】根据全称量词命题的否定定义写出.
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【解答过程】命题“∀�∈�，�2 −2�+ 6 > 0”为全称量词命题，
其否定为：∃�∈�，�2 −2�+ 6 ≤0.
故选：D.
【题型5
根据命题的真假求参数】
【例5】（2025·云南·一模）已知命题“∀�∈[ −2,3], 2�−�> 0”是真命题，则实数a 的取值范围是（
）
A．( −∞, −4)
B．( −4, + ∞)
C．( −∞, 6)
D．(6, + ∞)
【答案】A
【解题思路】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可.
【解答过程】由于该命题是真命题，则�< 2�在[ −2,3]上恒成立，
设函数�(�) = 2�, �∈[ −2,3]，则�< �(�)min．
因为�(�)min = �( −2) =−4，所以�<−4.
故选:A．
【变式5-1】（2025·广东江门·模拟预测）若命题“∀�∈�, �2 + �+ �≠0”的否定是真命题，则实数�的取值范
围是（
）
A．
1
2 , + ∞
B．
1
2 , + ∞
C．−∞,
1
4
D．−∞,
1
4
【答案】C
【解题思路】得到命题的否定后结合根的判别式计算即可得.
【解答过程】命题“∀�∈�, �2 + �+ �≠0”的否定是“∃�∈�, �2 + �+ �= 0”，
则“∃�∈�, �2 + �+ �= 0”是真命题，
则有Δ = 1 −4�≥0，解得�≤
1
4.
故选：C.
【变式5-2】（25-26 高一上·江苏南通·阶段检测）若“∃�∈1,4 ，使得2�+ �+ 1 ≥0”是真命题，则实数�
的取值范围是（
）
A．{��<−9}
B．{��<−3}
C．��≥−9
D．{��>−3}
【答案】C
【解题思路】原命题为真，利用存在性成立列不等式求解即可．
【解答过程】由于“∃�∈1,4 ，使得2�+ �+ 1 ≥0” 是真命题，
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可得∃�∈1,4 ，使得�≥−2�−1 成立，
∴�≥−2�−1 min，即�≥−2 × 4 −1 =−9，
故选：C.
【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知命题：“∃�∈0, + ∞，2�2 −��+ 1 < 0”为假命题，则实数�的取
值范围是（
）
A．−∞, 2 2
B．−∞, 2
C．−∞, 1
D．−∞,
1
2
【答案】A
【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本
不等式求解实数�的取值范围.
【解答过程】已知命题“∃�∈(0, + ∞), 2�2 −��+ 1<0”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，
可知其否定“∀�∈(0, + ∞), 2�2 −��+ 1 ≥0”为真命题.
由2�2 −��+ 1 ≥0，�∈(0, + ∞)，移项可得��≤2�2 + 1，
因为�>0，两边同时除以�，得到�≤2�+
1
�在(0, + ∞)上恒成立.
在2�+
1
�中，因为�>0，所以2x 和
1
�都是正实数，则2�+
1
�≥2 2�⋅
1
�= 2 2，
当且仅当2�=
1
�，即�=
2
2 时等号成立.
因为�≤2�+
1
�在(0, + ∞)上恒成立，所以�要小于等于2�+
1
�的最小值2 2，
即�≤2 2，
所以实数�的取值范围是( −∞, 2 2].
故选：A.
【题型6
常用逻辑用语与集合综合】
【例6】（2026·安徽蚌埠·二模）已知集合�= 2,5,8 ，�= �−1,2 ，则“�= 6”是“�∩�= �”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据�∩�= �可得出�⊆�，利用集合的包含关系可求出�的值，再利用充分条件和必要条件
的定义判断即可.
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【解答过程】若�∩�= �，则�⊆�，
又因为集合�= 2,5,8 ，�= �−1,2 ，则�−1 = 5 或�−1 = 8，可得�= 6 或�= 9，
所以“�= 6”是“�∩�= �”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式6-1】（25-26 高一上·河南郑州·阶段检测）已知不等式�+ 3 ≥0 的解集是�，则使命题“∀�∈�，�∉�”
为真命题的集合�是（
）
A．��≥−3
B．��>−3
C．��≤−3
D．��<−3
【答案】D
【解题思路】化简集合�，再求以R 为全集的�的补集即可.
【解答过程】因为�+ 3 ≥0，所以�= ��≥−3 .
又因为对∀�∈�，都有�∉�，所以�<−3，故�= ��<−3 .
故选：D.
【变式6-2】（2025·广东·模拟预测）已知集合�= {�∣�−1 < �}, �= 0,2 ，则“�≥1”是“�⊆�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件、必要条件进行判断即可.
【解答过程】对于充分性：若�= 1，则�= {�∣�−1 < 1} = {�∣0 < �< 2}，
此时�不为�的子集，充分性不成立，
由�⊆�知0 ∈�且2 ∈�，可得|0 −1| < �且|2 −1| < �，
解得�> 1，因为�> 1 可以推出�≥1，所以必要性成立，
故选：B.
【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C 均为非空集合．若�∈�是�∈�的充分不必要条件，
�∈�是�∈�的充分不必要条件，则�∈�是�∈�的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
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【解题思路】根据已知有�是�的真子集，且�是�的真子集，即得�是�的真子集，结合充分、必要性定义即
可得.
【解答过程】由�∈�是�∈�的充分不必要条件，即�是�的真子集，
由�∈�是�∈�的充分不必要条件，即�是�的真子集，
所以�是�的真子集，即�∈�是�∈�的充分不必要条件.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·广东茂名·二模）已知实数�> 0，�> 0，则“��< 1”是“�+ �< 2”的（
）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系.
【解答过程】若��< 1，取�= 3，�=
1
4，满足�> 0，�> 0，此时��=
3
4 < 1，而�+ �=
13
4 > 2，
因此，由��< 1 无法推出�+ �< 2，充分性不成立.
若�+ �< 2，由�> 0，�> 0，得2 ��≤�+ �< 2，
因此，��< 1，即��< 1，必要性成立.
综上，“��< 1”是“�+ �< 2”的必要不充分条件.
故选：C.
2．（2026·云南·模拟预测）命题“∃�∈�，�3 −2�−1 < 0”的否定是（
）
A．∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0
B．∀�∈�，�3 −2�−1 < 0
C．∃�∈�，�3 −2�−1 ≥0
D．∃�∈�，�3 −2�−1 > 0
【答案】A
【解题思路】由命题的否定的概念选择即可.
【解答过程】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题的否定为“∀�∈�，�3 −2�−1 ≥0”.
故选：A．
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合�= �|��= 1,�∈�，�= −1,1 ，则“�∈�”是“�⊆�”的（
）
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A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据题意，求出�⊆�时，�∈−1,0,1 ，结合充分条件与必要条件判断即可．
【解答过程】�= 0 时，�= ∅，符合�⊆�，
�≠0 时，�=
1
�，又�⊆�，
∴
1
�=−1 或
1
�= 1，解得�=−1 或�= 1，
综上，�⊆�时，�∈−1,0,1 ，
则“�∈�”是“�⊆�”的充分不必要条件．
故选：B．
4．（2026·江苏·模拟预测）命题“∀�∈�，�2 ≥0”的否定为（
）
A．∃�∈�，�2 ≥0
B．∀�∈�，�2 < 0
C．∃�∈�，�2 < 0
D．∀�∈�，�2 ≤0
【答案】C
【解题思路】根据全称量词命题的否定形式判断即可.
【解答过程】命题“∀�∈�，�2 ≥0”的否定为“∃�∈�，�2 < 0”.
故选：C．
5．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题�: ∀�∈�，∣1 −�∣≤1，命题�: ∃�> 0，�2 = �，则（
）
A．�和�都是真命题
B．¬�和�都是真命题
C．�和¬�都是真命题
D．¬�和¬�都是真命题
【答案】B
【解题思路】判断出�、�的真假，即可得出结论.
【解答过程】对于命题�，不妨取�= 3，则1 −3 > 1，则命题�为假命题，
对于命题�，由�2 = �可得�= 0 或�= 1，则命题�为真命题，
因此，¬�和�都是真命题.
故选：B.
6．（2026·北京朝阳·一模）设�，�∈�，则“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件和必要条件的定义即可得到答案．
【解答过程】若�< 3 且�< 3，则�2 < 9，�2 < 9，所以�2 + �2 < 18，但不能保证�2 + �2 < 9，
例如当�= 2.5，�= 2.5 时，满足�< 3 且�< 3，但�2 + �2 = 12.5 > 9，即充分性不成立；
若�2 + �2 < 9，则�2 < 9，�2 < 9，所以�=
�2 < 3，�=
�2 < 3，即必要性成立，
所以“ �< 3 且�< 3”是“�2 + �2 < 9”的必要不充分条件．
故选：B.
7．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设�：∀�< �，�< �，�：�< �，则�是�的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】由充分必要条件的概念判断即可．
【解答过程】由题可知，命题�等价于�≤�，命题�为�< �，
因为�< �能推出�≤�，但�≤�不能推出�< �（如�= �时），
所以�是�的必要不充分条件，
故选：B．
8．（2026·陕西铜川·一模）下列命题中，既是全称量词命题，又是真命题的是（
）
A．∀�∈R, e−�+2 ≥0
B．∃�∈R, �+ �≤0
C．任何实数都有算术平方根
D．任意两个无理数之和仍为无理数
【答案】A
【解题思路】对于A，含有全称量词，再根据指数函数的值域即可判断；对于B，不含有全称量词，故可判
断；对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断；对于D，含有全称量词，举例说明即可判断.
【解答过程】对于A，含有全称量词，而e�> 0，所以∀�∈R, e−�+2 ≥0，故A 正确；
对于B，不含有全称量词，故B 错误；
对于C，含有全称量词，负数没有算术平方根即可判断，故C 错误；
对于D，含有全称量词，2, −
2是无理数，而−
2 +
2 = 0，而0 是有理数，故D 错误.
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故选：A.
二、多选题
9．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（
）
A．∀�∈�，�2 + 4 > 2�
B．“∃�∈�，|�−1| + 1 < 0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀�∈�，�+ 4�4 ≥0”的否定是“∀�∉�，�+ 4�4 < 0”
【答案】AB
【解题思路】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项.
【解答过程】选项A：将不等式变形：�2 −2�+ 4 > 0，配方得：(�−1)2 + 3 > 0，
对所有实数恒成立，因此选项A 正确；
选项B：由绝对值的非负性，�−1 ≥0，
因此�−1 + 1 > 0，不可能小于0，因此选项B 正确；
选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”，
是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C 错误；
选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变�的取值范围，因此选项D 错误.
故选：AB.
10．（2025·安徽·一模）若�, �∈�，则“�3 < �3”的充分不必要条件是（
）
A．�< �
B．�−�> 1
C．�2 < �2
D．0 <
1
�<
1
�
【答案】BD
【解题思路】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可.
【解答过程】�3 < �3 ⇔�< �，故“�< �”是“�3 < �3”的充要条件，故A 错误
由�−�> 1 得�> �+ 1 > �，能推出�< �，反之不成立，
所以“ �−�> 1”是“�3 < �3”的充分不必要条件，故B 正确；
若�= 1, �=−2, �2 < �2, �3 < �3不成立，故充分性不成立，
若�=−2, �=−1, �3 < �3, �2 < �2不成立，故必要性不成立，
所以“�2 < �2”是“�3 < �3”的既不充分也不必要条件，故C 错误；
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0 <
1
�<
1
�⇔0 < �< �，所以“0 <
1
�<
1
�”是“�3 < �3”的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BD.
11．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知集合�= �, �2 , �= �∣1 ≤�≤4 ，若“�∈�”是“�∈�”的充分条件，
则实数�的取值可以是（
）
A．1
B．2
C．2
D．4
【答案】BC
【解题思路】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可.
【解答过程】由题意得
1 ≤�≤4
1 ≤�2 ≤4
�≠�2
，解得1 < �≤2，则BC 符合题意.
故选：BC.
三、填空题
12．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀�> 0，�2 −7�+ 6 ≤0，则命题p 的否定为_________．
【答案】∃�> 0，�2 −7�+ 6 > 0
【解题思路】根据全称量词命题否定的方法：改量词，否结论，可得答案.
【解答过程】命题p：∀�> 0，�2 −7�+ 6 ≤0 的否定为：∃�> 0，�2 −7�+ 6 > 0，
故答案为：∃�> 0，�2 −7�+ 6 > 0.
13．
（25-26 高一上·江西·阶段检测）若“�> 5”是“�> �−1”的充分不必要条件，则�的取值范围是_________．
【答案】��< 6
【解题思路】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数�的不等式，解之即可.
【解答过程】因为“�> 5”是“�> �−1”的充分不必要条件，则��> 5 是��> �−1 的真子集，
所以�−1 < 5，解得�< 6，
所以实数�的取值范围是��< 6 .
故答案为：��< 6 .
14．（2025 高一上·江苏·专题练习）已知�> 0，使得不等式−�< �< �成立的一个充分不必要条件是−1 <
�< 3，则m 的取值范围是__________．
【答案】�≥3
【解题思路】由题意可得( −1,3)⫋( −�, �)，再根据集合的包含关系求参即可.
【解答过程】依题意，( −1,3)⫋( −�, �)，则�≥3，此时−�≤−3 <−1，
所以m 的取值范围是�≥3.
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故答案为：�≥3.
四、解答题
15．（25-26 高一上·重庆·期末）已知集合�= �−3 ≤�< 5 ，�= ��+ 1 < �< 2�−1 .
(1)若�⊆�，求实数�的取值范围；
(2)若命题�：∃�∈�，使得�∈�是真命题，求实数�的取值范围.
【答案】(1) ��≤3
(2) �2 < �< 4
【解题思路】（1）按照集合�是否为空集进行分类讨论；
（2）根据�∩�≠∅运算即可.
【解答过程】（1）当�= ∅时，�+ 1 ≥2�−1，解得�≤2；
当�≠∅时，因为�⊆�，所以
�> 2
�+ 1 ≥−3
2�−1 ≤5
，解得2 < �≤3，
综上，实数�的取值范围为��≤3 .
（2）∃�∈�，使得�∈�是真命题，则�∩�≠∅，
则�≠∅，即�> 2，则�+ 1 > 3，
∵�∩�≠∅，∴�+ 1 < 5，即�< 4，
故实数�的取值范围为�2 < �< 4 .
16．（25-26 高一上·广东深圳·期末）已知集合�= �| −1 ≤�< 4 ，�= �|�−1 ≤�≤2�−3 .
(1)若�= 4，求∁R�和�∪�；
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)∁R�= ��<−1 或�≥4 ，�∪�= �−1 ≤�≤5
(2) ��<
7
2
【解题思路】（1）当�= 4 时，求出集合B 的取值范围；
（2）根据题意得到集合B 是集合A 的真子集�⊇�，分类�= ∅和�≠∅两种情况讨论即可.
【解答过程】（1）当�= 4 时，�= ��−1 ≤�≤2�−3 = �3 ≤�≤5 ，
因为�= �−1 ≤�< 4 ，所以∁R�= ��<−1 或�≥4 ，�∪�= �−1 ≤�≤5 .
（2）因为“�∈�”是“�∈�”的必要不充分条件，则集合B 是集合A 的真子集，
当�= ∅时，�−1 > 2�−3，解得�< 2；
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当�≠∅时，要使集合B 是集合A 的真子集，则
�−1 ≤2�−3
�−1 ≥−1
2�−3 < 4
，解得2 ≤�<
7
2.
综上所述，实数�的取值范围是��<
7
2 .
17．（25-26 高一上·安徽合肥·阶段检测）已知命题�: ∀�≥2, �2 −�≥0，命题�: ∃�∈R, �2 + ��+ 2�= 0．
(1)写出命题p 的否定，并判断当�= 5 时命题p 否定的真假（直接判断，无需说明理由）；
(2)若命题p 和¬�均为真命题，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2) 0,4
【解题思路】（1）直接由全称命题的否定为特称命题写出答案，再判断真假；
（2）由命题p 和¬�均为真命题，分别结合恒成立及判别式列式得到实数�的取值范围.
【解答过程】（1）命题p 的否定：∃�≥2, �2 −�< 0，
当�= 5 时，∃�= 2, 22 −5 =−1 < 0 命题p 的否定是一个真命题．
（2）命题p 和¬�均为真命题，所以�是真命题，�是假命题，
命题�: ∀�≥2, �2 −�≥0 是真命题，所以∀�≥2，�≤�2恒成立，所以�≤�2
min = 4；
�: ∃�∈R, �2 + ��+ 2�= 0 是假命题，所以关于�的方程�2 + ��+ 2�= 0 没有实数根．
∴Δ = �2 −4 × 2�< 0，解得0 < �< 8．
综上，实数�的取值范围是0,4 ．
18．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合�= {�1 ≤�≤4 }，�= {�2 −�≤�≤2 + �}.
(1)若�∩�= �，求实数m 的取值范围；
(2)设�: �∈�，�: �∈�，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(1) −∞, 1
(2) 2, + ∞
【解题思路】（1）由�∩�= �可得�⊂�，分�= ∅和�≠∅两种情况讨论即可；
（2）由p 是q 的充分不必要条件可得�真包含于�，根据包含关系列出不等式组即可.
【解答过程】（1）由�∩�= �可得�⊂�，
当�= ∅时，则2 −�> 2 + �，解得�< 0；
当�≠∅时，则
2 −�≤2 + �
2 −�≥1
2 + �≤4
，解得0 ≤�≤1.
综上，实数�的取值范围是−∞, 1 .
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（2）若p 是q 的充分不必要条件，则�真包含于�，这等价于�⊆�且�≠�，
由�⊆�可得{2 −�≤1
2 + �≥4，解得�≥2，
又�= �（即2 −�= 1 且2 + �= 4）无解，故�≠�恒成立，
所以实数�的取值范围是2, + ∞.
19．（2025 高一上·福建厦门·专题练习）设全集�= R，集合�= �|�−3 < �< 2�−1 ，�= �|1 < �≤5 ，
其中�∈R．
(1)若�= 2，求∁��∩�;
(2)若“�∈�”是“�∈�”的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围；
(3)若命题“∃�∈�，使得�∈∁R�”是真命题，求实数a 的取值范围．
【答案】(1){�|3 ≤�≤5};
(2) �3 < �≤4
(3) −2, + ∞
【解题思路】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解；
（2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解；
（3）应用特称命题为真分�= ∅和�≠∅列式计算求解参数.
【解答过程】（1）当�= 2 时，�= �| −1 < �< 3 ，所以∁U�= −∞, −1 ∪3, + ∞，
所以∁U�∩�= {�|3 ≤�≤5}；
（2）�= �|1 < �≤5 ，
∵“�∈�”是“�∈�”的必要而不充分条件，
∴�是�的真子集，
∴
�−3 < 2�−1
�−3 ≤1
2�−1 > 5
，解得3 < �≤4，
即实数�的取值范围为�3 < �≤4 ；
（3）若命题“∃�∈�，使得�∈∁��”是假命题，则�∩∁��= ∅，
∵�= �1 < �≤5 ，∴∁R�= {�∣�≤1 或�> 5}，
①当�= ∅时，�−3 ≥2�−1，解得�≤−2，
②当�≠∅时，则
�−3 < 2�−1
�−3 ≥1
2�−1 ≤5
，无解，
即命题为假命题时，实数�的取值范围为( −∞, −2]，
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∴命题为真命题时，实数�的取值范围为( −2, + ∞)．
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