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专题1.4常用逻辑用语（解析版）_2027版高中《举一反三》同步讲义（数学）

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专题1.4 常用逻辑用语（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
充分条件与必要条件的判断】...................................................................................................................1
【题型2
根据充分条件、必要条件求参数】...........................................................................................................3
【题型3
全称量词命题与存在量词命题的真假】...................................................................................................4
【题型4
全称量词命题与存在量词命题的否定】...................................................................................................6
【题型5
根据命题的真假求参数】...........................................................................................................................7
【题型6
常用逻辑用语与集合综合】.......................................................................................................................8
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
充分条件与必要条件的判断】
1．（2025·陕西·模拟预测）已知�∈�，则“
1
�> 1”是“�< 1”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】解不等式
1
�> 1，再利用充分条件和必要条件的概念进行判断．
【解答过程】因为�∈�，所以“
1
�> 1”等价于“0 < �< 1”，
所以“
1
�> 1”是“�< 1”的充分不必要条件．
故选：A．
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2．（2025·上海闵行·一模）已知非零实数�、�，则“�> �”是“
1
�<
1
�”成立的（
）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】D
【解题思路】取�= 1, �=−1 判断充分性，取�=−1, �= 1 判断必要性.
【解答过程】取�= 1, �=−1，满足�> �，但
1
�<
1
�不成立，充分性不成立；
取�=−1, �= 1，满足
1
�<
1
�，但�> �不成立，必要性不成立.
由题意可知：“�> �”是“
1
�<
1
�”成立的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使�> �成立的必要不充分条件是（
）
A．�−1 ≥�
B．�+ 1 ≥�
C．|�| > |�|
D．�3 > �3
【答案】B
【解题思路】由充分必要条件的定义逐项判断即可.
【解答过程】对于A，�−1 ≥�⇒�> �，而�> �不能推出�−1 ≥�，例如4 > 3.5 而4 −1 < 3.5.
所以�−1 ≥�是�> �的充分不必要条件，故A 不正确
对于B，�+ 1 ≥�不能推出�> �，例如3.5 + 1 ≥4，但3.5 < 4；而�> �⇒�+ 1 ≥�
所以�+ 1 ≥�是�> �的必要不充分条件，故B 正确.
对于C，|�| > |�|不能推出�> �，例如−4 > |3|但−4 < 3；�> �不能推出|�| > |�|，例如2 >−3，但2 <
−3 .所以|�| > |�|是�> �的既不充分也不必要条件，故C 错误.
对于D，因为�= �3是增函数，所以�3 > �3 ⇔�> �，故�3 > �3是�> �的充要条件.所以D 不正确.
故选：B.
4．（2025·江苏·模拟预测）“ �>
�”是“
1
�>
1
�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】根据不等式性质以及反例，结合充分条件与必要条件的概念，可得答案.
【解答过程】由�>
�，则�> �≥0，当�> �> 0 时，
1
�<
1
�成立，故“ �>
�”是“
1
�>
1
�”的不充分条件；
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由当�= 2, �= 3，显然
1
�>
1
�，但2 <
3，即�>
�不成立，故“ �>
�”是“
1
�>
1
�”的不必要条件.
综上所述“ �>
�”是“
1
�>
1
�”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【题型2
根据充分条件、必要条件求参数】
5．（25-26 高一上·全国·期末）已知�: −1 < �< 1，�: �> �，若�是�的必要不充分条件，则实数�的取值
范围是（
）
A．−1, + ∞
B．−∞, −1
C．−1,0
D．−∞, −1
【答案】B
【解题思路】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解.
【解答过程】设集合�= �−1 < �< 1 ，集合�= ��> �，若�是�的必要不充分条件，
所以�是�的真子集，可得�≤−1.
故选：B.
6．（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）若�: 1 −�> 0 是�: 2�≤�的必要不充分条件，则实数a 的可能取
值为（
）
A．2
B．3
C．0
D．4
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可.
【解答过程】依题意，�: �< 1，�: �≤
�
2，由p 是q 的必要不充分条件，得{�|�≤
�
2 }是{�|�< 1}的真子集，
则
�
2 < 1，解得�< 2，所以实数a 的可能取值为0.
故选：C.
7．（25-26 高一上·山东德州·阶段检测）已知�: �= {�| −1 ≤�< 3 ，�: �= �|��+ 1 ≤0 }，若¬�是�的
必要不充分条件，则实数�的取值范围是（
）
A．−1 < �< 2
B．−1 < �<
3
2
C．−
1
3 ≤�< 1
D．−
1
3 ≤�<
3
2
【答案】C
【解题思路】根据¬�是�的必要不充分条件，可得�是∁R�的真子集，再分�= 0，�> 0 和�< 0 三种情况讨
论，求出集合�，根据集合的包含关系即可得解.
【解答过程】由�: �= {�| −1 ≤�< 3 ，得¬�: ∁R�= ��<−1 或�≥3 ，
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因为¬�是�的必要不充分条件，
所以�是∁R�的真子集，
当�= 0 时，�= ∅，符合题意；
当�> 0 时，�= ��≤−
1
�，
因为�是∁R�的真子集，所以
�> 0
−
1
�<−1 ，解得0 < �< 1；
当�< 0 时，�= ��≥−
1
�，
因为�是∁R�的真子集，所以
�< 0
−
1
�≥3 ，解得−
1
3 ≤�< 0，
综上所述，实数�的取值范围是−
1
3 ≤�< 1.
故选：C.
8．（25-26 高一上·四川眉山·期中）已知�= �1 ≤�≤3 , �= ��−1 ≤�< �+ 4 ，若�∈�是�∈�的
必要不充分条件，则实数�的取值范围是（
）
A．−1,2
B．−1,2
C．0,1
D．−1,2
【答案】D
【解题思路】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可.
【解答过程】因为�∈�是�∈�的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，
即1 ≥�−1
3 < �+ 4 ，解得�∈−1,2 .
故选：D.
【题型3
全称量词命题与存在量词命题的真假】
9．（25-26 高一上·黑龙江大庆·期中）下列是存在量词命题且是真命题的是（
）
A．∀�∈R, �2 ≥0
B．∃�, �∈R, �2 + �2 < 0
C．∀�∈N, �2 ∈N
D．∃�∈Z, �2 > 0
【答案】D
【解题思路】先根据全称量词命题和存在量词命题进行区分，再判断命题的真假即可．
【解答过程】由题知，AC 是全称量词命题，不符合题意；BD 为存在量词命题；
对于B，∵�2 + �2 ≥0 恒成立，故不存在�, �∈R，使得�2 + �2 < 0，故B 为假命题，故B 不符合题意；
对于D，�= 1 ∈Z 时，�2 = 1 > 0，则∃�∈Z, �2 > 0 是真命题，符合题意．
故选：D．
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10．（25-26 高一上·吉林长春·期中）下列命题中是真命题的为（
）
A．∃�∈N，使4�<−3
B．∃�∈Z，使3�−2 = 0
C．∃�∈R，�2 + 2�+ 3 = 0
D．∀�∈R，�2 + 2 > 0
【答案】D
【解题思路】判断每个选项的命题的真假即可.
【解答过程】对于A：最小的自然数为0，不可能使4�<−3，故A 错误；
对于B：3�−2 = 0，解得�=
2
3 ∉Z，故B 错误；
对于C：判别式Δ = 4 −4 ⋅3 < 0，方程无实数解，故C 错误；
对于D：∵�2 ≥0, ∴�2 + 2 ≥2 > 0，故D 正确.
故选：D.
11．（2025·河南洛阳·模拟预测）已知命题�：“�> 2 是�2 −�> 0 的充分不必要条件”；命题�：“∃�> 0, �2 =
3�3”．则下列正确的是（
）
A．�和�都是假命题
B．¬�和�都是假命题
C．�和¬�都是假命题
D．¬�和¬�都是假命题
【答案】D
【解题思路】先判断每个命题的正误，再判断命题的否定的正误即可.
【解答过程】令�2 −�> 0，解得�< 0 或�> 1，
则�> 2 可以推出�2 −�> 0，充分性成立，
�2 −�> 0 推不出�> 2，必要性不成立，
得到�> 2 是�2 −�> 0 的充分不必要条件，
故�是真命题，则¬�是假命题，
令�2 = 3�3，得到3�3 −�2 = 0，化简得�2(3�−1) = 0，
解得�= 0 或�=
1
3，则∃�> 0, �2 = 3�3，
故�是真命题，则¬�是假命题，
即¬�和¬�都是假命题，故D 正确.
故选：D.
12．（25-26 高一上·湖南岳阳·期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（
）
A．∀�∈N，方程��+ 1 = 0 有实数根
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B．存在一条直线与已知直线不平行
C．对任意实数�, �,若�−�≤0，则�≤�
D．存在一个实数x，使等式�2 −2�+ 1 = 0 成立
【答案】C
【解题思路】利用全称量词命题的概念及命题真假判断，即可作出选择.
【解答过程】因为B，D 是存在量词命题，故应排除;
对于A，当�= 0 时，方程��+ 1 = 0 无实数根，故A 错误，
由不等式性质知，C 是真命题.
故选：C.
【题型4
全称量词命题与存在量词命题的否定】
13．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）命题“∀�> 1, �2 −�> 1”的否定是（
）
A．∃�> 1, �2 −�≤1
B．∃�≤1, �2 −�> 1
C．∀�> 1, �2 −�≤1
D．∀�≤1, �2 −�> 1
【答案】A
【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得.
【解答过程】命题“∀�> 1, �2 −�> 1”的否定是“∃�> 1, �2 −�≤1”.
故选：A.
14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“∃�∈�, �2 −3�+ 4 ≤0”的否定是（
）
A．∃�∈�, �2 −3�+ 4 ≥0
B．∃�∈�, �2 −3�+ 4 > 0
C．∀�∈�, �2 −3�+ 4 ≤0
D．∀�∈�, �2 −3�+ 4 > 0
【答案】D
【解题思路】根据存在量词命题∃�∈�, ��的否定是全称量词命题∀�∈�, ¬��作出命题的否定，即可得
解.
【解答过程】命题“∃�∈�, �2 −3�+ 4 ≤0”的否定是∀�∈�, �2 −3�+ 4 > 0.
故选：D.
15．（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“∃�∈0, + ∞，�2 −2�+ �≤0”的否定为（
）
A．∃�∈0, + ∞，�2 −2�+ �> 0
B．∃�∈0, + ∞, �2 −2�+ �≤0
C．∀�∈0, + ∞，�2 −2�+ �> 0
D．∀�∈0, + ∞，�2 −2�+ �≤0
【答案】C
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【解题思路】由存在量词命题的否定是全称量词命题，即可求解.
【解答过程】命题“∃�∈0, + ∞，�2 −2�+ �≤0”的否定为∀�∈0, + ∞，�2 −2�+ �> 0.
故选：C.
16．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在�上的函数��，则命题“∃�> 0，∀�∈�，��≤�”的否定为（
）
A．∃�> 0，∃�∈�，��> �
B．∀�> 0，∀�∈�，��≤�
C．∃�> 0，∀�∈�，��> �
D．∀�> 0，∃�∈�，��> �
【答案】D
【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【解答过程】命题“∃�> 0，∀�∈�，��≤�”为存在量词命题，
则其否定为：∀�> 0，∃�∈�，��> �.
故选：D.
【题型5
根据命题的真假求参数】
17．（25-26 高三上·北京·阶段检测）已知命题“∀�∈R, �2 + ��+
1
4 > 0” 是假命题，则实数�的取值范围是
（
）
A．−∞, −1 ∪1, + ∞
B．−∞, −1 ∪1, + ∞
C．( −1,1)
D．−1,1
【答案】B
【解题思路】根据题意，转化为∃�∈R, �2 + ��+
1
4 ≤0 是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可
求解.
【解答过程】由命题∀�∈R, �2 + ��+
1
4 > 0 是假命题，可得命题∃�∈R, �2 + ��+
1
4 ≤0 是真命题，
则满足Δ = �2 −4 × 1 ×
1
4 ≥0，解得�≤−1 或�≥1，
所以实数�的取值范围为−∞, −1 ∪1, + ∞.
故选：B.
18．（25-26 高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知�: ∀�∈R, �2 + 4�+ �≠0，若�是假命题，则实数�的取值
范围是（
）
A．0,4
B．−∞, 0
C．−∞, 4
D．4, + ∞
【答案】C
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【解题思路】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再由它们必有一真一假，即可根据真命题，结合判
别式大于或等于零求解参数范围.
【解答过程】由�: ∀�∈R, �2 + 4�+ �≠0 是假命题，
则¬�: ∃�∈R, �2 + 4�+ �= 0 是真命题，
即Δ = 16 −4�≥0 ⇒�≤4，
所以实数�的取值范围是−∞, 4 ，
故选：C.
19．（25-26 高一上·江苏宿迁·期中）命题“∃�∈�, �2 + 1 ≤�”的否定是真命题，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, 1
B．−∞, 1
C．1, + ∞
D．1, + ∞
【答案】B
【解题思路】写出命题的否定，即可得到�< �2 + 1 min，根据二次函数的性质求出�2 + 1 min，即可得解.
【解答过程】命题“∃�∈�, �2 + 1 ≤�”的否定为∀�∈�, �2 + 1 > �，
因为∀�∈�, �2 + 1 > �为真命题，又�2 + 1 ≥1，当且仅当�= 0 时取等号，
即�2 + 1 min = 1，所以�< 1，即实数�的取值范围是−∞, 1 .
故选：B.
20．（25-26 高一上·江西九江·阶段检测）若“∀�∈R，�2 −�+ 1 �+ 4 ≠0”是假命题，则实数�的取值范
围是（
）
A．−∞, −3 ∪5, + ∞
B．−5,3
C．−3,5
D．−∞, −5 ∪3, + ∞
【答案】D
【解题思路】写出原命题的否命题，根据原命题为假，则否命题为真列不等式求解即可.
【解答过程】由题意知“∃�∈R，�2 −�+ 1 �+ 4 = 0”是真命题，
即方程�2 −�+ 1 �+ 4 = 0 有实数根，
所以Δ = (�+ 1)2 −4 × 4 ≥0，解得�≤−5 或�≥3，
所以实数�的取值范围是−∞, −5 ∪3, + ∞.
故选：D.
【题型6
常用逻辑用语与集合综合】
21．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知集合�= {�, 0,1}, �= �∈R∣�2 ≤1 ，则“�=−1”是“�⊆�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】先求出集合�，再根据充分条件和必要条件的定义及集合间的包含关系判断即可.
【解答过程】由�= �∈R∣�2 ≤1 = {�∣−1 ≤�≤1}，
判断充分性：
当�=−1 时，�= { −1,0,1}，满足�⊆�，
所以由“�=−1”可以推出“�⊆�”，充分性成立．
判断必要性：
若�⊆�，因为�= {�, 0,1}，�= {�∣−1 ≤�≤1}，
所以�的值可以为−1，也可以是其他值如�=−
1
2，
即由“�⊆�”不能推出“�=−1”，必要性不成立．
所以“�=−1”是“�⊆�”的充分不必要条件.
故选：A.
22．（2025·福建·模拟预测）已知集合�= 1，3，�，�= 1，�，则“�= 3”是“�∪�= �”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断.
【解答过程】①若�= 3，则�= 1，3，3 ，�= 1，3 ，�∪�= 1，3，3 = �，
所以�= 3”是“�∪�= �”的充分条件；
②若�∪�= �，则�= 3 或�=
�，解得�= 3 或�= 0 或�= 1.
当�= 3 时，�= 1，3，3 ，�= 1，3 ，�∪�= 1，3，3 = �，符合题意；
当�= 0 时，�= 1，3,0 ，�= 1,0 ，�∪�= 1，3,0 = �，符合题意；
当�= 1 时，�= 1，3,1 ，�= 1,1 ，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去，
所以�= 3 或�= 0，所以�= 3”是“�∪�= �”的不必要条件，
所以由①②可知，�= 3”是“�∪�= �”的充分不必要条件，
故选：A.
23．（24-25 高一上·重庆渝北·期中）设集合�是偶数集，集合�是奇数集.若命题�: ∀�∈�，2�+ 1 ∈�，则
（
）
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A．¬�: ∀�∈�，2�+ 1 ∉�
B．¬�: ∀�∉�，2�+ 1 ∉�
C．¬�: ∃�∈�，2�+ 1 ∉�
D．¬�: ∃�∉�，2�+ 1 ∈�
【答案】C
【解题思路】由否定的定义即可得解.
【解答过程】由否定的定义可知：若命题�: ∀�∈�，2�+ 1 ∈�，则¬�: ∃�∈�，2�+ 1 ∉�.
故选：C.
24．（24-25 高一上·广东广州·阶段检测）若“∃�∈�, 3�−�2 > 0”为真命题.“∀�∈�, �< 2”为假命题，则集
合�可以是（
）
A．{�|�< 0}
B．{�|0 ≤�≤1}
C．{�|1 < �< 3}
D．{�|�≤1}
【答案】C
【解题思路】根据命题的真假确定集合�中的元素具有的性质，得正确结论．
【解答过程】“∃�∈�, 3�−�2 > 0”为真命题，3�−�2 > 0 ⇔�2 −3�< 0 ⇔0 < �< 3，
因此做这个�中含有(0,3)上的数，
“∀�∈�, �< 2”为假命题，则�中有不小于2 的元素，
只有C 选项的集合M 满足题意.
故选：C．
一、单选题
1．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题�: ∀�∈0, + ∞，�2 > �，则命题�的否定是（
）
A．∃�∈−∞, 0 ，�2 > �
B．∃�∈0, + ∞，�2 ≤�
C．∃�∈0, + ∞，�2 > �
D．∀�∈0, + ∞，�2 ≤�
【答案】B
【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.
【解答过程】“∀�∈0, + ∞，�2 > �”的否定是“∃�∈0, + ∞，�2 ≤�”.
故选：B.
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2．（2025·上海徐汇·一模）已知�为实数，则“�2是有理数”是“�是有理数”的（
）条件．
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分又非必要
【答案】B
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义结合特殊值法判断可得出结论.
【解答过程】若�2是有理数，不妨取�=
2，则�2 = 2，但�是无理数，
即“�2是有理数”不能推出“�是有理数”，
若�为有理数，则存在�、�∈�且�≠0，使得�=
�
�，则�2 =
�2
�2为有理数，
故“�2是有理数”⇐“�是有理数”，
所以“�2是有理数”是“�是有理数”的必要非充分条件，
故选：B.
3．（2025·广东·模拟预测）命题p：“�> 0”，命题q：“�2 + 3�+ 1 > 0”，则p 是q 的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】应用特殊值法及不等式的性质结合充分条件必要条件定义判断即可.
【解答过程】当�> 0 时，�2 > 0,3�+ 1 > 0，则�2 + 3�+ 1 > 0，
即�:“�> 0”可推出命题�:“�2 + 3�+ 1 > 0”；
当�=−4 时，�2 + 3�+ 1 > 0，但是�> 0 不成立，
即由命题�:“�2 + 3�+ 1 > 0”推不出�:“�> 0”；
故命题�:“�> 0”是命题�:“�2 + 3�+ 1 > 0”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“∀�∈R，�2 −2��+ 6�> 0”是假命题，则a 的取值范围是
（
）
A．0，6
B．−∞, 0 ∪6, + ∞
C．0，6
D．−∞, 0 ∪6, + ∞
【答案】D
【解题思路】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得�的取值范围》
【解答过程】命题“∀�∈R，�2 −2��+ 6�> 0”是假命题，
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则∃�∈R，�2 −2��+ 6�≤0 是真命题，
∴Δ = 4�2 −24�≥0，
解得：�≥6 或�≤0，
即a 的范围是−∞, 0 ∪6, + ∞
.
故选：D.
5．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数�, �∈R，则不等式�+ �≤�+ �的等号成立的一个充分不必要
条件为（
）
A．��> 0
B．��< 0
C．��≥0
D．��≤0
【答案】A
【解题思路】先计算出等号成立的充要条件，根据充要条件写出充分不必要条件.
【解答过程】当等号成立时�+ �= �+ �，可知�+ �≥0，�+ �≥0，两边同时平方得( �+ �)2 =
( �+ �)2，
化简得�2 + 2��+ �2 = �2 + 2 ��+ �2，可得��≥0 时等号成立，则一个充分不必要条件可以是��> 0.
故选：A.
6．（2025·安徽·一模）已知命题�: ∀�> 0，总有��+ 2 > 2，则命题�的否定为（
）
A．∃�0 > 0，使得�0 �0 + 2 ≤2
B．∃�0 ≤0，使得�0 �0 + 2 ≤2
C．∀�> 0，总有��+ 2 ≤2
D．∀�≤0，总有��+ 2 ≤2
【答案】A
【解题思路】根据全称命题的否定概念即可求解．
【解答过程】全称命题的否定规则为：全称命题�: ∀�∈�, ��，它的否定¬�: ∃�0 ∈�, ¬��0 ，
所以对于命题�: ∀�> 0，总有��+ 2 > 2，
根据全称命题的否定规则，它的否定是：∃�0 > 0，使得�0 �0 + 2 ≤2．
故选：A．
7．（2025·江西·模拟预测）已知函数��= �−
3
�，则“�= 1”是“��=−2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据函数解析式，求解�= 1 时��的值，与��=−2 解方程得�的值，结合充分条件与必要
条件进行判断即可.
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【解答过程】若�= 1，则��=−2，反之，若��= �−
3
�=−2，则�= 1 或�=−3.
故“�= 1”是“��=−2”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2025·陕西汉中·一模）若∃�∈�∣−3 ≤�≤3 ，使得�−4�−13 < 0 成立，则实数�的取值范围是
（
）
A．−∞, 3
B．−4, + ∞
C．−3, + ∞
D．−∞, −4
【答案】B
【解题思路】由题意得4�+ 13 >−3，解出即可求解.
【解答过程】将题中条件转化为不等式�< 4�+ 13，在区间−3,3 上至少有一个解，
这等价于4�+ 13 的值大于该区间上x 的最小值，
因为当�∈−3,3 时，x 的最小值为−3，
所以必有4�+ 13 >−3，解得以�>−4.
故选：B.
9．（2025·辽宁·三模）“�> �”是“�2 > �2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】举反例�=−1, �=−2 和�=−2, �=−1 可得出.
【解答过程】若�=−1, �=−2，则满足�> �，但不满足�2 > �2，故�> �无法得到�2 > �2；
若�=−2, �=−1，则满足�2 > �2，但不满足�> �，故�2 > �2无法得到�> �，
故“�> �”是“�2 > �2”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
10．（2025·陕西榆林·一模）已知命题�：∀�∈R, �+ 1 > 1；命题�：∃�> 0, �2 > �，则（
）
A．�和�都是真命题
B．¬�和�都是真命题
C．�和¬�都是真命题
D．¬�和¬�都是真命题
【答案】B
【解题思路】结合命题否定的定义，找出对应反例的取值并依次判断命题�, �的真假，即可求解
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【解答过程】命题�：∀�∈R, �+ 1 > 1，当�= 0 时，�+ 1 = 1，故为假命题；
命题�：∃�> 0, �2 > �，当�> 1 或�< 0 时，�2 > �，故为真命题；
所以，¬�和�都是真命题，¬�和�是假命题.
故选：B.
二、填空题
11．（25-26 高一上·陕西宝鸡·阶段检测）命题“∀�∈�, �2 −�+ 1 ≥0”的否定是_________．
【答案】∃�∈�, �2 −�+ 1 < 0
【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【解答过程】命题“∀�∈�, �2 −�+ 1 ≥0”的否定是“∃�∈�, �2 −�+ 1 < 0”．
故答案为：∃�∈�, �2 −�+ 1 < 0.
12．（25-26 高三上·河北沧州·期中）若“�≤5”是“�< �”的必要不充分条件，则�的取值范围是_________．
【答案】−∞, 5
【解题思路】由必要不充分条件的定义，结合集合关系即可判断.
【解答过程】因为“�≤5”是“�< �”的必要不充分条件，
所以−∞, �是−∞, 5 的真子集，
所以�≤5．
即�的取值范围是−∞, 5 ，
故答案为：−∞, 5 .
一、单选题
1．（2025·上海静安·模拟预测）“−2 ≤�≤2”是“ �+ 2 + �−2 ≤4”的（
）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】C
【解题思路】分类讨论求解�+ 2 + �−2 ≤4，即可判断．
【解答过程】当�> 2 时，�+ 2 + �−2 = �+ 2 + �−2 ≤4 ⇒�≤2，不成立；
当�<−2 时，�+ 2 + �−2 =−�−2 −�+ 2 ≤4 ⇒�≥−2，不成立；
当−2 ≤�≤2 时，�+ 2 + �−2 = �+ 2 + 2 −�= 4 ≤4，成立；
所以“−2 ≤�≤2”是“ �+ 2 + �−2 ≤4”的充要条件.
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故选：C．
2．（2025·广西桂林·一模）“∃�∈�，使��2 −4�−3 > 0”的一个充分不必要条件是（
）
A．�≤0
B．�<−
4
3
C．�≥1
D．�<−
4
3或�≥0
【答案】C
【解题思路】分�= 0、�> 0、�< 0 三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再
根据集合的包含关系判断即可.
【解答过程】当�= 0 时，−4�−3 > 0 有解；
当�> 0 时，二次函数�= ��2 −4�−3 开口向上，所以��2 −4�−3 > 0 有解；
当�< 0 时，��2 −4�−3 > 0 有解，则Δ = −4 2 −4 × −3 �> 0
�< 0
，解得−
4
3 < �< 0；
综上可得�>−
4
3；
因为1, + ∞真包含于−
4
3 , + ∞，
所以“∃�∈�，使��2 −4�−3 > 0”的一个充分不必要条件是�≥1.
故选：C.
3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题�: ∀�∈�, �+ 1 > 1；命题�: ∃�> 0, �3 = �，则以下为真命题的
是（
）
A．�和�
B．¬�和�
C．�和¬�
D．¬�和¬�
【答案】B
【解题思路】根据不等式的解法，可判定命题�为假命题，再由方程的解，可判定命题�为真命题，结合选项，
即可求解.
【解答过程】由不等式�+ 1 > 1，可得�+ 1 <−1 或�+ 1 > 1，解得�<−2 或�> 0，
所以命题�为假命题，则¬�为真命题，
又由�3 = �，解得�= 0 或�= 1 或�=−1，所以命题�为真命题，则¬�为假命题，
故选：B.
4．（2025·北京丰台·二模）已知关于�的方程�2 + ��+ �= 0 �, �∈�的两实根为�1, �2，则“ �1 = �2 ”是“关
于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为∅”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合二次方程的根的情况与二次函数图象、二次不等式的解
集之间的联系，推导证明可得出结论.
【解答过程】充分性的判断：
若�1 = �2 ，则�1 = �2或�1 =−�2，
当�1 = �2时，关于�的方程�2 + ��+ �= 0 有两个相等的实数根，则Δ = �2 −4�= 0，
因为二次函数�= �2 + ��+ �开口向上，所以关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为∅；
当�1 =−�2时，关于�的方程�2 + ��+ �= 0 有两个不相等的实数根，不妨设�1 < �2，
因为二次函数�= �2 + ��+ �开口向上，所以关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为�1, �2 .
所以，由“ �1 = �2 ”不能推出“关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为∅”，充分性不成立.
必要性的判断：
若关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为∅，因为二次函数�= �2 + ��+ �开口向上，所以Δ = �2 −4�≤0，
又因为关于�的方程�2 + ��+ �= 0 有两个实数根�1, �2，则�1 = �2，则�1 = �2 ，必要性成立.
综上，“ �1 = �2 ”是“关于�的不等式�2 + ��+ �< 0 的解集为∅”的必要不充分条件.
故选：B.
二、解答题
5．（25-26 高一上·湖南岳阳·期末）已知�= �1 ≤�≤2 ，�= ��≤�≤�+ 2 ，全集�= R.
(1)若�= 2，求∁��∩�；
(2)若�: �∈�是�: �∈�的充分不必要条件，求实数�的取值范围.
【答案】(1) ∁��∩�= {�∣2 < �≤4}
(2) �0 ≤�≤1
【解题思路】（1）根据交集和补集的概念直接求解即可；
（2）将充分不必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合关系列不等式组可求.
【解答过程】（1）若�= 2，则�= �∣2 ≤�≤4 ，
又∁��= {��< 1 或�> 2}，所以∁��∩�= {�∣2 < �≤4}；
（2）因为�: �∈�是�: �∈�的充分不必要条件，所以�是�的真子集，
则需满足
�≤1
�+ 2 ≥2 ，解得0 ≤�≤1，
所以实数�的取值范围是�0 ≤�≤1 .
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6．（25-26 高一上·江西吉安·期中）已知�∈�，集合�= {�| �−1 ≤2}，集合�= {�|�−3 < �≤�+ 2}.
(1)若“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，求�的取值范围；
(2)若命题“∃�∈�，�∈�”是真命题，求�的取值范围.
【答案】(1) �|1 ≤�< 2
(2) �| −3 ≤�< 6
【解题思路】（1）将先求出集合�，将题设问题转化为集合A 是集合B 的真子集，进而根据包含关系求解即
可；
（2）将题设问题转化为�∩�≠∅，先求出�∩�= ∅时�的取值范围，进而得到�∩�≠∅时�的取值范围.
【解答过程】（1）由�= {�| �−1 ≤2} = �| −1 ≤�≤3 ，�= {�|�−3 < �≤�+ 2}.
若“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，则集合A 是集合B 的真子集.
所以�−3 <−1
�+ 2 ≥3 ，解得1 ≤�< 2，
当�= 1 时，�= �| −2 < �≤3 ，符合题意，
故�的取值范围是�|1 ≤�< 2 .
（2）因为“∃�∈�，�∈�”是真命题，所以�∩�≠∅.
当�∩�= ∅时，因为�≠∅，所以�+ 2 <−1 或�−3 ≥3，解得�<−3 或�≥6.
所以当�∩�≠∅时，�的取值范围是�| −3 ≤�< 6 .
7．（25-26 高一上·福建宁德·期中）设命题�: ∀�∈�，使得不等式��2 −��+ 2 > 0 恒成立；命题
�: ∃0 ≤�≤3，不等式2�−2 ≥�成立．
(1)若�为真命题，求实数�的取值范围；
(2)若命题�､�有且只有一个是真命题，求实数�的取值范围．
【答案】(1) 0,8
(2) −4,0 ∪4,8
【解题思路】（1）分�= 0 和�≠0 两种情况进行讨论即可；
（2）分�真�假和�假�真两种情况进行讨论求解，再取并集即可．
【解答过程】（1）因为�: ∀�∈�, ��2 −��+ 2 > 0 为真命题，
所以当�= 0 时，不等式为2 > 0，在�上恒成立，符合题意；
当�≠0 时，
�> 0,
Δ = �2 −8�< 0, 解得0 < �< 8．
综上，实数�的取值范围为0,8 ．
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（2）若�为真命题，即�: ∃0 ≤�≤3,2�−2 ≥�，
则对于0 ≤�≤3, (2�−2)max ≥�．
由于0 ≤�≤3,2�−2 ∈−2,4 ，
所以�≤4，解得−4 ≤�≤4，
又因为�, �有且只有一个是真命题，
所以当�真�假时，
0 ≤�< 8,
�<−4 或�> 4,
解得4 < �< 8；
当�假�真时，�< 0 或�≥8,
−4 ≤�≤4,
解得−4 ≤�< 0．
所以实数�的取值范围为−4,0 ∪4,8 ．
8．（25-26 高一上·江苏无锡·期中）已知集合�= �2�≤�≤5 ，�= ��−1 ≤�≤�+ 7 ．
(1)当�= 1 时，求�∩�；
(2)若“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】(1) �2 ≤�≤5
(2)( −∞, −2]
【解题思路】（1）根据交集的定义域运算直接得出结果；
（2）根据充分条件、必要条件的定义可得�⊊�，结合集合的包含关系建立关于�的不等式组，解之即可求
解.
【解答过程】（1）当�= 1 时，�= {�2 ≤�≤5}, �= {�0 ≤�≤8}，
所以�∩�= {�2 ≤�≤5}.
（2）因为“�∈�”是“�∈�”的充分不必要条件，
所以�是�的真子集.
由�−1 < �+ 7，知集合�为非空集合，
则
2�< 5
2�≤�−1
�+ 7 ≤5
且等号不能同时成立，解得�≤−2，
即实数�的取值范围为( −∞, −2].
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一、单选题
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：∀�∈�，|�+ 1| > 1；命题q：∃�> 0，�3 = �，则（
）
A．p 和q 都是真命题
B．¬�和q 都是真命题
C．p 和¬�都是真命题
D．¬�和¬�都是真命题
【答案】B
【解题思路】对于两个命题而言，可分别取�=−1、�= 1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【解答过程】对于�而言，取�=−1，则有�+ 1 = 0 < 1，故�是假命题，¬�是真命题，
对于�而言，取�= 1，则有�3 = 13 = 1 = �，故�是真命题，¬�是假命题，
综上，¬�和�都是真命题.
故选：B.
2．（2023·北京·高考真题）若��≠0，则“�+ �= 0”是“
�
�+
�
�=−2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】解法一：由
�
�+
�
�=−2 化简得到�+ �= 0 即可判断；解法二：证明充分性可由�+ �= 0 得到�=
−�，代入
�
�+
�
�化简即可，证明必要性可由
�
�+
�
�=−2 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分
性可由
�
�+
�
�通分后用配凑法得到完全平方公式，再把�+ �= 0 代入即可，证明必要性可由
�
�+
�
�通分后用配
凑法得到完全平方公式，再把�+ �= 0 代入，解方程即可.
【解答过程】解法一：
因为��≠0，且
�
�+
�
�=−2，
所以�2 + �2 =−2��，即�2 + �2 + 2��= 0，即�+ �2 = 0，所以�+ �= 0.
所以“�+ �= 0”是“
�
�+
�
�=−2”的充要条件.
解法二：
充分性：因为��≠0，且�+ �= 0，所以�=−�，
所以
�
�+
�
�=
−�
�+
�
−�=−1 −1 =−2，
所以充分性成立；
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必要性：因为��≠0，且
�
�+
�
�=−2，
所以�2 + �2 =−2��，即�2 + �2 + 2��= 0，即�+ �2 = 0，所以�+ �= 0.
所以必要性成立.
所以“�+ �= 0”是“
�
�+
�
�=−2”的充要条件.
解法三：
充分性：因为��≠0，且�+ �= 0，
所以
�
�+
�
�=
�2+�2
��
=
�2+�2+2��−2��
��
=
�+�2−2��
��
=
−2��
��=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为��≠0，且
�
�+
�
�=−2，
所以
�
�+
�
�=
�2+�2
��
=
�2+�2+2��−2��
��
=
�+�2−2��
��
=
�+�2
��
−2 =−2，
所以
�+�2
��
= 0，所以�+ �2 = 0，所以�+ �= 0，
所以必要性成立.
所以“�+ �= 0”是“
�
�+
�
�=−2”的充要条件.
故选：C.
3．（2023·天津·高考真题）已知�, �∈R，“�2 = �2”是“�2 + �2 = 2��”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解题思路】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【解答过程】由�2 = �2，则�=± �，当�=−�≠0 时�2 + �2 = 2��不成立，充分性不成立；
由�2 + �2 = 2��，则(�−�)2 = 0，即�= �，显然�2 = �2成立，必要性成立；
所以�2 = �2是�2 + �2 = 2��的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记��为数列��的前�项和，设甲：��为等差数列；乙：{
��
�}为等差数列，
则（
）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
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B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理
判断作答.，
【解答过程】方法1，甲：��为等差数列，设其首项为�1，公差为�，
则��= ��1 +
�(�−1)
2
�,
��
�= �1 +
�−1
2 �=
�
2 �+ �1 −
�
2 ,
��+1
�+1 −
��
�=
�
2，
因此{
��
�}为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
��
�}为等差数列，即
��+1
�+1 −
��
�=
���+1−(�+1)��
�(�+1)
=
���+1−��
�(�+1) 为常数，设为�，
即
���+1−��
�(�+1) = �，则��= ���+1 −�⋅�(�+ 1)，有��−1 = (�−1)��−�⋅�(�−1), �≥2，
两式相减得：��= ���+1 −(�−1)��−2��，即��+1 −��= 2�，对�= 1 也成立，
因此��为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：��为等差数列，设数列��的首项�1，公差为�，即��= ��1 +
�(�−1)
2
�，
则
��
�= �1 +
(�−1)
2
�=
�
2 �+ �1 −
�
2，因此{
��
�}为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{
��
�}为等差数列，即
��+1
�+1 −
��
�= �,
��
�= �1 + (�−1)�，
即��= ��1 + �(�−1)�，��−1 = (�−1)�1 + (�−1)(�−2)�，
当�≥2 时，上两式相减得：��−��−1 = �1 + 2(�−1)�，当�= 1 时，上式成立，
于是��= �1 + 2(�−1)�，又��+1 −��= �1 + 2��−[�1 + 2(�−1)�] = 2�为常数，
因此��为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C.
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