压轴03利用导数研究函数零点的2大核心题型（压轴题专练）（全国通用）（原卷版）_三轮冲刺_2026年试卷教辅资源等多个文件

压轴03 利用导数研究函数零点的2 大核心题型
利用导数研究函数零点问题是高考的热点，主要涉及判断、证明或讨论函数零点的个数、已知函数零
点存在情况求参数及由函数零点性质研究其它问题等，多以解答题的形式出现，难度较大.
题型01 证明或求解零点个数
1.（2025·浙江温州·一模）已知

1
1e
x
f x
-
=
（
0
x >
）.
(1)求导函数

f
x
¢
的最值；
(2)试讨论关于x 的方程

f x
kx
=
（
0
k >
）的根的个数，并说明理由.
2．已知函数
( )
(
)
x
f x
e
ax a
=
-
ÎR .
（1）讨论函数

f x 的单调性；
（2）当
2
a =
时，求函数

cos
g x
f x
x
=
-
在
,
2
p
æ
ö
-
+¥
ç
÷
è
ø上的零点个数.
3．已知函数
( )
2sin
f x
ax
x
a
=
-
-
.
(1)当
1
a = 时，求曲线
( )
y
f x
=
在点(0,
(0))
f
处的切线方程；
(2)若
(0, )
x
p
Î
，且
0
a >
，讨论函数
2
( )
( )
g x
x
f x
ax
=
+
-
的零点个数.
题型02 已知零点个数求参数范围
技法指导
4.（2025·四川绵阳模拟）已知函数

ln
ex k
f x
x
k
-
=
+
-
.
(1)当
0
k =
时，求证：

f x 最大值小于2
- ；
(2)若

f x 有两个零点，求实数k 的取值范围.
5．已知函数



2
1
2
2
x
f x
x
e
ax
=
-
+
.
（1）若
1
a = - ，求函数

g x
f x
x
=
+
的单调区间；
（2）若函数

x
h x
f x
e
=
+
有两个零点，求实数a 的取值范围.
6．已知函数



2
1 ex
f x
x
ax
=
-
-
，
R
a Î
.
(1)当
e
2
a =
时，求

f x 的单调区间；
(2)若方程

0
f x
a
+
=
有三个不同的实根，求a 的取值范围．
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知函数



ln
1
sin
f x
a
x
x
x
=
+
-
．
(1)若
0
a =
，求曲线

y
f x
=
在点π
π
,
6
6
f
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
处的切线方程；
(2)若
1
a = ，讨论函数

f x 在


1,0
xÎ -
上的单调性和零点个数．
2．（2026·四川广安·月考）给定函数


1 ex
f x
x
=
+
×
(1)判断函数

f x 的单调性，并求

f x 的极值.
(2)若

f x
a
=
有两个解，求a 的取值范围.
3．（2025·山东泰安·模拟）已知函数

2
(
)
f x
x x
c
=
-
在
1
x = 处有极小值.
(1)求实数c 的值；
技法指导
(2)若函数

g x
f x
a
=
+
有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.
4．（2025·安徽阜阳二模）已知函数
( )
sin
f x
ax
x
=
+
，曲线
( )
y
f x
=
在(π,
(π))
f
处的切线斜率为0．
(1)证明：函数
( )
f x 在R 上单调递增；
(2)设
3
( )
( )
g x
mx
f x
=
+
，若
1
6
m £ -
，判断函数( )
g x 的零点个数．
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
( )
ex
f x
a
=
-
．
(1)若
1,
( )
( ) cos
sin
a
g x
f x
x
x
=
=
×
-
，讨论函数( )
g x 在(0,2π) 的单调性；
(2)若( )
( )
cos
h x
f x
x
x
=
-
在[0,2π] 上有唯一的零点，求实数a 的最小值．
6．（2025·湖南郴州·三模）已知函数



1
e
1 ln
e
1 ln
x
f x
t
t
x
x
æ
ö
=
-
+
+
ç
÷
è
ø
.
(1)当
1
t = 时，求

f x 的单调区间；
(2)当
e
t =
时，求

f x 在

0,1 上的最小值；
(3)当
1
t ³ 时，讨论

f x 的零点个数.
7．（2026·安徽宿州·一模）已知函数


sin
ln
sin ,
ex
x
f x
x
x g x
=
+
=
.
(1)证明函数
( )
f x 存在唯一零点；
(2)
( )
f x 的零点为
0x ，证明

1
e
0
e
g x
-
<
.
8．（2026·浙江·模拟预测）已知函数

e sin
x
f
x
x
=
.
(1)求函数

f x 的单调区间；
(2)试判断曲线

y
f x
=
与直线y
x
=
在

0,π 上公共点的个数；
9．（2026·山东临沂·一模）已知函数

ln
1
f x
x
ax
=
-
+ ．
(1)求

f x 的单调区间；
(2)已知

f x 在

0,e 上有且仅有两个零点，求a 的取值范围.
10．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数





2
5
6ln
f x
a x
x a
=
-
+
ÎR ，曲线

y
f x
=
在点



1,
1
f
处的切线与
y 轴相交于点

0,6 .
(1)求函数

f x 的单调区间；
(2)若函数

y
f x
b
=
+ 有三个零点，求实数b 的取值范围.
11．（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数



2
ex
f x
x
a
=
+
，其中a 为常数.
(1)若函数

f x 的极小值点为
1
2
x = -
，求a 的值；
(2)若

3e
f x ³
在


0,1
xÎ
时恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)当
1
a = 时，若函数

g x
f x
kx
=
-
在

,0
-¥
上恰有两个不同的零点，求实数k 的取值范围.
12.（2025·广东广州·模拟预测）已知函数



2e
2 e
2,
x
x
f x
a
a
x
a
=
-
+
+
+
ÎR .
(1)当
1
a = 时，求曲线

y
f x
=
在点



0,
0
f
处的切线方程；
(2)讨论函数

f x 的单调性；
(3)若函数

f x 有三个零点，求a 的取值范围.
13．（2026·陕西西安·模拟预测）已知
2
1
( )
(ln )
(
)ln
2
2
2
f x
a
x
a
x
x
x
=
-
+
+
-
，
0
a >
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
(0,e)
aÎ
，讨论
( )
f x 的零点个数；
14．（2026·河南三门峡·期末）已知函数


2e
1,
ln
x
f x
x
g x
x
ax
=
-
=
+
．
(1)求

f x 极值；
(2)若曲线

y
f x
=
在点



0,
0
f
处的切线也是曲线

y
g x
=
的切线，求a ；
(3)若函数


h x
g x
f x
=
-
有且只有两个零点，求a 的取值范围．