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7.5 空间几何的外接球（精练）
1．（2023 秋·贵州铜仁）在三棱锥
中，
平面ABC，
，
，则三棱
锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥
的体积是
，
底面
是正方形，
是等边三角形，平面
平面
，则四棱锥
外接球表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·甘肃酒泉）一个到球心距离为1 的平面截球所得截面的面积为π，则它的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·辽宁大连）已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1 的球的体积相等，则该圆锥的母
线长为（ ）
A．2
B．
C．5
D．
5．（2023 春·陕西榆林 ）若正三棱锥
的高为
，
，其各顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 春·广东韶关 ）已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上，
平面
，若球
的体积为
，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
A．
B．5
C．
D．
7．（2023 春·湖南）2022 年卡塔尔足球世界杯吸引了全世界许多球迷的关注，足球最早起源于我国古代
“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们
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蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，连接这四点构成三棱锥
如图所示，
顶点A 在底面的射影落在△BCD 内，它的体积为
，其中△BCD 和△ABC 都是边长为
的正
三角形，则该“鞠”的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023 春·山西太原）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是
，则该正方体的
体积为（ ）
A．4
B．16
C．8
D．64
9．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥
的底面
是矩形，高为
，
，
，
，
，则四棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1 的相同的圆锥形成的组合体，
设它的体积为
，它的内切球的体积为
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
11．（2023 秋·广东深圳·高三校联考开学考试）已知一个圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥内切球的
表面积与圆锥的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 春·广西南宁 ）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023 春·重庆江津 ）如图，已知棱长为1 的正方体
中，下列命题正确的是（ ）
A．正方体外接球的半径为
B．点
在线段
上运动，则四面体
的体积不变
C．与所有12 条棱都相切的球的体积为
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D．
是正方体的内切球的球面上任意一点，则
长的最小值是
14．（2023 春·陕西安康·高三校考阶段练习）如图，在三棱锥
中，已知
，
，
，
，平面
平面
，三棱锥
的体积为
，若点
，
，
，
都在球
的球面上，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2023 春·山东济宁 ）在三棱锥
中，
，
是边长为6 的等边三角形，
若平面
平面
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2023 秋·浙江丽水 ）在四面体PABC 中，
，
是边长为2 的等边三角形，若二面角
的大小为
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2023 春·四川宜宾 ）在矩形
中，
，
为
的中点，将
和
沿
，
翻折，使点
与点
重合于点
，若
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2023 秋·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为
．
19（2023 春·贵州黔西·高一校考阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂
直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”（如图所示），其中
底面
，
，
，
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，则该“阳马”的外接球的表面积为 ．
20．（2023 春·四川成都 ）已知圆锥的底面半径为2，高为
，则该圆锥的内切球表面积为 .
20．（2023 春·辽宁沈阳 ）已知四面体
中，
，
，则该四
面体外接球的表面积为 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知点
均在球
的球面上运动，且满足
，若三棱锥
体积的最大值为
，则球
的体积为 .
22．（2023 春·河北承德 ）已知三棱锥
的各侧棱长均为
，且
，则
三棱锥
的外接球的表面积为 .
23．（2023 春·江西赣州 ）如图，在等腰直角三角形ABC 中，点P 为线段AB 的中点，
，
，将
沿
所在直线进行翻折，得到三棱锥
，当
时，此三棱锥的外接
球表面积为 ．
24．（2023 春·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥
的顶点都在球O 的球面
上，其侧棱与底面所成角为
，且
，则球O 的表面积为
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1．（2024 秋·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）在三棱锥
中，
为等边三角形，
，则三棱锥
外接球的表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥
中，
，
，二面角
的平面角为
，则三棱锥
外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·江西赣州 ）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球
，然后再放入一
个球
，使得球
与球
及正四面体的三个侧面都相切，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·贵州遵义 ）已知三棱锥
中，
，
，
，三棱锥
的外接球的表面积为
，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
5．（2023 春·浙江丽水）如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
，
在上底面
（包括边界）上运动，则三棱锥
的外接球体积的最大值为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（2023 春·山东聊城 ）（多选）已知正三棱锥的侧棱长为
，底面边长为6，则（ ）
A．正三棱锥的高为6
B．正三棱锥的表面积为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的外接球的体积为
7．（2023 春·浙江金华）（多选）在三棱锥
中，
两两垂直，
，点
分别在侧面
和棱
上运动且
为线段
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥
的内切球的半径为
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B．三棱锥
的外接球的表面积为
C．点
到底面
的距离的最小值为
D．三棱锥
的体积的最大值为
8．（2023 春·湖北武汉）（多选）如图，在四边形
中，
和
是全等三角形，
，
，
，
．下面有两种折叠方法将四边形
折成三棱锥．折法①；将
沿着
折起，得到三棱锥
，如图1．折法②：将
沿着
折起，得到三棱锥
，
如图2．下列说法正确的是（ ）．
A．按照折法①，三棱锥
的外接球表面积恒为
B．按照折法①，存在
满足
C．按照折法②﹐三棱锥
体积的最大值为
D．按照折法②，存在
满足
平面
，且此时
与平面
所成线面角正弦值为
9（2023 春·江苏南通）（多选）如图，圆锥
内有一个内切球
，球
与母线
分别切于点
.若
是边长为2 的等边三角形，
为圆锥底面圆的中心，
为圆
的一条直径（
与
不重合），
则下列说法正确的是（ ）
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A．球的表面积与圆锥的侧面积之比为
B．平面
截得圆锥侧面的交线形状为抛物线
C．四面体
的体积的取值范围是
D．若
为球面和圆锥侧面的交线上一点，则
最大值为
10．（2023 秋·全国·高三校联考开学考试））在三棱锥
中，平面
平面
，底面
是
边长为3 的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为
，则该三棱锥体积的最大值为 .
11（2023 春·甘肃金昌 ）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，顶点M 在底面的射影恰为A
点，且
为等腰三角形，则四棱锥
外接球的体积为 .
12．（2023 春·海南 ）已知四棱锥
的外接球
的体积为
，
平面
，且底面
为矩形，
，则四棱锥
体积的最大值为 .
13．（2023 春·江西九江 ）正四棱台
的高为
，
，
，球
在该正四棱台
的内部，则球
表面积的最大值为 .
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