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7.5 空间几何的外接球（精讲）
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考点一 汉堡模型
【例1】（2023 春·重庆）设直三棱柱
的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为
，
，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【一隅三反】
1．（2023 春·安徽宣城）在三棱锥
中，△ABC 是边长为3 的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且
，则三棱锥
的外接球表面积为 ．
2．（2023 春·广东韶关 ）三棱锥
中,
平面
,
,
,
,则三棱锥
外接球的体积是 ．
3．（2023 春·江苏扬州）已知正四棱柱
中，
，直线
与平面
所成角的正切
值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 .
考法二 墙角模型
【例2】（2023 春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8 个顶点都在同一
个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·贵州黔东南）在三棱锥
中，
平面
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 春·广东深圳）如图，在长方体
中，四边形
是边长为1 的正方形，
4
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，则该长方体的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
考法三 斗笠模型
【例3-1】（2023 春·北京海淀）已知侧棱长为
的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面
两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3 倍，则圆
锥与球的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·江西）在正四棱锥
中，
，若该棱锥的所有顶点都在球
的表面上，
则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为
，则
该正三棱锥体积的最大值为___________.
3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC 外接球的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 L 模型
【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为
的正方形ABCD 所在平面与矩形ABEF 所在的平
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面垂直，
，N 为AF 的中点，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC 是边长为2 的等边三角形，顶点S 与AB 边中点D 的连线SD
垂直于底面ABC，且
，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．12π
D．60π
2．（2023 秋·四川泸州已知三棱锥
的底面
是正三角形，侧面
底面
，且
，
，若该三棱锥的外接球的表面积为
，则AB 的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
3．（2023 春·广东广州）已知三棱锥
所在顶点都在球
的球面上，且
平面
，若
，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 棱台外接球
【例5】（2023 春·黑龙江）（多选）已知四棱台
上下底面均为正方形，其中
，
，
，则下述正确的是（ ）
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A．该四棱台的高为
B．该四棱台外接球的表面积为
C．
与
所在直线的夹角为
D．该四棱棱台的表面积为26
【一隅三反】
1．（2023 秋·湖北）在正三棱台
中，侧棱长均为
，侧棱
与底面所成的角60°，
，则该三棱台的外接球的体积＝ .
2．（2023 春·黑龙江绥化 ）正四棱楼台的上、下底面的面积分别为
，
，若该正四棱台的体积为
，则其外接球的表面积为
．
3．（2023 春·广东广州）在正四棱台
中，上、下底面边长分别为
、
，该正四棱
台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为
，则该正四棱台的高为 ．
考点六 最值
【例6】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥
中，
，
平面ABC，
，
，则三棱锥
外接球体积的最小值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）在正三棱柱
中，
，点D 在棱BC 上运动，
若
的最小值为
，则三棱柱
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O 内接三棱锥
，
平面
，
.若
，球O 表面积为
.则三棱锥
体积最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
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