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专题1.7基本不等式及其应用（解析版）_2027版高中《举一反三》同步讲义（数学）

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专题1.7 基本不等式及其应用（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
基本不等式及
其应用
上海卷（春考）：第6
题，4 分
北京卷：第6 题，4 分
上海卷（秋考）：第8
题，5 分
上海卷（春考）：第6
题，4 分
上海卷（秋考）：第7
题，5 分
天津卷：第7 题，5 分
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命题规律
分析
1、基本不等式及其应用
基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容，从近三年的高考情况来
看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，
基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查，一般最多考查1 题，分值为
4 分或5 分，主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小，难
度不大，是基础题；复习时要加强对基本不等式的练习。
知识点1
两个不等式
1. 两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b 的算术平均数，
叫做正数a，b 的几何平均数．
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基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【注】：“当且仅当a＝b 时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，
，即只能有a2＋b2>2ab，
.
2. 基本不等式的常见变形
(1)
.
(2)
.
知识点2
利用基本不等式求最值
1．基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值
；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值
.
【注】：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
)
0
,0
(
2




n
m
mn
x
n
mx
，当且仅当
m
n
x 
时等号成立；
(2)模型二：
)
0
,0
(
2
)
(











n
m
ma
mn
ma
a
x
n
a
x
m
a
x
n
mx
，当且仅当
m
n
a
x


时等号成
立；
(3)模型三：
)
0
,
0
(
2
1
1
2









c
a
b
ac
x
c
b
ax
c
bx
ax
x
，当且仅当
a
c
x 
时等号成立；
(4)模型四：
)
0,0
,0
(
4
)
2
1
)
(
)
(
2
2
m
n
x
n
m
m
n
mx
n
mx
m
m
mx
n
mx
mx
n
x












（
，当且仅当
m
n
x
2

时
等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t 为常数),求
的最值”的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常
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数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1
由基本不等式比较大小】
【例1】（2026·北京房山·一模）若��> 0，且�< �，则下列不等式一定成立的是（
）
A．�2 < �2
B．
1
�<
1
�
C．
�
�+
�
�> 2
D．
�+�
2 >
��
【答案】C
【解题思路】取�=−3, �=−2 即可判断A、B、D 选项是错误的，由基本不等式即可判断C 选项是正确的.
【解答过程】取�=−3, �=−2 满足��> 0，且�< �，此时�2 > �2，A 错误；
取�=−3, �=−2 满足��> 0，且�< �，此时
1
�>
1
�，B 错误；
�
�> 0,
�
�> 0 可得
�
�+
�
�> 2
�
�⋅
�
�= 2，C 正确；
取�=−3, �=−2 满足��> 0，且�< �，此时
�+�
2 <
��，D 错误.
故选：C.
【变式1-1】（24-25 高三·全国·三轮复习）设a、b 为正数，且�+ 2�= 1，比较ab 的值与
1
8的大小（
）
A．��≤
1
8
B．��<
1
8
C．��≥
1
8
D．��>
1
8
【答案】A
【解题思路】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可.
【解答过程】因为��=
1
2 (�⋅2�) ≤
1
2
�+2�
2
2
=
1
8，所以��≤
1
8，
当且仅当�= 2�且�+ 2�= 1，即�=
1
2且�=
1
4时，取等号．
故选：A．
【变式1-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数�, �, �满足�< �< �且���<0，则下列不等关系一定正确
的是（
）
A．��< ��
B．��< ��
C．
�
�+
�
�> 2
D．
�
�+
�
�> 2
【答案】C
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【解题思路】由不等式的性质判断A、B，根据基本不等式可判断C、D.
【解答过程】因为�< �< �且���<0，所以�< 0 < �< �或�< �< �< 0，
对A：若�< 0 < �< �，则��< ��，若�< �< �< 0，则��> ��，A 错误；
对B：∵�< �，�< 0，∴��> ��，B 错误；
对C：由�< 0 < �< �或�< �< �< 0，知
�
�> 0 且�< �，∴
�
�+
�
�> 2
�
�×
�
�= 2，C 正确；
对D：当�< 0 < �< �时，有
�
�< 0，从而
�
�+
�
�< 0
当�< �< �< 0，则
�
�> 0 且�< �，∴
�
�+
�
�> 2
�
�×
�
�= 2，D 错误.
故选：C.
【变式1-3】（25-26 高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，
每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油200 元，第二次加油
200 元；第二种方案：第一次加油30 升，第二次加油30 升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实
惠（
）
A．第一种
B．第二种
C．不确定
D．一样实惠
【答案】A
【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断.
【解答过程】设第一次加油的单价为�元/升，第二次加油的油单价为�元/升，
则方案一的均价：�=
200+200
200
�+200
�
=
2��
�+�≤
��，当且仅当�= �时等号成立；
方案二的均价：�=
30�+30�
60
=
�+�
2
≥
��，当且仅当�= �时等号成立；
又两次加油单价不同，
则方案一的均价�<
��，方案二的均价�>
��，
所以�< �，
故选：A.
【题型2
基本不等式求积的最大值】
【例2】（2026·天津河西·一模）已知�> 0，�> 0，且2�+ �= 1，则��的最大值为（
）
A．1
B．
1
4
C．
1
8
D．
1
9
【答案】C
【解题思路】直接利用基本不等式求解即可.
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【解答过程】由基本不等式得到2��≤
2�+�
2
2
=
1
4，即��≤
1
8，
当且仅当2�= �，即�=
1
4 , �=
1
2时，等号成立.
��的最大值为
1
8，
故选：C．
【变式2-1】（2026·福建泉州·二模）已知正数�, �满足�+
2
�= 1，则
�
�的最大值为（
）
A．
1
8
B．
1
4
C．
2
4
D．
1
2
【答案】A
【解题思路】由题设可得
1
�=
1−�
2 ，0 < �< 1，进而得到
�
�=
�1−�
2
，再根据基本不等式求解即可.
【解答过程】由题意，�, �为正数，且�+
2
�= 1，则
1
�=
1−�
2 ，即0 < �< 1，
所以
�
�=
�1−�
2
≤
�+1−�
2
2
2
=
1
8，
当且仅当�= 1 −�，即�=
1
2时等号成立，
则
�
�的最大值为
1
8.
故选：A.
【变式2-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数�，�满足16�+ ��2 = 64，则��的最大值为_________.
【答案】8
【解题思路】将已知等式变形为�(16 + �2) = 64，利用基本不等式建立16 + �2与�的关系，从而求得��的
最大值.
【解答过程】因为�，�为正数，所以16�+ ��2 = �(16 + �2)，
根据基本不等式可得16 + �2 ≥2 16�2 = 8�，(当且仅当16= �2，即�= 4 时等号成立)；
则�(16 + �2) ≥�× 8�= 8��，即16�+ ��2 ≥8��，
因为16�+ ��2 = 64，所以64 ≥8��，可得��≤8.
即��的最大值为8.
故答案为：8.
【变式2-3】（2025·海南·一模）已知�> 0, �> 0，且�+ 4�= 4，则xy 的最大值为__________.
【答案】1
【解题思路】直接利用基本不等式即可.
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【解答过程】因�> 0, �> 0，则4 = �+ 4�≥2 �⋅4�= 4 ��，所以��≤1，
当且仅当�= 2, �=
1
2时等号成立，
则xy 的最大值为1.
故答案为：1.
【题型3
基本不等式求和的最小值】
【例3】（2026·山东济南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，且�+ 2�−2��= 0，则�+ 2�的最小值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】先将�+ 2�−2��= 0 变形得
1
�+
1
2�= 1，然后用“1”的代换与�+ 2�相乘，化简整理后再利用基
本不等式即可求出最小值.
【解答过程】由�+ 2�−2��= 0，得
1
�+
1
2�= 1，
所以�+ 2�= �+ 2�
1
�+
1
2�= 2 +
2�
�+
�
2�≥2 + 2
2�
�⋅
�
2�= 4，
当且仅当
2�
�=
�
2�时，即�= 2�时等号成立，将其代入�+ 2�−2��= 0，解得�= 2, �= 1，
所以�+ 2�的最小值是4.
故选：A.
【变式3-1】（2026·山东泰安·二模）当0 < �< 3 时，
4
�+
1
3−�的最小值是（
）
A．3
B．4
C．
10
3
D．
8
3
【答案】A
【解题思路】由配凑法结合换1 法得出
4
�+
1
3−�=
1
3 �+ 3 −�
4
�+
1
3−�，再使用基本不等式即可求解.
【解答过程】由题意得
1
�> 0,
1
3−�> 0，
则
4
�+
1
3−�=
1
3 �+ 3 −�
4
�+
1
3−�
=
1
3 4 +
�
3−�+
4(3−�)
�
+ 1 ≥
1
3 5 + 2
�
3−�⋅
4(3−�)
�
= 3，
当且仅当
�
3−�=
4(3−�)
�
即�= 2 时等号成立.
故选：A.
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【变式3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知�> 2�> 0，则
�
�−2�+
2�
�的最小值为__________．
【答案】9
【解题思路】对
�
�−2�+
2�
�进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值.
【解答过程】因为�> 2�> 0，则�−2�> 0，�> 0.
所以
�
�−2�+
2�
�=
�−2�+2�
�−2�
+
2 �−2�+4�
�
= 1 +
2�
�−2�+
2 �−2�
�
+ 4
= 5 +
2�
�−2�+
2 �−2�
�
≥5 + 2
2�
�−2�×
2(�−2�)
�
= 9.
当且仅当
2�
�−2�=
2 �−2�
�
时，即�= 3�等号成立.
因此，
�
�−2�+
2�
�的最小值为9.
故答案为：9.
【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数�，�满足��> 0，则
�
�+
4�
�+�的最小值为___________.
【答案】3
【解题思路】设�=
�
�，将待求式化为关于�的函数式，再利用基本不等式求解即得.
【解答过程】设�=
�
�，因��> 0，则�> 0，
且
�
�+
4�
�+�=
�
�+
4
1+�
�
= �+
4
�+1 = �+ 1 +
4
�+1 −1，
因�+ 1 +
4
�+1 ≥2 (�+ 1) ⋅
4
�+1 = 4，当且仅当�+ 1 =
4
�+1时取等，
即�= 1 时，也即�= �时，�+ 1 +
4
�+1取得最小值4，此时
�
�+
4�
�+�的最小值为3.
故答案为：3.
【题型4
二次与二次（或一次）的商式的最值】
【例4】（25-26 高一上·江西·阶段检测）已知�<−1，则
�2−�+14
�+1
的最大值是（
）
A．−11
B．−8
C．5
D．8
【答案】A
【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可．
【解答过程】易知
�2−�+14
�+1
=
�+1 2−3 �+1 +16
�+1
= �+ 1 +
16
�+1 −3．
因为�<−1，所以�+ 1 < 0，所以−�+ 1 > 0，
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则�+ 1 +
16
�+1 =−−�+ 1 + −
16
�+1
≤−8，
当且仅当−�+ 1 =−
16
�+1，即�=−5 时，等号成立，
故�+ 1 +
16
�+1 −3 ≤−11，则
�2−�+14
�+1
的最大值是−11．
故选：A.
【变式4-1】（25-26 高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数�, �满足�+ 2�= 1，则
�2+�
��的最小值为（
）
A．
1
2 2
B．2 2
C．
1
2 2+1
D．2 2 + 1
【答案】D
【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】
�2+�
��
=
�2+�(�+2�)
��
=
�2+��+2�2
��
=
�
�+
2�
�+ 1，因为�> 0, �> 0，故
�
�> 0,
2�
�> 0，
则
�
�+
2�
�+ 1 ≥2
�
�×
2�
�+ 1 = 2 2 + 1，当且仅当
�
�=
2�
�, �+ 2�= 1，也即�=
2 −1, �= 1 −
2
2 取得等号，
故
�2+�
��的最小值为2 2 + 1.
故选：D.
【变式4-2】（25-26 高一上·河北承德·期末）已知�> 1，则
3�2−5�+5
�−1
的最小值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解题思路】令�= �−1，化简得到
3�2−5�+5
�−1
= 3�+
3
�+ 1，结合基本不等式，即可求解.
【解答过程】令�= �−1，则�= �+ 1，因为�> 1，可得�> 0，
可得
3�2−5�+5
�−1
=
3(�+1)2−5(�+1)+5
�
= 3�+
3
�+ 1 ≥2 3�⋅
3
�+ 1 = 2 × 3 + 1 = 7，
当且仅当3�=
3
�时，即�= 1 时，即�= 2 时，等号成立，
所以
3�2−5�+5
�−1
的最小值为7.
故选：D.
【变式4-3】（25-26 高三上·河南漯河·期末）设正实数�、�、�满足�2 −��+ �2 −�= 0，则
��
�的最大值为（
）
A．4
B．2
C．3
D．1
【答案】D
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【解题思路】由已知条件可得出
��
�=
1
�
�+�
�−1，利用基本不等式可求得
��
�的最大值.
【解答过程】因为正实数�、�、�满足�2 −��+ �2 −�= 0，则�= �2 + �2 −��，
所以，
��
�=
��
�2+�2−��=
1
�
�+�
�−1 ≤
1
2
�
�⋅�
�−1
= 1，
当且仅当
�
�=
�
��> 0, �> 0 时，即当�= �时，等号成立，
故
��
�的最大值为1.
故选：D.
【题型5
条件等式求最值】
【例5】（2026·广东江门·二模）已知�> 1，�> 1，且��= �+ �+ 3，则4�+ �的最小值为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【解题思路】方法一：条件等式可化为�−1
�−1 = 4，再结合关系4�+ �= 4 �−1 + �−1 + 5 利
用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得�=
�+3
�−1，消元变形可得4�+ �= 5 +
16
�−1 + �−1，再利用基本不等式求其最小值
即可.
【解答过程】（方法一）由��= �+ �+ 3，可得�−1
�−1 = 4，
因为�> 1，�> 1，所以�−1 > 0，�−1 > 0，
则4�+ �= 4 �−1 + �−1 + 5 ≥2 4 �−1
�−1 + 5 = 13，
当且仅当4 �−1 = �−1，即�= 2，�= 5 时，等号成立，
故4�+ �的最小值为13．
（方法二）由��= �+ �+ 3，可得�=
�+3
�−1，因为�> 1，所以�−1 > 0，
则4�+ �=
4�+12
�−1 + �= 5 +
16
�−1 + �−1 ≥5 + 2
16
�−1 ⋅�−1 = 13，
当且仅当
16
�−1 = �−1，即�= 2, �= 5 时，等号成立，
故4�+ �的最小值为13．
故选：C.
【变式5-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知�>
1
3，�> 1，且3��−3�−�= 1，则
1
3�−1 +
4
�−1的最小值
是（
）
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A．2
B．4
C．2 3
D．2 2
【答案】D
【解题思路】根据已知得3�−1 =
2
�−1，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可.
【解答过程】由3��−3�−�= 1，则(3�−1)(�−1) = 2，�>
1
3，�> 1，故3�−1 =
2
�−1，
所以
1
3�−1 +
4
�−1 =
�−1
2 +
4
�−1 ≥2
�−1
2 ⋅
4
�−1 = 2 2，
当且仅当
�−1
2 =
4
�−1 ⇒�= 1 + 2 2，此时�=
1
3 +
2
6 取等号.
故选：D．
【变式5-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数�, �满足
4
�+ �=
�
�，则
1
�+ �的最小值为（
）
A．7
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【解题思路】根据题设条件求得
1
�=
�
�−4，代入所求式利用基本不等式即可求解.
【解答过程】由
4
�+ �=
�
�可得
�−4
�= �，显然�≠4，则有
1
�=
�
�−4，
由�, �> 0，可得�> 4，
则
1
�+ �=
�
�−4 + �= �+ 1 +
4
�−4 = �−4 +
4
�−4 + 5 ≥5 + 2 (�−4) ⋅
4
�−4 = 9，
当且仅当�−4 =
4
�−4，即�= 6, �=
1
3时等号成立，
此时
1
�+ �的最小值为9.
故选：B.
【变式5-3】（2026·广东·二模）若�> 0, �> 0，且�+ �= ��，则
1
�−1 +
2
�−1的最小值为（
）
A．2
B．2 2
C．3
D．
9
2
【答案】B
【解题思路】由条件可得�−1
�−1 = 1，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为�+ �= ��，即��−�−�+ 1 = 1，即�−1
�−1 = 1，
且�> 0, �> 0，则�> 1, �> 1，
则
1
�−1 +
2
�−1 ≥2
1
�−1 ⋅
2
�−1 = 2
2
�−1
�−1 = 2 2，
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当且仅当
1
�−1 =
2
�−1时，即�= 1 +
2
2 , �= 1 +
2时，等号成立，
所以
1
�−1 +
2
�−1的最小值为2 2.
故选：B.
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】
【例6】（2026·甘肃酒泉·二模）已知�> 0, �> 0，且满足3�+ �= 8，则
3
�+
1
�的最小值为（
）
A．
16
7
B．2
C．
7
2
D．4
【答案】B
【解题思路】直接由条件和基本不等式可得最小值.
【解答过程】因为3�+ �= 8，所以
1
8 3�+ �= 1，且�> 0, �> 0，
所以
3
�+
1
�=
1
8
3
�+
1
�
3�+ �
=
1
8 10 +
3�
�+
3�
�
≥
1
8 10 + 2
3�
�⋅
3�
�
=
1
8 × 16 = 2，
当且仅当
3�
�=
3�
�且3�+ �= 8 时等号成立，由
3�
�=
3�
�得�= �（�=−�舍去），
代入3�+ �= 8，解得�= �= 2，
所以当�= �= 2 时，
3
�+
1
�的最小值为2.
故选：B.
【变式6-1】（2026·安徽滁州·二模）已知�+ �= 1 ��> 0 ，则
1
�+
1
�的最小值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．
5
4
【答案】C
【解题思路】根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【解答过程】因为�+ �= 1 ��> 0 ，所以
�
�> 0,
�
�> 0，
所以
1
�+
1
�=
1
�+
1
�
�+ �= 2 +
�
�+
�
�≥2 + 2 = 4，当且仅当�= �=
1
2时等号成立，
所以
1
�+
1
�的最小值为4.
故选：C.
【变式6-2】（2026·湖北十堰·一模）已知正数�，�满足�+ �= ��，则�+ 4�的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
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【答案】D
【解题思路】整理可得
1
�+
1
�= 1，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.
【解答过程】因为正数�，�满足�+ �= ��，则
1
�+
1
�= 1，
可得�+ 4�=
1
�+
1
�
�+ 4�= 5 +
4�
�+
�
�≥5 + 2
4�
�⋅
�
�= 9，
当且仅当
4�
�=
�
�，即�= 2�= 3 时，等号成立，
所以�+ 4�的最小值为9.
故选：D.
【变式6-3】（2026·浙江台州·一模）已知�, �∈−1, + ∞，且�+
1
�+1 = 2，则�+
9
�+2的最小值为（
）
A．2
B．
9
4
C．
5
2
D．3
【答案】D
【解题思路】可利用配凑法与“1 的妙用”，结合基本不等式进行求解.
【解答过程】由题可知，�+ 2 +
1
�+1 = 4，又因为�+ 2 > 0, �+ 1 > 0,
则�+ 1 +
9
�+2 =
1
4 (�+ 2 +
1
�+1 )(�+ 1 +
9
�+2 )
=
1
4 [(�+ 2)(�+ 1) +
9
(�+2)(�+1) + 10] ≥
1
4 (6 + 10) = 4,
当且仅当(�+ 2)(�+ 1) = 3 时，即当�= 1, �= 0 时，等号成立.
因此�+ 1 +
9
�+2的最小值为4，
故�+
9
�+2的最小值为3.
故选：D.
【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】
【例7】（2026·吉林延边·一模）已知正实数�，�满足�+ �−
1
2 ��= 0，且不等式�+ �−�> 0 恒成立，则�
的取值范围是（
）
A．�< 2
B．�< 8
C．�< 6
D．�< 4
【答案】B
【解题思路】对题目等式变形得
1
�+
1
�=
1
2，再利用乘“1”法即可得到答案.
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【解答过程】因为正实数�,�满足�+ �−
1
2 ��= 0，所以
1
�+
1
�=
1
2，
则：�+ �= 2(�+ �)
1
�+
1
�= 2 2 +
�
�+
�
�≥8，
当且仅当�= �= 4 时取等号，因为不等式�+ �−�> 0 恒成立，所以�< 8．
故选：B．
【变式7-1】（25-26 高一上·安徽池州·期中）已知�> 0, �> 0，且�+ �= 5，若
4
�+1 +
1
�+2 ≥2�+ 1 恒成立，
则实数�的取值范围是（
）
A．−∞,
1
16
B．−∞,
2
5
C．−∞,
1
2
D．−∞, 4
【答案】A
【解题思路】由已知条件得出�+ 1 + �+ 2 = 8，将代数式
4
�+1 +
1
�+2与
1
8
�+ 1 + �+ 2 相乘，展开后
利用基本不等式求出
4
�+1 +
1
�+2的最小值，根据题意可得出关于�的不等式，解之即可.
【解答过程】因为�> 0，�> 0，且�+ �= 5，则�+ 1 + �+ 2 = 8，
则
�+2
�+1 > 0,
�+1
�+2 > 0，
所以
4
�+1 +
1
�+2 =
1
8
4
�+1 +
1
�+2
�+ 1 + �+ 2
=
1
8 5 +
4 �+2
�+1 +
�+1
�+2
≥
1
8 5 + 2
4 �+2
�+1 ⋅
�+1
�+2
=
9
8，
当且仅当
4 �+2
�+1
=
�+1
�+2
�+ 1 + �+ 2 = 8
�> 0, �> 0
时，
即当�=
13
3 ，�=
2
3时，所以
4
�+1 +
1
�+2的最小值为
9
8，
因为
4
�+1 +
1
�+2 ≥2�+ 1 恒成立，所以2�+ 1 ≤
9
8，解得�≤
1
16，
所以实数�的取值范围是−∞,
1
16 .
故选：A.
【变式7-2】（25-26 高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数�，�满足�+ �= ��且存在这样的�，�使不等式�+
�
4 < �+ 2 有解，则实数�的取值范围是（
）
A．0,
1
4
B．
1
2 , + ∞
C．
1
4 , + ∞
D．
1
4 ,
1
2
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【答案】C
【解题思路】利用基本不等式得到�+
�
4的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可.
【解答过程】因为�+ �= ��，所以
1
�+
1
�= 1，
则(�+
�
4 )(
1
�+
1
�) = 1 +
�
4�+
�
�+
1
4 =
5
4 +
�
4�+
�
�≥
5
4 + 2
�
4�×
�
�=
9
4，
当且仅当
�
4�=
�
�时取等，此时解得�=
3
2 , �= 3，
而�+
�
4 < �+ 2，可得
9
4 < �+ 2，解得�∈
1
4 , + ∞，故C 正确.
故选：C.
【变式7-3】（25-26 高一上·安徽·阶段检测）已知正实数�, �满足�+ �= �，若
4
�+
9
�+1 ≥1 恒成立，则实数�
的最大值为（
）
A．8
B．16
C．24
D．36
【答案】C
【解题思路】根据题意，得到�+ �+ 1 = �+ 1，结合基本不等式，求得
4
�+
9
�+1 ≥
25
�+1，得到
25
�+1 ≥1，进而求
得实数�的范围，得到答案.
【解答过程】由正实数�, �满足�+ �= �，可得�+ �+ 1 = �+ 1，
所以(�+ 1)
4
�+
9
�+1 = (�+ �+ 1)
4
�+
9
�+1 = 13 +
4(�+1)
�
+
9�
�+1 ≥13 + 12 = 25，
当且仅当3�= 2(�+ 1)时等号成立，所以
4
�+
9
�+1 ≥
25
�+1，
所以
4
�+
9
�+1的最小值为
25
�+1，
因为
4
�+
9
�+1 ≥1 恒成立，可得
25
�+1 ≥1，解得�≤24.
故选：C.
【题型8
基本不等式的实际应用】
【例8】（25-26 高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量�（单位：百件）与
销售价格�（单位：元/件）满足关系式�=
20
�−20 + 2，其中20 < �< 50.已知该商品的成本为10 元/件，则该
超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（
）
A．800 元
B．8000 元
C．900 元
D．9000 元
【答案】B
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【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小
值．
【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为�，
∵每件利润为�−10 元，每月的销售量为100�件，
∴�= 100��−10 = 100
20
�−20 + 2
�−20 + 10 ，20 < �< 50
令�= �−20，则0 < �< 30，
∴�= 100
20
�+ 2
�+ 10 = 200
100
�+ �+ 20 ≥200 2
100
�⋅�+ 20
= 200 × 40 = 8000，当且仅当
100
�= �，即�= 10 时取等号，
∴该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为8000 元．
故选：B．
【变式8-1】（24-25 高二下·云南·期末）要建造一个容积为9 立方米，深为1 米的长方体无盖水池．若水池
的底每平方米的造价为100 元，水池的壁每平方米的造价为90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造
价之和）的最小值为（
）
A．2100 元
B．1980 元
C．1870 元
D．1760 元
【答案】B
【解题思路】设水池底部长宽分别为�, �米，根据已知有��= 9、总造价�= 180(�+ �) + 900，应用基本不
等式求最小值，注意取值条件.
【解答过程】设水池底部长宽分别为�, �米，则��× 1 = ��= 9，
所以水池总造价为�= 90 × 2(�+ �) × 1 + 100��= 180(�+ �) + 900 ≥180 × 2 ��+ 900 = 1980，
当且仅当�= �= 3 时等号成立，故总造价最小值为1980 元.
故选：B.
【变式8-2】（25-26 高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租�1（单位：
万元）与仓库到超市的距离�（�≥0，单位：千米）的函数关系式为�1 =
24
�+3，每月货物运输费�2（单位：
万元）与�的函数关系式为�2 =
2
3 �，则该超市应该把仓库建在距离超市__________千米处，才能使这两项费
用之和最少，最少费用为__________万元．
【答案】3；6
【解题思路】利用基本不等式即可求解.
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【解答过程】�1 + �2 =
24
�+3 +
2�
3 =
24
�+3 +
2�+6
3
−2 ≥2
24
�+3 ⋅
2�+6
3
−2 = 6，
等号成立时�= 3，
故该超市应该把仓库建在距离超市3 千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为6 万元.
故答案为：3；6.
【变式8-3】（25-26 高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是
由两个相同的矩形����和����构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形����上建一座花坛，造
价为4200 元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2；在四个空角
（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80 元/m2.设总造价为�（单位：元），则当总造价�最小时，��的长
度为__________m.
【答案】10
【解题思路】设��= �m，��= �m，根据十字形地域的面积，得出�, �的关系式，进而求出各个图形的面
积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时��的长.
【解答过程】设��= �m，��= �m，则�2 + 4��= 200，所以�=
200−�2
4�
，
所以�= 4200�2 + 210 × 4��+ 80 × 4 ×
1
2 �2
= 4200�2 + 210 × 4�⋅200 −�2
4�
+ 80 × 4 × 1
2
200 −�2
4�
2
= 38000 + 4000�2 +
400000
�2
，
∵�> 0, �> 0，即
200−�2
4�
> 0，解得0 < �< 10 2，
所以�= 38000 + 4000�2 +
400000
�2
≥38000 + 2 4000�2 ⋅
400000
�2
= 118000，
当且仅当4000�2 =
400000
�2
，即�=
10时，等号成立，
所以当�=
10时，该休闲场所的总造价最小，最小值为118000 元.
故答案为：10.
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一、单选题
1．（2026·浙江·二模）已知0 < �< 1，则
1
2−2�+
2
�的最小值为（
）
A．
5
2
B．
9
2
C．5
D．9
【答案】B
【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式求解可得.
【解答过程】因为0 < �< 1，所以2 −2�> 0, 2 −2�+ 2�= 2，
所以
1
2−2�+
2
�=
1
2−2�+
4
2�=
1
2
1
2−2�+
4
2�
2 −2�+ 2�
=
5
2 +
�
2−2�+
2−2�
�
≥
5
2 + 2
�
2−2�×
2−2�
�
=
9
2，
当且仅当
�
2−2�=
2−2�
�，即�=
2
3时，等号成立，
所以
1
2−2�+
2
�的最小值为
9
2.
故选：B.
2．（2026·北京海淀·二模）函数��=
�+
4
�+1的最小值为（
）
A．2
B．4
C．3
D．6
【答案】C
【解题思路】由关系�+
4
�+1 =
�+ 1 +
4
�+1 −1，结合基本不等式求结论.
【解答过程】�≥0，
4
�+1 > 0，
�+
4
�+1 =
�+ 1 +
4
�+1 −1 ≥2 4 −1 = 3，
当且仅当�+ 1 =
4
�+1时，即�= 1 时等号成立，
因此函数��=
�+
4
�+1的最小值为3.
故选：C.
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“�> 0, �> 0”是“ ��≤
�+�
2 ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
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C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】利用基本不等式即可判断选项.
【解答过程】若�> 0, �> 0，根据基本不等式可得��≤
�+�
2 ，当且仅当�= �时等号成立，所以由�> 0, �> 0
可得��≤
�+�
2 成立，
若��≤
�+�
2 ，取�= �= 0，满足��≤
�+�
2 ，但不满足�> 0, �> 0，所以由��≤
�+�
2 推不出�> 0, �> 0，
所以“�> 0, �> 0”是“ ��≤
�+�
2 ”的充分不必要条件，
故选：A.
4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知�> 0，�> 0 且�+ �= 1，则
1
�+
4
�的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．9
【答案】D
【解题思路】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值.
【解答过程】
1
�+
4
�= (
1
�+
4
�)(�+ �) = 1 +
�
�+
4�
�+ 4 = 5 +
�
�+
4�
�≥5 + 2
�
�⋅
4�
�= 5 + 4 = 9 ，
当且仅当
�
�=
4�
�，即�= 2�，结合�+ �= 1 解得当且仅当�=
1
3，�=
2
3时取等号，
因此
1
�+
4
�的最小值为9.
故选：D.
5．（2026·湖南株洲·三模）已知�, �∈0, + ∞，2�+ �= 1，则
�
�+
1
�的取值范围是（
）
A．0, + ∞
B．
2 + 1, + ∞
C．4, + ∞
D．2 2 + 1, + ∞
【答案】D
【解题思路】利用已知条件2�+ �= 1 对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围.
【解答过程】∵�, �∈0, + ∞，2�+ �= 1
∴
�
�+
1
�=
�
�+
2�+�
�
=
�
�+
2�
�+ 1 ≥2
�
�⋅
2�
�+ 1 = 2 2 + 1，
当且仅当�=
2�，即�= 1 −
2
2 ，�=
2 −1 时等号成立.
∴
�
�+ 1
�min
= 2 2 + 1.
�
�+
1
�的取值范围是2 2 + 1, + ∞.
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故选：D.
6．（2026·河北·三模）已知正实数a，b 满足�+ �= 1，则（
）
A．��≤
1
4
B．�2 + �2 ≤
1
2
C．
1
�+
1
�≤4
D．�+
�≥
2
【答案】A
【解题思路】用“1”的代换和基本不等式判断即可．
【解答过程】由a，b 为正实数且�+ �= 1.
根据基本不等式��≤
�+�
2
2
=
1
4，当且仅当�= �=
1
2时等号成立，故A 正确；
�2 + �2 ≥
�+�2
2
=
1
2，当且仅当�= �=
1
2时等号成立，故B 错误；
1
�+
1
�=
�+�
��=
1
��≥4，当且仅当�= �=
1
2时等号成立，故C 错误；
根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得
�+ �
2
≤
�+�
2 =
2
2 ，
当且仅当�= �=
1
2时等号成立，即�+
�≤
2，故D 错误.
故选：A.
7．（2026·广东清远·二模）已知实数�> 0，�> 0，且�+ �= 1，则
�2+1
��的最小值为（
）
A．5
B．4
C．2 2 −2
D．2 2 + 2
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.
【解答过程】实数�> 0，�> 0，且�+ �= 1，则
�2+1
��=
�2+12
��
=
�2+(�+�)2
��
=
2�2+�2+2��
��
=
2�
�+
�
�+ 2 ≥2
2�
�·
�
�+ 2 = 2 2 + 2，当且仅当
2�
�=
�
�，即�=
2�= 2 −
2时取等号，
所以
�2+1
��的最小值为2 2 + 2.
故选：D.
8．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩
形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/
m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2；在四个空角（图中四个三
角形）上铺草坪，造价为80 元/m2．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（
）
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A．2 10m
B．10m
C．10m
D．10 2m
【答案】B
【解题思路】设��= �m, ��= �m,根据十字形地域的面积，得出�, �的关系式，进而求出各个图形的面积，
将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时��的长.
【解答过程】设��= �m, ��= �m,
则�2 + 4��= 200，所以�=
200−�2
4�
，
所以�= 4200�2 + 210 ⋅4��+ 80 ⋅2�2 = 38000 + 4000�2 +
400000
�2
，
因为�> 0, �> 0，即
200−�2
4�
> 0 且�> 0，解得0 < �< 10 2，
所以�= 38000 + 4000�2 +
400000
�2
, 0 < �< 10 2.
故�= 38000 + 4000�2 +
400000
�2
≥38000 + 2 4000�2 ⋅
400000
�2
= 118000
当且仅当4000�2 =
400000
�2
，即�=
10时，等号成立，
所以当�=
10时，该休闲场所的总造价最小，最小值为118000 元.
故选：B.
二、多选题
9．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数�, �满足�+ �= 2，则（
）
A．��≤1
B．�+
�≤2
C．�2 + �2 ≤2
D．
1
�+
1
�≤1
【答案】AB
【解题思路】结合已知条件，利用基本不等式对各选项逐一变形验证即可.
【解答过程】选项A. 由基本不等式
�+�
2 ≥
��，则1 ≥
��，平方得��≤1，当且仅当�= �= 1 时等号成立，
A 正确.
选项B.对�+
�平方得( �+
�)2 = �+ �+ 2 ��= 2 + 2 ��，由A 知��≤1，
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因此( �+
�)2 ≤2 + 2 × 1 = 4，因为�+
�> 0，开方得�+
�≤2，
当且仅当�= �= 1 时等号成立，B 正确.
选项C.�2 + �2 = (�+ �)2 −2��= 4 −2��，由��≤1，所以4 −2��≥4 −2 × 1 = 2，即�2 + �2 ≥2，C
错误.
选项D.
1
�+
1
�=
�+�
��=
2
��，因此��≤1，所以
1
�+
1
�=
2
��≥2，D 错误.
故选：AB.
10．（2026·河北沧州·二模）若�> 0，�> 0，�+ �= 4，则（
）
A．�−
4
�≥0
B．
1
�+
1
�≥1
C．�+
�≤2 2
D．12 ≤�2 + 3�2 < 48
【答案】BCD
【解题思路】根据基本不等式可得��≤4，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基
本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D.
【解答过程】对于A 选项，因为�> 0，�> 0，4 = �+ �≥2 ��，所以��≤4，
当且仅当�= �= 2 时取等号，即�≤
4
�，所以�−
4
�≤0，所以A 选项不正确；
对于B 选项，因为
1
�+
1
�=
1
4 (
1
�+
1
�)(�+ �) =
1
4 (2 +
�
�+
�
�) ≥
1
4 (2 + 2
�
�⋅
�
�) = 1，
当且仅当�= �= 2 时取等号，所以B 选项正确；
对于C 选项，因为
�+ �
2
≤
( �)2+( �)2
2
=
2，所以�+
�≤2 2，
当且仅当�= �= 2 时取等号，所以C 选项正确；
对于D 选项，因为�> 0，�> 0，�= 4 −�，
所以�2 + 3�2 = (4 −�)2 + 3�2 = 4(�−1)2 + 12，
又因为0 < �< 4，所以12 ≤4(�−1)2 + 12 < 48，所以D 选项正确.
故选：BCD.
11．（2026·河南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，下列说法正确的是（
）
A．
1
2�+1 +
1
�+1的最大值为1
B．2�+ �的最小值为2
C．ab 的最大值为
1
4
D．�2 +
3
4 (�+ 1)的最小值为2
【答案】BD
【解题思路】A 直接利用基本不等式；B 利用基本不等式求2�+ 1 + �+ 1 −2 的最值；C 对2��+ 2�+ �= 3
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利用基本不等式；D 利用消元法求解.
【解答过程】对于A，因为�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，
所以
1
2�+1 +
1
�+1 ≥2
1
2�+1 ×
1
�+1 = 2
1
4 = 1，
当且仅当
1
2�+1 =
1
�+1，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，
此时是最小值不是最大值，故A 不正确；
对于B，2�+ �= 2�+ 1 + �+ 1 −2 ≥2 (2�+ 1)(�+ 1) −2 = 2，
当且仅当2�+ 1 = �+ 1，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，故B 正确；
对于C，因为(2�+ 1)(�+ 1) = 4，所以2��+ 2�+ �= 3，
因为�> 0，�> 0，所以2�+ �≥2 2��，所以3 ≥2��+ 2 2��，
令2��= �> 0，所以3 ≥�2 + 2�，即�2 + 2�−3 ≤0，所以−3 ≤�≤1，
所以2��≤1，所以��≤
1
2，
当且仅当2�= �，即�=
1
2，�= 1 时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为(2�+ 1)(�+ 1) = 4，所以�+ 1 =
4
2�+1，
所以�2 +
3
4
�+ 1 = �2 +
3
4 ×
4
2�+1 =
4�2+3
2�+1 ，
令2�+ 1 = �> 1，所以4�2 = �2 −2�+ 1，
所以
4�2+3
2�+1 =
�2−2�+4
�
= �+
4
�−2 ≥2，
当且仅当�=
4
�，即�= 2，所以�=
1
2 , �= 1 时，等号成立，故D 正确.
故选：BD.
三、填空题
12．（2026·河南开封·模拟预测）设�> 1，则
�2−2�+3
�−1
的最小值为__________．
【答案】2 2
【解题思路】利用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为�> 1，则�−1 > 0，
所以
�2−2�+3
�−1
=
�−1 2+2
�−1
= �−1 +
2
�−1 ≥2
�−1 ⋅
2
�−1 = 2 2，
当且仅当�−1 =
2
�−1 �> 1 时，即当�= 1 +
2时，等号成立.
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故当�> 1 时，
�2−2�+3
�−1
的最小值为2 2.
故答案为：2 2.
13．（2026·上海静安·三模）若�, �均为正数，且�+ �= 4，则
1
�+
3
�的最小值为__________．
【答案】1 +
3
2
【解题思路】利用基本不等式“1”的妙用求最值求解.
【解答过程】
1
�+
3
�=
1
4
1
�+
3
�
�+ �=
1
4
�
�+
3�
�+ 4 ≥
1
4 2
�
�⋅
3�
�+ 4
= 1 +
3
2 ，
当且仅当
�
�=
3�
�，即�= 2 3 −2, �= 6 −2 3时等号成立，
所以，
1
�+
3
�的最小值为1 +
3
2 .
故答案为：1 +
3
2 .
14．（2026·福建南平·二模）若�> 0，�> 0，且
2
�+
1
�= 1，则
2�
�+ �的最小值为__________.
【答案】5
【解题思路】根据题意得�=
�
�−2，对
2�
�+ �整理，再利用基本不等式求解.
【解答过程】由
2
�+
1
�= 1 得�=
�
�−2，所以
2�
�+ �= 2(�−2) +
�
�−2 = 2(�−2) +
2
�−2 + 1，
因为�> 0，�=
�
�−2 > 0，所以�> 2，
所以
2�
�+ �= 2(�−2) +
2
�−2 + 1 ≥2 2(�−2) ⋅
2
�−2 + 1 = 5，当且仅当时�= 3 等号成立，
所以
2�
�+ �的最小值为5.
故答案为：5.
四、解答题
15．（25-26 高一上·广东江门·阶段检测）已知实数�, �满足�2 + �2 = ��+ 6．
(1)求��的最大值；
(2)求�+ �的最大值及最小值．
【答案】(1)最大值为6．
(2)�+ �的最大值为2 6，最小值为−2 6．
【解题思路】（1）由已知条件�2 + �2 = ��+ 6 及基本不等式�2 + �2 ≥2��可求得��的取值范围，进而得到其
最大值.
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（2）将已知等式变形为(�+ �)2 = 3��+ 6，再结合基本不等式��≤(
�+�
2 )2建立关于�+ �的不等式求解.
【解答过程】（1）因为�2 + �2 = ��+ 6 ≥2��，所以��≤6，
当且仅当�= �=±
6时，等号成立．
故��的最大值为6．
（2）因为�2 + �2 = ��+ 6，所以�+ �2 = 3��+ 6 ≤3
�+�
2
2
+ 6，
解得�+ �2 ≤24，则−2 6 ≤�+ �≤2 6，
当且仅当�= �=
6时，�+ �取得最大值，当且仅当�= �=−
6时，�+ �取得最小值．
故�+ �的最大值为2 6，最小值为−2 6．
16．（25-26 高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知�, �, �均为正实数，求证：
2�+3�−�
�
+
�+3�−2�
2�
+
�+2�−3�
3�
≥3；
(2)已知�> 0, �> 0, �+ �= 1，求证：1 +
1
�
1 +
1
�≥9.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）将
2�
�+
�
2�≥2，
3�
�+
�
3�≥2，
3�
2�+
2�
3�≥2 三式相加再转化即可证明；
（2）由1 +
1
�
1 +
1
�= 1 +
2
��利用基本不等式求最值即可.
【解答过程】（1）因为�, �, �均为正实数，
所以
2�
�+
�
2�≥2（当且仅当�= 2�时等号成立），
3�
�+
�
3�≥2（当且仅当�= 3�时等号成立），
3�
2�+
2�
3�≥2（当且仅当2�= 3�时等号成立），
以上三式相加，得
2�
�+
�
2�+
3�
�+
�
3�+
3�
2�+
2�
3�≥6（当且仅当�= 2�= 3�时等号成立），
所以
2�
�+
�
2�−1 +
3�
�+
�
3�−1 +
3�
2�+
2�
3�−1 ≥3（当且仅当�= 2�= 3�时等号成立），
即
2�+3�−�
�
+
�+3�−2�
2�
+
�+2�−3�
3�
≥3（当且仅当�= 2�= 3�时等号成立）．
（2）因为�+ �= 1,
则1 +
1
�
1 +
1
�= 1 +
1
�+
1
�+
1
��= 1 +
�+�
��+
1
��= 1 +
2
��，
因为�> 0，�> 0，由��≤
�+�
2
2
得1 +
2
��≥1 +
2
�+�
2
2 = 1 +
2
1
4
= 9
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当且仅当�= �=
1
2时等号成立.
所以1 +
1
�
1 +
1
�≥9.
17．（25-26 高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边
形休闲广场，其中两个相同的矩形����和����构成的十字形区域总面积为200m2.中心正方形����区域
将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100 元/m2；周围四个矩形区域（图中阴影部分）
铺设透水地砖，造价为105 元/m2；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40 元/m2.
设总造价为�（单位：元），��= �（单位：m）.
(1)设��长为�（单位：m），用�表示�，并求出�的取值范围；
(2)��取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
【答案】(1)�=
50
�−
�
4，0 < �< 10 2
(2) 10，59000 元
【解题思路】（1）根据十字形区域总面积即可求出表达式，再根据�> 0，�> 0 求出范围；
（2）分别求出各部分面积以及总价，再利用基本不等式即可求出.
【解答过程】（1）因为十字形区域总面积为200m2，所以4��+ �2 = 200，解得�=
200−�2
4�
=
50
�−
�
4.
因为�> 0，�> 0，所以�=
200−�2
4�
> 0，解得0 < �< 10 2.
所以�=
50
�−
�
4，0 < �< 10 2.
（2）中心正方形����面积为�1 = �2，造价为�1 = 2100 × �1 = 2100�2；
四个矩形的总面积为�2 = 4��= 4�
50
�−
�
4 = 200 −�2，
造价为�2 = 105 × �2 = 105 200 −�2 = 21000 −105�2；
四个三角形的总面积为�3 = 4 ×
1
2 �2 = 2
50
�−
�
4
2
=
5000
�2 −50 +
�2
8 ，
造价为�3 = 40 × �3 = 40
5000
�2 −50 +
�2
8
=
200000
�2
−2000 + 5�2；
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总造价为�= �1 + �2 + �3 = 2100�2 + 21000 −105�2 +
200000
�2
−2000 + 5�2
= 2000�2 +
200000
�2
+ 19000，
又2000�2 +
200000
�2
≥2 2000�2 ×
200000
�2
= 2 × 20000 = 40000，
当且仅当2000�2 =
200000
�2
，即�=
10时取等号，
所以�≥40000 + 19000 = 59000，当�=
10时取等号.
故当��的长为10时，总造价最低，为59000 元.
18．（25-26 高一下·江苏盐城·阶段检测）已知�，�为正实数，且��+ 2�+ �= 16，
(1)求��的最大值.
(2)求�+ �的最小值；
(3)求
1
�+1 +
1
�+2的最小值.
【答案】(1)8
(2)6 2 −3
(3)
2
3
【解题思路】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可；
（2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可；
（3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
【解答过程】（1）因为�，�为正实数，
所以由��+ 2�+ �= 16 ⇒16 −��= 2�+ �≥2 2��，当且仅当2�= �时取等号，
16 −��= 2�+ �≥2 2��⇒��+ 2 2 ⋅
��−16 ≤0 ⇒
��+ 4 2
��−2 2 ≤0,
因为�，�为正实数，
所以由
��+ 4 2
��−2 2 ≤0 ⇒
��−2 2 ≤0 ⇒0 <
��≤2 2 ⇒0 < ��≤8,
因此当�= 2, �= 4 时，��有最大值8；
（2）��+ 2�+ �= 16 ⇒��+ 2 + �+ 2 = 18 ⇒�+ 2
�+ 1 = 18，
因为�，�为正实数，
所以�+ �= �+ 1 + �+ 2 −3 ≥2
�+ 1
�+ 2 −3，
即�+ �≥2 18 −3 ⇒�+ �≥6 2 −3，当且仅当�+ 1 = �+ 2 时取等号，
所以当�= 3 2 −1, �= 3 2 −2 时，�+ �有最小值6 2 −3；
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（3）设�+ 1 = �, �+ 2 = �，即��= ��+ 2�+ �+ 2 = 16 + 2 = 18，
所以
1
�+1 +
1
�+2 =
1
�+
1
�≥2
1
�⋅
1
�= 2
1
18 =
2
3 ，
当且仅当
1
�=
1
�时取等号，即当�= �= 3 2时取等号，
所以当�= 3 2 −1, �= 3 2 −2 时，
1
�+1 +
1
�+2有最小值
2
3 .
19．（24-25 高一上·辽宁·阶段检测）已知�> 0，�> 0.
(1)若�+ 2�= 2，证明：��≤
1
2；
(2)若0 < �< 2，求
1
�+
4
2−�的最小值；
(3)若�+ 2 2���−�+ �≤0 恒成立，求x 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
9
2
(3) −∞,
1
2
【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；
（2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可；
（3）不等式可化为�≤
�+�
�+2 2��恒成立，求出
�+�
�+2 2��最小值，再借助恒成立求解即得.
【解答过程】（1）因为�> 0，�> 0，所以2 = �+ 2�≥2 2��，
则��≤
1
2，故��≤
1
2，
当且仅当�= 2�，即�= 1，�=
1
2时取等号.
（2）因为0 < �< 2，所以2 −�> 0，则
1
2 �+ 2 −�=1，
则
1
�+
4
2−�=
1
2
1
�+
4
2−�
�+ 2 −�
=
1
2 5 +
2−�
�+
4�
2−�≥
1
2 5 + 2
2−�
�⋅
4�
2−�
=
1
2 × 5 + 4 =
9
2，
当且仅当
2−�
�=
4�
2−�，即�=
2
3时取得等号，
故
1
�+
4
2−�的最小值为
9
2.
（3）因为�> 0，�> 0，所以�+ 2 2��> 0，
则�+ 2 2���−�+ �≤0 可化为�≤
�+�
�+2 2��恒成立，
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又�+ 2 2��≤�+ 2�+ �= 2 �+ �，当且仅当2�= �时取得等号，
所以
�+�
�+2 2��≥
�+�
2 �+�=
1
2，
则�≤
1
2，
故�的取值范围为−∞,
1
2 .
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