专题1.7 基本不等式及其应用（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
基本不等式及
其应用
上海卷（春考）：第6
题，4 分
北京卷：第6 题，4 分
上海卷（秋考）：第8
题，5 分
上海卷（春考）：第6
题，4 分
上海卷（秋考）：第7
题，5 分
天津卷：第7 题，5 分
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命题规律
分析
1、基本不等式及其应用
基本不等式是每年高考数学的重点、热点内容，从近三年的高考情况来
看，对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，
基本不等式主要以单选题或填空题的形式考查，一般最多考查1 题，分值为
4 分或5 分，主要考查利用基本不等式求最值、由基本不等式比较大小，难
度不大，是基础题；复习时要加强对基本不等式的练习。
知识点1
两个不等式
1. 两个不等式
不等式
内容
等号成立条件
重要不等式
a2+b2≥2ab(a,b∈R)
当且仅当“a=b”时取“=”
基本不等式
(a>0,b>0)
当且仅当“a=b”时取“=”
叫做正数a，b 的算术平均数，
叫做正数a，b 的几何平均数．
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基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
【注】：“当且仅当a＝b 时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，
，即只能有a2＋b2>2ab，
.
2. 基本不等式的常见变形
(1)
.
(2)
.
知识点2
利用基本不等式求最值
1．基本不等式与最值
已知x，y 都是正数，
(1)如果积xy 等于定值P，那么当x＝y 时，和x＋y 有最小值
；
(2)如果和x＋y 等于定值S，那么当x＝y 时，积xy 有最大值
.
【注】：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．
2．常见的求最值模型
(1)模型一：
)
0
,0
(
2
n
m
mn
x
n
mx
，当且仅当
m
n
x
时等号成立；
(2)模型二：
)
0
,0
(
2
)
(
n
m
ma
mn
ma
a
x
n
a
x
m
a
x
n
mx
，当且仅当
m
n
a
x
时等号成
立；
(3)模型三：
)
0
,
0
(
2
1
1
2
c
a
b
ac
x
c
b
ax
c
bx
ax
x
，当且仅当
a
c
x
时等号成立；
(4)模型四：
)
0,0
,0
(
4
)
2
1
)
(
)
(
2
2
m
n
x
n
m
m
n
mx
n
mx
m
m
mx
n
mx
mx
n
x
（
，当且仅当
m
n
x
2
时
等号成立.
3．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t 为常数),求
的最值”的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常
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数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
【题型1
由基本不等式比较大小】
【例1】（2026·北京房山·一模）若��> 0，且�< �，则下列不等式一定成立的是（
）
A．�2 < �2
B．
1
�<
1
�
C．
�
�+
�
�> 2
D．
�+�
2 >
��
【变式1-1】（24-25 高三·全国·三轮复习）设a、b 为正数，且�+ 2�= 1，比较ab 的值与
1
8的大小（
）
A．��≤
1
8
B．��<
1
8
C．��≥
1
8
D．��>
1
8
【变式1-2】（2026·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数�, �, �满足�< �< �且���<0，则下列不等关系一定正确
的是（
）
A．��< ��
B．��< ��
C．
�
�+
�
�> 2
D．
�
�+
�
�> 2
【变式1-3】（25-26 高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，
每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油200 元，第二次加油
200 元；第二种方案：第一次加油30 升，第二次加油30 升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实
惠（
）
A．第一种
B．第二种
C．不确定
D．一样实惠
【题型2
基本不等式求积的最大值】
【例2】（2026·天津河西·一模）已知�> 0，�> 0，且2�+ �= 1，则��的最大值为（
）
A．1
B．
1
4
C．
1
8
D．
1
9
【变式2-1】（2026·福建泉州·二模）已知正数�, �满足�+
2
�= 1，则
�
�的最大值为（
）
A．
1
8
B．
1
4
C．
2
4
D．
1
2
【变式2-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数�，�满足16�+ ��2 = 64，则��的最大值为_________.
【变式2-3】（2025·海南·一模）已知�> 0, �> 0，且�+ 4�= 4，则xy 的最大值为__________.
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【题型3
基本不等式求和的最小值】
【例3】（2026·山东济南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，且�+ 2�−2��= 0，则�+ 2�的最小值是（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式3-1】（2026·山东泰安·二模）当0 < �< 3 时，
4
�+
1
3−�的最小值是（
）
A．3
B．4
C．
10
3
D．
8
3
【变式3-2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知�> 2�> 0，则
�
�−2�+
2�
�的最小值为__________．
【变式3-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数�，�满足��> 0，则
�
�+
4�
�+�的最小值为___________.
【题型4
二次与二次（或一次）的商式的最值】
【例4】（25-26 高一上·江西·阶段检测）已知�<−1，则
�2−�+14
�+1
的最大值是（
）
A．−11
B．−8
C．5
D．8
【变式4-1】（25-26 高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数�, �满足�+ 2�= 1，则
�2+�
��的最小值为（
）
A．
1
2 2
B．2 2
C．
1
2 2+1
D．2 2 + 1
【变式4-2】（25-26 高一上·河北承德·期末）已知�> 1，则
3�2−5�+5
�−1
的最小值为（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式4-3】（25-26 高三上·河南漯河·期末）设正实数�、�、�满足�2 −��+ �2 −�= 0，则
��
�的最大值为（
）
A．4
B．2
C．3
D．1
【题型5
条件等式求最值】
【例5】（2026·广东江门·二模）已知�> 1，�> 1，且��= �+ �+ 3，则4�+ �的最小值为（
）
A．11
B．12
C．13
D．14
【变式5-1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知�>
1
3，�> 1，且3��−3�−�= 1，则
1
3�−1 +
4
�−1的最小值
是（
）
A．2
B．4
C．2 3
D．2 2
【变式5-2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数�, �满足
4
�+ �=
�
�，则
1
�+ �的最小值为（
）
A．7
B．9
C．10
D．12
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【变式5-3】（2026·广东·二模）若�> 0, �> 0，且�+ �= ��，则
1
�−1 +
2
�−1的最小值为（
）
A．2
B．2 2
C．3
D．
9
2
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】
【例6】（2026·甘肃酒泉·二模）已知�> 0, �> 0，且满足3�+ �= 8，则
3
�+
1
�的最小值为（
）
A．
16
7
B．2
C．
7
2
D．4
【变式6-1】（2026·安徽滁州·二模）已知�+ �= 1 ��> 0 ，则
1
�+
1
�的最小值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．
5
4
【变式6-2】（2026·湖北十堰·一模）已知正数�，�满足�+ �= ��，则�+ 4�的最小值为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式6-3】（2026·浙江台州·一模）已知�, �∈−1, + ∞，且�+
1
�+1 = 2，则�+
9
�+2的最小值为（
）
A．2
B．
9
4
C．
5
2
D．3
【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】
【例7】（2026·吉林延边·一模）已知正实数�，�满足�+ �−
1
2 ��= 0，且不等式�+ �−�> 0 恒成立，则�
的取值范围是（
）
A．�< 2
B．�< 8
C．�< 6
D．�< 4
【变式7-1】（25-26 高一上·安徽池州·期中）已知�> 0, �> 0，且�+ �= 5，若
4
�+1 +
1
�+2 ≥2�+ 1 恒成立，
则实数�的取值范围是（
）
A．−∞,
1
16
B．−∞,
2
5
C．−∞,
1
2
D．−∞, 4
【变式7-2】（25-26 高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数�，�满足�+ �= ��且存在这样的�，�使不等式�+
�
4 < �+ 2 有解，则实数�的取值范围是（
）
A．0,
1
4
B．
1
2 , + ∞
C．
1
4 , + ∞
D．
1
4 ,
1
2
【变式7-3】（25-26 高一上·安徽·阶段检测）已知正实数�, �满足�+ �= �，若
4
�+
9
�+1 ≥1 恒成立，则实数�
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的最大值为（
）
A．8
B．16
C．24
D．36
【题型8
基本不等式的实际应用】
【例8】（25-26 高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量�（单位：百件）与
销售价格�（单位：元/件）满足关系式�=
20
�−20 + 2，其中20 < �< 50.已知该商品的成本为10 元/件，则该
超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（
）
A．800 元
B．8000 元
C．900 元
D．9000 元
【变式8-1】（24-25 高二下·云南·期末）要建造一个容积为9 立方米，深为1 米的长方体无盖水池．若水池
的底每平方米的造价为100 元，水池的壁每平方米的造价为90 元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造
价之和）的最小值为（
）
A．2100 元
B．1980 元
C．1870 元
D．1760 元
【变式8-2】（25-26 高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租�1（单位：
万元）与仓库到超市的距离�（�≥0，单位：千米）的函数关系式为�1 =
24
�+3，每月货物运输费�2（单位：
万元）与�的函数关系式为�2 =
2
3 �，则该超市应该把仓库建在距离超市__________千米处，才能使这两项费
用之和最少，最少费用为__________万元．
【变式8-3】（25-26 高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是
由两个相同的矩形����和����构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形����上建一座花坛，造
价为4200 元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2；在四个空角
（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80 元/m2.设总造价为�（单位：元），则当总造价�最小时，��的长
度为__________m.
一、单选题
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1．（2026·浙江·二模）已知0 < �< 1，则
1
2−2�+
2
�的最小值为（
）
A．
5
2
B．
9
2
C．5
D．9
2．（2026·北京海淀·二模）函数��=
�+
4
�+1的最小值为（
）
A．2
B．4
C．3
D．6
3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）“�> 0, �> 0”是“ ��≤
�+�
2 ”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知�> 0，�> 0 且�+ �= 1，则
1
�+
4
�的最小值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．9
5．（2026·湖南株洲·三模）已知�, �∈0, + ∞，2�+ �= 1，则
�
�+
1
�的取值范围是（
）
A．0, + ∞
B．
2 + 1, + ∞
C．4, + ∞
D．2 2 + 1, + ∞
6．（2026·河北·三模）已知正实数a，b 满足�+ �= 1，则（
）
A．��≤
1
4
B．�2 + �2 ≤
1
2
C．
1
�+
1
�≤4
D．�+
�≥
2
7．（2026·广东清远·二模）已知实数�> 0，�> 0，且�+ �= 1，则
�2+1
��的最小值为（
）
A．5
B．4
C．2 2 −2
D．2 2 + 2
8．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩
形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m2的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/
m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2；在四个空角（图中四个三
角形）上铺草坪，造价为80 元/m2．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（
）
A．2 10m
B．10m
C．10m
D．10 2m
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二、多选题
9．（2026·贵州毕节·三模）已知正实数�, �满足�+ �= 2，则（
）
A．��≤1
B．�+
�≤2
C．�2 + �2 ≤2
D．
1
�+
1
�≤1
10．（2026·河北沧州·二模）若�> 0，�> 0，�+ �= 4，则（
）
A．�−
4
�≥0
B．
1
�+
1
�≥1
C．�+
�≤2 2
D．12 ≤�2 + 3�2 < 48
11．（2026·河南·模拟预测）已知�> 0，�> 0，(2�+ 1)(�+ 1) = 4，下列说法正确的是（
）
A．
1
2�+1 +
1
�+1的最大值为1
B．2�+ �的最小值为2
C．ab 的最大值为
1
4
D．�2 +
3
4 (�+ 1)的最小值为2
三、填空题
12．（2026·河南开封·模拟预测）设�> 1，则
�2−2�+3
�−1
的最小值为__________．
13．（2026·上海静安·三模）若�, �均为正数，且�+ �= 4，则
1
�+
3
�的最小值为__________．
14．（2026·福建南平·二模）若�> 0，�> 0，且
2
�+
1
�= 1，则
2�
�+ �的最小值为__________.
四、解答题
15．（25-26 高一上·广东江门·阶段检测）已知实数�, �满足�2 + �2 = ��+ 6．
(1)求��的最大值；
(2)求�+ �的最大值及最小值．
16．（25-26 高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知�, �, �均为正实数，求证：
2�+3�−�
�
+
�+3�−2�
2�
+
�+2�−3�
3�
≥3；
(2)已知�> 0, �> 0, �+ �= 1，求证：1 +
1
�
1 +
1
�≥9.
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17．（25-26 高三·上海·二轮复习）为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边
形休闲广场，其中两个相同的矩形����和����构成的十字形区域总面积为200m2.中心正方形����区域
将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮阳功能），造价为2100 元/m2；周围四个矩形区域（图中阴影部分）
铺设透水地砖，造价为105 元/m2；再在四个三角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为40 元/m2.
设总造价为�（单位：元），��= �（单位：m）.
(1)设��长为�（单位：m），用�表示�，并求出�的取值范围；
(2)��取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
18．（25-26 高一下·江苏盐城·阶段检测）已知�，�为正实数，且��+ 2�+ �= 16，
(1)求��的最大值.
(2)求�+ �的最小值；
(3)求
1
�+1 +
1
�+2的最小值.
19．（24-25 高一上·辽宁·阶段检测）已知�> 0，�> 0.
(1)若�+ 2�= 2，证明：��≤
1
2；
(2)若0 < �< 2，求
1
�+
4
2−�的最小值；
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(3)若�+ 2 2���−�+ �≤0 恒成立，求x 的取值范围.
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