专题1.8 基本不等式及其应用(举一反三专项训练)
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
由基本不等式比较大小】...........................................................................................................................1
【题型2
基本不等式求积的最大值】.......................................................................................................................3
【题型3
基本不等式求和的最小值】.......................................................................................................................4
【题型4
二次与二次(或一次)的商式的最值】...................................................................................................6
【题型5
条件等式求最值】.......................................................................................................................................7
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】................................................................................................................. 9
【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】.........................................................................................................10
【题型8
基本不等式的实际应用】.........................................................................................................................12
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
由基本不等式比较大小】
1.(25-26 高一上·山东枣庄·期中)已知�、�∈�+且�≠�,下列各式中最大的是(
)
A.
�2+�2
2
B.
�+�
2
C.��
D.
2��
�+�
【答案】A
【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可.
【解答过程】由重要不等式可得�2 + �2 ≥2��,当且仅当�= �时等号成立,即
�2+�2
2
≥
��,
但�≠�,则
�2+�2
2
>
��,
因为�2 + �2 ≥2��,则2 �2 + �2 ≥�2 + �2 + 2��= �+ �2,即
�2+�2
2
≥
�+�
2
2
,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
故
�2+�2
2
≥
�+�
2 ,当且仅当�= �时等号成立,
但�≠�,则
�2+�2
2
>
�+�
2 ,
由基本不等式可得
2��
�+�≤
2× �+�
2
2
�+�
=
�+�
2 ,当且仅当�= �时等号成立,
但�≠�,则
2��
�+�<
2× �+�
2
2
�+�
=
�+�
2 ,
故这四个数中,最大的为
�2+�2
2
.
故选:A.
2.(25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测)若0 < �< 1,0 < �< 1,且�≠�,则�+ �,2 ��,2ab,�2 + �2
中最小的一个是(
)
A.2ab
B.2 ��
C.�2 + �2
D.�+ �
【答案】A
【解题思路】首先根据基本不等式比较大小,再作差比较,即可判断.
【解答过程】因为0 < �< 1,0 < �< 1,且�≠�,�+ �> 2 ��,�2 + �2 > 2��,
2 ��−2��= 2 ��1 −
��,由条件可知,0 < ��< 1,则0 <
��< 1,
所以2 ��−2��> 0,即2��< 2 ��,所以四个数中最小的是2��.
故选:A.
3.(25-26 高一上·福建莆田·阶段检测)某食品加工厂生产某种食品,第一年产量为5kg,第二年的增长率
为�,第三年的增长率为�,这两年的平均增长率为�(�, �, �均大于零),则(
)
A.�=
�+�
2
B.�≤
�+�
2
C.�>
�+�
2
D.�≥
�+�
2
【答案】B
【解题思路】根据题意有5(1 + �)(1 + �) = 5(1 + �)2,进而有�=
(�+ 1)(�+ 1) −1,再应用基本不等式,
即可比较大小.
【解答过程】由题意5(1 + �)(1 + �) = 5(1 + �)2且�, �, �> 0,
则由基本不等式可得�=
(�+ 1)(�+ 1) −1 ≤
�+1+�+1
2
−1 =
�+�
2 ,
当且仅当�+ 1 = �+ 1,即�= �时取等号,故�≤
�+�
2 .
故选:B.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
4.(24-25 高一上·贵州·期中)已知�, �> 0,且��= �+ �+
5
4,则下列关系正确的是(
)
A.�+ �≥5
B.�+ �≤1
C.��≥10
D.��≤
1
2
【答案】A
【解题思路】利用基本不等式得到�+ �+
5
4 ≤
(�+�)2
4
、��≥2 ��+
5
4,进而求�+ �, ��的范围,注意等号成
立条件.
【解答过程】由�> 0, �> 0, ��= �+ �+
5
4 ≤
(�+�)2
4
,即(�+ �)2 −4(�+ �) −5 ≥0,又�, �> 0,
所以[(�+ �) −5][(�+ �) + 1] ≥0,可得�+ �≥5,当且仅当�= �=
5
2时等号成立,A 对,B 错;
由��= �+ �+
5
4 ≥2 ��+
5
4,即4��−8 ��−5 = (2 ��−5)(2 ��+ 1) ≥0,
所以��≥
5
2 ⇒��≥
25
4 ,当且仅当�= �=
5
2时等号成立,C、D 错.
故选:A.
【题型2
基本不等式求积的最大值】
5.(25-26 高一上·广西桂林·期中)已知实数�,�满足�2 + �2 = 8,则��的最大值为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】D
【解题思路】根据基本不等式,由题中条件,即可得出结果.
【解答过程】因为�2 + �2 = 8,又�2 + �2 ≥2��,
所以8 ≥2��,当且仅当�= �时,等号成立.
所以��≤4.
故选:D.
6.(2026·山东济宁·模拟预测)已知�> 0,�> 0,且��+ 2�2 −36 = 0,则��2的最大值(
)
A.12
B.6 6
C.36
D.24 6
【答案】D
【解题思路】由条件��+ 2�2 −36 = 0 得�=
36
�−2�,代入��2再运用均值不等式即可求出��2的最大值.
【解答过程】由��+ 2�2 −36 = 0,得��+ 2�= 36,则�=
36
�−2�,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
因为�> 0,�> 0,所以��2 = �2
36
�−2�= �36 −2�2 =
�2 36 −2�2
36 −2�2
=
1
4 × 4�2 36 −2�2
36 −2�2 ≤1
2 ×
4�2 + 36 −2�2 + 36 −2�2
3
3
= 24 6
当且仅当�=
6,�= 4 6时等号成立,
所以��2的最大值为24 6,
故选:D.
7.(2026·广东汕头·一模)已知�> 0,�> 0,�+ �= 4,则��的最大值为(
)
A.1
B.2
C.4
D.不存在
【答案】C
【解题思路】应用基本不等式计算求解即可.
【解答过程】由基本不等式得:��≤
�+�
2
2
= 4,当且仅当�= �= 2 时取等号,C 正确.
故选:C.
8.(2026·湖北·模拟预测)已知实数�,�满足
1
�−2
1
�−3 = 6,则��的最大值为(
)
A.
1
25
B.
1
24
C.
1
12
D.
1
4
【答案】B
【解题思路】由题设可得2�+ 3�= 1,再应用基本不等式求目标式的最大值.
【解答过程】因为
1
�−2
1
�−3 = 6,所以2�+ 3�= 1,
因为��=
1
6 × 2�× 3�≤
1
6
2�+3�
2
2
=
1
24,
当且仅当2�= 3�=
1
2,即�=
1
4 , �=
1
6时等号成立,故��的最大值为
1
24.
故选:B.
【题型3
基本不等式求和的最小值】
9.(2026·云南·模拟预测)已知正实数�,�满足��= �+ �+ 8,则�+ 9�的最小值是(
)
A.22
B.26
C.28
D.30
【答案】C
【解题思路】将��= �+ �+ 8 变形为�−1 ⋅ �−1 = 9,然后利用基本不等式求得最小值.
【解答过程】由题得��−1 = �+ 8 > 0,因为�> 0, �> 0,所以�> 1,同理�> 1,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
将条件变形为�−1 ⋅ �−1 = 9,
则�+ 9�= �−1 + 9 �−1 + 10 ≥2 9 �−1
�−1 + 10 = 28,
当且仅当�−1 = 9 �−1 ,即�= 10,�= 2 时取等号,所以�+ 9�的最小值为28.
故选:C.
10.(2026·广东梅州·模拟预测)已知正实数�, �满足��+ �+ 2�= 4,则�+ 2�的最小值是(
)
A.4 3 −4
B.4
C.2 3 −2
D.2 3
【答案】A
【解题思路】由题意得�=
6
�+1 −2,代入�+ 2�得�+ 2�=
6
�+1 + 2 �+ 1 −4,再由均值不等式求解即可.
【解答过程】由��+ �+ 2�= 4,�> 0,可得�=
4−2�
�+1 =
4−2(�+1)+2
�+1
=
6
�+1 −2,
所以�+ 2�=
6
�+1 −2 + 2�=
6
�+1 + 2 �+ 1 −4 ≥2
6
�+1 × 2 �+ 1 −4 = 4 3 −4,
当且仅当
6
�+1 = 2 �+ 1 ,即�=
3 −1 时,等号成立.
故选:A.
11.(2026·河北保定·二模)已知x,y 是非零实数,则
�2
�2 +
9�2
�2 的最小值为(
)
A.6
B.12
C.2
D.4
【答案】A
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】
�2
�2 +
9�2
�2 ≥2
�2
�2 ×
9�2
�2 = 6,
当且仅当
�2
�2 =
9�2
�2 ,
即�=
3 �> 0,等号成立,
所以
�2
�2 +
9�2
�2 的最小值为6,
故选:A.
12.(2026·湖北孝感·模拟预测)已知�> 0, �> 0,且�+ �=
1
�+
9
�+ 4,则�+ �的最小值为(
)
A.2 5 −2
B.2 5 −1
C.1 + 2 5
D.2 + 2 5
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式可得到
1
�+
9
�(�+ �) = 10 +
�
�+
9�
�≥16,再代换,令�= �+ �,解一元二次
不等式可得答案.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【解答过程】因为�> 0, �> 0,
所以
1
�+
9
�(�+ �) = 10 +
�
�+
9�
�≥10 + 2
�
�⋅
9�
�= 16,
当且仅当
�
�=
9�
�时,取等号.
令�= �+ �得:
1
�+
9
��≥16,
由�+ �=
1
�+
9
�+ 4 得:
1
�+
9
�= �−4,
所以:(�−4)�≥16,即�2 −4�−16 ≥0,
解得:�≤2 −2 5或�≥2 + 2 5,
又因为�> 0, �> 0,所以�= �+ �> 0,
故�= �+ �≥2 + 2 5,当且仅当
�
�=
9�
�
�+ �=
1
�+
9
�+ 4
,即�= 3�=
3+3 5
2
时,取等号.
故选:D.
【题型4
二次与二次(或一次)的商式的最值】
13.(25-26 高一上·四川成都·阶段检测)设�(�) =
�2−2�+2
2�−2
, �∈( −1,1),则(
)
A.�(�)min = 1
B.�(�)max = 1
C.�(�)min =−1
D.�(�)max =−1
【答案】D
【解题思路】对�(�)变形后,利用基本不等式求解.
【解答过程】�∈( −1,1),则1 −�∈(0,2),
�(�) =
(�−1)2+1
2(�−1) =
�−1
2 +
1
2(�−1) =−
1−�
2 +
1
2(1−�) ≤−2
1−�
2 ×
1
2(1−�) =−1,
当且仅当�= 0 时,等号成立,则�(�)max =−1.
故选:D.
14.(25-26 高二下·浙江绍兴·期中)若−1 < �< 1 ,则�=
�2−2�+2
2�−2 有(
)
A.最大值−1
B.最小值−1
C.最大值1
D.最小值1
【答案】A
【解题思路】将给定函数化简变形,再利用均值不等式求解即得.
【解答过程】因−1 < �< 1,则0 < 1 −�< 2,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
于是得�=−
1
2 ⋅
(1−�)2+1
1−�
=−
1
2 [(1 −�) +
1
1−�] ≤−
1
2 ⋅2 (1 −�) ⋅
1
1−�=−1,当且仅当1 −�=
1
1−�,即�= 0 时
取“=”,
所以当�= 0 时,�=
�2−2�+2
2�−2 有最大值−1.
故选:A.
15.(24-25 高一上·广东江门·期末)若�> 0,则
2�2−3�+1
�
的最小值是__________.
【答案】2 2 −3
【解题思路】依题意利用基本不等式计算可得.
【解答过程】因为�> 0 ,
所以
2�2−3�+1
�
= 2�+
1
�−3 ≥2 2�⋅
1
�−3 = 2 2 −3 ,
当且仅当2�=
1
�,即�=
2
2 时取等号,
故答案为:2 2 −3.
16.(25-26 高一上·湖南益阳·阶段检测)已知�>−1,则函数�=
�2+�+4
�+1 的最小值是__________.
【答案】3
【解题思路】将函数化简,分离常数,然后结合基本不等式即可得到结果.
【解答过程】因为�>−1,
�= �2 + �+ 4
�+ 1
= �+ 1 2 −(�+ 1) + 4
�+ 1
= �+ 1 +
4
�+ 1 −1
≥2
�+ 1
4
�+1 −1 = 3,
当且仅当�+ 1 =
4
�+1,即�= 1 时,等号成立.
所以函数�=
�2+�+4
�+1 的最小值是3,
故答案为:3.
【题型5
条件等式求最值】
17.(2026·四川德阳·模拟预测)已知�> 0,�> 0,且��= 1,则
1
2�+
1
2�+
8
�+�的最小值为(
)
A.4
B.8
C.1
D.2
【答案】A
【解题思路】根据��= 1,得
1
2�+
1
2�+
8
�+�=
�+�
2 +
8
�+�,利用基本不等式求得其最小值.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【解答过程】由�> 0,�> 0,且��= 1,得
1
2�+
1
2�+
8
�+�=
�+�
2��+
8
�+�=
�+�
2 +
8
�+�≥4.
当且仅当
�+�
2 =
8
�+�= 2,即�+ �= 4,即�= 2 +
3
�= 2 −
3
,或�= 2 −
3
�= 2 +
3
时,等号成立.
所以,当�= 2 +
3
�= 2 −
3
,或�= 2 −
3
�= 2 +
3
时,
1
2�+
1
2�+
8
�+�取得最小值,最小值为4.
故选:A.
18.(25-26 高一上·江西南昌·期末)已知�> 0,�> 0,�+ �= 2,则
1
4�+1 +
1
�的最小值为(
)
A.
1
3
B.
1
2
C.2
D.1
【答案】D
【解题思路】由题意可得
1
4�+1 +
1
�=
1
9
1
4�+1 +
4
4�
4�+ 1 + 4�,再利用基本不等式求解即可.
【解答过程】
1
4�+1 +
1
�=
1
4�+1 +
4
4�=
1
9
1
4�+1 +
4
4�
4�+ 1 + 4�
=
1
9 5 +
4�
4�+1 +
4 4�+1
4�
≥
1
9 5 + 2
4�
4�+1 ⋅
4 4�+1
4�
= 1,
当且仅当
4�
4�+1 =
4 4�+1
4�
,即�=
1
2,�=
3
2时,等号成立,
所以
1
4�+1 +
1
�的最小值为1.
故选:D.
19.(2026·河北沧州·模拟预测)已知正实数�,�满足��= 2,则
1
�+
2
�+
9
2�+�的最小值为(
)
A.2 2
B.3
C.3 2
D.4
【答案】C
【解题思路】利用基本不等式可得最值.
【解答过程】根据题意,��= 2,可得�=
2
�,
则
1
�+
2
�+
9
2�+�=
1
�+ �+
9
2�+ 2
�
,
设
1
�+ �= �,则�≥2,原式为�+
9
2�≥2 �×
9
2�= 3 2,
当且仅当�=
3 2
2 时等号成立,
故选:C.
20.(2026·安徽·一模)已知�> 0, �> 0, �+ 3�= �3�2,则
3
�+
2
�的最小值为(
)
A.2 2
B.13
C.2 6
D.2 3
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【答案】D
【解题思路】先化简得出
3
�+
1
�= �2�,再应用基本不等式计算
3
�+
2
�
2
的最小值即可求解.
【解答过程】已知�> 0, �> 0, �+ 3�= �3�2,所以
3
�+
1
�= �2�,
则
3
�+
2
�
2
=
9
�2 +
4
�2 +
12
��=
9
�2 +
4
�
1
�+
3
�=
9
�2 +
4
��2�=
9
�2 + 4�2 ≥2 36 = 12,
所以
3
�+
2
�≥2 3,
当且仅当
9
�2 = 4�2,即�=
6
2 , �=
6+2 3
3
时等号成立,所以
3
�+
2
�的最小值为2 3.
故选:D.
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】
21.(2026·四川绵阳·模拟预测)若�> 0,�> 0,且�+ 4�= 5,则
1
�+
4
�的最小值是(
)
A.16
B.25
C.4
D.5
【答案】D
【解题思路】利用常数代换,结合基本不等式可得.
【解答过程】因为�> 0,�> 0,且�+ 4�= 5,
所以
1
�+
4
�=
1
5
1
�+
4
�
�+ 4�=
1
5 1 +
4�
�+
4�
�+ 16 ≥
1
5 17 + 2
4�
�⋅
4�
�
= 5,
当且仅当
4�
�=
4�
�
�+ 4�= 5
,即�= �= 1 时等号成立,所以
1
�+
4
�的最小值是5.
故选:D.
22.(2026·安徽合肥·三模)已知正数�、�满足
1
�+
2
�= 1,则�+ 2�的最小值为(
)
A.4
B.6
C.8
D.9
【答案】D
【解题思路】利用基本不等式的乘“1”法即可得解.
【解答过程】由题意得�+ 2�= �+ 2�
1
�+
2
�= 1 +
2�
�+
2�
�+ 4 ≥5 + 2
2�
�⋅
2�
�= 9,
当且仅当
2�
�=
2�
�
1
�+
2
�= 1
�> 0, �> 0
时,即�= 3, �= 3 时,�+ 2�取得最小值9.
故选:D.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
23.(2026·河南·三模)若�> 0,�> 0,且�+ �= 1,则−
1
�−
4
�的最大值为(
)
A.−9
B.−7
C.−5
D.−3
【答案】A
【解题思路】根据“1”的代换,结合基本不等式求出
1
�+
4
�的最小值,即可得出答案.
【解答过程】因为�> 0,�> 0,且�+ �= 1,
所以
1
�+
4
�=
1
�+
4
�
�+ �= 5 +
�
�+
4�
�≥5 + 2
�
�⋅
4�
�= 9,
当且仅当
�
�=
4�
�,�> 0,�> 0,即�=
1
3,�=
2
3时等号成立,
所以−
1
�−
4
�的最大值为−9.
故选:A.
24.(2026·广东梅州·模拟预测)已知�> 0, �> 0,且��−2�+ 1 = 0,则
1
�+ 9�的最小值是(
)
A.4
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【解题思路】将已知等式变形为�+
1
�= 2,然后使用常数代换法,结合基本不等式可得.
【解答过程】由��−2�+ 1 = 0 得�−2 +
1
�= 0,即�+
1
�= 2,
所以
1
�+ 9�=
1
2
1
�+ 9�
�+
1
�=
1
2 1 +
1
��+ 9��+ 9
≥
1
2 10 + 2 9 = 8,
当且仅当
�+
1
�= 2
1
��= 9��
,即�=
1
2 , �=
2
3时,等号成立,
所以
1
�+ 9�的最小值为8.
故选:D.
【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】
25.(25-26 高一上·福建三明·阶段检测)若不等式
1
2�+
4
1−2�≥�−3 对∀�∈� 0 < �<
1
2 恒成立,则实
数�的最大值为(
)
A.12
B.
11
2
C.6
D.−6
【答案】A
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【解题思路】借助基本不等式“1”的活用可得
1
2�+
4
1−2�≥9,则可得�≤12.
【解答过程】当 0 < �<
1
2时,
1
2�> 0,
4
1−2�> 0,
则
1
2�+
4
1−2�=
1
2�+
4
1−2�
2�+ 1 −2�= 5 +
1−2�
2�+
8�
1−2�≥5 + 2
1−2�
2�⋅
8�
1−2�= 9,
当且仅当
1−2�
2�=
8�
1−2�,即�=
1
6时等号成立,
即
1
2�+
4
1−2�≥9 恒成立,则�−3 ≤9,故�≤12,
故实数�的最大值为12.
故选:A.
26.(25-26 高一上·天津南开·期中)已知�> 0,�> 0,若不等式
�2
�+
�2
�≥��+ �恒成立,则�的最大值
为(
)
A.
1
2
B.
2
2
C.1
D.2
【答案】C
【解题思路】同分后借助立方和公式因式分解,再利用基本不等式计算即可得.
【解答过程】�> 0,�> 0,
�2
�+
�2
�≥��+ �⇔�≤
�2
�+�2
�
�+�恒成立,
而
�2
�+�2
�
�+�=
�3+�3
���+�=
�+�
�2−��+�2
���+�
=
�2−��+�2
��
=
�
�+
�
�−1 ≥2
�
�⋅
�
�−1 = 1,
当且仅当�= �时,等号成立,则�≤1,故�的最大值为1.
故选:C.
27.(25-26 高一上·江西南昌·期中)若两个正实数�,�满足
1
�+
4
�= 1,且不等式�+
�
4 < �2 −3�有解,则
实数�的取值范围是(
)
A.{�| −1 < �< 4}
B.{�|�<−4 或�> 1}
C.{�| −4 < �< 1}
D.{�|�<−1 或�> 4}
【答案】D
【解题思路】首先将原问题转化为�+
�
4 ���< �2 −3�,再利用基本不等式的知识求出�+
�
4的最小值即可.
【解答过程】∵不等式�+
�
4 < �2 −3�有解,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
∴�+
�
4 ���< �2 −3�,
∵�> 0,�> 0,
1
�+
4
�= 1,
∴�+
�
4 = �+
�
4
1
�+
4
�=
4�
�+
�
4�+ 2 ≥2
4�
�·
�
4�+ 2 = 4,
当且仅当
4�
�=
�
4�,即�= 2,�= 8 时,等号成立,
∴�2 −3�> 4,∴�+ 1
�−4 > 0,∴�<−1 或�> 4,
∴实数�的取值范围是�|�<−1 或�> 4 .
故选:D.
28.(25-26 高一上·江苏扬州·期中)已知实数�> 0,�> 0,
1
�+
4
�= 3,且�+ �≥�恒成立,则实数�的
取值范围为(
)
A.��≤9
B.��≤3
C.��≥9
D.��≥3
【答案】B
【解题思路】由乘1 法,求得�+ �的最小值,即可求解.
【解答过程】�+ �=
1
3 �+ �
1
�+
4
�=
1
3 5 +
�
�+
4�
�
≥
1
3 5 + 2
�
�·
4�
�
= 3,
当且仅当
�
�=
4�
�,即�= 1, �= 2 时,取等号,
所以�≤3,
故选:B.
【题型8
基本不等式的实际应用】
29.(25-26 高一上·安徽·阶段检测)如图所示,某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池,垃圾池
的容积为50m3,为了合理利用地形,要求垃圾池靠墙一面的长为5m,如果池底每平方米的造价为200 元,
池壁每平方米的造价为180 元(不计靠墙一面的造价),设垃圾池的高为�m,墙高5m.当垃圾池的总造价
最低时,垃圾池的高�应为(
)
A.
5
3
B.3
C.
10
3
D.4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【答案】C
【解题思路】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽,再求各面面积,得出总造价,利用基本不等式求最
值.
【解答过程】由题意,无盖长方体垃圾池的容积为50m3,长为5m,高为�m,宽
10
�m,0 < �≤5,
则总造价�= 180 5�+ 2·
10
�·�+ 200 ⋅
50
�= 100 9�+
100
�
+ 3600 ≥100 ⋅2 9�⋅
100
�+ 3600 = 9600,
当且仅当9�=
100
�,即�=
10
3 时取等号,且0 <
10
3 < 5,
所以当垃圾池的高为
10
3 m 时,垃圾池总造价最低.
故选:C.
30.(24-25 高二上·浙江杭州·期末)某工厂第一年的年产量为A,第二年的年产量的增长率为��> 0 ,第
三年的年产量的增长率为��> 0 ,这两年的年产量的平均增长率为�,则(
)
A.�=
�+�
2
B.�≤
�+�
2
C.�>
�+�
2
D.�≥
�+�
2
【答案】B
【解题思路】根据题意列出方程�1 + �
1 + �= �1 + �2,然后利用基本不等式求解可得结果.
【解答过程】由题意得,�1 + �
1 + �= �1 + �2,则1 + �
1 + �= 1 + �2,
因为1 + �
1 + �≤
1+�+1+�
2
2
,即1 + �2 ≤
1+�+1+�
2
2
所以1 + �≤
2+�+�
2
= 1 +
�+�
2 ,
所以�≤
�+�
2 ,当且仅当�= �时取等号.
故选:B.
31.(25-26 高三上·河南新乡·期中)小李要做一个长方体无盖纸盒,忽略纸盒的厚度,若纸盒的高为3cm,
容积为48cm3,则小李所用纸的面积的最小值为__________cm2.
【答案】64
【解题思路】首先由长方体的体积公式求得底面面积,再用底面的长和宽表示纸的面积,最后用基本不等式,
即可求最小值.
【解答过程】设底面长方形的长和宽分别为�cm 和�cm,则��=
48
3 = 16cm2,
纸的面积�= ��+ 2�+ 2�× 3 = 16 + 6 �+ �≥16 + 12 ��= 64cm2,
当�= �= 4 时等号成立,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
所以小李所用纸的面积的最小值为64cm2.
故答案为:64.
32.(25-26 高一上·四川·期中)“谷子”经济发展越来越快,某公司要生产1000 个玩偶,已知该公司每小时
生产玩偶数量固定,且每小时的生产成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与生产速
度x(个∕时)的平方成正比,比例系数为0.2,固定部分为720 元,为使全程生产成本最低,该公司的生产
速度是__________个/时.
【答案】60
【解题思路】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解.
【解答过程】生产速度为x(个∕时)(�> 0),生产时间为
1000
�小时,
则全程生产成本��= 0.2�2 + 720 ⋅
1000
�
= 200�+
720000
�
,
��≥2 200�⋅
720000
�
= 24000,当200�=
720000
�
时,即�= 60 等号成立,
综上,当该公司全程生产成本最低时,生产速度为60 个/时.
故答案为:60.
一、单选题
1.(2026·云南昆明·模拟预测)函数��=
3�
�−3 + �(�> 3)的最小值为(
)
A.9
B.12
C.6 + 2 3
D.3 + 2 3
【答案】B
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由题得��=
3�−9+9
�−3
+ �= 3 +
9
�−3 + �−3 + 3 =
9
�−3 + �−3 + 6,
因为�> 3,所以�−3 > 0,
所以
9
�−3 + �−3 + 6 ≥2 9 + 6 = 12,当且仅当
9
�−3 = �−3,即�= 6 时等号成立,
则函数��=
3�
�−3 + �(�> 3)的最小值为12.
故选:B.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
2.(2026·河北邢台·二模)设�> 0,�> 0,且4 +
�
�= �,则�+ �的最小值为(
)
A.12
B.9
C.8
D.4
【答案】B
【解题思路】通过换“1”法,再通过基本不等式求解即可.
【解答过程】由题得
4
�+
1
�= 1,
所以�+ �= �+ �
4
�+
1
�= 5 +
4�
�+
�
�≥5 + 2
4�
�⋅
�
�= 9,当且仅当�= 6,�= 3 时取等号,
所以�+ �的最小值为9.
故选:B.
3.(2026·河南开封·模拟预测)若�> 2�> 0,则
�
�−2�+
2�
�的最小值为(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
【答案】C
【解题思路】先代数变形得
�
�−2�+
2�
�=
2�
�−2�+
2 �−2�
�
+ 5,再利用基本不等式即可求解.
【解答过程】由题意得:�−2�> 0,
�
�−2�+
2�
�=
�−2�+2�
�−2�
+
2�−4�+4�
�
= 1 +
2�
�−2�+
2 �−2�
�
+ 4 =
2�
�−2�+
2 �−2�
�
+ 5 ≥2
2�
�−2�⋅
2 �−2�
�
+ 5 = 9,
当
2�
�−2�=
2 �−2�
�
,即�= 3�时,等号成立.
故选:C.
4.(2026·浙江宁波·二模)已知�> 0, �> 0,则“��> 4”是“�+ �> 4”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据基本不等式,结合充分、必要条件的定义,分析即可得答案.
【解答过程】若��> 4,则�+ �≥2 ��> 2 4 = 4,充分性成立;
若�+ �> 4,取�=
1
2 , �= 5,满足条件,
则��=
5
2 < 4,不满足��> 4,故必要性不成立,
所以“��> 4”是“�+ �> 4”的充分不必要条件.
故选:A.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
5.(2025·湖北黄冈·一模)已知�,�为正实数,且�+ �= 1,则
�+9�
��的最小值为(
)
A.12
B.16
C.18
D.20
【答案】B
【解题思路】由题可得
�+9�
��= �+ �
9
�+
1
�,然后由基本不等式可得答案.
【解答过程】
�+9�
��=
9
�+
1
�= �+ �
9
�+
1
�= 10 +
9�
�+
�
�≥10 + 2
9�
�⋅
�
�= 16.
当且仅当
9�
�=
�
�,即�=
3
4 ,�=
1
4时取等号.
故选:B.
6.(2026·重庆·模拟预测)已知�> 0,�> 0,且3�+ �+ ��= 9,则3�+ �的最小值为(
)
A.6
B.8
C.10
D.12
【答案】A
【解题思路】直接由基本不等式的变形不等式��≤
�+�
2
2
可得关于3�+ �的一元二次不等式,进而可得最小
值.
【解答过程】因为�> 0,�> 0,且3�+ �+ ��= 9,
由基本不等式得9 = 3�+ �+
1
3 ⋅3�⋅�≤3�+ �+
1
3
3�+�
2
2
,当且仅当3�= �时等号成立,
即3�+ �2 + 12 3�+ �−108 ≥0,得3�+ �−6
3�+ �+ 18 ≥0,因为�> 0, �> 0,所以3�+ �≥
6.
由3�= �代入3�+ �+ ��= 9,解得�= 1, �= 3,
因此当�= 1, �= 3,3�+ �的最小值为6.
故选:A.
二、填空题
7.(2026·安徽六安·模拟预测)设�, �> 0, �+
1
2�= 1,则2�+
1
�的最小值为__________.
【答案】4
【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【解答过程】由�, �> 0, �+
1
2�= 1,得2�+
1
�= (2�+
1
�)(�+
1
2�) = 2 + 2��+
1
2��
≥2 + 2 2��⋅
1
2��= 4,当且仅当2��= 1 时取等号,
所以当�=
1
2 , �= 1 时,2�+
1
�取得最小值4.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
故答案为:4.
8.(2026·上海杨浦·二模)设正实数�, �满足�+ �= 3,则�2 + �2的最小值为__________.
【答案】
9
2
【解题思路】根据题意,得到�2 + �2 = (�+ �)2 −2��,结合基本不等式,即可求解.
【解答过程】因为正实数�, �满足�+ �= 3,
可得�2 + �2 = (�+ �)2 −2��≥(�+ �)2 −2 × (
�+�
2 )2 = 9 −2 ×
9
4 =
9
2,
当且仅当�= �=
3
2时,等号成立,
所以�2 + �2的最小值为
9
2.
故答案为:
9
2.
9.(2026·四川成都·模拟预测)已知�, �均为正数,且�+ 2�= 1,则
2
�+
1
�的最小值为__________.
【答案】8
【解题思路】利用“1 的代换”构造乘积形式,化简后运用均值不等式求最小值.
【解答过程】由�, �均为正数,且�+ 2�= 1,
则
2
�+
1
�= (
2
�+
1
�)(�+ 2�) = 4 +
4�
�+
�
�≥2
4�
�⋅
�
�+ 4 = 8,
当且仅当
4�
�=
�
�
�+ 2�= 1
,解得
�=
1
2
�=
1
4
时等号成立.
则
2
�+
1
�的最小值为8.
故答案为:8.
10.(2026·辽宁沈阳·三模)已知正数x,y 满足�+ �= 1,则
1
2�+�+
1
�+2�的最小值为__________.
【答案】
4
3
【解题思路】根据题意得2�+ �+ �+ 2�= 3,再结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【解答过程】因为正数x,y 满足�+ �= 1,所以3�+ 3�= 3,即2�+ �+ �+ 2�= 3,
所以
1
2�+�+
1
�+2�=
1
3
1
2�+�+
1
�+2�
2�+ �+ �+ 2�
=
1
3 2 +
�+2�
2�+�+
2�+�
�+2�≥
1
3 2 + 2
�+2�
2�+�⋅
2�+�
�+2�=
4
3,
当且仅当�+ 2�= 2�+ �=
3
2,即�= �=
1
2时等号成立,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
所以
1
2�+�+
1
�+2�的最小值为
4
3.
故答案为:
4
3.
11.(2026·湖南怀化·一模)已知�> 0,且3�⋅9�= 3,则
�+1
2�+
�
�+3�的最小值为__________.
【答案】2
【解题思路】利用1 的代换,再结合基本不等式即可求得最小值.
【解答过程】由3�⋅9�= 3,得3�⋅32�= 3�+2�= 31,即�+ 2�= 1(�> 0),
则
�+1
2�+
�
�+3�=
�+ �+2�
2�
+
�
�+3�=
�+3�
2�+
�
�+3�≥2
�+3�
2�⋅
�
�+3�=
2,
当且仅当
�+3�
2�=
�
�+3�,即�+ 3�=
2�,再结合�+ 2�= 1,
可解得�=
2 + 1 > 0,满足条件,
因此
�+1
2�+
�
�+3�的最小值为2.
故答案为:2.
12.(2026·上海金山·二模)已知关于�的一元二次方程�2 −�+ �= 0 有两个不相等的正根�、�,则
1
�+
9
�
的最小值为__________.
【答案】16
【解题思路】先根据韦达定理得出�+ �= 1,再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值.
【解答过程】关于�的一元二次方程�2 −�+ �= 0 有两个不相等的正根�、�,
则
�= 1 −4�> 0
��= �> 0
�+ �= 1 > 0
,所以0 < �<
1
4,
因为�> 0, �> 0, �+ �= 1,
所以
1
�+
9
�=
1
�+
9
�
�+ �
= 1 +
�
�+
9�
�+ 9 ≥2
�
�×
9�
�+ 10 = 16,
当且仅当
�
�=
9�
�,即�=
3
4 , �=
1
4时,此时��= �=
3
16 ∈0,
1
4 ,符合题意,
所以当�=
3
4 , �=
1
4时,取
1
�+
9
�的最小值16.
故答案为:16.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
一、单选题
1.(2026·陕西宝鸡·一模)设a,b 为正数,且��= �+ �+ 3,则下列说法正确的是(
)
A.ab 的最大值为3
B.ab 的最小值为3
C.ab 的最大值为9
D.ab 的最小值为9
【答案】D
【解题思路】正数a,b 满足��= �+ �+ 3,可得��= �+ �+ 3 ≥2 ��+ 3,解出即可得ab 的最小值.
【解答过程】因为a,b 为正数,且��= �+ �+ 3
所以��= �+ �+ 3 ≥2 ��+ 3,
即
��
2 −2 ��−3 ≥0,解得��≥3,所以��≥9;
当且仅当�= �= 3 时取等号,ab 的最小值为9.
故选:D.
2.(2026·广西·一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100g 的砝码放在天平左
盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100g 的砝码放在天平右盘中,再取出一些中药
放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量(
)
A.等于200g
B.大于200g
C.小于200g
D.以上都有可能
【答案】B
【解题思路】用平衡条件得出�的表达式,结合基本不等式可得答案.
【解答过程】设天平左臂长为�,右臂长为�,�, �> 0 且�≠�,左盘放的药品为�1克,右盘放的药品为�2
克,
则100�= ��2
��1 = 100�,解得�1 =
100�
�, �2 =
100�
�,
�= �1 + �2 =
100�
�+
100�
�
≥2
100�
�⋅
100�
�
= 200,
当且仅当�= �时,取到等号,而�≠�,所以�> 200.
故选:B.
3.(2026·山东·模拟预测)设正实数�, �满足�+ 2�= 1,则
(�+1)2+�2
��
的最小值为(
)
A.
37
2
B.17
C.8 + 4 5
D.16
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【答案】C
【解题思路】代入�+ 2�= 1,再由基本不等式即可求解;
【解答过程】由题意知
(�+1)2+�2
��
=
(�+�+2�)2+�2
��
=
4�2+8��+5�2
��
=
4�
�+
5�
�+ 8 ≥2
4�
�⋅
5�
�+ 8 = 8 + 4 5,
当且仅当
4�
�=
5�
�,即�=
5
2 �=
4 5−5
11 时,等号成立.
因此,
(�+1)2+�2
��
的最小值为8 + 4 5.
故选:C.
4.
(2026·陕西咸阳·模拟预测)记max{�, �}表示实数a,b 中的较大的数,已知x,y,z 均为正数,则max{�,
1
�} +
max{�,
3
�} + max{�,
5
�}的最小值为(
)
A.2 2
B.3
C.4 2
D.6
【答案】C
【解题思路】本题分两种情况讨论,当�≥
5
�和�<
5
�时的两种情况,然后根据基本不等式的性质求出最小值.
【解答过程】设�= max �,
1
�+ max �,
3
�+ max �,
5
�,
当�≥
5
�时,�≥�+
3
�+ �≥
5
�+
3
�+ �,
因为�, �, �均为正数,所以
�≥�+
3
�+ �≥
5
�+
3
�+ �=
8
�+ �≥2
8
�⋅�= 4 2,
当且仅当�=
5
2 2,
2 2
5 ≤�≤
3
2 2,�= 2 2时,等式成立;
当�<
5
�时,�≥�+
3
�+
5
�≥�+
3�
5 +
5
�=
8�
5 +
5
�≥2
8
5 �⋅
5
�= 4 2,
当且仅当�=
5
2 2,
2 2
5 ≤�≤
3
2 2,�= 2 2时,等式成立.
综上可知,t 的最小值为4 2.
故选:C.
二、填空题
5.(2025·广东深圳·一模)若实数�, �满足
�2 + 4 + �
�2 + 4 + �= 4,则4�+ 21+2�的最小值为
__________.
【答案】2 2
【解题思路】先利用换元法化简已知条件,求得�+ �= 0,再利用基本不等式求得4�+ 21+2�的最小值.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
【解答过程】令�=
�2 + 4 + �, �=
�2 + 4 + �,
所以�−�=
�2 + 4,两边平方并化简得�=
�2−4
2�=
�
2 −
2
�,
同理�=
�
2 −
2
�,
由题知�⋅�= 4,则�=
4
�,
故�=
�
2 −
2
�=
4
�
2 −
2
4
�
=
2
�−
�
2 =−�,得�+ �= 0,
4�+ 21+2�≥2 22�× 21+2�= 2 22�+2�+1 = 2 2,
当且仅当4�= 21+2�
�+ �= 0 ,即�=
1
4 , �=−
1
4时等号成立,
所以4�+ 21+2�的最小值为2 2.
故答案为:2 2.
6.(2026·广西南宁·二模)设�> 0,�> 0,若不等式��+ 1 2 + ��+ 1 2 ≥���恒成立,则实数�的最大
值为__________.
【答案】8
【解题思路】根据题意,将原问题转化为求
�+1 2
�
+
�+1 2
�
的最小值,再利用基本不等式进行求解即可.
【解答过程】由��+ 1 2 + ��+ 1 2 ≥���⇒�≤
��+1 2+��+1 2
��
=
�+1 2
�
+
�+1 2
�
.
从而原问题转化为求
�+1 2
�
+
�+1 2
�
的最小值.
因为
�+1 2
�
+
�+1 2
�
=
�2+2�+1
�
+
�2+2�+1
�
=
�2
�+
�2
�
+ 2
�
�+
�
�+
1
�+
1
�
≥2
�2
�⋅
�2
�+ 2 × 2
�
�⋅
�
�+ 2
1
�⋅
1
�= 2 ��+ 4 +
2
��≥2 ×
2 ��⋅
2
��+ 4 = 8,
(以上均为当且仅当�= �时取等号).
所以�≤8.
即实数�的最大值为8.
故答案为:8.
三、解答题
7.(25-26 高一上·浙江丽水·期末)如图,设矩形����(��> ��)的周长为24cm,把△���沿��向△���
折叠,��折过去后交��于点�,设��= �cm,��= �cm.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
(1)当�= 8 时,求�的值;
(2)设△���′的面积为�,求�的最大值.
【答案】(1)�= 5
(2) 108 −72 2 cm2
【解题思路】(1)依题意可证Rt △���≌Rt △��′�,即可得到��= ��,再由勾股定理计算可得;
(2)首先证明Rt △���≌Rt △��′�,得到��= ��,在Rt △���利用勾股定理得到�=
�2−12�+72
�
,从而得
到��=
12�−72
�
,再由面积公式及基本不等式计算可得.
【解答过程】(1)如图,由矩形������> ��的周长为24cm,��= 8cm,可知��= 4cm,��= (8 −�)cm.
∵∠���= ∠���′,∠���= ∠��′�= 90∘,��= ��′,
∴Rt △���≌Rt △��′�,
∴��= ��= �cm.
在Rt △���中,由勾股定理得��2 + ��2 = ��2,即42 + (8 −�)2 = �2,解得�= 5.
(2)如图,由矩形������> ��的周长为24cm,可知��= (12 −�)cm,��= (�−�)cm,
∵∠���= ∠���′,∠���= ∠��′�= 90∘,��= ��′,
∴Rt △���≌Rt △��′�,
∴��= ��= �cm.
在Rt △���中,由勾股定理得��2 + ��2 = ��2,即12 −�2 + �−�2 = �2,
解得�=
�2−12�+72
�
,
所以��= �−�=
12�−72
�
.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
所以△���′的面积为�=
1
2 ��′ ⋅�′�=
1
2 ×
12�−72
�
× (12 −�)
= 6 ×
−�2+18�−72
�
= 6 −�+
72
�
+ 18 .
由基本不等式与不等式的性质,得�≤6 ×
−2 �⋅
72
�+ 18
= 108 −72 2,
当且仅当�=
72
�时,即当�= 6 2时,△���′的面积最大,
面积的最大值为108 −72 2 cm2.
8.(25-26 高一上·安徽淮北·期中)某蛋糕店推出两款新品蛋糕,分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕,
已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元,朱古力蜂果蛋糕单价为y 元,现有两种购买方案:
方案一:薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个,朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个,花费记为�1;
方案二:薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个,朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个,花费记为�2.
(其中�> �> 4, �> �> 4)
(1)试问哪种购买方案花费更少?请说明理由;
(2)若a,b,x,y 同时满足关系�= 2�−2 �−4, �= 2�+
4
�−4,求这两种购买方案花费的差值S 最小值(注:
差值�=花费较大值-花费较小值).
【答案】(1)采用方案二;理由见解析
(2)24
【解题思路】(1)列出两种方案的总费用的表达式,作差比较,即可求解;
(2)根据题意,得到�2 −�1 = (�−2 �−4) ⋅(�+
4
�−4 ),利用换元法和基本不等式,即可求解.
【解答过程】(1)解:方案一的总费用为�1 = ��+ ��(元);
方案二的总费用为�2 = ��+ ��(元),
由�2 −�1 = ��+ ��−(��+ ��) = �(�−�) + �(�−�) = (�−�)(�−�),
因为�> �> 4, �> �> 4,可得�−�> 0, �−�< 0,所以(�−�)(�−�) < 0,
即�2 −�1 < 0,所以�2 < �1,所以采用方案二,花费更少.
(2)解:由(1)可知�1 −�2 = (�−�)(�−�) = (�−2 �−4) ⋅(�+
4
�−4 ),
令�=
�−4,则�= �2 + 4,
所以�−2 �−4 = �2 −2�+ 4 = (�−1)2 + 3 ≥3,当�= 1 时,即�= 5 时,等号成立,
又因为�> 4,可得�−4 > 0,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
所以�+
4
�−4 = (�−4) +
4
�−4 + 4 ≥2 (�−4) ×
4
�−4 + 4 = 8,
当且仅当�−4 =
4
�−4时,即�= 6, �= 14 时,等号成立,
所以差�的最小值为3 × 8 = 24,当且仅当�= 5, �= 8, �= 6, �= 14 时,等号成立,
所以两种方案花费的差值�最小为24 元.
一、单选题
1.(2026·天津·高考真题)(�+
1
�)(�+
4
�)的最小值为(
)
A.10
B.9
C.8
D.6
【答案】B
【解题思路】由基本不等式,即可得解.
【解答过程】因为�+
1
�
�+
4
�= �2 +
4
�2 + 5 ≥2 �2 ⋅
4
�2 + 5 = 9,
当且仅当�2 =
4
�2,即�2 = 2,�=±
2时,等号成立,
所以�+
1
�
�+
4
�的最小值为9.
故选:B.
2.(2025·北京·高考真题)已知�> 0, �> 0,则(
)
A.�2 + �2 > 2��
B.
1
�+
1
�≥
1
��
C.�+ �>
��
D.
1
�+
1
�≤
2
��
【答案】C
【解题思路】由基本不等式结合特例即可判断.
【解答过程】对于A,当�= �时,�2 + �2 = 2��,故A 错误;
对于BD,取�=
1
2 , �=
1
4,此时
1
�+
1
�= 2 + 4 = 6 <
1
1
2×1
4
= 8 =
1
��,
1
�+
1
�= 2 + 4 = 6 >
2
1
2×1
4
= 4 2 =
2
��,故BD 错误;
对于C,由基本不等式可得�+ �≥2 ��>
��,故C 正确.
故选:C.
二、填空题
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
3.(2026·上海·高考真题)已知�2 + 4�2 = 1,则��的最大值为__________.
【答案】
1
4
【解题思路】根据基本不等式可得�2 + 4�2 ≥4��,结合条件即可求结论.
【解答过程】因为�2 + 4�2 = �2 + 2�2 ≥2�⋅2�= 4��,当且仅当�= 2�时等号成立,
结合�2 + 4�2 = 1 可得,��≤
1
4,
当且仅当�=
2
2 ,�=
2
4 或�=−
2
2 ,�=−
2
4 时等号成立,
所以当�=
2
2 ,�=
2
4 或�=−
2
2 ,�=−
2
4 时,��取最大值,最大值为
1
4.
故答案为:
1
4.
4.(2026·上海·高考真题)若�> 0,�> 0,且�+ 2�= 4,则��的最大值是__________.
【答案】2
【解题思路】由于�、�为正值,且�+ 2�为定值4,因此可以运用基本不等式先求出2 2��的最大值,进而
求出��的最大值.
【解答过程】解:∵�> 0,�> 0,�+ 2�= 4
∴4 = �+ 2�≥2 2��
∴��≤2,当且仅当�= 2�时取等号,即�= 2,�= 1 时取等号
故答案为:2.
5.(2025·上海·高考真题)设�, �> 0, �+
1
�= 1,则�+
1
�的最小值为__________.
【答案】4
【解题思路】灵活利用“1”将�+
1
�= �+
1
�
�+
1
�展开利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知�+
1
�= �+
1
�
�+
1
�= ��+
1
��+ 2 ≥2 ��⋅
1
��+ 2 = 4,
当且仅当��= 1,即�=
1
2 , �= 2 时取得最小值.
故答案为:4.
6.(2024·上海·高考真题)已知��= 1,4�2 + 9�2的最小值为__________.
【答案】12
【解题思路】利用不等式�2 + �2 ≥2��即可求解.
【解答过程】4�2 + 9�2 = 2�2 + 3�2 ≥2 × 2�× 3�= 12��= 12,
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师
当且仅当2�= 3�
��= 1 ,即�=
6
2 , �=
6
3 或�=−
6
2 , �=−
6
3 时,等号成立,
故4�2 + 9�2的最小值为12.
故答案为:12.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
:
请添加高老师