文档文本内容
专题1.8 基本不等式及其应用（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
由基本不等式比较大小】...........................................................................................................................1
【题型2
基本不等式求积的最大值】.......................................................................................................................2
【题型3
基本不等式求和的最小值】.......................................................................................................................2
【题型4
二次与二次（或一次）的商式的最值】...................................................................................................2
【题型5
条件等式求最值】.......................................................................................................................................3
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】................................................................................................................. 3
【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】...........................................................................................................4
【题型8
基本不等式的实际应用】...........................................................................................................................4
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
由基本不等式比较大小】
1．（25-26 高一上·山东枣庄·期中）已知�、�∈�+且�≠�，下列各式中最大的是（
）
A．
�2+�2
2
B．
�+�
2
C．��
D．
2��
�+�
2．（25-26 高一上·山东枣庄·阶段检测）若0 < �< 1，0 < �< 1，且�≠�，则�+ �，2 ��，2ab，�2 + �2
中最小的一个是（
）
A．2ab
B．2 ��
C．�2 + �2
D．�+ �
3．（25-26 高一上·福建莆田·阶段检测）某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5kg，第二年的增长率
为�，第三年的增长率为�，这两年的平均增长率为�（�, �, �均大于零），则（
）
A．�=
�+�
2
B．�≤
�+�
2
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C．�>
�+�
2
D．�≥
�+�
2
4．（24-25 高一上·贵州·期中）已知�, �> 0，且��= �+ �+
5
4，则下列关系正确的是（
）
A．�+ �≥5
B．�+ �≤1
C．��≥10
D．��≤
1
2
【题型2
基本不等式求积的最大值】
5．（25-26 高一上·广西桂林·期中）已知实数�，�满足�2 + �2 = 8，则��的最大值为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2026·山东济宁·模拟预测）已知�> 0，�> 0，且��+ 2�2 −36 = 0，则��2的最大值（
）
A．12
B．6 6
C．36
D．24 6
7．（2026·广东汕头·一模）已知�> 0，�> 0，�+ �= 4，则��的最大值为（
）
A．1
B．2
C．4
D．不存在
8．（2026·湖北·模拟预测）已知实数�，�满足
1
�−2
1
�−3 = 6，则��的最大值为（
）
A．
1
25
B．
1
24
C．
1
12
D．
1
4
【题型3
基本不等式求和的最小值】
9．（2026·云南·模拟预测）已知正实数�，�满足��= �+ �+ 8，则�+ 9�的最小值是（
）
A．22
B．26
C．28
D．30
10．（2026·广东梅州·模拟预测）已知正实数�, �满足��+ �+ 2�= 4，则�+ 2�的最小值是（
）
A．4 3 −4
B．4
C．2 3 −2
D．2 3
11．（2026·河北保定·二模）已知x，y 是非零实数，则
�2
�2 +
9�2
�2 的最小值为（
）
A．6
B．12
C．2
D．4
12．（2026·湖北孝感·模拟预测）已知�> 0, �> 0，且�+ �=
1
�+
9
�+ 4，则�+ �的最小值为（
）
A．2 5 −2
B．2 5 −1
C．1 + 2 5
D．2 + 2 5
【题型4
二次与二次（或一次）的商式的最值】
13．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）设�(�) =
�2−2�+2
2�−2
, �∈( −1,1)，则（
）
A．�(�)min = 1
B．�(�)max = 1
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C．�(�)min =−1
D．�(�)max =−1
14．（25-26 高二下·浙江绍兴·期中）若−1 < �< 1 ，则�=
�2−2�+2
2�−2 有（
）
A．最大值−1
B．最小值−1
C．最大值1
D．最小值1
15．（24-25 高一上·广东江门·期末）若�> 0，则
2�2−3�+1
�
的最小值是__________.
16．（25-26 高一上·湖南益阳·阶段检测）已知�>−1，则函数�=
�2+�+4
�+1 的最小值是__________．
【题型5
条件等式求最值】
17．（2026·四川德阳·模拟预测）已知�> 0，�> 0，且��= 1，则
1
2�+
1
2�+
8
�+�的最小值为（
）
A．4
B．8
C．1
D．2
18．（25-26 高一上·江西南昌·期末）已知�> 0，�> 0，�+ �= 2，则
1
4�+1 +
1
�的最小值为（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．2
D．1
19．（2026·河北沧州·模拟预测）已知正实数�，�满足��= 2，则
1
�+
2
�+
9
2�+�的最小值为（
）
A．2 2
B．3
C．3 2
D．4
20．（2026·安徽·一模）已知�> 0, �> 0, �+ 3�= �3�2，则
3
�+
2
�的最小值为（
）
A．2 2
B．13
C．2 6
D．2 3
【题型6
基本不等式“1”的妙用求最值】
21．（2026·四川绵阳·模拟预测）若�> 0，�> 0，且�+ 4�= 5，则
1
�+
4
�的最小值是（
）
A．16
B．25
C．4
D．5
22．（2026·安徽合肥·三模）已知正数�、�满足
1
�+
2
�= 1，则�+ 2�的最小值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．9
23．（2026·河南·三模）若�> 0，�> 0，且�+ �= 1，则−
1
�−
4
�的最大值为（
）
A．−9
B．−7
C．−5
D．−3
24．（2026·广东梅州·模拟预测）已知�> 0, �> 0，且��−2�+ 1 = 0，则
1
�+ 9�的最小值是（
）
A．4
B．6
C．7
D．8
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【题型7
基本不等式的恒成立、有解问题】
25．（25-26 高一上·福建三明·阶段检测）若不等式
1
2�+
4
1−2�≥�−3 对∀�∈� 0 < �<
1
2 恒成立，则实
数�的最大值为（
）
A．12
B．
11
2
C．6
D．−6
26．（25-26 高一上·天津南开·期中）已知�> 0，�> 0，若不等式
�2
�+
�2
�≥��+ �恒成立，则�的最大值
为（
）
A．
1
2
B．
2
2
C．1
D．2
27．（25-26 高一上·江西南昌·期中）若两个正实数�，�满足
1
�+
4
�= 1，且不等式�+
�
4 < �2 −3�有解，则
实数�的取值范围是（
）
A．{�| −1 < �< 4}
B．{�|�<−4 或�> 1}
C．{�| −4 < �< 1}
D．{�|�<−1 或�> 4}
28．（25-26 高一上·江苏扬州·期中）已知实数�> 0，�> 0，
1
�+
4
�= 3，且�+ �≥�恒成立，则实数�的
取值范围为（
）
A．��≤9
B．��≤3
C．��≥9
D．��≥3
【题型8
基本不等式的实际应用】
29．（25-26 高一上·安徽·阶段检测）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池
的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200 元，
池壁每平方米的造价为180 元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为�m，墙高5m.当垃圾池的总造价
最低时，垃圾池的高�应为（
）
A．
5
3
B．3
C．
10
3
D．4
30．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为��> 0 ，第
三年的年产量的增长率为��> 0 ，这两年的年产量的平均增长率为�，则（
）
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A．�=
�+�
2
B．�≤
�+�
2
C．�>
�+�
2
D．�≥
�+�
2
31．（25-26 高三上·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，
容积为48cm3，则小李所用纸的面积的最小值为__________cm2.
32．（25-26 高一上·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000 个玩偶，已知该公司每小时
生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速
度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720 元，为使全程生产成本最低，该公司的生产
速度是__________个/时．
一、单选题
1．（2026·云南昆明·模拟预测）函数��=
3�
�−3 + �（�> 3）的最小值为（
）
A．9
B．12
C．6 + 2 3
D．3 + 2 3
2．（2026·河北邢台·二模）设�> 0，�> 0，且4 +
�
�= �，则�+ �的最小值为（
）
A．12
B．9
C．8
D．4
3．（2026·河南开封·模拟预测）若�> 2�> 0，则
�
�−2�+
2�
�的最小值为（
）
A．3
B．6
C．9
D．12
4．（2026·浙江宁波·二模）已知�> 0, �> 0，则“��> 4”是“�+ �> 4”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（2025·湖北黄冈·一模）已知�，�为正实数，且�+ �= 1，则
�+9�
��的最小值为（
）
A．12
B．16
C．18
D．20
6．（2026·重庆·模拟预测）已知�> 0，�> 0，且3�+ �+ ��= 9，则3�+ �的最小值为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
二、填空题
7．（2026·安徽六安·模拟预测）设�, �> 0, �+
1
2�= 1，则2�+
1
�的最小值为__________．
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8．（2026·上海杨浦·二模）设正实数�, �满足�+ �= 3，则�2 + �2的最小值为__________.
9．（2026·四川成都·模拟预测）已知�, �均为正数，且�+ 2�= 1，则
2
�+
1
�的最小值为__________.
10．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y 满足�+ �= 1，则
1
2�+�+
1
�+2�的最小值为__________.
11．（2026·湖南怀化·一模）已知�> 0，且3�⋅9�= 3，则
�+1
2�+
�
�+3�的最小值为__________.
12．（2026·上海金山·二模）已知关于�的一元二次方程�2 −�+ �= 0 有两个不相等的正根�、�，则
1
�+
9
�
的最小值为__________．
一、单选题
1．（2026·陕西宝鸡·一模）设a，b 为正数，且��= �+ �+ 3，则下列说法正确的是（
）
A．ab 的最大值为3
B．ab 的最小值为3
C．ab 的最大值为9
D．ab 的最小值为9
2．（2026·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在天平左
盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药
放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（
）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
3．（2026·山东·模拟预测）设正实数�, �满足�+ 2�= 1，则
(�+1)2+�2
��
的最小值为（
）
A．
37
2
B．17
C．8 + 4 5
D．16
4．
（2026·陕西咸阳·模拟预测）记max{�, �}表示实数a，b 中的较大的数，已知x，y，z 均为正数，则max{�,
1
�} +
max{�,
3
�} + max{�,
5
�}的最小值为（
）
A．2 2
B．3
C．4 2
D．6
二、填空题
5．（2025·广东深圳·一模）若实数�, �满足
�2 + 4 + �
�2 + 4 + �= 4，则4�+ 21+2�的最小值为
__________.
6．（2026·广西南宁·二模）设�> 0，�> 0，若不等式��+ 1 2 + ��+ 1 2 ≥���恒成立，则实数�的最大
值为__________．
三、解答题
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7．（25-26 高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形����(��> ��)的周长为24cm，把△���沿��向△���
折叠，��折过去后交��于点�，设��= �cm，��= �cm.
(1)当�= 8 时，求�的值；
(2)设△���′的面积为�，求�的最大值.
8．（25-26 高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，
已知薄脆百香果蛋糕单价为x 元，朱古力蜂果蛋糕单价为y 元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b 个，花费记为�1;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b 个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a 个，花费记为�2．
（其中�> �> 4, �> �> 4）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y 同时满足关系�= 2�−2 �−4, �= 2�+
4
�−4，求这两种购买方案花费的差值S 最小值（注：
差值�=花费较大值-花费较小值）．
一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）(�+
1
�)(�+
4
�)的最小值为（
）
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A．10
B．9
C．8
D．6
2．（2025·北京·高考真题）已知�> 0, �> 0，则（
）
A．�2 + �2 > 2��
B．
1
�+
1
�≥
1
��
C．�+ �>
��
D．
1
�+
1
�≤
2
��
二、填空题
3．（2026·上海·高考真题）已知�2 + 4�2 = 1，则��的最大值为__________．
4．（2026·上海·高考真题）若�> 0，�> 0，且�+ 2�= 4，则��的最大值是__________．
5．（2025·上海·高考真题）设�, �> 0, �+
1
�= 1，则�+
1
�的最小值为__________．
6．（2024·上海·高考真题）已知��= 1，4�2 + 9�2的最小值为__________．
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